2.1.1 倾斜角与斜率-【志鸿优化训练】2026-2027学年高中数学选择性必修第一册(人教A版)

第二章 直线和圆的方程 2.1直线的倾斜角与斜率 2.1.1倾斜角与斜率 学业目标 ·定位 课标要求 学习目标 1.理解直线的倾斜角与斜率的概念。 通过本节课的学习，理解直线的倾斜角与斜率 2.掌握直线的倾斜角的范围与斜率存在的意义， 的概念，了解直线的方向向量与直线的斜率的 3.了解直线的方向向量与直线、直线的斜率的关系. 关系，会求直线的斜率与倾斜角，掌握确定直线 4.会用两点坐标求直线的斜率. 的条件及直线倾斜角与斜率的取值范围。 5.在平面直角坐标系中探索确定直线位置的几何要素 必备知识 梳理 答案见P270 ○情境探究 国知识梳理 交通工程上一般用 B 一、直线的倾斜角 “坡度”来描述一段道 上 当直线1与x轴相交时，取x轴作为基准， 路对于水平方向的倾 轴正向与直线！向 的方向 斜程度.如图，一辆汽 水平距离 D 定义 之间所成的角α叫做直线l的倾斜角 车沿某条道路从点A前进到点B,在水平方向 当直线1与x轴平行或重合时，规定直 前进的距离为AD,竖直方向上升的高度为DB 规定 线1的倾斜角为 (如果是下降，那么DB的值为负实数)，则坡 记法 度未释毫鬓-器>0表示上拔6<0表 示下坡，为了实际应用与安全，在道路铺设时常 图示 要规划坡度的大小.那么“坡度”是如何来刻画 道路的倾斜程度的呢？ 范围 0°≤a<180 (1)表示平面直角坐标系内一条直线的 (2)确定平面直角坐标系中一条直线位置的几 作用 何要素：直线上的一个定点以及它的 二者缺一不可 55. 数学选择性必修第一册人教A版 二、直线的斜率 1.直线l的倾斜角a与直线l上的两点P,(x, a y”),P2(x2,2)(x≠x2)的坐标有如下关系： tan a- 2.我们把一条直线的倾斜角α的 叫做 这条直线的斜率.常用小写字母k表示，即 k= 3.倾斜角和斜率分别从形和数两个角度刻画了 直线相对于x轴的倾斜程度，它们的对应关 系如下： 3 ④ A.① B.①② 图示 C.①③ D.②④ 3.在平面直角坐标系中，一条直线的斜率为√3， 倾斜角 0°< 90°< 则此直线的倾斜角为( ) a=0 (范围) a<90° a<180° A.30° B.60 C.120 D.150 斜率 4.若点A(4,3),B(5,a),C(6,5)三点共线，则a k>0 不存在 (范围) 的值为 二、思维探究 4.若直线1的斜率为k,它的一个方向向量的坐 1.确定一条直线的几何要素是什么？ 标为(x,y),则k 留科学思维 一、思考判断 1.判断正误（请在括号中打“/”或“×”） (1)若直线的斜率存在，则必有倾斜角与之对 2.如果一条直线只给出一点，要确定这条直线 应.() 还应增加什么条件？ (2)若直线的倾斜角存在，则必有斜率与之对 应.( (3)若两直线的倾斜角相等，则它们的斜率也 一定相等.() (4)直线的倾斜角a的集合{a0°<a<180} 3.用什么量来表示直线的方向？ 与直线集合建立了一一对应关系.() (5)坐标平面上所有的直线都有倾斜角，但并 非所有直线都有斜率.() 2.图中α能表示直线l的倾斜角的是() .56 0第二章 直线和圆的方程 关键能力·探究 答案见P270 探究一 求直线的倾斜角或其取值范围 与l2的交点为A,且1与l2向上的方向之间所 成的角为75°，则直线2的倾斜角为 知识深化 探究二根据斜率公式求斜率或其范围 直线倾斜角的概念和范围： (1)直线的倾斜角主要根据定义来求，其关键是 自知识深化 根据题意画出图形，找准倾斜角，有时要根据情 斜率的两种求法 况分类讨论； (1)定义法：若已知直线的倾斜角a或α的某种 (2)注意倾斜角的范围. 三角函数值，一般根据k=tana求斜率. @典例精析 (2)公式法：若已知直线上两点A(1,y), 【典例1】（多选）下列命题中，正确的有( B(x2),一般根据斜率公式k=业二出（≠ x2-x1 A.任意一条直线都有唯一的倾斜角 x2)求斜率. B.一条直线的倾斜角可以为一30° C.倾斜角为0的直线有无数条 @典例精析 D.若直线的倾斜角为a,则sina∈(0，l) 【典例2】(1)过两点A(m,m2-3),B(-1,2m) 名师点拔】 的直线l的倾斜角为45°，则m的值为 求直线的倾斜角的关键及两，点注意 A4或-1 (1)关键：依据平面几何的知识判断直线 B.-1 向上方向与x轴正方向所成的角 C.2 (2)两点注意：①当直线与x轴平行或重 D.4 合时，倾斜角为0°：当直线与x轴垂直时，倾斜 角为90°.②注意直线倾斜角的取值范围是 (2)已知直线1的倾斜角a1=30°，直线l1⊥ 0°≤a≤180° l2,则l2的斜率为 【典例3】已知点A(一2，一3)，B(一3，一2)，直 [针对训练1](1)设直线1过原点，其倾斜角为 线L过点P(1,1)且与线段AB相交，则直 α，将直线1绕坐标原点按逆时针方向旋转45 线1的斜率k的取值范围是() 得到直线(，则直线1的倾斜角为( A.a+45 A≤或k>等 B.a-135° C.135°-a B长-等或长-是 D.当0°≤a<135时，倾斜角为a十45°，当135°≤ C子<≤ a<180时，倾斜角为a一135 (2)设直线1过原点，其倾斜角α=15°，直线l1 D-专<<- 57. 数学选择性必修第一册人教A版 名师点拨 典例精析 数形结合法求斜率的取值范围 【典例4】已知某直线1的倾斜角a=45°，又 已知一条线段AB的端点及线段外一点 P1(2,y),P2(x2,5),P3(3,1)是此直线上 P,求过点P的直线1与线段AB在有交点的 的三点，求x2,的值. 情况下斜率的取值范围.若直线PA,PB的斜 率均存在，则步骤为：①连接PA,PB;②由k 业二出求出kA,k;③结合图形即可得出满 x2一x1 足条件的直线（的斜率的取值范围， [针对训练2](1)若经过点A(1一a,1十a)和点 名师点拔 B(3,a)的直线的倾斜角为钝角，则实数a的值 斜率是反映直线相对于x轴正方向的倾 可能为( 斜程度的，直线上任意两，点所确定的方向不 A.0 变，即在同一直线上任意不同的两点所确定的 B.-2 斜率相等，这正是利用斜率证明三点共线的 C.-4 依据 D.-6 (2)已知A(一1,2)，B(4,7),若过点C(2,0)的 [针对训练3]已知A(1,-3),B(8,2),C(9, 直线与线段AB相交，则该直线斜率的取值范 λ)，且A,B,C三点共线，则入等于() 围是( ) A.-1 B.0 A[-号，引 C.1 D.2 对直线的斜率和倾斜角的关系 B(-o,-]u[3,+∞) 微探究 理解不透彻致错 c(,别 【典例5】（多选）下列关于直线的斜率和倾斜角 的叙述正确的有() D.(-∞，-号U(3,+∞） A.平面直角坐标系中的任意一条直线都有 探究三斜率的应用 倾斜角 B.平面直角坐标系中的任意一条直线都有 知识深化 斜率 倾斜角α与斜率k的关系 C.若一条直线的斜率为tana,则该直线的 倾斜角为a 当a∈[0，)时，k∈[0，+∞)：当a=变时，斜 D.若一条直线的倾斜角为a(a≠90)，则该 率k不存在；当a∈（受，x时，k∈(-o∞，0）. 直线的斜率为tana 58 0第二章 直线和圆的方程 随堂演练·达标 答案见P271 1.若过点M(一1，m),N(1,0)的直线的倾斜角 D.任意直线都有倾斜角α，且当a≠90时，斜 为，则实数m的值为() 率为tana 4.已知直线l经过点A(1,4),且斜率为2，则直 A.-2 B.-√2C.√2 D.2 线1的一个方向向量为 2.已知直线L经过点A(0,1)与B(1,1一√3)， 5.经过下列两点的直线的斜率是否存在？如果 则直线！的一个方向向量、直线！的斜率与 存在，求出其斜率，并确定直线的倾斜角α. 倾斜角分别是() (1)A(2,3),B(4,5): A.(1,-3),一√3,120°B.(1,√3)，w3,120 (2)C(-2,3),D(2,-1); C.(1,-√3)，-√3,60°D.(1,W3),√3,60 (3)P(-3,1),Q(-3,10). 3.(多选)下列说法中，正确的有( A.若直线的倾斜角为α，则此直线的斜率为 tan a B.一条直线的倾斜角为一30° C.若直线的倾斜角为a,则sina>0 2.1.2 两条直线平行和垂直的判定 学业目标 定位 课标要求 学习目标 通过本节课的学习，理解两条直线平行与垂直 1.理解两条直线平行的条件及两条直线垂直的条件 的几何位置与代数运算相结合的条件与意义， 2能根据直线的斜率判断两条直线平行或垂直. 能应用两直线的斜率的关系判断两直线的位置 3.能应用两条直线平行或垂直解决相关问题，理解用代数法 关系，并能解决与两条直线位置关系相关联的 解决几何问题 综合问题。 必备知识·梳理 答案见P2721 ○情境探究 了使设备安全，柱子之间还有一些小的钢筋连 过山车是一项富有刺 接，这些钢筋有的互相平行，有的互相垂直。像 激性的娱乐项目.实 这样我们生活中还有很多平行和垂直，所以数 际上，过山车的运动 学来源于生活。 包含了许多数学和物 那么，两条直线的平行与垂直用什么来刻画呢？ 理学原理.过山车的两条铁轨是相互平行的轨 道，它们靠着一根根巨大的柱形钢筋支撑着，为 59.[鲜5]解：如圈，以A为原表 以AB,AD,AP分别为x柏，y轴 轴建立空司直角垒称系，则B(1,0 00,D(0.2.o1,P(0.0.3.C(2.2- 0),Mw1.1,1, (1)江明：9-(0,1,1).平面PAD的一个操向 量为=(1,0,0)， -E丽·m-0,即E⊥，天BM吐平面PAD, M成平奔PA (2)B0=(-1,2,01,Pi-(1,0,-2>,餐径年面 PAD内存森一本N,使NL平面PD设N(0,y: 》,附M=(-1,y-1,±一1，从而MN⊥BD, MN⊥PB No安》 = 在平面PAD内春在一点N(0,号》，失 MNL平所PBD [例6]解：1)取的中点Q,连接FPQ,副PQ AB,PQ⊥AD 四为△5AD是等边三角形，P为棱AD的中A,所 SP LAD, 因为平面SAD⊥平面AECD,平面SAD门平面 ACD-AD,SPC平香SAD. 斯以SPL平雷A议D, 又PQC平面BCD,所xSP⊥PQ, 时vWaa-青5P·D·AB-得w-2所 以AD一2，期SP-气 如周，以成P为原表建立空间直角实标原， 则B1.1..C-1.0),E(5o.)F(2 帝=2.0.脉-o是0，E-(侵0》 ,PM+M=P形，∴PW⊥MB 由AE门MB-M,AE,MBC平面ACE,T得 设平面PEF的☆向量题=(x,y,),直线BC车平 PM⊥平奇ABCE. 面P阳F所成特角为8，氏[0号] 又BC平香ABCE,PM⊥B 又AE⊥E.由PMOAE-M.MAEC年面PAE. n-是y-0, BE⊥平面PAE,又PA平所PAE 有 =61,0-1》 …t-+-o, PA⊥HB (2)如图乙，以B为愿点，BN,HA,过点BL与网 片以a=a,=号得-号 迪到ACE看直的直线分别为工仙y物，：轴建玉空 何直角全解系， 所以是找BC每干南PEF所战的霜的大小为餐 (2》氧设存发，镜5E=15M.AE[0,1门。 B1.1.00,Q0,1.0).4(1,0.00.3(0,0w5). 由1)得Q⊥AD,SP⊥2 为SP∩AD=P,所以PQL平面SAD. 则P1.32).C8.0.07,E2,2-00.N(4,0.00. 时FP酒-(0.1,0，脚海平面AD的一个法向量 3-《0,2,0.正-1.-1.-2)，P=(3: PB=1,1,0033=(1,0.-).P5=(003 -3.-2 5E-13A-a.0,V 假设尚收PN上存在璃见条件的成Q酬 射Pt-P5+SE-a,0-) 设0APN=(.-u.一)aE[0.1. 量w■(a,bb为平面PEB的法南量 m防-a+-, ,交-咬--《-1，-就+1，一+ m,Pt=a十(w3-√)c=0 设平而P的法向量为用：一（知功， 可取m(一5,5-√3A0. n 利.mV7 -饭 ◆面-1，可得m=(2,0,1) 解样人=子或-1（会去 设平面议Q的清肉量岁m:一+n和 所以存在点E,点E在常近，点S的三等会直地，使 得千面PEB与个角3b的大角的余弦值均 4月-0， [翠球语练]解：1)红明，如国甲，取AE的中走 动-1m+(-3+1w+木②-4+1-0 AM,连接PM,BM ◆一巨，可得m-5.0经》 山平而PEC与平面BQ所或角特余然值为， + N凝塘AP-PE且AP⊥PE,可得PM上AE,L x+( PM-5-2. 舟2a++1a+雪”方成一深干丙 南徐孩凳理可得MF-Af十AF一MA· ABs-2+i6-22x×号-10， 两边同时平才，经整星纪可待纵一1以十+3■0， 解得A=点子故筑我PN上存在点Q.使得干西 PEC与千面EQ所成角的参独使为号 第二章直线和国的方程 2,1直线的倾斜角与斜率 21,1料角与斜率 【必备知识·整理】 [情境探究 摄示：旋业-梁染疆实际悦是烧角销E树值利 用技度的大小来刻属道路的领斜程度 [知积核瑾] 一，正上0°(1模斜程度(2镜斜角 二1.二y 121 2正切值1na 3x一0”-00 4子 [科华思壤】 一.1.(1)/(2×30×(4)X50/ 2C3.B 44 二提示：L,①已知两庭可以确定一第直线， ②已知一点和一个方向可以端定一条直线 玉始出另一个点或一个方向 3框对于x轴的慎斜程交 【关键能力·探究】 探究一求直线的隔斜角或其取值范图 [典创精桥] [典例1门答案：AC 解析：任意一最直规都有电一的桶斜角，酰A正 聘：幅针角不军能为负，乾日情灵：相新角为0“的直气 有无数泰，它们都垂直于y枯，故C正确：年a一时， ina-04者a一90时，ina-】.城D得误 [针对调塔1]答案：(1)D(2190 解析：1)桃郝斯塘，香出图形，如图所心 两为0e<18知，蓝格A,弘，C表分是付论，均不 全面，不合是念.场过属围（知圆简）可知： 当05金<135时，山的顿斜年为a十5， 壶135写▣<18时，岭板斜角为45十x一 180-a-15 (2)授直线h的领斜角为a,为图军如，a一15十 7行°-0，，直战4的懒角为0. 探究二规提斜率公式求斜率或其范里 [典例精析] [典例幻答案：(1D(2)一√ 解析：(1》当四=一1时，直线的领角为90，明星 不背台题意： 当那一1时，国为过滑点A(w,-3).B一1， 2m的直直/的候时角为好。 新以知-二行如一n行”一，化商垫理可 w十 得，m一3w一4=0，解得m=4气知=一1（参去），枚 解=4.故选卫 (2)因为直线4竹桶斜鼻=0“，直战⊥4，所 以的桶韩角为12如 斯以名约鲜车为n10=一③ [奥酬3]男为m-》-于n = 由圈可知，直线与瓶民AB相变时，直随I的鲜率 去的取值范周是寻专酰达C [针对润练2]1)A(2)B 解斯：(1》南于性址点A(1一a,】十a)和点B(3,a) 岭直残的板料角为能角， 当a一一2时，直残的领科局为直角，不样合题多1 者时-2时bng号-。<0，放2>0 解得>一2 银据选项，凡有感明八符合理念.故达A 得网=公 (2)需为A(一1,2)，B(4,7,C(2,0},阶从x= 2,A南巴知可存风语=(1.1-3)-0,11=(1： 一√)是直线的一个方向向量，所以直线的新奉青 线与减级AB相变，除以流直烧斜率的取值花周是 二上_=一，直线的候斜角9满足n9=一.0广 仁©，一号]U[子+小花选鼠 180f,射-120 家究三斜需的应用 3.CD时于A,直袋岭频料角为a,备金一0时，料 [典例精析】 单不存在，放A错最：时于B,直规的领角的取便地 [典例们解：e-5, 国为[0,8)，酰B悟误：时于C,克找岭顿斜角岭取值 ”直线（的卧率==5-1 地周为0，]8门，则有n动.就C正确：对于D.任意 月，P,P都在直气I上： 魔线年有领斜角a,且备a≠0时，种率为tana,城D 小== 正确.板透D --1将得-1n- 4答案：口，2)（答案不呢一》 解析：不封令直线（的一个方有句量为(y),制 [针对训练3】C根都越意，巴知A(1,一8)， 一兰，所以写红取一l,则)一2，此时直城的一个方 3,),C81是A,B,C三在务线，剩kke 向南量为1,2)（答餐不里一. 岩号 5.解：(1存在 直线AB片林本表一二是-1，中国一1 微探突对直线的斜率和领料角的关慕理解不透 领政蜡 又0<18和，所8领斜角a45 [典创精析) (2)府在， [纯例5D平面直角火标系中的任意一条直直 直线D的料本m=2多=-1.牌ma= 年有朝斜角，故A三州： -1 幅研角是0的直线浸有外率，盆B情试 又0x<]80,晚以领释角a-185 若一条直线的斜率为1m225,腾为an225=1, 13)不存在 卑料单为1，对储直线的铺酰角为5，故C每误： 周为一阳-一8，所以直掩Q的鳞率不存在， 若一条直我的幅料角为（如不子千0，利信直我 领种角a一90. 的斜单为1通a,放D玉境 2【,1两条直线平行和重直的判定 故选AD 【必备知识·植理】 易错原因 树结心得 【情境探究] 提示：用斜率刻西 对直线的领部角和额 这直线的复料角，关键 【句识麓理] 事的定义理解不透 是依暑平面儿何的如 一，购一斜本都不存在 侧，忽略积料角的治 识树断直线为上方刺 二，k一一1不存在 国及领料角与斜率的 且士抽至岗之同能减 [科学题推] 对应关系 的角 一，L.〔1×(2)×3)×《4)×(5) 2B两为地一}胃-，且1》AB,所话是= 【随常演练·达标】 而w一3，故选鼠 1D由多，得6w一号-an--， 3D设，与特韩率分利为，，则· 一1，旅远 4答案：一1 解析：由题意可知金的车=n45=1。 境直线的外车为妇，利=一1，所球=一1， 二，慢示：不E确.由两直线的斜率之积为一1，可以 得出两直线延直，反过来，两直线垂直，它们的斜*之积 不一定为一1.当，4中有一条直线的斜率不存在，另 一条直线的斜率为Q时，与，互相果直，组再直线的 率之积不存在 【关健能力·探究】 探究一两条直线平行 [典例精桥] [典例1门A由题意可加，与k巴是存在 若，时k1一，即无分性成立： 若购一购，则，可锦套命，印动性均不或主： 棕上所连，以成”是有一南”的充会不密要条排 故远A 〔典酬)C刀设线的解率为，直线行的斜 为 对于A=}二器=16=卡：4 4与名不平行 对于且点-1地-号1-点做表 与有重合： 0-3 又一品一续-1，期A,M不共 线.被. 对个D,由已知，成的桌标，得与4的与x物海直 且不重合，址有∥e, 故选CD [针对训练1】餐案：1DA2)平行 解折：)出超客为u一清受一么两以 一者并以直绳山与4重合城干行 又用为如-二-一者一是所以A,品， C,D回点不是我，所就直线与山平行