习题课 空间向量在立体几何中的应用-【志鸿优化训练】2026-2027学年高中数学选择性必修第一册(人教A版)

4.在长方体ABCD-A1BC1D1中，已知DA= DC=4,DD1=3,则异面直线A1B与B1C所 成角的余弦值为 5.如图，已知点P在正方体，ABCD-A'BC'D 的体对角线BD'上，满足BP=2PD' (1)求DP与CC'所成角的余弦值； 习题课 空间向量 关键能力·探究 探究一 用空间向量证明平行与垂直 自知识深化 用空间向量证明平行与垂直 用空间向量判断空间中位置关系的类型有： 线线平行、线线垂直、线面平行、线面垂直、面面 平行、面面垂直；判断证明的基本思想是转化为 线线关系或者利用平面的法向量，利用向量的 共线和垂直进行证明. ©典例精析 【典例1】在四棱锥P-ABCD中，AB⊥AD,CDI AD,PA⊥底面ABCD,PA=AD=CD= 2AB=2,M为P℃的中点， (1)求证：BM∥平面PAD: (2)平面PAD内是否存在一点N,使MN⊥ 平面PBD?若存在，确定N的位置：若不 存在，说明理由 。第一章空间向量与立体几何 (2)求DP与平面AA'D'D所成角的正弦 值。 在立体几何中的应用 答案见P2621 名师点拨 利用空间向量证明或求解立体几何问题 时，首先要选择基底或建立空间直角坐标系转 化为其坐标运算，再借助于向量的有关性质求 解（证明） [针对训练1]如图所示，在正方体ABCD A:BCD1中，E是棱DD1的中点.在棱CD 上是否存在一点F,使BF∥平面ABE?并 证明你的结论。 探究二利用空间向量求距离 目知识深化 用空间向量证明平行与垂直 (1)求点到平面的距离，常常利用向量法，转化 为求平面外一点与平面内一点构成的向量在平 面的法向量方向上的投影向量的长度， 47 数学选择性必修第一册人教A版 (2)求直线到平面的距离，往往转化为点到平面 的距离求解，且这个点要适当选取，以易于求解 为准则 @典例精析 【典例2】三棱锥PABC中，PA=4,AB= 2V3,BC=2,PA⊥平面ABC,AB⊥BC,D 为AC中点，点E在棱PC上（端点除外）. 过直线DE的平面a与平面PAB垂直，平 面α与此三棱锥的面相交，交线围成一个 四边形 (1)在图中画出这个四边形，并写出作法 (不要求证明)： (2)若PE=3EC,求点C到平面a的距离. 名师点拨 向量法求距离的一般步骤 (1)求出该平面的一个法向量： (2)找出从该点出发的平面的任一条斜线 段对应的向量； (3)求出法向量与斜线段对应向量的数量 积的绝对值，再除以法向量的模，即可求出，点 到平面的距离， [针对训练2]在棱长为1的正方体ABCD AB'CD'中，E为线段AB的中点，则点E到 直线AC'的距离为( c D.4 .。48 探究三利用空间向量求空间角 自知识深化 用向量法求空间角应注意的问题 (1)异面直线所成的角：两异面直线所成角的范 围为0°<≤90°，需找到两异面直线的方向向 量，借助方向向量所成的角求解， (2)直线与平面所成的角：要求直线a与平面α 所成的角0，先求这个平面a的法向量n与直线 a的方向向量a夹角的余弦值cos(n,a),易知 0=(n,a）-或者-(n,a. (3)平面a与平面B相交，形成四个二面角，把 这四个二面角中不大于90°的二面角称为平面 a与平面B的夹角， @典例精析 【典例3】在《九章算术》中，将 底面为直角三角形，且侧 B 棱垂直于底面的三棱柱称 为堑堵。如图，在堑堵 B ABC-BA1B1C中，AB⊥AC,AA=AB= AC=1,M,N分别是CC1,BC的中点，点P 在线段A1B上. (1)若P为A1B1的中点，求证：PN∥平面 AA CC. (2)是否存在点P,使得平面PMN与平面 ABC所成的二面角为45°？若存在，试确定 点P的位置；若不存在，请说明理由. 名师点拔 1.在建立空间直角坐标系的过程中，一定要依 据题目所给几何图形的特征，建立合理的空 间直角坐标系，这样才会容易求得需要的 坐标 2.直线和平面所成的角、两个平面的夹角类问 题有两种思路：转化为两条直线所成的角、 利用平面的法向量 [针对训练3]在四棱锥P-ABCD中，AB AD,AB//DC.AD=DC=7AB=2,PC= 2√2，E,F分别为直线DC,DP上的动点. 随堂演练 ·达标 1.如图所示，在正方体 ABCD-A1BCD1中， 棱长为a,M,N分别为 A1B和AC上的点， AM=AN=学，则 MN与平面BB1CC的位置关系是( A.相交 B.平行 C.垂直 D.MN在平面BB1CC内 2.如图，PA⊥平面AB CD,底面ABCD是正 方形，E,F分别为PD, PB的中点，点G在线 段AP上，AC与BD交 于点O,PA=AB=2,若OG∥平面EFC,则 AG=() A司 R是 c号 D.1 3.如图，在直三棱柱ABCA1BC1中，AB= 2AC=4,AA1=2√3，AB⊥AC,AD⊥BC1, 。第一章空间向量与立体几何 (1)若异面直线AD与PC所成的角为45°，判 断PB与AD是否具有垂直关系并说明理由； (2)若PB=PA=2√2，EF∥PC,求直线AC与 平面BEF所成角的最大值. 答案见P264 垂足为D,E为线段A1B上的一点 (1)若E为线段A1B的中点，证明：DE∥平 面ABC: (2若平面ADEL平面ABC,求昌的值 4.如图，在三棱柱ABG-A BC中，侧面 BBCC是边长为2的菱形，其对角线的交 点为O,且AB=AC1,AB⊥BC (1)求证：AO⊥平面BB1CC: (2)设∠B1BC=60°，若直线A:B1与平面 BBC1C所成的角为45°，求平面A1B,C与 平面BCB所成角的正弦值. 49。设年面FPC,平善DC的读向量章用为1■， 为，=〔为)国有 2aw=0, 一4=0， 取=(1,0,1)，南=(0,1.2，副m*(1,me》日 0- 藏◆者B心与个自DPC夹角的念法崔为 易结夏因 量心得 本题局棉的施方是 认为平西BPC与 成二面角日的大本时，通 平面DPC的共角 过求二面角再个年平因 长是二角HPC 的法向量的夹角起同 D,再到蜡想：求得 题特化为高量的短算，面 r四《m:南》= 注意两注则量的夹角与 二置角相等成互粉，在铜 观察图形知二面角 圆中，可板据法向量的方 BP℃D系荒角， 的来过行列质，以便准网 得平面BPC中平 求出二面角的大小，一复 示 面DPC夫角的条 地，如果二面角为镜角 awg=m年■ 位为一平 治计女果二百角为他 事实上，二丽角的 氧值荒国是[0， 考，aw日一1a%F■ ],置著角的限值 招，r为二角 国是[0，受]不 两个举平要的法刻量)： 要将两者涩清了， 【防堂演练·达标】 L,A镜1与。所成的角为6里9E[0,0门，别 sin9-cowm,n-子.0-30 2.B双D为是标原走，DM,DC,DP所在直战会 到为士他，y物，：仙健土女据所市的空同真角堂粹系， 5,解：知图建立空月重角免 标泰， 设棱老为1，到 B(1,1,0),C0,1.0),D0.0 0,C《0,1,11.(0,0,10,别 别A(4,0,0),C(0,4.0},B(4.4,0.Q(0,3,1D BD--1,-1,1D,i-(1,1,0),-〔0,0,1D.元 0-(-44,0m,-(-4,-1,0 =(o,1,0),HP-2P m(花，d- C.0 12 &-号即-是-1，-11)-(-号.- LACTHOI 克：开香直战A汇与阳所成的角的大小为 引 1)=丽+动=(1,1,0)+ 3日由理意可知，以C为坐排原表，CA所在直战 为x赖，CB所在直属为y种，CC研在直线为：精，建 （-导-是)-（停》 息皇间直角坐然感如围稀示 後DP与CC'所成角为g,则es日 D'.* DP与CC所成角的余然佳为 tAC==H=2,剩A1(2,0,2,C(0,0,0》 D1,1.0).民{0,2,2.=(2,0.20.D=1,1,04 2南a蜘-（传专景） =0.2,2). DCL平面A4'D'D,去心一《0,1，O)为平面 没平面CDB的法向量为n-(x+y), AMDD的一个法白重，最DP与平面LM'DD两点的 到有”团-+= 失角为a: 1a,cR2y+24=0, 。-w成，-离 令y=1,则2=一1：=-1，别a=《-1,1一10 一wi-后-停 2、6 所以店，C与伞自CDB,所减角的三位值是雪 ∴DP与平面DD所成角的三然佳为管 答有：晏 习题课空问向量在立体几何中的应用 解析：如图，建立堂间直角坐林系，山己和得A(4 【关键能力·探究】 0,0》,B(4,4,3D,B《4,4,00,C0,4,3).,AB-(0,4 探究一用空间向量证用平行与意直 3),C-(-4,0,31 [鼻例精析] [频例1门(1)证明：以A为原成，以AB.AD,AP所 在直武分利为x精y情：幅建立堂可直角业标原 K1,0.0》,DX0.2,00,P(0,0.2),C(2,2.0),M 1,1.1 丽=(0.1,1，年击PAD的一个法有量为e (1,0.07. :M·n-0,中国M⊥m 又ME平香PAD,,BM∥平面PAD. (2解：南(11如0-(-120)，形-(10，-2. 做径平面PAD内寿在一点N,使MN⊥平 PBD. 最N0,y,e).则N-(-1,y-1.-1D. B-o. 从而MrNLBD.MNPB.·Pi= +2y一D=0, -1-2一10=0 - N6含》 在平面PAD内香在一是N(@.资合，使 MN⊥平面PBD [针对调练1】解：在技CD上 存在点FCD的中点).使B下∥子 面ABE,逆明如下： 使里意，走是如围册示岭堂可直 角堂标票，设区方体ABCDA B CD岭棱长为1， 期A0.0,,Ba0..B1,0D,Eo12 -(-1,0,》,d-(-1,,） 没：=，)是平面ABE的一个法向量 一1+x=0, 所以=y=号k=2件0=(2,12 灵椎GD上存在冻F,,0幻)满混条件。 义网为B(1,0.1D.所灶品F-(t-1.1,0), 而品F过平面ABE, 于是民F∥个面ABE,中属F,w=0,了得（一1， 10·2.1,2)-0,解得t=名减F为CD的中我 中在校CD上存在赢F为CD的中点，线房F 平面AE 探究二利用空闻向量球艇商 【典例精析] [典例2幻解：(1)取AB的中在M, 连楼DM,件EF∥C受PB于A下， 连接MF,时W边形DMFE中为阶求， 如图所意 (2)以点A为皇标原点，建主空同直鼻皇标系，如 酒阶承 图为AB LBC,AB-25,C-2 骑以AC=4∠B4C=30,AM=壹AH=8, 所aM号，2d小.D0.2o).C040m 因为PA=4,AC=《,PE=EC, 所tE0.3,1》,状E-《0,一1,10 m-9-o小.D2=01.n. 成平面D正的一个法肉量为m=《, Im.DE-0, y十x=0 伞x=1,时下=5=一3， 所以期=(1W5,. 所纸AC到开面e的乐离止n,由__2区 [针对润练】B女图，以A 为原是，舟利x店，心竹为 向为工陆、y融、？轴的正方向建立 空间直角坐标泰A)江 由巴知各件得E(侵0，o小，￥ A0,0.00.C1.1,所以-20,0-1,1D 所以在E到重找AC的是离为d一 -- 探克三利用空同向量米空间角 [典例精析】 由夏意年a,-/月干1千)+2一2 12- [先例3](1座期：泉A,C的 中先H,蔬接PH,HC 在整传ACA:BG中，m站 就在线授A岳上不车在AP,使得平面PN与 平面AC所减的二面角为5号 彩℃岳为平行W这卷， 所x岳CNBC直BCG=EC 〔针对到练3)解：(0)取AB 的中G逃接G.。 在△A出C中，P,H分别为A,B,4G的中点 因为AB∥DC,AD=DC= 脊PH&B.C,直PH-B,C. 是AB=2,片8AG-C 司为N为BC5中是，所以NC-号BC AG/DC. 从而C=PH夏NC∥PH 所赋图边形ACD为平行调边形， 所以四连形PHCN为平行四进形： 所以G∥AD,所以∠POG式友其补角)为暴面走 于是PN/CH, 线AD年C所成的角， 型为CHC平面AMCC,PWE平香AACC ①壶∠PG-5时，在△G中，PC=22, 所2PN平面AACC (G=2, (2解：以A为全标愿点：AH,AC,AM阶在直我 由会孩比理可知G-√g+2,-2X2X2,2×号 分剂为x待，y轴，物建主如图所示的空间直角业 =2. 所以+G=PC,所以CGLPG,所以 AD⊥PG 又ADLAB.A8nPG-G,AB,PG平面PAB, 所以AD⊥平面PAH,义PHC平面PAH,所以 AD⊥PB ②备∠PCG=135',程设AD⊥PB,利①有AD1 平面PAH, 期A(0,0,1,a,o,1,N}o, 因为GC平面PAB,所以ADLG,GLG, M(o.1.)- 这年∠PQG=135相矛源，故此时AD与PB不 直. 局为平面AC的一个法句量冷m=(0,0.11. 除上所述，备∠PG-5时，AD LPB者∠G 氧流溪风条件的无严存在。 15时，AD与PB不合直 ◆AP-1A成-a,0,000A1), ()出PB=PA=22,点G是AB中成，可得 时P10,1》, G⊥AB, N丽-(-是含是)-时-（侵-号-1 A而由GB-是AB-2可得PG-2 设平面PMN的法向量是n一（红，3，z》 又GC-AD-2,PC-22, w+·N丽-0， 所tGC+G严-s=PC,平PGLGC. -."(经-小+o 四岁AD1AH,南(1)有GC0AD 所以G洁⊥C, 令x一3，得y-1+2么，-8一2以， 所以G出，（汇GP两两E相叠直 背以n-(3,1+2么，2-立2. 效可议G力量标原克，B,(C,GP分利为x轴， 轴：艳连意空河直角卖板原 枚A(-2,0,0),B(2.0,00,C0,2,0》,P(0,0.2D A心-2,2.00. 国为EF∥P心，及个南BEF的满肉量为a一(y, 习，则右·3-0 1m,t=0. 量E4,2,0),则日E=t-2,2,0,夏F=(02, (1-2x+2y=0. -2).所以有 2y-2:-0 令x一2，刻y=:=2一t,故平面BEF的一个法向 量为B=(2,21,2一0 设直线AC每平面BEF所藏的角为，则对8 wRm- 8-2a 4- 2恒·√27-M+区 -2P-+6 2V++ 者s-0时，si加0=0 当中0时，向= }+4》+ (当复在当=一3，=【时取“=)，义G90, 阶以060， 嫁上斯适，直汽C与中香世于所成扇的最大接为可 【随登演练·达标】 1日以走G为坐标原先， 分到从CG出，CD,CC斯在直 线力士袖，5轴，：物，健主0图期 示的空间流角业标系， 周为AM一AN-2,国 wa学)N.aN-(-号0.) 又为G⊥牛香BBCC,到C可=《0，a,01为 平面BGC的一个漆向童， T得不，心-一号×0+×a+鲁×0-0，可 知91CR所 且MN平面B8,CC,所xMN与平面B:CC 的仕置美系是平行 效选且 工C知图所示：以A为坐桥厚成A百，A而泸的 方向分制为工y▣物的正方向建之堂间直角生絲最， 由意意T持P0,0,20,B(2,0.0):D0,2,0),C2 2,00,K1.1.0》,F1,0,10,E0.1,17, 所以F心-1.3，-1).FE-(-11,0) 豫平面EFC的法向量为n一x,5,), -。+3=0 m·FE=0-+y=0. 海 =1r. ◆x-1,别3y=1,-3, 所以平奇E℃的一个法南量为=1,1,3)， 因为G平面EFC,则量·心-0. 设G(0,0,e).时0m(一1.一1a,所以-1一1+ 3a-0. s得a-景，所aG00,号)年c-寻 敢选C 3解：》楚接AG,在是三推起ABCA:BC中 有AC■V+至=4 AC-AB. ADLC,'D为BC中 因为A0L年面BB,GC, 义E为A,B中点，1DE是A:C后 斯以直战AB与平面BB,CC所成的角种为 HAC∥AG,.DE∥AC ∠AB.即∠AB=45 夏DE可平需ABC,ACC平面AC: 因为菱形BBCC的边表为2，∠民以=0°，则在 ”DE成平面AC 等造三角形B0C中，O=万，0=0=1，在R (分建是如围所示的堂同直角坐标系Ay,制C2, △AO中，MD-0√ 023),A(0,0,23),B(0,4,0),D(1,2,8),所以 以O为坐标原成，建立定周直角业标系如图所来， A-(200).AB-04,-23,AD-《1,2,8. 则B(0,1,0).C《0,-1,o).A1(-3,1,3), C-3,0.00. 21正-1i-40,a,-2).01 以=(w3,0。一)，=（一3，一1,0）， 射E0,从，2唇一2)，A正-(0，从.2店-2 度平面A,品G的法向童为n=(xy), 显平面AC的法向量n一（当头）： ·n=0,=0, 利iw-0,2别一3a In.Bc-0.-vr-y-0. 1,一5,10， 敢12，得e=(0wW八，2 出平新BBCC的一木法%量为m=《0,0,]》, 没平面ADE的涂向量m山《nJ所和》， ，m0 4w+25(1一A为=0， b:m-0,”豹+2为十4和=0 设平面A,BC与平面BCB所成每为8， 取到=-2以，挥m=(4队一23W5一，一2以》： 骑以m=一=25，时单香AR,化与 ”平面ADE⊥平面A议 m…m-3一汉一林0，解得2一多 个面G丹牌成角的正法值为品 吉个面ADEL牛鱼ABG时福-产 章末总结 【典型创晒】 4M:(1D周为时边形BC亡是菱形，所以BC [例1]1)A2C C,离为AH⊥品，C.AB门BC=H,AH,议C平香 AC,库以B:C⊥平吾A 解桥：1)的-+砧+丽-+站 购为AMC平面AC+ +议--+通+风-通--号 商以BCL0,美AB=AGO延C:的中k, 群以AO⊥C,又周为房C门C-O,岳C, 两+是记，：试=记=.=c,衣 CC平南BHCC 陈xADL平面B8,CC 是a叶2b+3和 (2D周为AB∥A品， (2:过-时+B+球-+B+, 所议克战A高品与平面BCC所成的角等于直 线AB身平而BBCC所成的角 球·威-（减++）·威-心 -存+号，调 -×2X侧60-+号×2型×ms0-2 限路谓练1门(1DC 解析：(1)设P0,0,).南P才1-PB. 期有(1一0+(-6十1一的 -√(2-0)+(2-0十(2一F,解得：=4， (2解：记A=e.AD=b.X-e.制{ai=| le =1. (a,b》=(b,e}=(ea3=5, iea-8ee。-司 DIA=(a++e =e++e2+24e·6+be十e) -1+1+1+×(侵+号+号）-6， 流1=8 ②动，-b+e-a,花-a+b, i1一2，C-瓦 D·C-(+c一+b) --gtg“c+b·e-1, 脑0-器-g [例2]证明：1)设C与 BD交于点G.四为EF/AG,R EF-I.AG=字AC=1, 所以国边彩AGEF为平行 回边形，所议AF∥C,周为C平面BDE,AF女平 面DE,两议AF为平面DE (2》需为正方形AD和司边形CE下所点的平 面夏相海直，LCE⊥AC, 所娱CE⊥平面ABD 知图，效C为原点，建主 空闻直角坐帮系Cy,别 C0,o.00.A(2,w2.).B(o 2.0).D(2.0,0).E00. DF停号 =(停号小能=0，-层.D