1.3.2 空间向量运算的坐标表示-【志鸿优化训练】2025-2026学年高中数学选择性必修第一册(人教A版)

数学选择性必修第一册人教A版 1.3.2 空间向量 学业目标· 定位 课标要求 1.掌握空间向量的坐标表示 2.掌握空间两点间距离公式 3.会用向量的坐标解决一些简单的几何问题。 必备知识·梳理 ○情境探究 我国著名数学家吴文俊先生 在《数学教育现代化问题》中 指出：“数学研究数量关系与 空间形式，简单讲就是形与数，欧几里得几何体 系的特点排除了数量关系…对于集合，对于 研究空间形式，你要真正的‘腾飞’，不通过数量 关系，我想不出有什么好的办法…”吴文俊先 生明确地指出中学几何的“腾飞”是“数量化”， 也就是坐标系的引入，使得几何问题“代数化”， 为了使得空间几何“代数化”，我们引入了坐标 及其运算.与坐标轴或坐标平面垂直的向量坐 标有何特点？ …22 运算的坐标表示 学习目标 1.通过类比平面向量运算的坐标表示，能推导 空间向量运算的坐标表示。 2.能通过空间向量运算的坐标表示，推导两个 向量共线或垂直的充要条件，会表示向量长 度公式、两向量夹角公式、空间两点间距离 公式. 3.能通过空间向量运算的坐标表示，解决一些 简单的立体几何问题，强化数形结合思想，提 升分析和解决问题的能力.逐步体会用代数 方法解决几何问题的“三部曲”. 答案见P2451 自知识梳理 一、空间向量运算的坐标表示 运算 坐标表示(a=(a1,a2,a3),b=(b,b2,b) a+b= 加法 a-b= 减法 数乘 la= ,A∈R a·b= 数量积 一个空间向量的坐标等于表示此向量的有向线 段的 坐标减去 坐标，若P1(x1, 1,名)，P2(x2y2,2),则P1P2= 二、空间向量的平行与垂直的坐标表示 平行或垂直条件 a=(a1,a2,ag),b=(b,b2,b3) 的坐标表示 a∥b白a=b曰 平行(a∥b) (a∈R且b≠0) aLb=→a·b=0H 垂直(a⊥b) 三、空间向量的模及夹角的坐标表示 1.空间向量的模的坐标表示. (1)设a=(a1,a2,a3),则|a=√a·a= (2)空间两点间的距离公式. 已知A(,,名)，B(x2,y2,2),则 ①AB= ②1AI= 2.向量夹角的坐标公式 设a=(a1,a2,a3),b=(6,b,b),则cos(a,b〉= a·b ab ©科学思维 一、思考判断 1.判断正误.（请在括号中打“√”或“×”） (1)向量AB的坐标与终点B的坐标相 同.() (2)“两向量同向”是“两向量平行”的充分不 必要条件.() (3)四边形ABCD是平行四边形，则向量AB 与DC的坐标相同.( ) (4)设A(0,1,一1)，O为坐标原点，则OA (0,1,-1).( 关键能力 ·探究 探究一空间向量的坐标运算 自知识深化 空间向量的加法、减法、数量积及数乘运算的 。第一章空间向量与立体几何 2.已知向量a=(1,2,3),b=(-1,0,1),则a十 2b=() A.(-1,2,5) B.(-1,4,5) C.(1,2,5) D.(1,4,5) 3.已知向量0A=(1,0,1),03=(2,1,-1),那 么向量AB=() A(3,1,0) B.(-1,-1,2) C.(1,1,-2) n(32o) 4.已知向量a=(一3,2,5)，b=(1,5,一1)，则 a·b=() A.3 B.4 C.2 D.6 5.在空间直角坐标系中，已知A(1,一2,3)， B(0,一1,2)，则AB的模为 二、思维探究 1.已知向量a=(x1,h,为)，b=(x2,y2,22),则 a=b的充要条件是什么？ 2.向量a=(x1,y1,1),b=(x2,y2,2),a≠0， b≠0，x1x2十y1y2十12>0是(a,b)为锐角 的充要条件，对吗？ 答案见P2461 方法 (1)根据已知向量的坐标，代入空间向量的加、 减、数量积和数乘运算的坐标表示公式进行 计算. 23 数学引选择性必修第一册人教A版 (2)熟练应用有关的公式： ①(a+b)2=a2+2a·b+b; ②(a-b)2=a2-2a·b+b: ③(a+b)·(a-b)=a2-b (3)空间向量的坐标运算法则和平面向量的坐 标运算法则类似，可类比记忆.计算2a· (一b),既可以利用运算律把它化成一2(a·b), 也可先求出2a,一b,再求数量积 @典例精析 【典例1】已知a=(3,2,-1),b=(5,一3,2)，求： (1)a+2b: (2)a·b: (3)(2a+b)·(a-3b). 名师点拨 空间向量坐标运算的3类问题 由点的坐标求空间向量的坐标可由其两个端 向量坐标 点的坐标确定 直接计 首先将空间向量用坐标表示出 坐 算问题 来，然后代入公式计算 运 由条件求向量把向量坐标形式设出来，通过 算 或点的坐标 解方程（组），求出其坐标 [针对训练1](1)已知向量a=(4,一2，一4)， b=(6,一3,2)，则下列结论正确的是() A.a+b=(10,-5,2) B.a-b=(2,-1,6) C.a·b=(24,6,-8) D.|a=6 (2)若向量a=(1,1,x),b=(1,2,1),c=(1,1, 1),且满足条件(c一a)·2b=一2，则x= .。24 探究二空间向量平行、垂直的坐标表示 自知识深化 1.判断向量是否平行、垂直，可根据向量平行、 垂直的坐标表示转化为判断代数等式是否 成立 2.根据向量的平行、垂直求参数，可转化为解关 于参数的方程（组） @典例精析 【典例2】已知空间三点A(一2,0,2)，B(-1, 1,2),C(-3,0,4),设a=AB,b=AC (1)设|cl=3,c∥BC,求c; (2)若a十b与ka一2b互相垂直，求k. 名师点拨 向量平行与垂直问题的两种类型 (1)平行与垂直的判断 ①应用向量的方法判定两直线平行，只需 判断两直线的方向向量共线； ②判断两直线是否垂直，关键是判断两直 线的方向向量是否垂直，即判断两向量的数量 积是否为0. (2)平行与垂直的应用 ①适当引入参数（比如向量a,b平行，可 设a=b),建立关于参数的方程； ②选择坐标形式，以达到简化运算的 目的 [针对训练2]已知向量a=(1,-3,2),b (-2,1,1),点A(-3,-1,4),B(-2,-2,2). (1)求|2a+b. (2)在直线AB上，是否存在一点E,使得OE」 b(O为原点)？若存在，求出点E的坐标；若不 存在，请说明理由， 利用空间向量的坐标运算判断 探究三 证明平行、垂直 自知识深化 1,判断两向量是否平行或垂直可直接利用向量 平行或垂直的充要条件；已知两向量平行或 垂直求参数的值，则利用平行或垂直的充要 条件，将位置关系转化为坐标关系，列方程 (组)求解。 2.利用向量证明直线平行或垂直，则要建立恰 当的空间直角坐标系，求出相关向量的坐标， 利用向量平行、垂直的充要条件证明. @典例精析 【典例3】(1)在长方体ABCD-A1BCD中， AB=3,AD=4,AA=2,点M在棱BB1 上，且BM=2MB,点S在DD1上，且 SD1=2SD,点N,R分别为A1D1,BC的中 。第一章空间向量与立体几何 点.求证：MN∥RS. (2)棱长为1的正方体ABCD-A1BCD 中，E,F,G分别是DD1,BD,BB的中点. 求证：EF⊥CF 名师点拔 对于一些以正方体、长方体或其他具备垂 直关系的几何体作为载体的立体几何问题，可 以优先考虑坐标法，这种方法的优点在于抛开 了繁杂的推理论证，仅通过计算即可获得一些 平行、垂直关系 [针对训练3]如图，已知正 方形ABCD和矩形ACEF 所在的平面互相垂直， AB=√2，AF=1,M是线段 EF的中点 求证：(1)AM∥平面BDE; (2)AM⊥平面BDF. 25 数学选择性必修第一册人教A版 探究四夹角与距离的计算 自知识深化 空间向量的坐标表示主要应用于向量平行、垂 直、向量的模、向量的夹角，在研究几何问题中 只要建立适当的坐标系，把空间几何体中涉及 的直线和平面用向量表示，就可以使得几何证 明通过代数运算得到解决，这是使用空间向量 研究立体几何问题的基本思想 【典例4】在棱长为1的正方体ABCD A1B1CD中，E,F分别是D1D,BD的中 点，G在棱CD上，且CG=CD,H是CG 的中点。 (1)求FH的长： (2)求EF与C1G所成角的余弦值. 名师点拨】 运用空间向量的坐标运算解决立体几何 问题的一般步骤 (1)建系：根据题目中的几何图形建立恰 当的空间直角坐标系； (2)求坐标：①求出相关点的坐标：②写出 向量的坐标； (3)论证、计算：结合公式进行论证、计算； (4)转化：转化为几何结论。 。26 [针对训练4幻如图，在直三棱柱（侧棱垂直于底 面的棱柱)ABCA:BC1中，CA=CB=1, ∠BCA=90°，AA=2,N为A1A的中点. (1)求BN的长； (2)求AB与B:C所成角的余弦值， 忽视两个向量夹角为锐角（钝角） 微探究 的条件致误 【典例5】已知a=(5,3,-1D,b=(2,-号)，若 a与b的夹角为锐角，求实数t的取值范围. 。第一章空间向量与立体几何 随堂演练·达标 答案见P248 1.已知向量a=(-3,2,4),b=(1,-2,2),则 3.已知空间向量a=(-3,2,5),b=(1,x, |a-b等于() 一1)，且a与b垂直，则x等于() A.2√10 B.40 A.4 B.1 C.6 D.36 C.3 D.2 2.已知空间向量a=(0,2,0),b=(1,0,-1), 4.已知a=(1,1,0),b=(-1,0,2),且a+b 则(a十b)·b等于() 与2a一b的夹角为钝角，则实数k的取值范 A.-2 B.-1 围为 C.1 D.2 1.4空间向量的应用 1.4.1用空间向量研究直线、平面的位置关系 第一课时 空间点、直线和平面的向量表示 学业目标 定位 课标要求 学习目标 1,通过本节的学习，掌握直线的方向向量，平面 1.理解与掌握直线的方向向量，平面的法向量. 的法向量的概念并会求出直线的方向向量与 2.会用方向向量，法向量证明线线、线面、面面间的平行关系； 平面的法向量。 会用平面法向量证明线面和面面垂直，并能用空间向量这 2.能根据所给的条件利用空间向量这一重要 一工具解决与平行、垂直有关的立体几问题。 工具进行空问几何体的平行、垂直关系的 证明. 必备知识 梳理 答案见P248 ○情境探究 来刻画平面的方向吗？ 动手旋转一个圆盘陀螺，可以发现该陀螺随着 轴一起转动时，圆盘平面时而水平，时而倾斜， 在不断改变方向，陀螺的轴虽在不断改变方向， 但始终与圆盘垂直 探究：(1)我们能用轴的方向来刻画陀螺圆盘平 面的方向吗？ (2)能用平面上的某一条有向线段代表的向量 27y=2×(-1)-1■-3，2×(-40-4=-12， 所以P的皇标为(6，一3，一12. [针对别练2]县克A在：袖上的射影点竹横全 林不史，风，暨生林都为⑨，在Oy平新上岭针彩九情、 似坐赫不变，是坐静为Q城选因 探究三象向量的坐超 [典例精析] [典例]解：1)加烟，以点A为原点，以心 分别为工仙y物，g轴的正方向，均以1为单位系 足，走是堂间直角坐标感， 时A在=.市-，A不-h. xAC'-+t+元 -+心+ =+2对十转 所以高C的坐赫为(42，》 (2)胃为A■从 又而-市+D心=2j+ 所不D-心-不=2十》一4装2： 所以A了-(0,2,02. [针对谓练3]蜗：1)经x精，y轴.空陆的单往向 量分别为1，小k, 四为正素体的检天为名，所以D-,武- D=2L图为D(0,0.0),斯就A(2.0,0,C0,2,0) L0.0,2. 戈墨为迹-成+心一+： 所以B队2,2,0 月理可得A(2.0,20,B(2,2,20,C0,2.2 (2)国为E,F分利为推BB,C的中高 精以序=D录-D正 =DC-(M+Dt+号丽 =-25-1-k=(-2.-1,-10 A-求-D成 -号风-（可+风+D成----2戏 =(-2,-1,-2 At-8+压2-风-D成-2财★ =(0.2,-10 一h(Aa1,Aa:a)16十a4十向终点 将x球=《-2，-1.一1)， 起点（一4为一为一） P-(-2,-1,-2) @一0， AE-(0,2.-1》 二，4一0，十4+u4一0 做探究建情空同直角坐标解 [典例4们解：分时取C,B,C的中点 3 三，1，Va+干网-为一南一) D,D,以D为愿点，D.D成，D岭容白为 -+(物-n》+(- x,y轴，=轴的正方向建土空河直角来标 ab十@6十a必 系，如道图所，到A(0,9以B(-令0,0， 2干公++ [料学愿堆】 c是oo)ao,a(-是0.G(3a, -,L,(1》X〔2√3)44)/ 2.A金+2-(1,2,3)+2(-1,0,1D-1,2,30+ 易辑原四 其储心得 (-2.0,20-(-1,2,50. 3,C”向M=(1,01).=(2,1.-), 建系时，候认为A店与 ÷向量不-语对=(1,1一2). 易 AC每直，从后以A 在对系时应注意，老图 4.Ca=-8.2.5),b=(1.5.-10,a· 中凌有直接建系的年 为原点，A原，A正 -3十10-5-2 件，期应根保巴好条 的左角为兰转， 5.香案3 示 件，通式作辅培线来到 轴，：给的里方向见 撞合适的建系条并， 解析：A1,-2,3),B队0.-1.2) 立坐标系平发做风 则3B=(-1,1,-1) 斯MA=-1+1+(-1)=8 马一4， 【对堂演练·达标】 二提示：1一n一为 1.C点马到三个坐标平面的是离标为1，局如其 到一 标为1.1,1》 2.不对，由8·b=1十并十>0得不到 2D然道意，克P(一3,1，-4)美下y陆对称竹 (a:b)为锐角，因为当(e.)=0时，a·bsn和十 点给逢标为(3,1,4 为+>0也成立，所以n十为为十>0是 支D墨为A点不一定为原点，所以A不兵确：同 (a,》为战角的必要不充分条件. 理B,C都不正魂：由于市-店-济，所议D正确」 【关键能力·探究】 4A像题意，如p=版十体十=8i十)十 探究一空间向量的坐标运舞 B(灯十)十Kk十)=1四+1)十10k,城向量P在基痕 [鼻例精析] 1i,jk)下的坐标是(12,14,10). [典例1]解：1D南已如a-(3,2,-1).b-(5, 【,3入2空间向量运算的坐标表示 -3.20. 【必备知识·梳理】 T得十2=(32，-1+25.一3,20m(13,-430, [情境探究】 (2a·-(3,2,-1)·(5,-3,2)=15-6-2-7. 提家：方平直上的点的坐标为y,0,:平 (3)(2a十b)·(g-3h》-[2(3.2.-1》十(5，-3， 雨上的点的坐标为（红0，=），3上平面上的点的坐标为 20][(3,2.-1)-3(5,-3,2)门=(11.1,0)·(-12， 《0,y,):输上的点的坐标为(x,0,0),y轴上的点的 11,-T) 坐标为0.y,0),±轴上约点的坐标为(0,0，x -1l×(-12)十1×1山 [知识梳理 ■-121. 一.(a十面十，十)（一·一今 [针对别练1】答案11D.2)2 解折：(1)国为肉量e■《4，一2，-)，=(6，一3,2》 所这a+=(10,-3,-2),故A错溪： 年一b=(一2,1，一6)，域B0溪 每·b=24十4一8一2记，放C转侯： a=√十十可一6.，故D至确.故选D (2)格湖塘，有e一一(0,0,1一x),2b-(2,4,20 域(c一a）·2b=2(1一x)=-2,解挥x=2 佩究二整同向量不行，垂直的坐标表示 [典侧精析] 〔典倒2]解：1)国为8C=(-2,-1.2,e段 所以或到=AC=《一发，一4)， 得引=√/一么+（一+泸一3-8， 解得1一士1，中c-(-2,-1,20线0=(2,1，-2 (2)周为a=语=1,1,0)，b==(-10,2, 所风如十b一（一1，，2》， a-2b-+2.k,一4) 又网为（加+）⊥(m一2的， 所2（如十b)·(南一2）=0. 即(A=1,论，2动·+2，k,=40一2以2+-10=0， 解得=2发一号 [针对训练2】解：(1)想据通意，得 2a+b=(2,-5,4}+4-2,1,1Dm(0,-5,5 故2a十1=v0+(-5十3=5v2 (2)南于点E在直气AB上， 心-+AE-对+：i,reR, 中02-〔-3，-1,4)十1，-1，-2)-(-3十4。 1-t.4-20, ⊥，制C正·B-0, 所8-2(-3+》+《-1-1)+(4-2)一0.解得 购免在直我B上存在点E,使件正⊥，之时流E 的业格为（一音。-号.号） 保究三利周空间向量的坐标培算判斯证钥平行、 [典例精桥] 〔典例)(1)证明：（米一）知图阶帝，建之堂间直府 生林系， 银据题意择N3.0,号)N0,2,2),R3,2.0): 504号} 则M.西分到为MN,s的才向向量. 所以的-(-3,2号)，惑-（一a,2,号）所a 衣-破所丽感 国为M任RS,所以MN∥R5 (法二)设万B=40=b,=e -+g不+不衣--+是， 贴-秘+市+店-a+, 所以N-惑，所x丽破 义REMN,所xMN∥RS (2)解：建立如用所帝的空同直 角生标最， 则D00,0,E0.0,号）.C0, 1.r登oc.1 用以-（侵名一吉》 -(径-量).成-a含》 正-(o,-1 网*旺，-×是+号×(-号十（是）× 0=0, 所以乎⊥，即EF⊥CF 针对潮练3]证明：(1)如围，建业堂间直角经标表。 ACOBD=N,进接NE 时点N,E的业标分到为（停，，0）小：o0,1, 证-（要- 元走AM的生标分到是5i.0(竖号) -(-号，-盟 N2= 0,10 是NE与AM不共线，，NE∥AM ÷B1-√1-0+0-13+1-0P-3, 义，NE平面BDE,AM红平面BDE,∴，AM∥平 城我BN岭素为v点 面BDE (2)稳意得A1.0,0),C0,0.0),出0.1,2》， 210*丽=(-停-，1 --1.-1,》.g-0,12) D2,0.0).FE,2,1D, ,CB--1 Df=02.1),∴A0,Df=o. 又财-ECH-5 成L亦 im威，-感： 明理明1 文DF门B-F,RDR平雨BDF,BRC平香F. 长B身BC米成有的参为哥-票 M⊥年面DF, 微探克忽视两个向量夹角为较角（纯角）的秦件数误 限究国夹角与超离的计算 [典例s门解：因为0，b的夹角为锐角，所议日·b> 典例精析】 [佛例门解：知图所示，以 0,中10++号>0，剩>-蔡又吉失角为0时.存 话，心区为单杜正交悲盛建 在0，使b-标： 立堂同直角坐款系DE,则D(C, 21 ,E0.3）-F可分2o =一 c0.1mGo.1.0.B1.1D.G0,寻o 杯得一骨 1):H是CG的中点H(0,景文 器)u(, F分o FH-FR √0+（食+合o- 鼻结菌四 纠错心得 2℃G-(,-- 齿知与为的夹角为 空网传量@，山夹角为园 角的充要来样是“a: 复角，得到a·> cd-平 b0,且.b不到★” 0,便当a+b>0时， @:春夹角为能角的先灵 球-（经-》 年与b的先角不 条件是a·<0,且a, 定为似角，还可能是 b不叹向”如果在求 a-9膝，GG-景 示 天线风向，夹角为 过程中，喜视两个肉量 心，解则时存号怒阀 m感，c-哥高-得 共线的情况，载有可们 这个素停，果我扩大 扩大参数的取教范医 了参数的范置， 中EP与C,G所成商的拿孩值为哥 学吸结误 [针对训练]解女居，试L 【随堂演练·达标】 ,为单位正交泰成建立堂 1.C向量a=(-3,2,40.-(1.一22). 河直角史畅原Cy 所以0一b=《一4,2)， (1》城湖意得K0,1,0时，Nk1 副a-1mv《-)十4+2m6 2D国为a=0.2,0),b=(1,0,一1.则a+b (1.2,-1).所以a+b》·b=1×1+2×0+4一1》× (-10=2 3AW己知可得a·b=-3十2r一5=2x一8= 0,解年x=4 4答案(-心-2U(-2, 解桥：山=《1,1,0)，b-(一1,0,2)，m+b (k-1,,20,2知--3,2，-20. 所g(如十b)·(2a-b)-3×(-10+2h-4<0. 新得长子，又多每十b与2海一b反向片线时有宁 故来瓶青的取值花喝为C号具一2 1.4空间向量的应用 L41用空间肉量研究直线，平置的位置关系 第一漾时空间点、直线知平面的向量表示 【必备知识·被理】 [情境探究 援示：《1)能，因为轴的终与圆岳平面亚直，轴的方 句甲雅确定送盘平直的方向 (2)不能平由上的某一条有向线段代表的向世与 平正的方向不收一确定 [知识梳理 向量硬角量+aO减+：AA以+ x店+yC向量a向慧aP列e·市=时 [科学思增1 一，1.10/(20/(3)×(4)× A7B-(2.4,)-21,2.30.载选A 3B-1,1.-1》·1,2,1)=-1+2-1=0 〔-1.1.-10+(-1,1,20-1+1-2-0， 六向量（一1山，一1D是此十面的法向量 D内挥导-上-寻解得-6一要 天答案：①心 解析：D可=不=(0,0,1)，枚①王确：议 A可=0,1,1)，故②正魂：直线AD⊥平面ABB,A, 心-(0，l,0,城正鸡1南量的经棒为1.1,1， 与平面乐CD不金直，①桶， 二提示：不一定，以这用个向慧为方向向傲的官线 可以是同一条直线.