1.4.1 第1课时空间点、直线和平面的向量表示-【志鸿优化训练】2025-2026学年高中数学选择性必修第一册(人教A版)

。第一章空间向量与立体几何 随堂演练·达标 答案见P2481 1.已知向量a=(-3,2,4),b=(1,-2,2),则 3.已知空间向量a=(一3,2,5)，b=(1,x, |a-b等于() 一1)，且a与b垂直，则x等于() A.2√10 B.40 A.4 B.1 C.6 D.36 C.3 D.2 2.已知空间向量a=(0,2,0),b=(1,0,-1), 4.已知a=(1,1,0),b=(-1,0,2),且a+b 则(a十b)·b等于() 与2a一b的夹角为钝角，则实数.的取值范 A.-2 B.-1 围为 C.1 D.2 1.4空间向量的应用 1.4.1用空间向量研究直线、平面的位置关系 第一课时 空间点、直线和平面的向量表示 学业目标 定位 课标要求 学习目标 1,通过本节的学习，掌握直线的方向向量，平面 1.理解与掌握直线的方向向量，平面的法向量. 的法向量的概念并会求出直线的方向向量与 2.会用方向向量，法向量证明线线、线面、面面间的平行关系； 平面的法向量。 会用平面法向量证明线面和面面垂直，并能用空间向量这 2.能根据所给的条件利用空间向量这一重要 一工具解决与平行、垂直有关的立体几问题。 工具进行空问几何体的平行、垂直关系的 证明. 必备知识 梳理 答案见P248 ©情境探究 来刻画平面的方向吗？ 动手旋转一个圆盘陀螺，可以发现该陀螺随着 轴一起转动时，圆盘平面时而水平，时而倾斜， 在不断改变方向，陀螺的轴虽在不断改变方向， 但始终与圆盘垂直。 探究：(1)我们能用轴的方向来刻画陀螺圆盘平 面的方向吗？ (2)能用平面上的某一条有向线段代表的向量 27 数学选择性必修第一册人教A版 国知识梳理 科学思维 空间中点、直线和平面的向量表示 一、思考判断 空间 1.判断正误.（请在括号中打“/”或“×”） 向量表示 图形表示 图形 (1)直线上任意两个不同的点A,B表示的向 在空间中，取一定点 量AB都可作为该直线的方向向量.() O作为基点，那么空 (2)若向量1,2为平面a的法向量，则以这 间中任意一点P就 两个向量为方向向量的两条不重合直线一定 点 可以用 平行.() 来表示.我们把 (3)直线的方向向量是唯一的.() 称为点P (4)若AB,CD都是直线l的方向向量，则A范∥ 的位置向量 Cd,所以AB∥CD.() 点A是直线l上的一 2.若A(一1,0,1)，B(1,4,7)在直线1上，则直 个点，a是直线I的 线的一个方向向量为() 方向向量，在直线 A.(1,2,3) B.(1,3,2) 上取A=a,取定空 C.(2,1,3) D.(3,2,1) 间中的任意一点O, 3.设平面a内两向量a=(1,2,1),b=(-1,1, 直线 则点P在直线l上的 充要条件是存在实数 2),则下列向量中是平面α的法向量的 t,使O币= 是() 或O= A.(-1,-2,5) ,这就是空间 B.(-1,1,-1) 直线的向量表示式 C.(1,1,1) 取定空间任意一点O, D.(1,-1,-1) 空间一点P位于平面 4.已知a=(2,4,5),b=(3,x,y)分别是直线 ABC内的充要条件是 l1、2的方向向量.若∥12，则( ) 平面 存在实数x,y,使O办 A.x=6,y=15 ,这个式 子称为空间平面ABC Bx-3y-艺 的向量表示式 C.x=3,y=15 直线⊥a,取直线l的 D.x=6,y=2 15 方向向量a,我们称 5.在如图所示的坐标系中， 为平面a D 平面 的法向量.给定一个点 ABCD-A1BC1D1表示 B 的法 A和一个向量a,那么 棱长为1的正方体，给出 向量 过点A,且以 下列结论： A(O) 为法向量的平面完全 ①直线DD的一个方向 B 确定，可以表示为集合 向量为(0,0,1)；②直线BC1的一个方向向 量为(0,1,1)：③平面ABB1A1的一个法向 .●28 。第一章空间向量与立体几何 量为(0,1,0)：④平面BCD的一个法向量为 个向量为方向向量的直线是否一定平行？ (1,1,1) 其中正确的是 (填序号) 二、思维探究 若向量n1,n2为某一平面的法向量，则以这两 关键能力 探究 答案见P2491 探究 空间中点和直线的向量表示 [针对训练1](1)（多选）若M(1,0,一1)，N(2, 1,2)在直线1上，则直线1的一个方向向量 知识深化 有( 1.理解直线方向向量的概念 A.(2,2,6) B.(1,1,3) (1)直线上任意两个不同的点都可构成直线 C.(3,1,1) D.(-3,0,1) 的方向向量。 (2)从点A(2,一1,7)沿向量a=(8,9,一12)的 (2)直线的方向向量不唯一.（空间中一条直 方向取线段长|AB|=34,则B点的坐标 线的方向向量有无数个) 为( 2.求直线的方向向量，首先是找到直线上两点， A.(18,17,-17) 然后用坐标表示以这两点为起点和终点的向 B.(-14,-19,17) 量，该向量就是直线的一个方向向量： c(6,1 ©典例精析 【典例1】(1)已知直线1的一个方向向量m= (2,-1,3),且直线l过A(0,y,3)和B(一 探究二 空间平面的向量表示与平面的法向量 1,2,x)两点，则y一之等于( A.0 B.1 c D.3 知识深化 求空间法向量的步骤 (2)在如图所示的坐 4Z 1.设法向量n=(x,y,z); 标系中，ABCD B 2.在已知平面内找两个不共线向量a=(a1,a2, ABCD1为正方 A(0 a3),b=(b1,b2,b3); 体，棱长为1，则直线 B [n·a=a1x十a2y十a32=0, DD的一个方向向 3.建立方程组 n·b=b1x+b2y+b3x=0: 量为 ,直线BC的一个方向向量 4.解方程组：用一个未知量表示其他两个未知 为 量，然后对用来表示两未知量的未知量赋以 名师点拔 特殊值，从而得到平面的一个法向量， 1.直线上任两点连接而成的向量都是该直线 的方向向量， ©典例精析 2.直线1的方向向量有无数个且它们彼此共线， 【典例2】如图所示，在多面体A1BD1DCBA 即若a,b都是直线l的方向向量，则a=b: 中，四边形AA1B1B,ADD1A1,ABCD均为 正方形，E为B1D的中点，过A,D,E的 29 数学选择性必修第一册人教A版 平面交CD1于F,求平面ADE、平面|[针对训练2]如图，在长方体ABCD ABCD的一个法向量. A1B1CD1中，AB=4,BC=3,CC1=2,M是 AB的中点.以D为原点，DA,DC,DD1所在直 线分别为x轴、y轴、x轴，建立如图所示的空 间直角坐标系. (1)求平面BCC1B的法向量； (2)求平面MCA1的法向量. 名师点拨 1.设直线l的方向向量为u=(a1,b1,c),平面 a的法向量为v=(a2,b2,c2),则l⊥a台u∥ u=kw←台a1=a2,b1=b2,c1=kc2,其中 k∈R. 2.过点A,且以向量n为法向量的平面记为a, 则P∈a台AP⊥n=A.n=0. 随堂演练·达标 答案见P2491 1.(多选)在直三棱柱ABCA1B1C中，以下向 列向量中能作为平面α的法向量的是() 量可以作为平面ABC法向量的有( A.(0,-3,1) A.AB B.AA B.(2,0,1) C.BB D.AC C.(-2,-3,1) 2.若A(一1,0,1)，B(1,4,7)在直线1上，则直 D.(-2,3,-1) 线1的一个方向向量为() 4.已知平面a经过三点A(1,2,3),B(2,0, A.(1,2,3) B.(1,3,2) 一1)，C(3,一2,0)，则平面a的一个法向量 C.(2,1,3) D.(3,2,1) 为 ,若P(m,0,5)在a内，则m= 3.若n=(2,一3,1)是平面a的一个法向量，则下 .●30银据题意择N3.0,号)N0,2,2),R3,2.0): 504号} 则M.西分到为MN,s的才向向量. 所以的-(-3,2号)，惑-（一a,2,号）所a 衣-破所丽感 国为M任RS,所以MN∥R5 (法二)设万B=40=b,=e -+g不+不衣--+是， 贴-秘+市+店-a+, 所以N-惑，所x丽破 义REMN,所xMN∥RS (2)解：建立如用所帝的空同直 角生标最， 则D00,0,E0.0,号）.C0, 1.r登oc.1 用以-（侵名一吉》 -(径-量).成-a含》 正-(o,-1 网*旺，-×是+号×(-号十（是）× 0=0, 所以乎⊥，即EF⊥CF 针对潮练3]证明：(1)如围，建业堂间直角经标表。 ACOBD=N,进接NE 时点N,E的业标分到为（停，，0）小：o0,1, 证-（要- 元走AM的生标分到是5i.0(竖号) -(-号，-盟 N2= 0,10 是NE与AM不共线，，NE∥AM ÷B1-√1-0+0-13+1-0P-3, 义，NE平面BDE,AM红平面BDE,∴，AM∥平 城我BN岭素为v点 面BDE (2)稳意得A1.0,0),C0,0.0),出0.1,2》， 210*丽=(-停-，1 --1.-1,》.g-0,12) D2,0.0).FE,2,1D, ,CB--1 Df=02.1),∴A0,Df=o. 又财-ECH-5 成L亦 im威，-感： 明理明1 文DF门B-F,RDR平雨BDF,BRC平香F. 长B身BC米成有的参为哥-票 M⊥年面DF, 微探克忽视两个向量夹角为较角（纯角）的秦件数误 限究国夹角与超离的计算 [典例s门解：因为0，b的夹角为锐角，所议日·b> 典例精析】 [佛例门解：知图所示，以 0,中10++号>0，剩>-蔡又吉失角为0时.存 话，心区为单杜正交悲盛建 在0，使b-标： 立堂同直角坐款系DE,则D(C, 21 ,E0.3）-F可分2o =一 c0.1mGo.1.0.B1.1D.G0,寻o 杯得一骨 1):H是CG的中点H(0,景文 器)u(, F分o FH-FR √0+（食+合o- 鼻结菌四 纠错心得 2℃G-(,-- 齿知与为的夹角为 空网传量@，山夹角为园 角的充要来样是“a: 复角，得到a·> cd-平 b0,且.b不到★” 0,便当a+b>0时， @:春夹角为能角的先灵 球-（经-》 年与b的先角不 条件是a·<0,且a, 定为似角，还可能是 b不叹向”如果在求 a-9膝，GG-景 示 天线风向，夹角为 过程中，喜视两个肉量 心，解则时存号怒阀 m感，c-哥高-得 共线的情况，载有可们 这个素停，果我扩大 扩大参数的取教范医 了参数的范置， 中EP与C,G所成商的拿孩值为哥 学吸结误 [针对训练]解女居，试L 【随堂演练·达标】 ,为单位正交泰成建立堂 1.C向量a=(-3,2,40.-(1.一22). 河直角史畅原Cy 所以0一b=《一4,2)， (1》城湖意得K0,1,0时，Nk1 副a-1mv《-)十4+2m6 2D国为a=0.2,0),b=(1,0,一1.则a+b (1.2,-1).所以a+b》·b=1×1+2×0+4一1》× (-10=2 3AW己知可得a·b=-3十2r一5=2x一8= 0,解年x=4 4答案(-心-2U(-2, 解桥：山=《1,1,0)，b-(一1,0,2)，m+b (k-1,,20,2知--3,2，-20. 所g(如十b)·(2a-b)-3×(-10+2h-4<0. 新得长子，又多每十b与2海一b反向片线时有宁 故来瓶青的取值花喝为C号具一2 1.4空间向量的应用 L41用空间肉量研究直线，平置的位置关系 第一漾时空间点、直线知平面的向量表示 【必备知识·被理】 [情境探究 援示：《1)能，因为轴的终与圆岳平面亚直，轴的方 句甲雅确定送盘平直的方向 (2)不能平由上的某一条有向线段代表的向世与 平正的方向不收一确定 [知识梳理 向量硬角量+aO减+：AA以+ x店+yC向量a向慧aP列e·市=时 [科学思增1 一，1.10/(20/(3)×(4)× A7B-(2.4,)-21,2.30.载选A 3B-1,1.-1》·1,2,1)=-1+2-1=0 〔-1.1.-10+(-1,1,20-1+1-2-0， 六向量（一1山，一1D是此十面的法向量 D内挥导-上-寻解得-6一要 天答案：①心 解析：D可=不=(0,0,1)，枚①王确：议 A可=0,1,1)，故②正魂：直线AD⊥平面ABB,A, 心-(0，l,0,城正鸡1南量的经棒为1.1,1， 与平面乐CD不金直，①桶， 二提示：不一定，以这用个向慧为方向向傲的官线 可以是同一条直线. 【关键能力·探究】 探究一空属中点和直袋的向量表示 [典例精析」 [典例1]箐漏：(1》A(2)(0.0,1》(容溪不一) (0,1,1)(答案不难一) 解析：门)A0,3y,3》和B(一1.2，》，∴语= (一1,2-y一3).：直线1的一个考南向量为m=(2 -1,a),AB-m,-1=2,2一y=一k,e-3=3 解得一子一一是六一-0 (2),DD∥AA1,AA-(0,0,1D.重线DD的一 个方向向量为0,0,1)， C》AD,-(0,1.1D. :重线BC的一个方向向量为⊙，1，D [针对调蒸1】答案：(1AB2)A 解桥：(1》M,N在直我：上， =1,1,3》 就向量(1,1,3)，(2,2，)都是是观/的个方向 向量， (2)设B杰坐标为（红y,则风百=短(>0），中 (x-2,y+1,x一7)=a(8,9。一12).因为1=14，脚 6十1刀+14从=34，解样A=2.所以士=18，y■ 17,x-=17 探究二空风平面的向量表示与平面的法肉量 典例精析】 [典例2习解：'图边形A41岛H,ADD,A:A仪D 均为王才形，AA⊥B,AM⊥AD,AB⊥AD奥 AM1■AB=AD,误A为原点，分剩以A正，D,为 工轴，3物和￥釉建主如图空间真角坐帮系，曼AB AD-A41-1.y拜440.0,00.1.0.0.D(0.1,00 A0,0,1),B,(1,0,1).D0,1.1),6E为BD的中 AE合字 径面AD泥竹法南量n1一（山为，， x-(合是）-(0,1，-10 南⊥XEm上不D w语-0,2-2y一4=0， -2. 年经+中-家 0·花-0，年2上-4y-3让-0，解得 y=1 w-0,z-2y十a-0, y11-0, 所以n-(2,1,0). =-1, 又-(m-1,一2,2)，.m-2m一2-2-0， 3为=1，时n:-(-1,11 得牌一之 =1 第二课时空间中直线、不面的不行 灵平面A民CD岭浅舟量一为，》 【必备知识·桩理】 A-1,0,01,Aj=0,1,-1, [情境架究] 而nLA,高，m⊥AD 提示：平行平行 【句识腋理】 5外一4-0， mae3A∈R.使得u:=w:aLNM·n=0 =0, 1子A∈R,使得和1一源 令1，别为=1亡%=(0,11 [科辛题维] =1, -,L.(1/(2)×(3)/《40× [针对横练2】解：(1》图为y“香直于平 2.ACDB不三晚，CD正确，B中若a∥点，别 面C,品， 南，品- 所以m一(0,1，)是平看CB的一个淡向量. (2》君为AB=4,C=3,元=2，M是AB竹中 3D四为n-03,w-（一含--受》 A.稀以MC,A的业禁分别为(3,8,0)，(0.4,00.(3， 所以的=一2n:即方《姓 0,2 所以山∥成h每白重合 此C-(一3,2.0).-0，-2,2 4.Da-(-1,2.10.b-4-2,-2,20. 设n:一红y,=)是平面MCA:的读南量 则a+-2-4十2-0，放a⊥， 时m:⊥MCm⊥C 我直线年平后e的位里关系是l∥。或Ca 所以"·C--+-0. 5.答案：∥8 1m…--3十2a-0 解析：m1一(1,2,2D,:=《3,6,6 -子 用=名南m刷区 y 二提示：与a不一定平行，有两种情况：Ca或 卓士=3，则x=2,小-3 t/a. 于是m■(2,3,3)是年面CA的一个法南量 【关键能力·探究】 【随堂演裤·达标】 探究一直城与直城原行的判斯 1.BC [典例精析] 二A南题意挥直我1的一个方向向量瓦B一(2， [典例门证明：章C中点H,连牌A 4,6,又号通=1,2,3)，两以向量(1,2,5》是直线【竹 因为底岛ACD为菱形，∠AD-子 一个方向向量， 所以AH⊥AD同 3D题意易物(2，-3,10=-(-2,3，一13， 以A为原点，AH,AD,AA所在重瓶分利为x 4答案：(2,1,0)2 畅，3y轴，寒种，建主如图所币岭堂同重角坐静系 解析：径平面a的一个法向量为n-(,,,又 则A(0,0,2》.E5,-1-D,G0,2,1D,C5,1, -1,-2,-40,-(1,-2,0-(2,-4-3 02,F3,1,1) AB-(5,-1.1D,CC-w5,-1,-10, AB/GC. .A.E/GC [针对调练1】证正明：议减D为失标零成，分彩以 D成，记，可武为正文悬焦建立空周直角业标系 不与设正方体的收长为1.附A(1,0,0》,E0,0, ）-Co1,,1,,) M=（-102元=（-102）民 0,12)=(o1,2)月 正=元记- 证，a 又F年AE,F任C,AE∥C,C∥AF ∴国边彩ACF是平行国造形 探究二直线与平面平行的判定 [典例精桥] [典例2】正用：如周骨示，D是业标原克，电土空网 直角皇杆系 录PD=DC■：，接AC,BD于G,楼 猿题毫得D(0,0,0),A(u,0,01,P0,0,a》.a 0,E0.,〉