2.1.2 两条直线平行和垂直的判定-【志鸿优化训练】2026-2027学年高中数学选择性必修第一册(人教A版)

全面，不合是念.场过属围（知圆简）可知： 当05金<135时，山的顿斜年为a十5， 壶135写▣<18时，岭板斜角为45十x一 180-a-15 (2)授直线h的领斜角为a,为图军如，a一15十 7行°-0，，直战4的懒角为0. 探究二规提斜率公式求斜率或其范里 [典例精析] [典例幻答案：(1D(2)一√ 解析：(1》当四=一1时，直线的领角为90，明星 不背台题意： 当那一1时，国为过滑点A(w,-3).B一1， 2m的直直/的候时角为好。 新以知-二行如一n行”一，化商垫理可 w十 得，m一3w一4=0，解得m=4气知=一1（参去），枚 解=4.故选卫 (2)因为直线4竹桶斜鼻=0“，直战⊥4，所 以的桶韩角为12如 斯以名约鲜车为n10=一③ [奥酬3]男为m-》-于n = 由圈可知，直线与瓶民AB相变时，直随I的鲜率 去的取值范周是寻专酰达C [针对润练2]1)A(2)B 解斯：(1》南于性址点A(1一a,】十a)和点B(3,a) 岭直残的板料角为能角， 当a一一2时，直残的领科局为直角，不样合题多1 者时-2时bng号-。<0，放2>0 解得>一2 银据选项，凡有感明八符合理念.故达A 得网=公 (2)需为A(一1,2)，B(4,7,C(2,0},阶从x= 2,A南巴知可存风语=(1.1-3)-0,11=(1： 一√)是直线的一个方向向量，所以直线的新奉青 线与减级AB相变，除以流直烧斜率的取值花周是 二上_=一，直线的候斜角9满足n9=一.0广 仁©，一号]U[子+小花选鼠 180f,射-120 家究三斜需的应用 3.CD时于A,直袋岭频料角为a,备金一0时，料 [典例精析】 单不存在，放A错最：时于B,直规的领角的取便地 [典例们解：e-5, 国为[0,8)，酰B悟误：时于C,克找岭顿斜角岭取值 ”直线（的卧率==5-1 地周为0，]8门，则有n动.就C正确：对于D.任意 月，P,P都在直气I上： 魔线年有领斜角a,且备a≠0时，种率为tana,城D 小== 正确.板透D --1将得-1n- 4答案：口，2)（答案不呢一》 解析：不封令直线（的一个方有句量为(y),制 [针对训练3】C根都越意，巴知A(1,一8)， 一兰，所以写红取一l,则)一2，此时直城的一个方 3,),C81是A,B,C三在务线，剩kke 向南量为1,2)（答餐不里一. 岩号 5.解：(1存在 直线AB片林本表一二是-1，中国一1 微探突对直线的斜率和领料角的关慕理解不透 领政蜡 又0<18和，所8领斜角a45 [典创精析) (2)府在， [纯例5D平面直角火标系中的任意一条直直 直线D的料本m=2多=-1.牌ma= 年有朝斜角，故A三州： -1 幅研角是0的直线浸有外率，盆B情试 又0x<]80,晚以领释角a-185 若一条直线的斜率为1m225,腾为an225=1, 13)不存在 卑料单为1，对储直线的铺酰角为5，故C每误： 周为一阳-一8，所以直掩Q的鳞率不存在， 若一条直我的幅料角为（如不子千0，利信直我 领种角a一90. 的斜单为1通a,放D玉境 2【,1两条直线平行和重直的判定 故选AD 【必备知识·植理】 易错原因 树结心得 【情境探究] 提示：用斜率刻西 对直线的领部角和额 这直线的复料角，关键 【句识麓理] 事的定义理解不透 是依暑平面儿何的如 一，购一斜本都不存在 侧，忽略积料角的治 识树断直线为上方刺 二，k一一1不存在 国及领料角与斜率的 且士抽至岗之同能减 [科学题推] 对应关系 的角 一，L.〔1×(2)×3)×《4)×(5) 2B两为地一}胃-，且1》AB,所话是= 【随常演练·达标】 而w一3，故选鼠 1D由多，得6w一号-an--， 3D设，与特韩率分利为，，则· 一1，旅远 4答案：一1 解析：由题意可知金的车=n45=1。 境直线的外车为妇，利=一1，所球=一1， 二，慢示：不E确.由两直线的斜率之积为一1，可以 得出两直线延直，反过来，两直线垂直，它们的斜*之积 不一定为一1.当，4中有一条直线的斜率不存在，另 一条直线的斜率为Q时，与，互相果直，组再直线的 率之积不存在 【关健能力·探究】 探究一两条直线平行 [典例精桥] [典例1门A由题意可加，与k巴是存在 若，时k1一，即无分性成立： 若购一购，则，可锦套命，印动性均不或主： 棕上所连，以成”是有一南”的充会不密要条排 故远A 〔典酬)C刀设线的解率为，直线行的斜 为 对于A=}二器=16=卡：4 4与名不平行 对于且点-1地-号1-点做表 与有重合： 0-3 又一品一续-1，期A,M不共 线.被. 对个D,由已知，成的桌标，得与4的与x物海直 且不重合，址有∥e, 故选CD [针对训练1】餐案：1DA2)平行 解折：)出超客为u一清受一么两以 一者并以直绳山与4重合城干行 又用为如-二-一者一是所以A,品， C,D回点不是我，所就直线与山平行 探究二两条直线重直 典侧精析] [我例2]答案：(1》A(2)廉直 解析：(1》设两是线的针平分刺为，+ 因为白，k是方柱+2022：-1一0的两根， 所以利用根与意数的美票待×■一1： 所以两直筑的数置关惠是垒直 蓝选入 (2)①当m=1时，直找k过.表A(1,1和以一1,1》， 克线过点C1十w,n十中1)和AD(w十1+n一1D, 此时直线的件奉为，一0，直线4的斜率不存 在，喝光4L4: ②当m“一1时，直线名过.高4（一1,1）和 B(一1，-1》，是找4位点C仪一1十n,w十1)和点.D(a十 1,十1)，龙时直气4的解率不乔在，直线4的斜率： ■0.因此41h @多w士时，直我红的时摩与一当已，走技 4的外单6一 此时与·与■-1,4L 就答案为：金直 [针对别练2]B由理莺知AB⊥C, w·加-1上即昌×等名--1，解得 探究三平行、需直的综合应用 [奥例精析] [典例】餐案：(D》斯形 解折：kw-1与-1m-义-1， RP不在直战MN上，MN/PQ 4-3 走线上，Q/NP,回边形MNPQ为平行四边形， 义w·g-一1.MNLq 二平什国雄形MNPQ为题形 放答蒙为：凭到 (2)解：题，A(1,3),B(5,1D,C3,7), 所以x一2，k=一主一一1， 重D的发标为江y,分以下三种价风： ①当C为对角直时，有=青a,e=是， 解析：向超意可得 所以如号-a子- 拜x=7y-5.期D7,5, 公当AC为对角线时，有n=m如=r 茅AB∥Q,期骨一子：解释m一 以=月-=号 2.2直线的方程 12.1直线的点斜式方程 得x=-1y=9,年D-1,9). 【必备知识·梳球】 ①当AH为对角线时，有o=hxk知一r [情境探究] 提示：橘足 挥x-3y=-3,年D(3.一). 〔知识德理] 群以D的坐特为7,5》成（一1，）减(3，一3)， 一，3-一】 [斩对渊蓝3]解：A,,C,D四成在火标平面内的 二，y=r十b 三，1)1=k,且4≠命2)kA=-1 [料李思维] 一，L.1》×(2)×(30×440/ 2.C由重线的斜裁式y=红+b物y=2x一1 岭醉率为一之戴感 南斜果会或可得 3.A 4.B 5.(-1.20 二提示：1，两个方程不等价，前者是整条直规后 标享- 者表示去掉点（工%）的一条直线. ka-面，南目可如AB与CD不重合， 2,不是一国事，如：直线在y输上的载师并不是起 ,∴，ABCD 离，面是直线与y转交点的织坐标，它是一个数值，可面 南o≠x,AD每BC本平行. 可负，可为零.当距为非鱼时，它等于交点到坠标原 又知·知-号×《-》--山， 点的距离，当蕉密为负数时，它等于交点到坐标氨点图 离的反数 AB LAD. 【关键能力·探究】 技口随形ABCD为直角稀形. 保究一直城的点斜式方国 【随堂演练·达标】 【鼻侧精析] 1.Ax-0是秦币海y轴重会的克线，y0是表 [典例1]解：》由点斜又方程可如，所承克线的方 示与工轴的重金直线，雨条克线复相合 框为y-5=4r-2),利r一y一3=0， (2)?直线岭顿解角为45， 1答案：号 北直我的斜率一un45一1， 解析：e一另-8w一公AB10D, 直线的杰斜或方程为y一3=工一2，群一y十 1=0 (3)?直战与士轴平行，相针角为0°，斜车=0 ,直我方经为y十1一0×(r十1D,即y-一1 4)?直线与工他◆直，斜率不存在，不款%点 种式表示这条直贱的方程，肉于克线所有成的横坐桥 是1，故这桑是找方程为x一L [针对调施1门解：(1)友平行臂边形A仪D中 Af-1,2),B(1,8),C3,-1》,刻AD-C-2,-4), 利AD风1.-动： 支线C④的耕华-二气-支》 1-3 期有y-(-10-红-1 所以直线CD的方数是y+1一号c-3 (2)依随意，克E(2,1),测直线DE的外车 安-3，因先进表AL与直线DE金复竹真我将中 探究二直成的斜酸式方程 [典例精新1 [典例2习解：门》由恩意样k=2.h=一1，南针式 得y-2x-L (2)”y=√3x十1的醉率为v3,∴其细卧角为60， 城所桌直残的顿料角为即， =m30=得 又b=-2. 5两水直我亦程为y一得，一2 (3》直线的桶针角为0， 美斜华k-n0'-5 ”直气号y转的文成到原无的至离为3， 直残在y精上的板矩6-3成6一一3 所求直战方程为y-√士十3汽y一士一3. [针对辑练]答案：(1)A《)y=一2x十6 解析：《1)由直线3一2x十1，令y=0,解得￥- 小直我在：私上的线死为一子 (2)南直线特方程可知它的鲜果为2，它在3 轴上的黄E为6，所远直线I的科单为一2，在y轴上 的或矩为6，由韩我式得直残（的方程为y一 -2xr+6.随堂演练·达标 1.若过点M(一1，m),N(1,0)的直线的倾斜角 为不，则实数m的值为( ) A.-2 B.-√2C.2 D.2 2.已知直线L经过点A(0,1)与B(1,1一√3)， 则直线！的一个方向向量、直线！的斜率与 倾斜角分别是() A.(1,-√3)，-√3,120°B.(1,√3)，√5,120° C.(1,-√3)，-√3,60°D.(1,W3),√5,60° 3.（多选)下列说法中，正确的有( A.若直线的倾斜角为α，则此直线的斜率为 tan a B.一条直线的倾斜角为一30° C.若直线的倾斜角为a,则sina≥0 2.1.2 两条直线 学业目标 ·定位 课标要求 1.理解两条直线平行的条件及两条直线垂直的条件 2.能根据直线的斜率判断两条直线平行或垂直 3.能应用两条直线平行或垂直解决相关问题，理解用 解决几何问题， 必备知识 ·梳理 ○情境探究 过山车是一项富有刺 激性的娱乐项目.实 际上，过山车的运动 包含了许多数学和物 理学原理.过山车的两条铁轨是相互平行的轨 道，它们靠着一根根巨大的柱形钢筋支撑着，为 。第二章 直线和圆的方程 答案见P271 D.任意直线都有倾斜角a,且当a≠90时，斜 率为tana 4.已知直线l经过点A(1,4),且斜率为2，则直 线1的一个方向向量为 5.经过下列两点的直线的斜率是否存在？如果 存在，求出其斜率，并确定直线的倾斜角α. (1)A(2,3),B(4,5): (2)C(-2,3),D(2,-1); (3)P(-3,1),Q(-3,10). 平行和垂直的判定 学习目标 通过本节课的学习，理解两条直线平行与垂直 的几何位置与代数运算相结合的条件与意义， 能应用两直线的斜率的关系判断两直线的位置 数法 关系，并能解决与两条直线位置关系相关联的 综合问题。 答案见P2721 了使设备安全，柱子之间还有一些小的钢筋连 接，这些钢筋有的互相平行，有的互相垂直。像 这样我们生活中还有很多平行和垂直，所以数 学来源于生活 那么，两条直线的平行与垂直用什么来刻画呢？ 59. 数学选择性必修第一册人教A版 国知识梳理 一、两条直线平行与斜率之间的关系 设两条不重合的直线(1,2的倾斜角分别为 a1,a2,斜率存在时分别为k1,k2.则对应关系 如下： 前提 条件 a1=a2≠90 a1=a2=90° 对应 l1∥l2台 l1∥l2台两直线 关系 图示 二、两条直线垂直与斜率之间的关系 4与2中的一条斜率 对 山1与l2的斜率都存 ,另一条斜率 蓁 在，分别为1，k2,则 为零，则与2的位置 1Ll2←→ 关系是l1⊥l2 示 关键能力·探究 探究一两条直线平行 鲁知识深化 判断两条不重合的直线是否平行的方法 看斜率 都不 存在 平行 都存在 相等？ 是 平行 否 不平行 ◆60 ©科学思维 一、思考判断 1.判断正误.（请在括号中打“/”或“×”） (1)平行的两条直线的斜率一定存在且相等， () (2)当直线41和2斜率都存在时，一定有 k1=k2→41∥l2.() (3)只有斜率之积为一1的两条直线才垂直. (4)若l4⊥L2,则k:·k2=一1.( (5)若两条不重合的直线斜率都不存在，则这 两直线平行.( 2.已知A(2,0),B(3,3),直线l∥AB,则直线l 的斜率k等于( A.-3 B.3 c.-3 D. 3.直线1，l2的斜率是方程x2一3x一1=0的两 根，则与2的位置关系是( A.平行 B.重合 C.相交但不垂直 D.垂直 4.若直线l1⊥l2,直线1的倾斜角为45°，则直 线12的斜率为 二、思维探究 两条直线4,2垂直，它们的斜率之积一定为一1， 这句话正确吗？ 答案见P2721 典例精析 【典例1】记平面直角坐标系内的直线4，l2与 x轴正半轴方向所成的角的正切值分别为 k1,2,则“1∥L2”是“k1=k2"的( A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.既不充分也不必要条件 D.充要条件 【典例2】（多选）满足下列条件的直线4与2 一定平行的有() A.l1经过点A(一1，-2)，B(2,1),l2经过 点M(3,4),N(-1,-1) B.41的斜率为1，l2经过点A(1,1),B(2,2) C.l经过点A(0,1),B(1,0),l2经过点 M(-1,3),N(2,0) D.1经过点A(-3,2),B(-3,10),l2经过 点M(5,-2),N(5,5) 名师点拨■ 1.判断两直线是否平行，应首先看两直线的斜 率是否存在，即先看两点的横坐标是否相 等，横坐标相等是特殊情况，应特殊判断.在 证明两直线平行时，要区分平行与重合，必 须强调不共线才能确定平行.因为斜率相等 也可以推出两条直线重合 2.应用两条直线平行求参数值时，应分直线斜 率存在与不存在两种情况讨论求解： [针对训练1](1)若过A(一2，m),B(m,4)两 点的直线与斜率为一2的直线平行，则m的值 是() A.-8 B.0 C.2 D.10 (2)若直线1经过点A(2,1),B(-3,5),直线 2经过点C(3,一3)，D(8,一7)，则直线4与2 的位置关系为 探究二 两条直线垂直 自知识深化 1.判断两直线是否垂直时，若斜率存在，求出斜 率，利用垂直的条件判断：若一条直线的斜率 不存在，再看另一条直线的斜率是否为0，若 为0，则垂直 2.若已知两直线垂直，求参数值时，当两直线的 斜率都存在时，由斜率之积等于一1求解：若 一条直线的斜率不存在，由另一条直线的斜 率为0求解.也可以利用两直线的方向向量 垂直的充要条件求解 。第二章 直线和圆的方程 @典例精析 【典例2】(1)两直线的斜率分别是方程x2十 2022x一1=0的两根，那么这两直线的位 置关系是() A.垂直B.斜交C.平行 D.重合 (2)直线4过点A(m,1)和点B(一1，m),直 线l2过点C(m十n,n+1)和点D(n十1，n m),则直线l与l2的位置关系是 名师点拔 判定两直线垂直的步骤 (1)一看：看每条直线所给两点的横坐标 是否相等，若相等，则直线的斜率不存在；若不 相等，则进行第二步 (2)二代：将点的坐标代入斜率公式. (3)求值：计算斜率的值，进行判断 [注意]若已知，点的坐标中含有参数，利用 两直线的垂直关系求参数值时，要注意讨论斜 率不存在的情况。 [针对训练2]已知两点A(2,0),B(3,4),直线1 过点B,且交y轴于点C(0,y),O是坐标原点， 且O,A,B,C四点共圆，那么y的值是( A.19 g号 C.5 D.4 探究三 平行、垂直的综合应用 自知识深化 利用平面几何图形各边所在直线的斜率可以确 定各边是否平行或垂直，从而判定平面几何图 形的形状.具体方法： (1)在平面直角坐标系内画出图形，根据所画图 形作出直观猜想. (2)求出各边所在直线的斜率，判断边的平行与 垂直关系 (3)确定平面几何图形的形状. 由于只根据边的平行与垂直进行判断，故只能 判定直角三角形、梯形、平行四边形、直角梯形、 61 数学引选择性必修第一册人教A版 矩形等特殊平面几何图形的形状， ⊙典例精析 【典例3】(1)已知四边形MNPQ的顶点M(1, 1),N(3,一1)，P(4,0),Q(2,2),则四边形 MNPQ的形状为 (2)已知A(1,3),B(5,1),C(3,7),A,B,C D四点构成的四边形是平行四边形，求点D 的坐标 随堂演练·达标 1.直线x=0与直线y=0的位置关系是( A.垂直 B.平行 C.重合 D.以上都不对 2.已知直线1的倾斜角为10°，直线l1∥1，直线 l2⊥l,则41与l2的倾斜角分别为() A.10°，10 B.80°，80 e62 名师点拔 利用两条直线平行或垂直判定图形形状 的步骤 描点一一在坐标系中描出给定的点 猜测→根据描出的点，猜测图形的形状 求斜率 若斜率不存在，直接说明；若存在 根据给定点的坐标求直线的斜率 结论一一由斜率之间的关系判断形状 [针对训练3]已知A(一4,3)，B(2,5),C(6, 3),D(一3,0)四点，若顺次连接A,B,C,D四 点，试判定四边形ABCD的形状， 答案见P2731 C.10°，100 D.100°，10 3.已知A(0,-1),B(-2a,0),C(1,1),D(2, 4),若直线AB与直线CD垂直，则a的值为 4.已知A(m,1),B(-1,m),P(1,2),Q(-5, 0),若AB∥PQ,则m=