1.3.1 空间直角坐标系-【志鸿优化训练】2025-2026学年高中数学选择性必修第一册(人教A版)

时正A层+AE=A语++C+ 1-13风+(1-14 图为BD1AE 所以0.论-(+国-)·[花+ (1-+0-2]-0, 四为A可·-0，A·C-。. 所以0：A2-号1-A》·A+1AC+ 0-初-0-游-8，， 周为花·语=2.=不=6，南= 心--4， 所以0：论-]一A+a+81一1)一41-2)- 24=5一5动■0，阶以人■1， 此时点E与左C重合，EI-记-2， 所以存在点E,显E新-2 【随堂演练·达标】 L,D由观意三植草OAC中，赢PE雨ABC,贝 =成+k通-记 所以号+一1一1，好一是 故选，D. 2A男为0-r0时+y08-80C 箭城0D=一r0A-2y函+3.又点D在 △ABCW光的平面内0是平面AC外任意一点， 所以一一2y十3=1，即x-2-2 副十=(2-y)十y=5y一8y十4日 }广+言 故瑞：A 玉.ACD国为a,b,是定间的一个单位正交系点 所以年：b.e均为单望向量具两两意直，所以a十b 2-2,A正m. 图为a-b十b十C-atG,所以{e一b,b十ca十d]不 能构成堂网的一个基成，B特渠 (a十b)·(a十e)■金m1.C正填 莉为不存在实数，y,使将x(e一b)十yB十》 来表示每个点的位置 0一e,斯以a一b,b十t,a一e以构成空河的一个悬度，D 《)先说明飞统在海南上点P的上空，再说明机 王魔.故选：ACD 在海面上空的高度P.如图，将得面看成一个平面，从 4答案：2四 飞规在整中斯在位置向等平面作平线PP,帝足为P 解析：在平行片面体ABCDA'B'C'D中， 则飞机在P上空，为了刻顺P严在海平面上的位置，在海 AB+AD+AA. 平面上建这平面直角坐标系，则P可以山它在这个坐 标系中的生标(x+y)米剩面又由于飞机在寄平面上空 的高度PP=:是一个实数，因跑传x:y:这三个实数 组成有序实数组《x,y,=),它就刻简了飞桃的位量P, 称之为点P的坐标 向1A4=1d=2,11=3,∠AA4= ∠A'AD=0, 拜D.A-B.A-2×3×0%60-3, [如识藏理 BD是至方形.样A语，AD=0. 一，半际轴蜂标向量标平面八 所这A心1-√(AH+AD开AT 二，横规整 -/中成年-十t 三，a=(xyx】 一√++罗+2X0+2×3+2X丽-2西 科李思维] 放答案为：四 解：1)已知B*a,A市-b=c, 2C燕(2,0,3》的y轴皇帮为0，所以填点在： 年：d=威+AD=b一a,-+A 平面上 3A点（一1,2，？）关于x轴对棒的A的生标为 -+C+C”-a十be (-1-2,-70 (2》证明：设∠BAD=∠BLM'=∠DMM'-, 4.B美学平面左时称竹克，横坐标是为和及 夏AB=AD■AA=2, 数，飘业标和壁坐林相同。 别8·b=b·C=a+e=2×2c0s0=e0s0,且a= 5,答案：4一4,0,00 2=4, 解桥1减P(-4-2,3) 荆.心-(a十b+e)+《B一=a+b-d+ ,自点P引￥轴的垂找，◆尾坐标为（一4,0,0）： -g·十rb一g· 二提示：1.氨点，单标拍方向，单位长度 有，0=4m8一4十4-4xm0+4oo 2,如图，过点P分期作意直于 tcos 9-0. x精，y韩和：组的平面，依次交士 即AC⊥BD, 轴.3轴和：轴于点A,B,C设交点 同理可得AC⊥B', A,B,C在r轴、y轴和轴上的米 若为AC⊥BD,AC⊥BA',BDC平面ABD 标分脚代表隆一的实数：y:,将这三个实数按颗序样 EA'C平南A'BD,且BD门A'-B, 成一组（红，y,》,耳么点P纸对应雅一编定的有序实数 群以AC⊥平面A'BD, 组（红，3，z).甲得到点P的坐标 13空间向量及其运算的坐标表示 3.的定点P(x,3,》,在x鞋y鞋和a轴上依次透 13.1空网直角坐标系 数金标为xy:的点A,B,C,过这三点分联作一个章 【必备知识·梳理】 直于x结，y轴和x轴的平面，期这三个平置的唯一交 [情境探究 点就是有序实数组（红，y,)所确定的点P 提示：们)用三个实数组成的有序实数组《：：，) 空句中的点P与有序实数组x,3,)之司可以建 【关键能力·踩究】 闲究一空同直角坐标系 [典例精析] [典例1门苦案（宁11）(1.21)1,11 解析：国为正-心+可+心-+心+ 不，所就舟量的生“为（令，，1 两为aF+那+A下A百+2A+ 所以肉量正的坐标为，是1 为C一A亚+D+,所保南量可的皇粉 为1,1,10 故素为：（受小(1,11 [针对谓练1]解：由题意，加A0,0,0以. 南于点B在r轴上，且AB一4，则它的被#为4： 夏它的板矣标和竖坐躲年为0， 所以克日的坐标为《4,0,0》， 阀理Y得D0,3,0),A(0,0,5)1 肉于燕C在Ay平面内，附它的竖牵标为0，点C 在E他，y柏上的射影依次为点B,点D,天AB=4, AD=3, 所以森C竹统坐标和城坐标快流为4,3，即表C的 坐标为(4.3,0》 网理可得五(40,5》，D03,5)1 本C在士轴、y格和=轴上的朝影敲次考减召， D和点A1,所以点C的坐释为(4,3,5).所以A(0,0, 00,4.0,0》,C4,3,00,D(0,3,00,4(0.0,5),B(4 0.3),C(4,3,30,D0,3,32. 探究二空间中点的对称间圆 [典创精斯) [典例2]解：(1)由于点P关于￥仙时格后，它在工 轴的分量不爱，在y轴：轴的分量变为原来的相反数 所说对称兵坐标为P《一2，一1。一4 (2)脚点P美千0平香对称后，它在兰袖，y得 的分量不发，在轴的分量克为原来的相反数，所以时 称灰是标为：《一2,1，一41 (3)授时林点为P,(x,y,),利点M为风校PP 的中杰， 由中先堡标公式，可得工2×2一（一2》=6， A y=2×(-1)-1■-3，2×(-40-4=-12， 所以P的皇标为(6，一3，一12. [针对别练2]县克A在：袖上的射影点竹横全 林不史，风，暨生林都为⑨，在Oy平新上岭针彩九情、 似坐赫不变，是坐静为Q城选因 探究三象向量的坐超 [典例精析] [典例]解：1)加烟，以点A为原点，以心 分别为工仙y物，g轴的正方向，均以1为单位系 足，走是堂间直角坐标感， 时A在=.市-，A不-h. xAC'-+t+元 -+心+ =+2对十转 所以高C的坐赫为(42，》 (2)胃为A■从 又而-市+D心=2j+ 所不D-心-不=2十》一4装2： 所以A了-(0,2,02. [针对谓练3]蜗：1)经x精，y轴.空陆的单往向 量分别为1，小k, 四为正素体的检天为名，所以D-,武- D=2L图为D(0,0.0),斯就A(2.0,0,C0,2,0) L0.0,2. 戈墨为迹-成+心一+： 所以B队2,2,0 月理可得A(2.0,20,B(2,2,20,C0,2.2 (2)国为E,F分利为推BB,C的中高 精以序=D录-D正 =DC-(M+Dt+号丽 =-25-1-k=(-2.-1,-10 A-求-D成 -号风-（可+风+D成----2戏 =(-2,-1,-2 At-8+压2-风-D成-2财★ =(0.2,-10 一h(Aa1,Aa:a)16十a4十向终点 将x球=《-2，-1.一1)， 起点（一4为一为一） P-(-2,-1,-2) @一0， AE-(0,2.-1》 二，4一0，十4+u4一0 做探究建情空同直角坐标解 [典例4们解：分时取C,B,C的中点 3 三，1，Va+干网-为一南一) D,D,以D为愿点，D.D成，D岭容白为 -+(物-n》+(- x,y轴，=轴的正方向建土空河直角来标 ab十@6十a必 系，如道图所，到A(0,9以B(-令0,0， 2干公++ [料学愿堆】 c是oo)ao,a(-是0.G(3a, -,L,(1》X〔2√3)44)/ 2.A金+2-(1,2,3)+2(-1,0,1D-1,2,30+ 易辑原四 其储心得 (-2.0,20-(-1,2,50. 3,C”向M=(1,01).=(2,1.-), 建系时，候认为A店与 ÷向量不-语对=(1,1一2). 易 AC每直，从后以A 在对系时应注意，老图 4.Ca=-8.2.5),b=(1.5.-10,a· 中凌有直接建系的年 为原点，A原，A正 -3十10-5-2 件，期应根保巴好条 的左角为兰转， 5.香案3 示 件，通式作辅培线来到 轴，：给的里方向见 撞合适的建系条并， 解析：A1,-2,3),B队0.-1.2) 立坐标系平发做风 则3B=(-1,1,-1) 斯MA=-1+1+(-1)=8 马一4， 【对堂演练·达标】 二提示：1一n一为 1.C点马到三个坐标平面的是离标为1，局如其 到一 标为1.1,1》 2.不对，由8·b=1十并十>0得不到 2D然道意，克P(一3,1，-4)美下y陆对称竹 (a:b)为锐角，因为当(e.)=0时，a·bsn和十 点给逢标为(3,1,4 为+>0也成立，所以n十为为十>0是 支D墨为A点不一定为原点，所以A不兵确：同 (a,》为战角的必要不充分条件. 理B,C都不正魂：由于市-店-济，所议D正确」 【关键能力·探究】 4A像题意，如p=版十体十=8i十)十 探究一空间向量的坐标运舞 B(灯十)十Kk十)=1四+1)十10k,城向量P在基痕 [鼻例精析] 1i,jk)下的坐标是(12,14,10). [典例1]解：1D南已如a-(3,2,-1).b-(5, 【,3入2空间向量运算的坐标表示 -3.20. 【必备知识·梳理】 T得十2=(32，-1+25.一3,20m(13,-430, [情境探究】 (2a·-(3,2,-1)·(5,-3,2)=15-6-2-7. 提家：方平直上的点的坐标为y,0,:平 (3)(2a十b)·(g-3h》-[2(3.2.-1》十(5，-3， 雨上的点的坐标为（红0，=），3上平面上的点的坐标为 20][(3,2.-1)-3(5,-3,2)门=(11.1,0)·(-12， 《0,y,):输上的点的坐标为(x,0,0),y轴上的点的 11,-T) 坐标为0.y,0),±轴上约点的坐标为(0,0，x -1l×(-12)十1×1山 [知识梳理 ■-121. 一.(a十面十，十)（一·一今 [针对别练1】答案11D.2)2 解折：(1)国为肉量e■《4，一2，-)，=(6，一3,2》 所这a+=(10,-3,-2),故A错溪： 年一b=(一2,1，一6)，域B0溪 每·b=24十4一8一2记，放C转侯： a=√十十可一6.，故D至确.故选D (2)格湖塘，有e一一(0,0,1一x),2b-(2,4,20 域(c一a）·2b=2(1一x)=-2,解挥x=2 佩究二整同向量不行，垂直的坐标表示 [典侧精析] 〔典倒2]解：1)国为8C=(-2,-1.2,e段 所以或到=AC=《一发，一4)， 得引=√/一么+（一+泸一3-8， 解得1一士1，中c-(-2,-1,20线0=(2,1，-2 (2)周为a=语=1,1,0)，b==(-10,2, 所风如十b一（一1，，2》， a-2b-+2.k,一4) 又网为（加+）⊥(m一2的， 所2（如十b)·(南一2）=0. 即(A=1,论，2动·+2，k,=40一2以2+-10=0， 解得=2发一号 [针对训练2】解：(1)想据通意，得 2a+b=(2,-5,4}+4-2,1,1Dm(0,-5,5 故2a十1=v0+(-5十3=5v2 (2)南于点E在直气AB上， 心-+AE-对+：i,reR, 中02-〔-3，-1,4)十1，-1，-2)-(-3十4。 1-t.4-20, ⊥，制C正·B-0, 所8-2(-3+》+《-1-1)+(4-2)一0.解得 购免在直我B上存在点E,使件正⊥，之时流E 的业格为（一音。-号.号） 保究三利周空间向量的坐标培算判斯证钥平行、 [典例精桥] 〔典例)(1)证明：（米一）知图阶帝，建之堂间直府 生林系，数学选择性必修第一册人教A版 1.3空间向量及其运算的坐标表示 1.3.1空间直角坐标系 学业目标·定位 课标要求 学习目标 1.理解空间直角坐标系，感受建立空间直角坐 标系的必要性。 1.了解空间向量基本定理及其意义，掌握空间向量的正交分 2借助空间直角坐标系理解空间中点的坐标和 解及其坐标表示。 向量的坐标的概念及坐标表示。 2.掌握空间向量的线性运算及其坐标表示. 3.会用坐标表示空间向量的线性运算及数量积 3.掌握空间向量的数量积及其坐标表示. 运算. 4.会利用空间向量运算的坐标表示解决一些简 单的立体几何问题。 必备知识 ·梳理 答案见P2431 ○情境探究 向、以它们的长为单位长度建立三条数轴：x 在一条直线上可以建立数轴，将每个点的位置 轴、y轴、之轴，它们都叫做 这时我 用一个实数x来表示.在一个平面上可以建立 们就建立了一个空间直角坐标系Oxyz,O叫做 原点，i,j,k都叫做 ,通过 平面直角坐标系，将每个点的位置用两个实数 每两条坐标轴的平面叫做 组成有序实数对(x,y)来表示. 分别称为Oxy平面，Oyz平面，Ozx平面，它们 探究：(1)在空间中怎样表示每个点的位置呢？ 把空间分成 个部分 (2)如何刻画在海面上空飞行的飞机的位置P? 二、空间直角坐标系中点的坐标 在空间直角坐标系Oxyz中，i,j,k为坐标向 量，对空间任意一点A,对应一个向量OA,且点 A的位置由向量OA唯一确定，由空间向量基本 定理，存在唯一的有序实数组(x,y,x),使 OA=xi+yj+zk. 在单位正交基底{i,j,k}下与向量OA对应 的有序实数组(x,y,),叫做点A在空间直 自知识梳理 角坐标系中的坐标，记作A(x,y,z),其中x 一、空间直角坐标系的建立 叫做点A的 坐标，y叫做点A的 在空间选定一点O和一个单位正交基底{i,j, 坐标，之叫做点A的 k}.以点O为原点，分别以i,j,k的方向为正方 坐标 …18 。第一章空间向量与立体几何 三、空间直角坐标系中向量的坐标 4.在空间直角坐标系Oxyz中，点A(1,一2,5) 在空间直角坐标系Oxyz中，给定向量a,作 关于平面yO:对称的点B为( ) OA=a.由空间向量基本定理，存在唯一的有序 A.(1,-2,-5) B.(-1,-2,5) 实数组(x,y,x),使a=i十以j十水.有序实数 C.(-1,-2,-5) D.(1,2,-5) 组(x,y,z)叫做a在空间直角坐标系Oxyz中 5.在空间直角坐标系中，自点P(一4，一2,3)引 的坐标，上式可简记作 x轴的垂线，则垂足的坐标为 ©科学思维 二、思维探究 一、思考判断 1.空间直角坐标系的三个要素是什么？ 1.判断正误.（请在括号中打“√”或“×”） (1)空间直角坐标系中的任意一点的坐标是 唯一的.() (2)空间直角坐标系中x轴上点的横坐标 x=0,竖坐标z=0.() 2.如果点P不在三个坐标平面内，如何确定它 (3)空间直角坐标系中xOz平面上点的坐标 的坐标？ 满足x=0.() (4)关于坐标平面yOz对称的点的坐标其纵 坐标、竖坐标保持不变，横坐标相反.() 2.点(2,0,3)在空间直角坐标系中的( A.y轴上 B.xOy平面上 3.给定一点P的坐标，即P(x,y,x),如何在空 C.xOz平面上 D.第一象限内 间直角坐标系下确定这个点？ 3.已知点A(-1,2,7),则点A关于x轴对称 的点的坐标为() A(-1,-2,-7) B.(-1,-2,7) C.(1,-2,-7) D.(1,2,-7) 关键能力 探究 答案见P2441 探究 空间直角坐标系 坐标轴上的射影（或者通过它到这个坐标平 面的距离加上正负号)确定第三个坐标 知识深化 @典例精析 建系确定点的坐标的原则 【典例1】如图，在长方体 D (1)建立空间直角坐标系时应遵循以下原则： ABCD-A1BC1D1中，E,F A ①让尽可能多的点落在坐标轴上或坐标平 分别为D1C,BC1的中 面内 点，若以{AB,AD,AA}为 ②充分利用几何图形的对称性， (2)求某点的坐标时，一般先找这一点在某一坐 基底，则向量AE的坐标为 ,向量A的坐标为 ,向量 标平面的射影，确定其两个坐标，再找出它在另 AC的坐标为 19 数学选择性必修第一册人教A版 名师点拔 P(工，y,)关于工轴对称P,(一工，-y,。 用基底表示向量的三个步骤 (3)P,y,)关于坐标平面O对搭R红，y,一： (1)定基底：根据已知条件，确定三个不共 面的向量构成空间的一个基底。 P(x,y,)关于坐标平面0对搭P,(一工，y,: (2)找目标：用确定的基底（或已知基底） P(x,y,z) 关于坐标平面0x对称P,(x,一y,z). 表示目标向量，需要根据三角形法则及平行四 记忆口诀：“关于谁对称谁不变，其余相反”. 边形法则，结合相等向量的代换，向量的运算 ©典例精析 进行变形、化简，最后求出结果 【典例2】在空间直角坐标系中，已知点P(一2， (3)下结论：利用空间向量的一个基底{a, 1,4). b,C}可以表示出空间所有向量.表示要彻底， (1)求点P关于x轴对称的点的坐标； 结果中只能含有a,b,c,不能含有其他形式的 (2)求点P关于xOy平面对称的点的坐标； 向量： (3)求点P关于点M(2,一1，一4)对称的点 [针对训练1]如图，在长方体 的坐标。 ABCD-A1BC1D中，AB=4, AD=3,AA1=5,以点A为原 点，分别以AB,AD,AA1所在 直线为x轴、y轴、之轴建立空间直角坐标系. 求点A,B,C,D,A1,B1,C,D1的坐标 名师点拨 求空间对称点的2个策略 空间，点的对称可类比平面直角坐标系中 策略 点的对称，要掌握对称点的变化规律， 才能准确求解 探究二空间中点的对称问题 。策略」 常采用“关于谁对称，谁保持不变，其 余坐标相反”这个结论 鲁知识深化 [针对训练2]点A(一1,2,1)在x轴上的射影 空间中点关于原点、坐标轴及坐标平面的对称 点和在Oxy平面上的射影点的坐标分别 点的坐标特征： 为() (1)P(x,y,x) 关于原点对称P1(一x,一y,一)； A.(-1,0,1),(-1,2,0) B.(-1,0,0),(-1,2,0) (2P(,y,)关于：轴时称P,(红，一y,一： C.(-1,0,0),(-1,0,0) P(红，y,)关于y轴对称P,(一，，一： D.(-1,2,0),(-1,2,0) .。20 。第一章空间向量与立体几何 探究三 求向量的坐标 [针对训练3]已知正方体ABCD-A1BCD1的 棱长为2，E,F分别为棱BB1,DC的中点，如图 自知识深化 所示建立空间直角坐标系 求空间向量坐标的两种方法 (1)写出各顶点的坐标； 将待求向量用基向量表示出来，对应项 (2)写出向量EF,B卢，A1的坐标. 方法 系数形成的有序数组即为所求的向量坐 标，此时要注意向量表示中基向量的先 后顺序要与基底中向量的顺序保持一致 对于建立了空问直角坐标系的情形，可 方法 以先写出相关点的坐标，向量的坐标为 其终点的坐标碱去始点相应的坐标 @典例精析 【典例3】在长方体ABCD-A'B'C'D'中，已知 AB=4,AD=2,AA'=4. (1)建立适当的空间直角坐标系，并求点C 微探究 建错空间直角坐标系 的坐标； 【典例4】在正三棱柱ABCA1B,C中，已知 (2)求AD的坐标 △ABC的边长为1，三棱柱的高为2，建立适 当的空间直角坐标系，写出各顶点的坐标. 随堂演练·达标 答案见P2451 1.如图所示，正方体ABCD 3.在空间直角坐标系Oxyz中，下列说法正确 A1BCD的棱长为1，则点 B A 的是() B:的坐标是( A.向量A的坐标与点B的坐标相同 A.(1,0,0) B.向量A的坐标与点A的坐标相同 B.(1,0,1) C.向量AB与向量O的坐标相同 C.(1,1,1) D.向量A$与向量O克-OA的坐标相同 D.(1,1,0) 4.设{i,j,k}是单位正交基底，已知向量p在基 2.已知空间点P(一3,1，一4)，则点P关于y 底{a,b,c}下的坐标为(8,6,4)，其中a=i十 轴对称的点的坐标为() j,b=j十k,c=k十i,则向量p在基底{i,j, A.(-3,-1,-4)B.(-3,-1,4) k}下的坐标是( C.(-3,1,4) D.(3,1,4) A.(12,14,10) B.(10,12,14) C.(14,12,10) D.(4,3,2) 21