第1章 空间向量与立体几何章末总结-【志鸿优化训练】2026-2027学年高中数学选择性必修第一册(人教A版)

数学选择性必修第一册人教A版 章末总结 知识整合 空间向量的夹角、模 共线向量定理 判定空间向量 共面向量定理 平行（共线）向量 的平行与共面 空间向量基本定理 共面向量 单位向量与零向量 空间向量的概 念及特殊向量 直线与直线平行、垂直 基底与基向量 直线与平面平行、垂直 直线的方向向量 空间向量 判定线面 位置关系 平面的法向量 平面与平面平行、垂直 求异面直线所成的角 加诚运算 求直线与平面所成的角 数乘运算 空间向量的运算 数量积运算 求空间距 求平面与平面的夹角 离与角 求两点间的距离 求点到平面的距离 ⊙专题研析 (2)正四面体ABCD的棱长为2，点E,F 考点一空间向量的概念及运算 分别为棱BC,AD的中点，则E京·BA的的值 1.空间向量可以看作是平面向量的推广， 为() 有许多概念和运算与平面向量是相同的，如模、 零向量、单位向量、相等向量、相反向量等概念， 加减法的三角形法则和平行四边形法则，数乘 运算与向量共线的判断、数量积运算、夹角公 式、求模公式等. A.4 B.-4 C.-2 D.2 2.通过对空间向量的概念及运算的学习， [名师点睛] 提升学生的数学运算素养 空间向量的数乘运算及向量共面的充要条件 [例1](1)如图，空间四边形OABC中， (1)空间向量的数乘运算、共线向量的概 OA=a,OB=b,OC=c,点M在线段OA上，且 念、向量共线的充要条件与平面向量的性质是 OM=2MA,点N为BC的中点，则M市=() 一致的 (2)利用向量共面的充要条件可以判断第 三个向量是否与已知的两个不共线的向量共 面，特别地，空间一点P位于平面ABC内的充 要条件是存在有序实数对(x,y),使A卫= xAB+yAC. A.- 3 2 [跟踪训练1] 2 1 B.2a-3b+2c (1)在空间直角坐标系中，已知A(1,一2， 1),B(2,2,2),点P在z轴上，且满足PA1= 1 C.za+2b- 1 2c P1,则P点坐标为( D号a+b B.(0,3,0) 2 A.(3,0,0) 1 C.(0,0,3) D.(0,0,-3) ..50 。第一章空间向量与立体几何 (2)如图所示，在平行六面体ABCD 求证：(1)AF∥平面BDE; A1B1CD1中，以顶点A为端点的三条棱长度 (2)CF⊥平面BDE. 都为1，且两两夹角为60°. ①求AC的长； ②求BD与AC夹角的余弦值， D [名师点睛] 利用空间向量证明或求解立体几何问题 时，首先要选择基底或建立空间直角坐标系转 化为其坐标运算，再借助于向量的有关性质求 解（证） [跟踪训练2] 在直三棱柱ABC-A B C11中，AC=3, BC=4,AB=5,AA1=4. (1)求证：AC⊥BC: (2)请说明在AB上是否存在点E,使得 AC∥平面CEB. 考点二利用空间向量证明线面位置关系 1.用空间向量判断空间中位置关系的类型 有：线线平行、线线垂直、线面平行、线面垂直、 面面平行、面面垂直；判断证明的基本思想是转 化为线线关系或者利用平面的法向量，利用向 量的共线和垂直进行证明 2.通过对用空间向量证明直线、平面的平 行与垂直的掌握，提升学生的逻辑推理和数学 运算素养. [例2]如图，正方形ABCD和四边形 ACEF所在的平面互相垂直，CE⊥AC,EF∥ AC,AB=√2，CE=EF=1. 51 数学选择性必修第一册人教A版 考点三利用空间向量计算距离 [跟踪训练3] 1.空间距离的计算思路 已知正方体ABCDA,BCD的棱长为 直线l外一点P到直线l的距离：PO= 1,若点P满足A市=号A$+号A市+号AA,则 W1AP2-AQ2=√a2-(a·u)2(其中A是l 点P到直线AB的距离为() 上的定点，A是A产在L上的投影向量，A户= a,u是l的单位方向向量). A资 B昌 平面a外一点P到平面a的距离：PQ= ·n-”(其中A是 c n n 考点四利用空间向量求空间角 平面a内的定点，n是平面a的法向量) 1.空间向量与空间角的关系 2.通过对利用空间向量计算距离的学习， (1)设异面直线41,2的方向向量分别为 提升学生的逻辑推理和数学运算素养 m1,m2,则l与2的夹角0满足cos0= [例3]长方体ABCD-A:BCD1中，AB= |cos(m1,2〉. 4,AD=6,AA1=4,M是A1C1的中点，P在线 (2)设直线1的方向向量和平面α的法向 段BC上，且ICP|=2,Q是DD1的中点，求： 量分别为m,n,则直线l与平面a的夹角0满足 (1)M到直线PQ的距离； sin 0=cos(m,n). (2)M到平面AB1P的距离. (3)设m,2分别是两个平面a,3的法向量， 则两平面a,3夹角0满足cos0=|cos(m,n). 2.通过对利用向量计算空间角的学习，提 升学生的逻辑推理和数学运算素养 [例4]如图，在四棱锥P-ABCD中，平面 PCD⊥平面ABCD,底面ABCD是梯形，AD∥ BC.CDLPB.PD-AD-AB-7BC-2. (1)求证：PD⊥平面ABCD: (2)若直线PC与平面ABCD所成的角为 30°，点E在线段AP上，且PA=3P克，求平面 PBD与平面BDE夹角的余弦值. [名师点睛] 利用向量法求点面距，只需求出平面的一 个法向量和该点与平面内任一点连线表示的向 量，代入公式求解即可. .52 。第一章空间向量与立体几何 [名师点睛] 考点五利用空间向量解决探索性问题 1.在建立空间直角坐标系的过程中，一定 1.对于存在判断型问题的求解，应先假设 要依据题目所给几何图形的特征，建立合理的 存在，把要成立的结论当条件，据此列方程或方 空间直角坐标系，这样才会容易求得解题时需 程组，把“是否存在”问题转化为“点的坐标是否 要的坐标。 有解或是否有规定范围内的解”等 2.直线和平面所成的角、两个平面的夹角 2.对于位置探索型问题，通常借助向量，引 类问题有两种思路：转化为两条直线所成的角、 进参数，综合已知和结论列出等式，解出参数， 利用平面的法向量， 3.通过对利用空间向量解决探索性问题的 [跟踪训练4] 学习，提升学生的逻辑推理和数学运算素养。 如图，在几何体ABCDE中，四边形ABCD [例5]在四棱锥P-ABCD中，AB⊥AD, 是矩形，ABL平面BEC,BE⊥EC,AB=BE= CD⊥AD,PA⊥底面ABCD,PA=AD=CD= EC=2,G,F分别是线段BE,DC的中点， 2AB=2,M为PC的中点 (1)求证：GF∥平面ADE: (1)求证：BM∥平面PAD: (2)求平面AEF与平面BEC夹角的余弦值， (2)平面PAD内是否存在一点N,使 MN⊥平面PBD?若存在，确定N的位置；若 不存在，请说明理由. 53。 数学选择性必修第一册人教A版 [例6]如图，在四棱锥SABCD中，四边 [跟踪训练5] 形ABCD是矩形，△SAD是等边三角形，平面 如图，已知四边形ABCD为矩形，AB=4, SAD⊥平面ABCD,AB=1,E为棱SA上一 AD=2,E为DC的中点，将△ADE沿AE进 点，P为棱AD的中点，四棱锥SABCD的体 行翻折，使点D与点P重合，且PB=2W3. 积为9 (1)若E为棱SA的中点，F是SB的中 点，求直线BC与平面PEF所成的角的大小； (2)是否存在点E,使得平面PEB与平面 (1)证明：PA⊥BE; (2)设AE,BC的延长线交于点N,连接 SAD的夹角的余弦值为2？若存在，确定点 PN,则线段PN上是否存在点Q,使得平面 E的位置；若不存在，请说明理由。 PEC与平面ECQ所成角的余弦值为 [名师点睛] 用向量的坐标运算解决几何问题，使几何 问题代数化，以数助形，体现了数形结合的思 想.同时本题还运用了方程的思想，通过列方 程、解方程使问题得以解决.这足以说明“向量 的坐标运算”是“几何”与“代数”间的一座新的 桥梁 这类问题的基本形式是判断在某些确定条 件下的某一数学对象（数值、图形、函数等）是否 存在或某一结论是否成立，解决这类问题的基 本策略是假设题中的数学结论成立，在这个前 提下进行逻辑推理，若由此导出矛盾，则否定假 设，否则，给出肯定证明 .54wa学)N.aN-(-号0.) 又为G⊥牛香BBCC,到C可=《0，a,01为 平面BGC的一个漆向童， T得不，心-一号×0+×a+鲁×0-0，可 知91CR所 且MN平面B8,CC,所xMN与平面B:CC 的仕置美系是平行 效选且 工C知图所示：以A为坐桥厚成A百，A而泸的 方向分制为工y▣物的正方向建之堂间直角生絲最， 由意意T持P0,0,20,B(2,0.0):D0,2,0),C2 2,00,K1.1.0》,F1,0,10,E0.1,17, 所以F心-1.3，-1).FE-(-11,0) 豫平面EFC的法向量为n一x,5,), -。+3=0 m·FE=0-+y=0. 海 =1r. ◆x-1,别3y=1,-3, 所以平奇E℃的一个法南量为=1,1,3)， 因为G平面EFC,则量·心-0. 设G(0,0,e).时0m(一1.一1a,所以-1一1+ 3a-0. s得a-景，所aG00,号)年c-寻 敢选C 3解：》楚接AG,在是三推起ABCA:BC中 有AC■V+至=4 AC-AB. ADLC,'D为BC中 因为A0L年面BB,GC, 义E为A,B中点，1DE是A:C后 斯以直战AB与平面BB,CC所成的角种为 HAC∥AG,.DE∥AC ∠AB.即∠AB=45 夏DE可平需ABC,ACC平面AC: 因为菱形BBCC的边表为2，∠民以=0°，则在 ”DE成平面AC 等造三角形B0C中，O=万，0=0=1，在R (分建是如围所示的堂同直角坐标系Ay,制C2, △AO中，MD-0√ 023),A(0,0,23),B(0,4,0),D(1,2,8),所以 以O为坐标原成，建立定周直角业标系如图所来， A-(200).AB-04,-23,AD-《1,2,8. 则B(0,1,0).C《0,-1,o).A1(-3,1,3), C-3,0.00. 21正-1i-40,a,-2).01 以=(w3,0。一)，=（一3，一1,0）， 射E0,从，2唇一2)，A正-(0，从.2店-2 度平面A,品G的法向童为n=(xy), 显平面AC的法向量n一（当头）： ·n=0,=0, 利iw-0,2别一3a In.Bc-0.-vr-y-0. 1,一5,10， 敢12，得e=(0wW八，2 出平新BBCC的一木法%量为m=《0,0,]》, 没平面ADE的涂向量m山《nJ所和》， ，m0 4w+25(1一A为=0， b:m-0,”豹+2为十4和=0 设平面A,BC与平面BCB所成每为8， 取到=-2以，挥m=(4队一23W5一，一2以》： 骑以m=一=25，时单香AR,化与 ”平面ADE⊥平面A议 m…m-3一汉一林0，解得2一多 个面G丹牌成角的正法值为品 吉个面ADEL牛鱼ABG时福-产 章末总结 【典型创晒】 4M:(1D周为时边形BC亡是菱形，所以BC [例1]1)A2C C,离为AH⊥品，C.AB门BC=H,AH,议C平香 AC,库以B:C⊥平吾A 解桥：1)的-+砧+丽-+站 购为AMC平面AC+ +议--+通+风-通--号 商以BCL0,美AB=AGO延C:的中k, 群以AO⊥C,又周为房C门C-O,岳C, 两+是记，：试=记=.=c,衣 CC平南BHCC 陈xADL平面B8,CC 是a叶2b+3和 (2D周为AB∥A品， (2:过-时+B+球-+B+, 所议克战A高品与平面BCC所成的角等于直 线AB身平而BBCC所成的角 球·威-（减++）·威-心 -存+号，调 -×2X侧60-+号×2型×ms0-2 限路谓练1门(1DC 解析：(1)设P0,0,).南P才1-PB. 期有(1一0+(-6十1一的 -√(2-0)+(2-0十(2一F,解得：=4， (2解：记A=e.AD=b.X-e.制{ai=| le =1. (a,b》=(b,e}=(ea3=5, iea-8ee。-司 DIA=(a++e =e++e2+24e·6+be十e) -1+1+1+×(侵+号+号）-6， 流1=8 ②动，-b+e-a,花-a+b, i1一2，C-瓦 D·C-(+c一+b) --gtg“c+b·e-1, 脑0-器-g [例2]证明：1)设C与 BD交于点G.四为EF/AG,R EF-I.AG=字AC=1, 所以国边彩AGEF为平行 回边形，所议AF∥C,周为C平面BDE,AF女平 面DE,两议AF为平面DE (2》需为正方形AD和司边形CE下所点的平 面夏相海直，LCE⊥AC, 所娱CE⊥平面ABD 知图，效C为原点，建主 空闻直角坐帮系Cy,别 C0,o.00.A(2,w2.).B(o 2.0).D(2.0,0).E00. DF停号 =(停号小能=0，-层.D (一2,01D.所域.d=0-1+1=0,,D证 -1+0+1=0 所以F⊥E,CF⊥DE 又BENDE-E,斯以CF⊥平面BDE [跟除雨练切(1)证期：在真三楼起ABCA B,CG 中，国为AC-3,C-4,AB=5,所xAC,BC,CC丙 两直，以C为坐糖原点，直我CA,顺B,C℃分利为 江轴，5轴，怎轴建立如图所杀的空间直痛生标系 则C0,0,0),4(3,0,00.C(0.0.40:B(0.4.00: B,(0,4.4) 网为7心=(-3,0,0%，=(0，-4,40， 所以A记·C-0,所以C⊥，野ACLC. (2)解：健量在AB上春在点E,使得AC∥中 CEB. 暖A2-1A店=(-3，，0)，其中0 则E3一3r.4f,0),E-(3-3,4r-4.-4) BC0,-4.-4).A=(-3.0.40. 又瑞为C-w正+nC战立， 所以w(3一3)=一3，n(4一4)一4n-0,一4n 解好1一 所以在AB上存在点E,使得AC及平面CE出，或 时在E为AB的中克 [例3门解：如国，建立空间 走角坐格系BxE, 则A(4,a,00,M2,3.0.P0. 40Q46.20,房004 100扇-《-名，-3,2)=(-4，→2.-20， ·a0在泸上特粉彩的桃为0：3 √/6+4+4 二M树直线P阳的延喜为√O-( 要-厘 (2)设平面A品P的浓向童H■《不，y:),时w上 DX0.0.0),B2,0,0>.A(1.-3.0).P(0.0. A点.n⊥A 2. --一40,4)，-《-4,4,0)， P以-1，-3.-2,8-(2.0.0).DP=(0.0. 2. 令一1，解得3一1，x-1, A-a吨，∴成-+可-o,0,》+ n=(1,1,1D,-(2,-3,-0 M到平岳ABP矜距离 .--(得要》 4-项m-2-455 设平面BDE的清向量■(x,y), 3 海i-. 24x=0, [恩惊证练3]B以表A为® 取8=(0， 成，分利以直线AB。AD,AA,为x日 仙y轴，：物走止空间直角染标原 4w5 女图， 由)可为.DC⊥平面PD. 高知A(0,0.01,B(1.0,0),D(0,f,01,A(0,0, 平五PD的法向受D记-(0,23,0》， 1. 期向量-（得青）随-1,00以 .o( 肤P到线的E青格√心一 二平面P即与年面DE夫角的金弦线 信+)-告 [降明策4]方法一(1证明：如图，取AE的中 [例】(1)证明：取BC中AF,连接D 克H,连接HG,HD ADBF,几AD=BF,四边形ABFD为平行 割DF=AB=BC,于是CD⊥BD 夏CD⊥PB,PHOBD=B.∴DL平面PB2 又，PD4面PBD,:,CDLPD 文，平面PCDL平面ABCD且交线为CD .PD平鱼AWD 国为G是BE的中点， (2片PDL平面LBCD,:∠PCD身为直线C 斯法GH/AB,且GH-学AB 与平面ABCD所成的角， 又F是D的中点： ∠D=30,又PD=2,六CD-AP=23, BD-2. 斯以DF=多Cn 以DB,DC,DP所在直线分列为王陆，y轴：轴建 山四边形ACD是矩形，得AB/CD,AB=CD, 立实间真角坐标最D江) 所以GHDF,RGH-DF. 从两辉埠彩GFD是平行啊造形，所以 GF/DH. 又DHC平面ADE,GF过平面ADE 所以GF∥平面AD迟 (2)解1如里，在平面E℃内， 进B点作Q成EC 苦为BE⊥CE,所就QLE. 又图为AB⊥平面BEC,斯以AB⊥BE.AB⊥Q 以H为章点，分到以BE,Q,1所在直直为x 轴，y地，=轴，建生空同直月是解原江，到A(O,0, 2),拟0.0,0》，E(2,0,0),F《2,2,1).图为AB⊥平西 C,阶B=(0,0,)为◆商C的法向量，捷n (,J,》为平面AEF的法向亚 义7E-(2.0,-20,7Af-(2,2.-1D 古2-0g-2=. 。-0.保2+--8 ★==2，得w=(2,一1,20. 从6m威=哥-高-子 所环平面AE下与平面BBC夹角的余孩值为 本法二(I)证明：如图.敢AB的中友M,连提 MG,MF. E 南G是BE的中点，可知GM成AE 义AEC平所ADE,GM位平面ADE, 所RGM平面ADE 在是形ABCD中，南M,F分是AB,CD的中A 得MFAD. 又ADC平面ADE,MF丈平面ADE 所MF∥平面ADB 又图为GMOMF-M,GC平看GMF,.MFC平 面GMF, 所以平面GM罪平香ADE 国为GFC平面GME,所xGFB平面ADE (2)满才法一 [鲜5]解：如圈，以A为原表 以AB,AD,AP分别为x柏，y轴 轴建立空司直角垒称系，则B(1,0 00,D(0.2.o1,P(0.0.3.C(2.2- 0),Mw1.1,1, (1)江明：9-(0,1,1).平面PAD的一个操向 量为=(1,0,0)， -E丽·m-0,即E⊥，天BM吐平面PAD, M成平奔PA (2)B0=(-1,2,01,Pi-(1,0,-2>,餐径年面 PAD内存森一本N,使NL平面PD设N(0,y: 》,附M=(-1,y-1,±一1，从而MN⊥BD, MN⊥PB No安》 = 在平面PAD内春在一点N(0,号》，失 MNL平所PBD [例6]解：1)取的中点Q,连接FPQ,副PQ AB,PQ⊥AD 四为△5AD是等边三角形，P为棱AD的中A,所 SP LAD, 因为平面SAD⊥平面AECD,平面SAD门平面 ACD-AD,SPC平香SAD. 斯以SPL平雷A议D, 又PQC平面BCD,所xSP⊥PQ, 时vWaa-青5P·D·AB-得w-2所 以AD一2，期SP-气 如周，以成P为原表建立空间直角实标原， 则B1.1..C-1.0),E(5o.)F(2 帝=2.0.脉-o是0，E-(侵0》 ,PM+M=P形，∴PW⊥MB 由AE门MB-M,AE,MBC平面ACE,T得 设平面PEF的☆向量题=(x,y,),直线BC车平 PM⊥平奇ABCE. 面P阳F所成特角为8，氏[0号] 又BC平香ABCE,PM⊥B 又AE⊥E.由PMOAE-M.MAEC年面PAE. n-是y-0, BE⊥平面PAE,又PA平所PAE 有 =61,0-1》 …t-+-o, PA⊥HB (2)如图乙，以B为愿点，BN,HA,过点BL与网 片以a=a,=号得-号 迪到ACE看直的直线分别为工仙y物，：轴建玉空 何直角全解系， 所以是找BC每干南PEF所战的霜的大小为餐 (2》氧设存发，镜5E=15M.AE[0,1门。 B1.1.00,Q0,1.0).4(1,0.00.3(0,0w5). 由1)得Q⊥AD,SP⊥2 为SP∩AD=P,所以PQL平面SAD. 则P1.32).C8.0.07,E2,2-00.N(4,0.00. 时FP酒-(0.1,0，脚海平面AD的一个法向量 3-《0,2,0.正-1.-1.-2)，P=(3: PB=1,1,0033=(1,0.-).P5=(003 -3.-2 5E-13A-a.0,V 假设尚收PN上存在璃见条件的成Q酬 射Pt-P5+SE-a,0-) 设0APN=(.-u.一)aE[0.1. 量w■(a,bb为平面PEB的法南量 m防-a+-, ,交-咬--《-1，-就+1，一+ m,Pt=a十(w3-√)c=0 设平而P的法向量为用：一（知功， 可取m(一5,5-√3A0. n 利.mV7 -饭 ◆面-1，可得m=(2,0,1) 解样人=子或-1（会去 设平面议Q的清肉量岁m:一+n和 所以存在点E,点E在常近，点S的三等会直地，使 得千面PEB与个角3b的大角的余弦值均 4月-0， [翠球语练]解：1)红明，如国甲，取AE的中走 动-1m+(-3+1w+木②-4+1-0 AM,连接PM,BM ◆一巨，可得m-5.0经》 山平而PEC与平面BQ所或角特余然值为， + N凝塘AP-PE且AP⊥PE,可得PM上AE,L x+( PM-5-2. 舟2a++1a+雪”方成一深干丙 南徐孩凳理可得MF-Af十AF一MA· ABs-2+i6-22x×号-10， 两边同时平才，经整星纪可待纵一1以十+3■0， 解得A=点子故筑我PN上存在点Q.使得干西 PEC与千面EQ所成角的参独使为号 第二章直线和国的方程 2,1直线的倾斜角与斜率 21,1料角与斜率 【必备知识·整理】 [情境探究 摄示：旋业-梁染疆实际悦是烧角销E树值利 用技度的大小来刻属道路的领斜程度 [知积核瑾] 一，正上0°(1模斜程度(2镜斜角 二1.二y 121 2正切值1na 3x一0”-00 4子 [科华思壤】 一.1.(1)/(2×30×(4)X50/ 2C3.B 44 二提示：L,①已知两庭可以确定一第直线， ②已知一点和一个方向可以端定一条直线 玉始出另一个点或一个方向 3框对于x轴的慎斜程交 【关键能力·探究】 探究一求直线的隔斜角或其取值范图 [典创精桥] [典例1门答案：AC 解析：任意一最直规都有电一的桶斜角，酰A正 聘：幅针角不军能为负，乾日情灵：相新角为0“的直气 有无数泰，它们都垂直于y枯，故C正确：年a一时， ina-04者a一90时，ina-】.城D得误 [针对调塔1]答案：(1)D(2190 解析：1)桃郝斯塘，香出图形，如图所心 两为0e<18知，蓝格A,弘，C表分是付论，均不