1.4.2 第2课时用空间向量研究夹角问题-【志鸿优化训练】2025-2026学年高中数学选择性必修第一册(人教A版)

。第一章空间向量与立体几何 第二课时 用空间向量研究夹角问题 学业目标 ·定位 课标要求 学习目标 L.掌握异面直线所成的角、直线与平面所成的角以及平面与 1.能根据所给的条件利用空间向量这一重要工 平面的夹角的定义， 具进行空间中的夹角（三角函数值）的求解。 2.能用向量语言表述直线与直线、直线与平面、平面与平面的2.通过本节课的学习，提升平面向量、空间向量 夹角。 的知识相结合的综合能力，准确将平面向量、 3.能用向量方法解决直线与直线、直线与平面、平面与平面的 空间向量的概念、定理等内容与平面几何、空 夹角问题， 间立体几何有机的融合在一起，提升解决问 4.能描述用向量方法解决夹角问题的程序，体会向量方法在 题的能力，将形与数，数与量有机的结合起 研究几何夹角问题中的作用. 来，为提升数学能力奠定基础。 必备知识 梳理 答案见P2581 回情境探究 相交，形成四个二面角，我们把这四个二面角 迈克尔·杰克逊除了他擅长的 中 的二面角称为平面α与平面 歌曲，还有他那漂亮的太空步， B的夹角。 尤其像谜一样存在的招牌动作 2.平面与平面的夹角的向量表示式：设平面a, 45度倾斜舞步.同学们，45度 B的法向量分别是n1和n2,则平面a与平面 到底指的是哪个角呢？ B的夹角即为向量n1和2的 或 设平面a与平面3的夹角为0，则 cos 0= .如图 回知识梳理 一、异面直线所成的角 异面直线所成的角的向量表示式：若异面直线 l1,2所成的角为0，其方向向量分别是，v,则 cos 0= = 二、直线与平面所成的角 直线与平面所成的角 。科学思维 的向量表示式：直线与 一、思考判断 平面相交，设直线与平 1.判断正误.（请在括号中打“/”或“×”） 面所成的角为0，直线 (1)两直线的方向向量所成的角就是两条直 的方向向量为4，平面的法向量为n,则sin0= 线所成的角.() ,如图 (2)直线的方向向量和平面的法向量所成的 三、平面与平面的夹角 角就是直线与平面所成的角.( 1.平面与平面的夹角的定义：平面a与平面B (3)两个平面的法向量的夹角是这两个平面 43 数学选择性必修第一册人教A版 的夹角.() 4.过正方形ABCD的顶点A作线段PA⊥平 (4)两异面直线夹角的范围是(0，罗，直线与 面ABCD,若AB=PA,则平面ABP与平面 CDP所成的二面角为 平面所成角的范围是[0，]，二面角的范围 二、思维探究 是[0，π].() 1.直线在平面内或与平面平行时，0的大小是 2.如图，在直三棱柱ABC B 多少？直线和平面垂直时，0的大小是多少？ A1BC中，∠ACB=90°， 0的取值范围是什么？ AA=2,AC=BC=1,则 异面直线A,B与AC所成 角的余弦值是( ) A写 B c. 3.已知向量m,n分别是直线l的方向向量与平 2.平面a与平面B的夹角0与这两个平面形成 的二面角有什么关系？ 面a的法向量，若cos(m,n》= 9则1与。 所成的角为( A.30° B.60 C.150° D.120° 关键能力 ·探究 答案见P2581 探究一 求异面直线所成的角 注意两异面直线所成角的范围是(0，]，即两 异面直线所成角的余弦值等于两向量夹角的余 鲁知识深化 弦值的绝对值， 求异面直线所成的角的方法 (1)平移法：通过平移其中一条（也可两条同时 。典例精析 平移)，使它们转化为两条相交直线，然后通过 【典例1】如图所示，在直三 解三角形求解 棱柱ABCA1B1C中， (2)取定基底法：在一些不适合建立坐标系的题 AA1=AB=AC,AB⊥ 型中，我们经常采用取定基底的方法，这是小技 AC,M是CC1的中点， 巧.在利用公式cosa,b)=合治求向量a,b的 Q是BC的中点，P是A1B的中点，则异面 夹角时，关键是求出a·b及a与b1,一般是 直线PQ与AM所成的角是( 把a,b用一个基底表示出来，再求有关的量 (3)用坐标法求异面直线的夹角的方法 A晋 B c D.5 ①建立恰当的空间直角坐标系； 名师点拨 ②找到两条异面直线的方向向量的坐标形式； 利用向量法求异面直线所成角的一般步骤 ③利用向量的夹角公式计算两直线的方向向量 (1)选好基底或建立空间直角坐标系； 的夹角； (2)求出两直线的一个方向向量，v; ④结合异面直线所成角的范围得到异面直线所 成的角. (3)代入公式cos日=求解 uv .。44 。第一章空间向量与立体几何 [针对训练1]在三棱锥OABC中，OA,OB, 名师点拔 OC两两互相垂直，E为OC的中点，且2OA= 利用平面的法向量求直线与平面所成角 OB=OC=2,,求直线AE与BC所成角的 的基本步骤 大小. (1)建立空间直角坐标系. (2)求直线的方向向量u. (3)求平面的法向量n. (4)设线面角为0，则sin0="·n un' [针对训练2]如图所示，在直四棱柱ABCD A1B1CD1B中，AD∥BC,∠BAD=90°，AB= 探究二求直线与平面所成的角 √3，BC=1,AD=AA1=3. 求线面角的两种方法 (1)求证：AC⊥B1D: (1)设直线PA的方向向量为a,平面a的法向 (2)求直线BC与平面ACD所成角的正 弦值. 量为n,直线PA与平面a所成的角为0(0∈ D [0受])，a与n的夹角为9，则sim0=cosg= a·n an' (2)设直线PA的方向向量为a,直线PA在平 面a内的投影向量为b,则直线PA与平面α所 成的角0满足cos0=|cos(a,b》. ⊙典例精析 【典例2】如图，在四棱锥P-ABCD中，底面 ABCD是平行四边形，∠ABC=120°，AB= 探究三求平面与平面的夹角 1,BC=4,PA=√15，M,N分别为BC,PC 的中点，PD⊥DC,PM⊥MD 鲁知识深化 (1)求证：AB⊥PM; 利用向量方法求两个平面的夹角的大小时，多 (2)求直线AN与平面PDM所成角的正弦值. 采用法向量的方法，即求出两个平面的法向量， 然后通过法向量的夹角得到两个平面的夹角的 大小，这种方法思路简单，但运算量大，所以求 解时需特别注意仔细运算， ©典例精析 【典例3】如图，在四棱锥P-ABCD中，底面 ABCD是矩形，侧棱PA⊥底面ABCD,点 E是PD的中点，AB=1,AD=PA=2. 45. 数学选择性必修第一册人教A版 (1)求证：PB∥平面EAC: [针对训练3]如图，四边形ABCD和三角形 (2)求平面EAC与平面PAB夹角的余 ADE所在平面互相垂直，AB∥CD,AB⊥BC, 弦值 ∠DAB=60°，AB=AD=4,AE⊥DE,AE= DE,平面ABE与平面CDE交于EF. (1)求证：CD∥EF; (2)若EF=CD,求二面角ABCF的余弦值. 名师点拨 利用向量方法求两平面夹角的大小时，多 采用法向量法，具体求解步骤如下： (1)建立空间直角坐标系； 微探究混淆二面角与面面角的大小 (2)分别求出两个平面的法向量m和2； 【典例4】已知ABCD为矩形，PA⊥平面 (3)设平面间的夹角为0，则cos0= ABCD,设PA=AB=a,AD=2a,求平面 cos(n,n2>; BPC与平面DPC夹角的余弦值. (4)利用余弦值，确定平面问的夹角的大小 提醒：若求二面角0，求出cos(m,2》后，观 察图形，判断二面角为锐角还是钝角，若二面角 为锐角（两平面夹角），则cos0=cos(n,2〉|， 若二面角为钝角，则cos0=一|cos〈n,n2)L. 随堂演练·达标 答案见P2611 1.已知向量m,n分别是直线l的方向向量和平 面a的法向量，若cos(m,n》= 则1与。 A.晋 B. c D. 3.如图，在直三棱柱ABCA1BC中，AC⊥BC, 所成的角为() AC=BC=BB,D是AB的中点，则AC与平 A.30° B.60° C.120 D.1509 面CDB所成角的正弦值是( 2.如图，在四棱锥P-ABCD 中，PD⊥底面ABCD,底 面ABCD为正方形， PD=DC=4,Q为PC上 一点，且PQ=3QC,则异 A③ c D 6 面直线AC与BQ所成的角的大小为( …46 。第一章空间向量与立体几何 4.在长方体ABCD-A1B1C1D1中，已知DA= (2)求DP与平面AA'D'D所成角的正弦 DC=4,DD1=3,则异面直线AB与B1C所 值 成角的余弦值为 5.如图，已知点P在正方体，ABCD-A'B'C'D 的体对角线BD'上，满足BP=2PD' (1)求DP与CC所成角的余弦值； 习题课 空间向量在立体几何中的应用 关键能力 ·探究 答案见P2621 探究一 用空间向量证明平行与垂直 名师点拨 利用空间向量证明或求解立体几何问题 知识深化 时，首先要选择基底或建立空间直角坐标系转 用空间向量证明平行与垂直 化为其坐标运算，再借助于向量的有关性质求 用空间向量判断空间中位置关系的类型有： 解（证明） 线线平行、线线垂直、线面平行、线面垂直、面面 [针对训练1]如图所示，在正方体ABCD 平行、面面垂直：判断证明的基本思想是转化为 A:BCD1中，E是棱DD1的中点.在棱CD 线线关系或者利用平面的法向量，利用向量的 上是否存在一点F,使BF∥平面ABE?并 共线和垂直进行证明. 证明你的结论。 ⑨典例精析 【典例1】在四棱锥P-ABCD中，AB⊥AD,CDL AD,PA⊥底面ABCD,PA=AD=CD= 2AB=2,M为PC的中点. (1)求证：BM∥平面PAD: (2)平面PAD内是否存在一点N,使MN⊥ 平面PBD?若存在，确定N的位置：若不 存在，说明理由。 探究利用空间向量求距离 知识深化 用空间向量证明平行与垂直 (1)求点到平面的距离，常常利用向量法，转化 为求平面外一点与平面内一点构成的向量在平 面的法向量方向上的投影向量的长度， 472周为a-0,号，-1)F-(@.- 瞬以AEBF,阶这AE∥B下 网理可得FCAC,又BF门F=F:AE自 =E, 尉以平面A成千面F品C 所以，成F到平面A:的是高群为两平行平面的 是离， 逢平面A℃的法向量为国■红，5，)： C-(-1.1,-10 0.0. w+0■0， 取y一2， 则m一(1,2,1)为平面AC的一个法向量， 又-(0令0)%点F到平面A5C的题 离为dm-要 所以子香AC海干两FBC的距高为号 【针对闲练3】解：(1》如圈 D 建主空间直角坐她系，则D(⊙， 0,00.B(2.2.0),A2,0,2), B1(2,2,2),C(0,2,0),所以 g=(2,0.21 2A=(2,0,2),l-(2, 2,00 所以C所DA,群CB∥DA 又CB,亡早面A,BD.DAC平斯A,BD 所以C∥平香AD, 所以直线BC到平面A:D的是离等于点出到 平面ABD的垂离， 设平面ABD的一个法向量为m=,5y,》, 伞1=1，则n=1。-1,一1. 又A以-(0,2,0)， 所以成B到平面ABD的压离 dA·m-28 3 (2)★1)知BCN平雨ABD.网理.D品∥平面 AD,BC阶A品=品，前以平雨ABDM平面我D) 品A,-√(-4)+4+-2)a6, AB=+(一下=42 --意 En1=AE-A=√6-1B=32, 2,B建生加相时帝的 4 中平面A:BD与平面B:CD月的矩离装于点B) 空间直角坐标最，副A1 0,0),4(1,1,0 到平面ABD的岳离， 的《1)如，成B到平香ABD的系离d= 2小F(L, n0.a,.M(0,2 片以个面A,BD与卡鱼.CD,以的是青为票 N(51, :E,F,M,N分到是所在棱的中点 微探究对距离公式记忆不够准魂数娱 ,MN∥EF,AEHN, [典例们解：建立如因所本竹空间直角坐林系，时 平面AEF∥平面压ND G0,0,2》,E4,-2,0》,F2,-4,0》,B(4,000, ,平西AEF与平面B,D,间的距离中为点 证-《4，-2,2，证-(0，-2,0)，CP-(2 A到平雨所ND的乐离. 4,-2). 平面BND的一个法向量为n=x,y, 最平面BG的途向量为日一（红，y,z) 副w·高=0.几南·A及=0 Gt·n-0,2-y=0, 0n=0,x2y0 0或-(1,1,0，N-(-0,: (zy,)·1.1,0)=0,L《x4y:)+ 阶议x■一y,一3y 取y=1,剩n=(一1,1.一33， (-201j=0 所以成日到年面E记的匹路d一证，n 6x+y-0,直-+-0， ◆x=2,剩y=一2=1，n=(2,-2,1. 行 房-0,1,00 二，点A到平面BNMD的距高 易 易储原因 妈储心得 d-景 怒略法岗量岭模，误 利用距离公式录解时 3.若案后 议为d一配·. 一党率记更离公式， 解根1如用，以D为恩灰，DA背益直线力x物，DC 所在直线为y精：DD骑在直线为：轴.到A(4.O,4) 【随棠演练·达标】 B4,4,0),C《0,4,4),D《0,0,4).又M为ED1的中 1.D建玉如图所示 .以M2,2.2N在AG上.且N3C 的堂同直角丝林系，选接 AE,BE,作EHLA:B于 表H,刚A:{4,0,4,B4 4.0》.E0,4,2). .2=《-4,4 2,Ai=(0,4,-40, 阶xN1,3,40,时-=(-112， M=(-1)+1+8=6 4若案得。 解析：根据题意，祥P0,0,0》,A(a,0,O),B(0,a, 0),C0,Oa》,试点P作PH⊥◆面AC,交平面AC 于点H,则PH的长中为点P到平面AC竹亚离： PA=PB-PC,H为△AC的外心 又△AC为三三角形，H为△AC的重心，可 得在H竹坐标功（管音，管}月 HV信-o+(号o+借o可- 成P装4面AC的距高为 第二课时用空间向量研究夹角闯是 【必箭如识·统理】 [情境探究 便示，身体与地面成5角 [知识桃理 一.60s(a,y 二.le0a(a,w}l 洲 三.1.不大于9 工夹角将角✉m两川没 [科学思地】 一.1.1)×(2×(3)X40 2D3B445 二提示：1=0,0=受c[0] 工相等减耳补， 【关健能力·探究】 探究一求异菌直线新成的角 [典例精斯 [典例1门D从A为坐 标章点，AB,AC,AM所在 直线合别为王特，y格，轴 建立如图所示的空闻直角坐 林系，是AA一AB-AC= 2.则M-02》,-0,-12 阶以O,的=，商xQP与AM臂成角为号 【针对调练1】解：考发一阜 O溶的中表F,连接EFAF,南E. F分剩为(X,O用的中杰，可知E万 是C的中位线，所dEF成， 所深∠AEF或其补角为直线AE 与段所成角。 又易物1=E(0E=1,而M,E,F再两E 相条直， 断以AE=EF=AF=VT+=2, 所以△AEF是等边三角形：从而∠AEF=吾， 所以直线AB与BC照成年的大小为 方法二由已如江0为原.表，江0话，0B心的方 向为工，y量轴建立空列直年坐糖系 由204=0用=0C-2,知A1,0,0).E(0,0.1D. 3(0,8.00.C0,0.2, 斯以A=(-1.0,1),配=0.-22). 前以c径，1=砖：是 IAE RCI 1× × 所42，武-号，即克线AE与C所成角竹大 小为受 探究二求直战与平面所成的角 [奥例精析] [典例2](1)证期1在△DM中，DC■1，AMC=2, ∠DCM一60，由徐孩文厘可祥 DM-√i-C+k·s -中4-2x1X2x号- 所以DLf十DC■AMC,所以DM⊥C由意意制 C⊥PD ILPD几DM-D,PD,二平面PDMM,所以 C⊥平面PM寿M二平面PDM,所风C上PM 夏ABDC,除以AB⊥PM 设直线BG势平面ACD,所成的角为0， (2)解：专PN⊥MD,AB⊥ 国为乐-0，l,0 PM,而AB考DM相文，新以 FPM⊥平香ABD.毫接AM,副 a血配一厚 AM=7,所以PM一2克.取AD 所以直残B与平面AD所成角的正球鱼 中点E,连接ME,则ME,DM, PM丙两垂直，误，点M为业帮原克，如国所亦，建立空 间直真坐帮系， 探究三来平面与平面的夹角 别A(一，2.00.P0,0.22-5.0,0),M0, [鼻例精析] [典例3】1正明：可为成面ACD是标形。 0,m,C店，-1,0.又N为P心中点所aN(停 所以ABLAD w回a-(色9，-多w2 图为PA⊥平而ACD. 所以PA⊥AB,PA⊥AD 由1)得CD⊥平面PDM,所这平面PDM的一个 以A为业禁原点，AB,AD,AP所在直规分刺为卫 法☆量W=(0,,0): 轴，3轴，：缺，建主如所的空同重角坐标界 从而直线AN与平面PDM所或角的正然值为 衣·m [针对横练2】(1)至期：以A为坐标原点，以人语， D,A的方肉分副为x袖、y轴，+轴的玉方向建之空 可直年标原，国Ak00,D),C(3,1.0》,出{w3,0,3) A0,0.0).B1,0,0),C1,2,0》,D0,2.0), D0,3,0),C(w3,1.3,D40,3,3 P(0,0.2),E0,1,10. 所以-(1,200，D-0.1,1D,形-1,0，-22 设平看AC的法向量为是=(2，y), 秋y=1,附x一2x=一1， 阶以：=《一2,1，一1)是平面EC的一个法内量 周为m·P秀=O,且PB过平面EAC,除以PB0平 AC=(s.1,0), 面BAC D=(-5.3,-30 (2)解：责(1》可知AB⊥AD.PA⊥AD 背以花，兵-0， 又图为PA门AB=A,所双ADL平面PAB. 青风C⊥品D. 所以D-(0,2,0)是平面PAB竹一个法向量，及 (2解：这平面AD,的法向量为m■(y,),又 平面EC与平面PAB的夹角为， AC=8,1.0).=(0,33), 影mC.n小+y= em-omd.m-沈2X后-吾 m·可-0，{3y+3==0, 所x干雨PAC与平面PAB夹商的合获值为肾 ◆x=1:到y■一3，：=5.所议年奇A0D1的一 【针封测练3](1)证期：羽为ABCD,AB二平面 个法南量为m一(1，一5， ABE,D文年面AE,所误CD∥平面ABE.因为平面 ABE平面CDE=EF,CDG平面CDE,骑以 CD//EF. (2)解：章AD的中点N,速楼BN,EN 在￥餐△ADE中，NLAD 深为平面ADE1平面ABD,变残为AD, 又EN LAD,所以EN⊥平后ACD,XBNC平 断ABCD, 所xEN⊥BN 图为∠DAB=60°，AB=AD,所这△ABD为等边 三角形，又因为N为AD的中点，所误AN⊥BN 如图，议N为原点，建主空间直角堂标系， 0 则N0.0,0,Ak2.0,0,B(0,23,0),C(-3,, 0)D(-20,02,E0,0,2. 腾为-心所以一1B,2. 及平香F的法有量为e=(y, BF=(-1,-8.2》.2=(-3.3,00. 影·-0. x·-0 m厂ay+-8, -缸一8-6 伞y5,别x=一1=1： 于是m=(一18,1》， 又平香ABCD的一个法向量为WE=(o,0,2, 以m帝-器-卓 为题如二面角ACF为税角， 所以二面角木BCF的食级植为气 做探究混清二而角与而面角的大小 「典例精斯 【典例门解：建点如周两函的空间直角坐标原，附 ka0,0),Ca2a,0),P(0,0,e,D(0,2a,0).B (0,24.0),p=(-a,0,eCj-《-t,0,o),i-(0, 设年面FPC,平善DC的读向量章用为1■， 为，=〔为)国有 2aw=0, 一4=0， 取=(1,0,1)，南=(0,1.2，副m*(1,me》日 0- 藏◆者B心与个自DPC夹角的念法崔为 易结夏因 量心得 本题局棉的施方是 认为平西BPC与 成二面角日的大本时，通 平面DPC的共角 过求二面角再个年平因 长是二角HPC 的法向量的夹角起同 D,再到蜡想：求得 题特化为高量的短算，面 r四《m:南》= 注意两注则量的夹角与 二置角相等成互粉，在铜 观察图形知二面角 圆中，可板据法向量的方 BP℃D系荒角， 的来过行列质，以便准网 得平面BPC中平 求出二面角的大小，一复 示 面DPC夫角的条 地，如果二面角为镜角 awg=m年■ 位为一平 治计女果二百角为他 事实上，二丽角的 氧值荒国是[0， 考，aw日一1a%F■ ],置著角的限值 招，r为二角 国是[0，受]不 两个举平要的法刻量)： 要将两者涩清了， 【防堂演练·达标】 L,A镜1与。所成的角为6里9E[0,0门，别 sin9-cowm,n-子.0-30 2.B双D为是标原走，DM,DC,DP所在直战会 到为士他，y物，：仙健土女据所市的空同真角堂粹系， 5,解：知图建立空月重角免 标泰， 设棱老为1，到 B(1,1,0),C0,1.0),D0.0 0,C《0,1,11.(0,0,10,别 别A(4,0,0),C(0,4.0},B(4.4,0.Q(0,3,1D BD--1,-1,1D,i-(1,1,0),-〔0,0,1D.元 0-(-44,0m,-(-4,-1,0 =(o,1,0),HP-2P m(花，d- C.0 12 &-号即-是-1，-11)-(-号.- LACTHOI 克：开香直战A汇与阳所成的角的大小为 引 1)=丽+动=(1,1,0)+ 3日由理意可知，以C为坐排原表，CA所在直战 为x赖，CB所在直属为y种，CC研在直线为：精，建 （-导-是)-（停》 息皇间直角坐然感如围稀示 後DP与CC'所成角为g,则es日 D'.* DP与CC所成角的余然佳为 tAC==H=2,剩A1(2,0,2,C(0,0,0》 D1,1.0).民{0,2,2.=(2,0.20.D=1,1,04 2南a蜘-（传专景） =0.2,2). DCL平面A4'D'D,去心一《0,1，O)为平面 没平面CDB的法向量为n-(x+y), AMDD的一个法白重，最DP与平面LM'DD两点的 到有”团-+= 失角为a: 1a,cR2y+24=0, 。-w成，-离 令y=1,则2=一1：=-1，别a=《-1,1一10 一wi-后-停 2、6 所以店，C与伞自CDB,所减角的三位值是雪 ∴DP与平面DD所成角的三然佳为管 答有：晏 习题课空问向量在立体几何中的应用 解析：如图，建立堂间直角坐林系，山己和得A(4 【关键能力·探究】 0,0》,B(4,4,3D,B《4,4,00,C0,4,3).,AB-(0,4 探究一用空间向量证用平行与意直 3),C-(-4,0,31 [鼻例精析] [频例1门(1)证明：以A为原成，以AB.AD,AP所 在直武分利为x精y情：幅建立堂可直角业标原 K1,0.0》,DX0.2,00,P(0,0.2),C(2,2.0),M 1,1.1 丽=(0.1,1，年击PAD的一个法有量为e (1,0.07. :M·n-0,中国M⊥m 又ME平香PAD,,BM∥平面PAD. (2解：南(11如0-(-120)，形-(10，-2. 做径平面PAD内寿在一点N,使MN⊥平 PBD. 最N0,y,e).则N-(-1,y-1.-1D. B-o. 从而MrNLBD.MNPB.·Pi= +2y一D=0, -1-2一10=0 - N6含》 在平面PAD内香在一是N(@.资合，使 MN⊥平面PBD [针对调练1】解：在技CD上 存在点FCD的中点).使B下∥子 面ABE,逆明如下： 使里意，走是如围册示岭堂可直 角堂标票，设区方体ABCDA B CD岭棱长为1， 期A0.0,,Ba0..B1,0D,Eo12 -(-1,0,》,d-(-1,,） 没：=，)是平面ABE的一个法向量 一1+x=0, 所以=y=号k=2件0=(2,12 灵椎GD上存在冻F,,0幻)满混条件。 义网为B(1,0.1D.所灶品F-(t-1.1,0), 而品F过平面ABE, 于是民F∥个面ABE,中属F,w=0,了得（一1， 10·2.1,2)-0,解得t=名减F为CD的中我 中在校CD上存在赢F为CD的中点，线房F 平面AE