1.2 空间向量基本定理-【志鸿优化训练】2025-2026学年高中数学选择性必修第一册(人教A版)

。第一章空间向量与立体几何 随堂演练·达标 答案见P240 1.下列式子正确的是( 4.在等腰△ABC中，若A=,AB=2,则向量 3 A.aa=a2 B.(a·b)2=a2b C.a(a·b)=b·a D.la·bl≤|allb AB在向量BC上的投影向量为 2.在长方体ABCD-A1BCD中，设AB=a, 5.如图，在□ABCD中，AD=4,CD=3, AD=b,AA=c,则a·(2b十c)的值 ∠ADC=60°，PA⊥平面ABCD,PA=6,则 为() 线段PC的长为 A.1 B.0 C.-1 D.-2 3.已知a,b是异面直线，A,B∈a,C,D∈b, AC⊥b,BD⊥b,且AB=2,CD=1,则a与b 所成的角是() A.30° B.45 C.60° D.90 1.2空间向量基本定理 学业目标 ·定位 课标要求 学习目标 1,理解并记住共线向量基本定理、平面向量基本定理、共面向 1.通过对空间向量基本定理的意义的掌握与了 量定理及空间向量基本定理的内容及含义. 解，会用空间向量的基底表示空间任一向量， 2.理解基底与基向量的含义，会用恰当的基向量表示空间任 能用正交分解及坐标形式表示空间向量。 意向量 2.结合平面向量与空间向量的基本定理，解决 3.会用相关的定理解决简单的空间几何问题 平面与立体几何的相关问题 必备知识 ·梳理 答案见P2411 目情境探究 目知识梳理 观察如图所示的平行六面体，已知AB=a,AD 一、空间向量基本定理 =b,AA=c,请运用空间向量的线性运算知 1.空间向量基本定理：如果三个向量a,b,c 识，用a,b,c表示向量AC,表示唯一吗？此时 ,那么对任意一个空间向量 这三个向量a,b,c共面吗？ p,存在唯一的有序实数组(x,y,),使得p= D 2.基底：如果三个向量a,b,c不共面，那么所有 空间向量组成的集合就是 这个集合可看作由向量a,b,c 生成的，我们把{a,b,c}叫做空间的一个 13… 数学选择性必修第一册人教A版 ,a,b,c都叫做基向量。 A.AB.AC,AD 二、空间向量的正交分解 B.AB.AAi,ABI 1.单位正交基底：如果空间的一个基底中的三 C.DA,DC,DD 个基向量 ,且长度都为 ,那么 D.AC.A.C.CC 这个基底叫做单位正交基底，常用 3.已知{a,b,c}能构成空间的一个基底，则下面 表示 的各组向量中，不能构成空间基底的 2.正交分解：把一个空间向量分解为 是() 的向量，叫做把空间向量进行正交 A.a+b,b,c 分解。 B.a,a-b,c 科学思维 C.a-c,b-c;a-b 一、思考判断 D.a,b,a+b+c 1.判断正误.（请在括号中打“/”或“×”） 4.若向量a,b与任何向量都不能构成空间的一 (1)已知空间的三个向量a,b,c,则对于空间 个基底，则一定有( 的任意一个向量p总存在实数x,y,之使得 A.a与b共线 B.a与b同向 p=za+yb+zc. C.a与b反向 D.a与b共面 (2)空间中的基底是唯一的.() 5.已知{e1,e2,eg}是空间的一个基底，若e1十 (3)零向量能作为基向量.() e2+e3=0,则λ2+2十2= (4)空间任一向量都可以分解成三个不共面 二、思维探究 向量和的形式，且分解是唯一的.( 1.基底选定后，空间中的所有向量均可由该基 (5)空间同一向量对不同基底的分解，有序实 底唯一表示吗？不同基底下，同一个向量的 数组存在且是不同的.( 表达式都相同吗？ 2.在长方体ABCD-A:B1C1D1中，可以作为空 间向量一个基底的是( 2.基底中能否有零向量？ 关键能力·探究 答案见P241 探究一 基底的判断 性表示，则不能构成基底， (2)假设a=b十c,运用空间向量基本定 自知识深化 理，建立入“的方程组，若有解，则共面，不能 1.判断三个空间向量是否共面，若共面，则不能 作为基底；若无解，则不共面，能作为基底， 构成基底；若不共面，则能构成基底 ©典例精析 2.(1)如果向量中存在零向量，则不能作为基 【典例1】已知{e1,e2,e3}是空间的一个基底，且 底；如果存在一个向量可以用另外的向量线 OA=e1+2e2-e,Oi=-3e1+e2+2e, 14 。第一章空间向量与立体几何 O心=e1+e2-ea,试判断{OA,Oi,O心能否 探究二 用基底表示向量 作为空间的一个基底。 自知识深化 用基底表示向量时，若基底确定，要充分利用向 量加法、减法的三角形法则和平行四边形法则， 以及向量数乘的运算律；若没给定基底，首先选 择基底，选择时，要尽量使所选的基向量能方便 地表示其他向量，再就是看基向量的模及其夹 角是否已知或易求 @典例精析 【典例2】如图，在空间四边形 OABC中，G,H分别是 △ABC,△OBC的重心，D 为BC的中点，试用基底 OA,Oi,O心)表示向量OG和G五 名师点拨 判断三个向量能否作为基底的方法和技巧 (1)判断三个向量能否作为基底，关键是 判断它们是否不共面，若从正面判断难以入 手，可以用反证法结合共面向量定理或者利用 常见的几何体作为模型，进行判断。 (2)求一向量在不同基底下的表示式，一般 采用待定系数法，即设出该向量在新基底下的表 示式，转化为在原基底下的表示式，对比系数 [针对训练1](1)设x=a十b,y=b十c,z=c十 a,且{a,b,c}是空间的一个基底，给出下列向量 名师点拨 组：①{a,b,x,②{x,y,z},③{b,c,z},④{x,y, 1.空间中，任一向量都可以用一组基底表示， a十b十c以.其中可以作为空间一个基底的向量 且只要基底确定，则表示形式是唯一的 ) 组有( 2.用基底表示空间向量时，一般要结合图形， A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 运用向量加法、减法的平行四边形法则、三 (2)下列能使向量MA,M花，M心成为空间的一 角形法则，以及数乘向量的运算法则，逐步 个基底的关系式是( 向基向量过渡，直至全部用基向量表示。 3.在空间几何体中选择基底时，通常选取公共 A.0om=Oi+号o+30d 起，点最集中的向量或关系最明确的向量作 B.MA-MB+MC 为基底，例如，在正方体、长方体、平行六面 C.OM-0A+0B+OC 体、四面体中，一般选用从同一顶点出发的 D.MA=2 MB-MC 三条棱所对应的向量作为基底 15. 数学选择性必修第一册人教A版 [针对训练2]在平行六面体ABCD-A1B,CD 择恰当的基底证明： 中，设AB=a,AD=b,AA=c,E,F分别是 (1)EG∥AC: AD1,BD的中点， (2)平面EFG∥平面AB'C. (1)用向量a,b,c表示D1B,EF: (2)若DF=m+3b+c,求实数x,y,之的值. D 【典例4】如图，在空间四边形OABC中， ∠AOB=∠BOC=∠AOC,且OA=OB= OC,M,N分别是OA,BC的中点，G是 MN的中点. 求证：OG⊥BC 探究三空间向量基本定理 【典例5】如图，在平行六面体ABCD A1B1CD1中，以顶点A为端点的三条棱 鲁知识深化 长度都为1，且两两夹角为60° (1)求AC1的长；(2)求BD1与AC所成角 首先根据几何体的特点，选择一个基底，把题目 的余弦值. 中涉及的两条直线所在的向量用基向量表示. (1)若证明线线垂直，只需证明两向量数量积 为0. (2)若证明线线平行，只需证明两向量共线， (3)若要求异面直线所成的角，则转化为两向量 的夹角（或其补角）. @典例精析 【典例3】如图，在平行六面 D 体ABCD-A'B'C'D'中， A E,F,G分别是A'D', DD,DC的中点，请选 .。16 。第一章空间向量与立体几何 名师点拨 A1B1CD1中，AB=5,AD=3,AA1=4, 1.(1)求两异面直线的夹角，可转化为求两直 ∠DAB=90°，∠BAA1=∠DAA1=60°，E是 线的方向向量的夹角 CC1的中点，设AB=a,AD=b,AA=c. (2)由两个向量的数量积定义得cos(a,b) (1)求AE的长； ab,求(a,b)的大小，转化为求两个向量 a·b (2)求异面直线AE和BC夹角的余弦值， 的数量积及两个向量的模，求出(a,b)的余 弦值，进而求(a,b》的大小，在求a·b时注 意结合空间图形，把a,b用基向量表示出 来，进而化简得出a·b的值。 (3)异面直线AB,CD的夹角a∈(0，受】，而 [针对训练4]如图，正三棱柱ABCA:BC的 侧棱长为4，底面边长为2，D为AC1的中点. (AB,C市)∈[0，π]，故a=(AB,C市)或a (1)以{AB,A心，AA》为空间的一组基底表示 π-(AB,CD). 向量BD,B1C 2.求两点间的距离或线段长度的方法 (2)线段CB,上是否存在一点E,使得BD⊥ (1)将此线段用向量表示 AE?若存在，求AE;若不存在，请说明理由。 (2)用其他已知夹角和模的向量表示该向量 (3)利用|a=√a,通过计算求出|a|,即得 所求距离或线段长度。 [针对训练3]如图，在平行六面体ABCD 随堂演练·达标 答案见P2431 1.三棱锥OABC中，点P∈面ABC,且O泸= D.{a一b,b十c,a一c}构成空间的一个基底 2OA+kO应-0心，则实数k=( 4.在平行六面体ABCDABCD中，底面ABCD是边 长为2的正方形，侧棱A4'的长为3，且∠AAB= A-司 C.1 D ∠AAD=60,则AC的张为 2.已知点D在△ABC确定的平面内，O是平面 5.如图，在平行六面体ABCD-A'B'CD'中， ABC外任意一点，实数x,y满足D0=xOA+ ∠BAD=∠BAA'=∠DAA',AB=AD= 2yO克-3O心，则x2+y2的最小值为( AA'=2.iAB=a,AD=b,AA'=c. (1)用基底{a,b,c}表 A B C.1 D.2 示向量B动，BA,AC; 3.(多选)已知{a,b,c}是空间的一个单位正交 (2)证明：AC⊥平面 基底，则( ) A'BD. A.|a+bl=√2c B.{a一b,b十c,a十c}构成空间的一个基底 C.(a+b)·(a+c)=1 17P必=(P+AD+ =P++C中+2Pg,AD+2D C.FA =+4+3y+2AC1m120 =1一12m4 :心-7，期℃m2 1,2空间向量基本定理 【必备知识·植理】 [情境累究】 提示：不C=a十b十e,表示是库一的，这三个向址 a,b,e不共有 勿识流理] 一，1.不共面四十十置 2《Pp-潭十h十xxyE杯底 二，L,两两垂直1， 2,三个两两垂直 [和李愿谁1 -.1.(1》×(2)×(3)×4)/(5)W 2C南堂间向量是本定星可如C正璃， 3,C由周形结合分稀a一e,h一e,一，三个有量 共面，不种成怎底。 4,A如定理可为只有不共气的雨向量才可议戴 基展，向量a,与任何向量每本能构成堂闻的一个基 底，期一定有8身b兴战 50(南响》是堂间传一个暴限，有角n 为不共面向量 又1十e十01=0，A=x==0,'十十 =0 二，提示：1.某底遂定后，空间中的断有向量均可由 该慧收准一表家，不一定相同.不同基底下，同一个向旦 的表达式也有可能不同 之.不能，因为零向量与任意一个非零向量共就，与 任意界个丰零向量共面。 【关键能力·探究】 探究一基庄的判素 [典例精桥] [奥例门解：假设，殖武共面，期办在尖数2： n洗OA0通+： -ta-e)---e 0+2eo-A6-36+0+2）+u{e+每 》■（一3十e十(A+角十（然一x) 6不共香， 探究三空闻问霸基本定理 -M十x-1: 典侧精析] “A十=2，无才程组无解 [典例订证明：敢系从，3D 以-a=一1 .通，不共面，，语.可以非为 1)周为成-+0-0+号移， 空间的一个蒸庭 AB+AD-2E动.所这E心A心 [钟对横感1】(1)C(2)C如图屏示，本a-B, 又G,AC无公共点，所EGAC (2国*心-FD+DG-A+B +-2G. 所武∥正，又GAB无公养点， 所法RG∥AB 削x-A出，y-A,-A，a+b十-AC虏于 又下G克平而ABC,ABC平面ABC A县，C,D明，点不类面，有加向量￥y:t也不类面，同 所以G∥平面ABC, 理h,0玉和x,5,十b十c也不养香.所议①⑧可以并 又由1)物8AC,南理可样℃W平面ABC, 为基底 又FCOEG=G,PG,EGC平面ERG (2对千速项A,丽=zA+y范十=心(x+ 所洪平香EG求平面ABC y十g=1),则MA,B.C国.表兵香，得MAB.C共 [费酬】证阴：速接ON,图感流∠ACB-乙C 面：时于4项B,D,可w,M面，心类面.故瑞已 ∠AMC=g, 探究二用基底表示量 「典创精督】 又藏=e,i=b,=e 副ia=bmeg [典例2】解：0心-+心-0+名心 -0丽+ -0+}0B+aC -o+0通+0] =+0通-+ -(a+bre). -成++记 必-e-b, 周为0明-00-}(06+0 .-a++e…e-0 所以G丽-O-=(是通+7) =e一a+be-形+n-e (蓝+证+花)--试 as-acosa [针对训练】解：1)DB-D心+D3-一国+ i-心=a-bc GLC,即OG1BC E-E+-DA+号--}+ [典酬5]解：(1)最A市一a,AD-b,-c,附 al-15-c1-1.(a.b>-(8.c>-(c.8)-60. b++A=之(a-e, 两以eB-Br一eg- (2-是D市+D,-(-网+D +-is+6+e)-a'++e+2(s.b+b. 中e)-1+1+1+2×(分十+是+2)-6 膏以C1=6,中AC的长券 (2可-b+c-a,C-a+b, 所这1√E,C一， B:AC=(h十c一a》·(e+h)=N一a十ac十 b.cml, w面动-既- 所联AC与5D,所浅民特余然值为夏 [针对训练第3]解：1)齿题意得论一5+武+ cta+0+20-e++2o 义AB-5,AD-3.AA-4,∠DAB=90, ∠BAA-∠DAA=0, 装论-(e+叶)-g++c+a计 b十a =++×4+21e·bm9w+1b1·e: n60+a·lelcess6o =25+9+4+2×5x3×0+3×4×号+5×4×号 =25+9+4+6+10=54 技AE-E-35 (2·配-(a++)·b-a·b++ o·b-1a·boms0'+1+号d·1 -5×3×0++号×3×4×壹-9+3-12. 观界所直找AE和BC共角为， 影m-,01-减：院 12=28 3w6X30 [针对瑞练4】解：1)面-币-函=号心+ }-4 ,心-C-感---不， (2速换A81, 做授线段C出上存在一克卫，线得D上AE,直 5E-ABC1∈[o.1, 时正A层+AE=A语++C+ 1-13风+(1-14 图为BD1AE 所以0.论-(+国-)·[花+ (1-+0-2]-0, 四为A可·-0，A·C-。. 所以0：A2-号1-A》·A+1AC+ 0-初-0-游-8，， 周为花·语=2.=不=6，南= 心--4， 所以0：论-]一A+a+81一1)一41-2)- 24=5一5动■0，阶以人■1， 此时点E与左C重合，EI-记-2， 所以存在点E,显E新-2 【随堂演练·达标】 L,D由观意三植草OAC中，赢PE雨ABC,贝 =成+k通-记 所以号+一1一1，好一是 故选，D. 2A男为0-r0时+y08-80C 箭城0D=一r0A-2y函+3.又点D在 △ABCW光的平面内0是平面AC外任意一点， 所以一一2y十3=1，即x-2-2 副十=(2-y)十y=5y一8y十4日 }广+言 故瑞：A 玉.ACD国为a,b,是定间的一个单位正交系点 所以年：b.e均为单望向量具两两意直，所以a十b 2-2,A正m. 图为a-b十b十C-atG,所以{e一b,b十ca十d]不 能构成堂网的一个基成，B特渠 (a十b)·(a十e)■金m1.C正填 莉为不存在实数，y,使将x(e一b)十yB十》 来表示每个点的位置 0一e,斯以a一b,b十t,a一e以构成空河的一个悬度，D 《)先说明飞统在海南上点P的上空，再说明机 王魔.故选：ACD 在海面上空的高度P.如图，将得面看成一个平面，从 4答案：2四 飞规在整中斯在位置向等平面作平线PP,帝足为P 解析：在平行片面体ABCDA'B'C'D中， 则飞机在P上空，为了刻顺P严在海平面上的位置，在海 AB+AD+AA. 平面上建这平面直角坐标系，则P可以山它在这个坐 标系中的生标(x+y)米剩面又由于飞机在寄平面上空 的高度PP=:是一个实数，因跑传x:y:这三个实数 组成有序实数组《x,y,=),它就刻简了飞桃的位量P, 称之为点P的坐标 向1A4=1d=2,11=3,∠AA4= ∠A'AD=0, 拜D.A-B.A-2×3×0%60-3, [如识藏理 BD是至方形.样A语，AD=0. 一，半际轴蜂标向量标平面八 所这A心1-√(AH+AD开AT 二，横规整 -/中成年-十t 三，a=(xyx】 一√++罗+2X0+2×3+2X丽-2西 科李思维] 放答案为：四 解：1)已知B*a,A市-b=c, 2C燕(2,0,3》的y轴皇帮为0，所以填点在： 年：d=威+AD=b一a,-+A 平面上 3A点（一1,2，？）关于x轴对棒的A的生标为 -+C+C”-a十be (-1-2,-70 (2》证明：设∠BAD=∠BLM'=∠DMM'-, 4.B美学平面左时称竹克，横坐标是为和及 夏AB=AD■AA=2, 数，飘业标和壁坐林相同。 别8·b=b·C=a+e=2×2c0s0=e0s0,且a= 5,答案：4一4,0,00 2=4, 解桥1减P(-4-2,3) 荆.心-(a十b+e)+《B一=a+b-d+ ,自点P引￥轴的垂找，◆尾坐标为（一4,0,0）： -g·十rb一g· 二提示：1.氨点，单标拍方向，单位长度 有，0=4m8一4十4-4xm0+4oo 2,如图，过点P分期作意直于 tcos 9-0. x精，y韩和：组的平面，依次交士 即AC⊥BD, 轴.3轴和：轴于点A,B,C设交点 同理可得AC⊥B', A,B,C在r轴、y轴和轴上的米 若为AC⊥BD,AC⊥BA',BDC平面ABD 标分脚代表隆一的实数：y:,将这三个实数按颗序样 EA'C平南A'BD,且BD门A'-B, 成一组（红，y,》,耳么点P纸对应雅一编定的有序实数 群以AC⊥平面A'BD, 组（红，3，z).甲得到点P的坐标 13空间向量及其运算的坐标表示 3.的定点P(x,3,》,在x鞋y鞋和a轴上依次透 13.1空网直角坐标系 数金标为xy:的点A,B,C,过这三点分联作一个章 【必备知识·梳理】 直于x结，y轴和x轴的平面，期这三个平置的唯一交 [情境探究 点就是有序实数组（红，y,)所确定的点P 提示：们)用三个实数组成的有序实数组《：：，) 空句中的点P与有序实数组x,3,)之司可以建 【关键能力·踩究】 闲究一空同直角坐标系 [典例精析] [典例1门苦案（宁11）(1.21)1,11 解析：国为正-心+可+心-+心+ 不，所就舟量的生“为（令，，1 两为aF+那+A下A百+2A+ 所以肉量正的坐标为，是1 为C一A亚+D+,所保南量可的皇粉 为1,1,10 故素为：（受小(1,11 [针对谓练1]解：由题意，加A0,0,0以. 南于点B在r轴上，且AB一4，则它的被#为4： 夏它的板矣标和竖坐躲年为0， 所以克日的坐标为《4,0,0》， 阀理Y得D0,3,0),A(0,0,5)1 肉于燕C在Ay平面内，附它的竖牵标为0，点C 在E他，y柏上的射影依次为点B,点D,天AB=4, AD=3, 所以森C竹统坐标和城坐标快流为4,3，即表C的 坐标为(4.3,0》 网理可得五(40,5》，D03,5)1 本C在士轴、y格和=轴上的朝影敲次考减召， D和点A1,所以点C的坐释为(4,3,5).所以A(0,0, 00,4.0,0》,C4,3,00,D(0,3,00,4(0.0,5),B(4 0.3),C(4,3,30,D0,3,32. 探究二空间中点的对称间圆 [典创精斯) [典例2]解：(1)由于点P关于￥仙时格后，它在工 轴的分量不爱，在y轴：轴的分量变为原来的相反数 所说对称兵坐标为P《一2，一1。一4 (2)脚点P美千0平香对称后，它在兰袖，y得 的分量不发，在轴的分量克为原来的相反数，所以时 称灰是标为：《一2,1，一41 (3)授时林点为P,(x,y,),利点M为风校PP 的中杰， 由中先堡标公式，可得工2×2一（一2》=6， A