1.1.2 空间向量的数量积运算-【志鸿优化训练】2025-2026学年高中数学选择性必修第一册(人教A版)

臂以F=A2+欲=是旷+DF-DE 孤+B-有-心+游-环+ +诚 (2)说式-面十加严不为》， -DG-E-D,C-+历A-★AC AAAA)-AA+A =从（瓦原-D)+(DD-DA)=A(DF DE+w,月-D正)-A乎+w, 则E,E共面且有公共点E,所xE,P,G,日 国急其面。 [针对荆练】解：()南题意得网的=一号码 量，周为心-0i+花. 花-而，亦-0亦-成. 又D为BC的中是，所以市-（随+C, 斯元-试+是市-+号亦- +号×是硒+西- =a+0语+0=号a++e. (2四为丽-0丽-武 0丽-号动=号×20通+=青+e. 简acA-号h+e-寸a++e)=—寻a 诚. --},所- 所江N,N,G,H国点共面 【随堂演滋·达标】 上，A对于A因岁空间向量朋与厨至为相反向 童，所以室同肉量A存号的长度相等，故A正项：对 于B,将实间中所有的单位南量平移到同一个起成，刚 官们的弊点种成一个珠面，故B错误：时于C,空间向量 可注用空司中的一条有衡线授表示，根堂闻向量不是有 向线段，故C替误：对于D,两个堂间向量不核等，它幻 的模可能抽等，也可能不相￥，知如向量A存与人的模相 等，故D错说 1BNM-NM+扇=〔0减-0)+号A返= 3A因为语一不，两球语为A℃的是商为 45,址A正填：网为店-不区，斯以与C不的夹月 i-心+流-)-0对+-心 为]5，城B不正墙：图为市-不矿，所洪市与 的美角为0，武C不正确：四为A历一官，所以B与 是a+0-c以 的表角为附，故D不至墙 3AD女国，设MN分到为AD,品G的中走， 4.B由随老可得AB⊥D.ABLAA:, A,(A分利为上.下底垂的中心，+（动一2丽， 所以9⊥b,aLG,所以0·b-00·C-0 +-2内，E为相反向曼，址A正确：流-C 所以0"《十e)=g"b十g”c0 ,--D,夏为相等向量，位B接： 五号ma高-意- --A风，元一可=C乙，是为相成向量，故C王 4:i++记+-2，++C+ da创- 二提示：不满足，即对于向量a,b,C,(s·c是与 共线的向量，面a·(B·》晶当a共线的向量，所以同 者不一定相等。 【关键能力·探究】 探奖一向量的整量积坛算 4答案：相等相及 [鼻刷精析] 解析：在三校杜ACA'BC中，对边剂ACCA'是 [奥例]解：1)E卧，=号那，高 平静网遂形，则配-℃，甲心与A是相予肉量：臂 政形AB矿A'是平行臂边形，一E=-A,甲 =是adob, 市B是相反向量. -=wm0-是 5制：1ai+亦+觉+成-A+配454 成-元+i+-市-心- 2·-是d·市-是6- (2AA++5-5-C a.式-号动.心-号动1·C1 11.1空风向量的数量规运算 【必备知识·较理】 ast.d-吉m1n'- [情黄探究】 (AB.c-AB. 湿示：由于任意两个室间向量都可以通过平移转化 A原，AD-A雨，C 为司一学面内的向量，因此，两个空间风量的夹角和数 =i1da,7市-1花1m(在， 量积饺可以像平面向量那样来定义 A-cos 60"-cos 6o'-0. [知识核理 [针对剩练1】答案：1D《213 一.1.∠A0Ba,b 解析：（门）如周.周为D为传AB的中点，所以 1[6,]e0或球直日1b 二，零la5ma(a,b的ana,b》0 币-i+) e·B=0 ab)4·b+ee 三1aoma投影向级 不书不Be.X [科学思维】 -.110(2)×(3》X(4/ 币，风-i+F,风-号P以.武+ 2AD PA.PC). 肉正四西体得性爱，P以为风的炎角为6，网厘 P可与C的夫角为6，P=可=心=I,PM, 风-丽，风-1Xm的- 所，P师-名×传+ 故地可 (2)空月向量，的夫角为号，=2，b=3 影aa+w)=a+ab-a+3a·m于 3+3X2X3X分-1R 故客案为13 探究二料用数量积求向量的夹角 [典例精桥 [典倒】解：母为而一C不-C$-以十 0-CB. 官*帝+C 所以孩赋--+2+=6， 1 CR中-C-0i+-CF+-P+ E1-5 .C-(CA+0-·(B+0 =-语=四-1=3， m赋.a-哥 切 6×店10 [针对瑞德2]B在王三棱枝AA:BCG中，肉 量就，不去面，瓜-感-， -+成 ◆8形1-，时话-C一2a,而昭⊥话. L那： 子是得 成·心=底一)·心+成)-成· 心一话·C-威· -一2aV2aow6时-0 离光AB国⊥ 背缓H:与C所成角的女小为 故选 探究三利用数量家证附空间的意直关琴 「典例精析] [典例3们证明：生40N,提 ∠AOB-∠BC-∠AOC-&, 又浪M=e,语=b,论=e 则a-b-cl. 元-专0丽0N -[2网+生o+0] -e+b+0.-e-a O,威-a+br)·e-b -子at-a…+be-+e-8e四 -(a*·os-aF·s-aF+a)-0 GL,中0G1C 针对制练3】证明：装为成=不百-耶。 x-成+配. 又BB⊥平香AC 所以配·A=0,底·心-Q 又△ABC为正三扇形 斯以，=一威=青- 因为·一迹+感)·（昭+C AB,B成+AB,BC+BR+B成，一|AB, C·a,+--1+10,米AB LEC 探乳四利用向量数量积术距南 [奥侧精析] [典例4门解：国为.∠ACD-时'，所C·D-o, 阴理得C.话- 四为AB与D点0年， 所以A,C6一0'，点（威.-10 戈BD-A++CD, 斯以市=MP+心甲+5P+2, +2时，+动·D-3+2×1×1×m% c 所以垂（可·C市一6知'时，心中=4，光时B.D 间的矩禹为21 当(B,=120时，d=2,龙时B,D月的 矩离为2 针对喇练]解：子=+ =2+号aA+4的 平面ABC, -i++武 =成+a返-+-减] ,BC平香AC, -+速+记 ∴PA⊥BC,PA·BC-0, 在△AC中，∠AEC=I,PA=AB=BC=6 的-球+0论+论+2×(-)× t,正=t甲=站， 话.文-1·心18知°-12U-18, }对.瑞+2×（一》×是0丽·流+8×生× :向登心在向量院上的授到向受为 。石语，心=2 文-+就0·成- E1一区，即E,F州的是离为区 Ei,R+aA:+成· 钢究五向量的投影 [典例精桥) +1+段- [典例5]答案：(1)B(2)C 解折：()在四面体中，国为∠A8D=∠BDC 就客常为：寻心 00,AC=2HD. (2)方漆一：在至方张ABCDA:品CD中，青如 量AC-2,BD-1,L动.动-动·记-0， ABBA1品，∠CA:民=45， AC-AB+80+IX. 有量5南量可失角为4后，山-1.A引 论·b-(A++心，心-迹P T+C下一， 防和上的袋彩构美为，亮 册以句堂在向量：C上的投影向童是点· 恶-证 故瑞弘 方法二：径BD几AC一O,如图，由远方体的丝 (2》习勿101一|2角十南一怎，设向量，的失角 质开AB/A.B..AB-A岳，BOLAC,南量B在 为0， 向量A,上的狼那向量是A- 所风品1卡+4目有F+41011o8=5,可得 10+12年10s9叶27-0， 如圆，连楼AC,交D于点O,嘉知ACLD,战面 解得60一十7 参直注质有CL热， 126厂 由BB门BD-B,BA,BDC年面BDD弘，剩 所区自在方向上的投影为1o0一 ACL平面BDDB, -(品-高 所以AB在平香DD,H1上的提彩舟童就是雨.号 如通-号殖 1时，等季成主， 背以白在备才向上的找影的孩大框功 故选C [针对调练5引菩案：幻)2论(2》A心 我客家分：2不C,DA 微探究混淆向量的夹角与空辑角 2D [典例]解：CLAH,HD⊥AB,可，3= 解析：(1)由随意：在三校维P议C中，巴知PA上 0,0.A-0 ”二香角。-B-度的年面角为12时，(， )=18-120=50 .CDm《CA+AA+H■C+A+BD+ 87A.AA+2CA.B0+20.AB-3x6+8x ×m460-144.∴CD-12 男储原因 纠错心得 利用数量泉的性喷求整有 关平团或空同中角的月厕 本圆易带的地方 时，要特对注意向量的夹角 是混清二要角的 与所来角的区别与联暴，切 易 平百角与刻量亮 不？起鸣角的限值花围图 角的恒念，面误认 育日套用，利用向量凉二可 为尚量瓦，那为 角的平面角时，一极不能怎 夹角高，一 证所攻的角装是二面角的 10,得到特误答 早雪角，也有可能是二面0 毫D-62 的平置角的并角，这时要站 合实每丽形对所求的角进 行通的处理： 【随堂演练·达标】 1D银塘数量和的定义如，A,B.C均不正确 a,制=eb时|ma·blallb, 2日由长方你的性晴可稀，店1市，面不 故语，D=0..=0. 为-a,迹-b,元-t, 阶xa,(2b+e}=A店，(2A方+A)=2A店， 市+店，0 玉C(,g AB.-(AC+C6+D6C6 =予=1， m密-是 又0180,0=60 4首案1一现 解析：6年B=C=骨，C=28,则句量不乃在向 武上的彩肉量方动1，脑·器 试 s?心-i+b+C P必=(P+AD+ =P++C中+2Pg,AD+2D C.FA =+4+3y+2AC1m120 =1一12m4 :心-7，期℃m2 1,2空间向量基本定理 【必备知识·植理】 [情境累究】 提示：不C=a十b十e,表示是库一的，这三个向址 a,b,e不共有 勿识流理] 一，1.不共面四十十置 2《Pp-潭十h十xxyE杯底 二，L,两两垂直1， 2,三个两两垂直 [和李愿谁1 -.1.(1》×(2)×(3)×4)/(5)W 2C南堂间向量是本定星可如C正璃， 3,C由周形结合分稀a一e,h一e,一，三个有量 共面，不种成怎底。 4,A如定理可为只有不共气的雨向量才可议戴 基展，向量a,与任何向量每本能构成堂闻的一个基 底，期一定有8身b兴战 50(南响》是堂间传一个暴限，有角n 为不共面向量 又1十e十01=0，A=x==0,'十十 =0 二，提示：1.某底遂定后，空间中的断有向量均可由 该慧收准一表家，不一定相同.不同基底下，同一个向旦 的表达式也有可能不同 之.不能，因为零向量与任意一个非零向量共就，与 任意界个丰零向量共面。 【关键能力·探究】 探究一基庄的判素 [典例精桥] [奥例门解：假设，殖武共面，期办在尖数2： n洗OA0通+： -ta-e)---e 0+2eo-A6-36+0+2）+u{e+每 》■（一3十e十(A+角十（然一x) 6不共香， 探究三空闻问霸基本定理 -M十x-1: 典侧精析] “A十=2，无才程组无解 [典例订证明：敢系从，3D 以-a=一1 .通，不共面，，语.可以非为 1)周为成-+0-0+号移， 空间的一个蒸庭 AB+AD-2E动.所这E心A心 [钟对横感1】(1)C(2)C如图屏示，本a-B, 又G,AC无公共点，所EGAC (2国*心-FD+DG-A+B +-2G. 所武∥正，又GAB无公养点， 所法RG∥AB 削x-A出，y-A,-A，a+b十-AC虏于 又下G克平而ABC,ABC平面ABC A县，C,D明，点不类面，有加向量￥y:t也不类面，同 所以G∥平面ABC, 理h,0玉和x,5,十b十c也不养香.所议①⑧可以并 又由1)物8AC,南理可样℃W平面ABC, 为基底 又FCOEG=G,PG,EGC平面ERG (2对千速项A,丽=zA+y范十=心(x+ 所洪平香EG求平面ABC y十g=1),则MA,B.C国.表兵香，得MAB.C共 [费酬】证阴：速接ON,图感流∠ACB-乙C 面：时于4项B,D,可w,M面，心类面.故瑞已 ∠AMC=g, 探究二用基底表示量 「典创精督】 又藏=e,i=b,=e 副ia=bmeg [典例2】解：0心-+心-0+名心 -0丽+ -0+}0B+aC -o+0通+0] =+0通-+ -(a+bre). -成++记 必-e-b, 周为0明-00-}(06+0 .-a++e…e-0 所以G丽-O-=(是通+7) =e一a+be-形+n-e (蓝+证+花)--试 as-acosa [针对训练】解：1)DB-D心+D3-一国+ i-心=a-bc GLC,即OG1BC E-E+-DA+号--}+ [典酬5]解：(1)最A市一a,AD-b,-c,附 al-15-c1-1.(a.b>-(8.c>-(c.8)-60. b++A=之(a-e, 两以eB-Br一eg- (2-是D市+D,-(-网+D +-is+6+e)-a'++e+2(s.b+b. 中e)-1+1+1+2×(分十+是+2)-6 膏以C1=6,中AC的长券 (2可-b+c-a,C-a+b, 所这1√E,C一， B:AC=(h十c一a》·(e+h)=N一a十ac十 b.cml, w面动-既- 所联AC与5D,所浅民特余然值为夏 [针对训练第3]解：1)齿题意得论一5+武+ cta+0+20-e++2o 义AB-5,AD-3.AA-4,∠DAB=90, ∠BAA-∠DAA=0, 装论-(e+叶)-g++c+a计 b十a =++×4+21e·bm9w+1b1·e: n60+a·lelcess6o =25+9+4+2×5x3×0+3×4×号+5×4×号 =25+9+4+6+10=54 技AE-E-35 (2·配-(a++)·b-a·b++ o·b-1a·boms0'+1+号d·1 -5×3×0++号×3×4×壹-9+3-12. 观界所直找AE和BC共角为， 影m-,01-减：院 12=28 3w6X30 [针对瑞练4】解：1)面-币-函=号心+ }-4 ,心-C-感---不， (2速换A81, 做授线段C出上存在一克卫，线得D上AE,直 5E-ABC1∈[o.1,。第一章空间向量与立体几何 随堂演练·达标 答案见P237 1.下列命题中，为真命题的是( 4.如图，在三棱柱ABCA'B'C'中，AC与AC是 A.向量AB与BA的长度相等 向量，AB与BA'是 向量 B.将空间中所有的单位向量移到同一个起 (用“相等”“相反”填空)。 点，则它们的终点构成一个圆 C.空间非零向量就是空间中的一条有向 线段 D.不相等的两个空间向量的模必不相等 5.如图，在正方体ABCD-A,BCD1中，化简下 2.如图，在三棱锥OABC中， 列向量表达式： M,N分别是AB,OC的中 (1)AB+CD+BC+DA; 点，设OA=a,Oi=b,O心=c, (2)AA+BC+DD. 用a,b,c表示NM,则NM等 于() A2(-a+b+c) B.(a+b-o C.j(a-b+e D2(-a-b叶e) 3.(多选)在正方体ABCD-A1BCD中，已知 AC1的中点为O,则下列互为相反向量的 有() A.OA+Oi与OB+OC B.Oi-O心与0A-OD C.OA-OA与0C-0G D.Oi+Oi+心+O市与0A+OB+0C+ OD 1.1.2 空间向量的数量积运算 学业目标·定位 课标要求 学习目标 1.掌握空间向量的夹角的概念。 L.了解空间向量夹角的概念及表示方法。 2.掌握空间向量的数量积的定义、性质，运算律. 2.掌握两个向量的数量积的概念、性质与运 3.了解空间向量投影的概念以及投影向量的意义， 算律 4.能用空间向量的数量积解决立体几何中的垂直、夹角、长度 3.可以用数量积证明垂直，求解角度和长度。 等问题 7。 数学选择性必修第一册人教A版 必备知识·梳理 答案见P237 ○情境探究 二、空间向量的数量积及其性质 如果一个物体在力F的 已知两个 向量a,b,则 作用下产生位移5，那么 叫做向量a,b的数量积，记作a· 力F所做的功W=F· b,即a·b= :零向量与任意向 s=|Fs cos0,为了在数学中体现“功”这样 量的数量积为 ,即0·a= 个标量，我们引进了“数量积”的概念。 a⊥ba a·a=aa cos(a,a〉 探究：据此我们定义了平面向量的夹角及数量 质 积运算.那么在空间向量中是否也如此呢？ (a)·b 运 a·b=b·a(交换律) a·(b十c)= (分 配律) 三、向量的投影 1.向量a向向量b的投影：如图(1)，在空间，向 量a向向量b投影，先将它们平移到同一个 平面α内，利用平面上向量的投影，得到与向 量b共线的向量c,c= ,向量c 称为向量a在向量b上的 .如图 (2),也可以将向量a向直线l投影 a 国知识梳理 A C B 一、空间向量的夹角 图(1) 图(2) 图(3) 1.空间向量的夹角的定义：如图，已知两个非零 2.向量a向平面3的投影：如图(3)，向量a向 向量a,b,在空间任取一点O,作OA=a, 平面B投影，就是分别由向量a的起点A和 Oi=b,则 叫做向量a,b的夹角，记 终点B作平面B的垂线，垂足分别为A',B, 作 得到向量 ,向量 称为向量 a a在平面B上的投影向量.这时，向量 +B 的夹角就是向量a所在直线与平面 β所成的角， 2.范围：(a,b)∈ .特别地，当(a,b》=0 时，两向量a,b同向共线；当(a,b〉= 科学思维 时，两向量a,b反向共线.所以若a∥b,则 一、思考判断 1.判断正误.（请在括号中打“/”或“×”） (a,b〉= :当(a,b》=受时，两向量 (1)向量a在向量b上的投影向量c= a,b互相 ,记作 …8 。第一章空间向量与立体几何 aloa,b·0.(） AAB与AC B.A克与CA' C.Ai与AD D.AB与BA (2)对于任意向量a,b,c,都有(a·b)c= 4.在棱长为1的正方体ABCD-A1BCD1中， a(b·c).() 设AB=a,AD=b,AA=c,则a·(b+c)的 (3)若a·b=b·c,且b≠0，则a=c.() 值为( ) (4)在△ABC中，(AB,C第)=∠B.() A.1 B.0 C.-1 D.-2 2.(多选)设a,b为空间中的两个非零向量，则 5.已知a=3,|b1=2,a·b=-3,则(a,b》= 下列各式正确的有() A.a2=|a2 二、思维探究 Ba·bb 空间向量的数量积运算满足结合律吗？ C.(a·b)2=a2·b D.(a-b)2=a2-2a·b+b 3.在如图所示的正方体中，下列各对向量的夹 角为45的是( 关键能力·探究 答案见P238 探究一向量的数量积运算 (3)E.D心； (4)AB.CD. 鲁知识深化 在几何体中求空间向量数量积的步骤 (1)首先将各向量分解成已知模和夹角的向量 的组合形式. (2)利用向量的运算律将数量积展开，转化为已 知模和夹角的向量的数量积 (3)代入a·b=|a bcos(a,b)进行求解 ©典例精析 【典例1】如图所示，在棱长为1 名师点拔 的正四面体ABCD中，E,F 计算空间向量数量积的2种方法 分别是AB,AD的中点， 方法 利用利用a·b=alblcos(a,b并结合运 定义门算律进行计算 求值： 计算两个向量的数量积时，可先 (1)EF·BA; 方法 利用将各向量移到同一顶点，利用图 图形 (2)E.Bd; 形寻找夹角，再代入数量积公式 进行运算 9 数学选择性必修第一册人教A版 [针对训练1](1)在正四面体PABC中，棱长 名师点拔 为1，且D为棱AB的中点，则PD·P心的值 L.求两个非零向量的夹角可以把向量夹角转 为() 化为平面几何中的对应角，利用解三角形的 知识求解。 2.利用夹角公式求异面直线所成的角 取向量 根据题设条件在所求的异面直线上取两 个向量 A.-1 B-8 n.司 角转化 把异面直线夹角的问题转化为向量夹角 问题 (2)已知空间向量a,b的夹角为，a=2, 求余 1b=3,则a·(a十3b)= 弦值 利用数量积求余弦值或角的大小 探究二利用数量积求向量的夹角 异面直线的夹角为锐角或直角，利用向 定结果 量的夹角求余弦值应将余弦值加上绝对 值，继而求角的大小 自知识深化 [针对训练2]如图，在正三棱 a·b 设向量a,b所成的角为0，则cos0=ab进 柱ABCA1B1C1中，若AB= 而可求两异面直线所成的角. √2BB,则AB与BC1所成角 的大小为( ⊙典例精析 【典例2】如图，在直三棱柱ABCA:B1C中， A.60° B.90 C.105 D.75 ∠BCA=90°，CA=CB=1,棱AA1=2,点 探究三 利用数量积证明空间的垂直关系 N为AA1的中点. 求cos(BA,CB)的值. 雪 知识深化 B 利用a⊥b台→a·b=0(a≠0，b≠0)，可将垂直问 题转化为向量数量积的计算问题， @典例精析 【典例3】已知空间四边形OABC中，∠AOB= ∠BOC=∠AOC,且OA=OB=OC,M,N 分别是OA,BC的中点，G是MN的中点， 求证：OG⊥BC .。10 。第一章空间向量与立体几何 名师点拔 名师点拔 利用向量数量积判断或证明垂直问题的策略 利用向量方法求长度或距离的基本方法 由数量积的性质a⊥b一a·b=0a,b≠0 (1)将相应线段用向量表示，通过向量运 可知， 策略 要让两直线垂直，可分别构造与 两直线平行的向量，只要证明这两个向 算来求对应向量的模 量的数量积为0即可 (2)因为a·a=|a2,所以|a=√a·a, 用向量法证明线面垂直，离不开线面垂 这是利用向量解决长度或距离问题的基本公 策略 直的判定定理，需将线面垂直转化为线 线垂直，然后利用数量积证明线线垂直 即可 式.另外，该公式还可以推广为|a士b| [针对训练3]如图，正三棱柱ABCA1BC中，底 √/(a±b)2=√a2士2a·b+b. 面边长为2.若侧棱长为1，求证：AB⊥BC. (3)可用|a·el=|al|cos01(e为单位向 量，0为a,e的夹角)来求一个向量在另一个向 量上的投影向量的大小 [针对训练4]如图，在空间四边 形OABC中，OA,OB,OC两两 成60°角，且OA=OB=OC=2, E为OA的中点，F为BC的中 点，试求E,F间的距离. 探究四 利用向量数量积求距离 ●知识深化 运用公式|a2=a·a,可将线段长度的计算问 题转化为向量数量积的计算问题。 @典例精析 【典例4】如图，在平行四边形ABCD中，AB= AC=1,∠ACD=90°，沿着它的对角线AC 探究五 向量的投影 将△ACD折起，使AB与CD成60°角，求 此时B,D间的距离， 知识深化 空间向量的投影包括空间向量向另一个向量、 一条直线和一个平面的投影等三种情况，其中 前两种投影的定义与平面向量的相应投影是一 致的.一般地，向量投影是高维空间到低维子空 间的一种线性变换，是构建高维空间与低维空 间联系的桥梁.空间向量的投影对研究立体几 何问题有重要意义，它为后续研究各种距离问 题提供方法，也是证明空间向量数量积分配律 的基础 11 数学选择性必修第一册人教A版 @典例精析 【典例5】(1)在空间四边形ABCD中，∠ABD= ∠BDC=90°，AC=2BD,则Bd在AC上的投 影向量为( (2)如图，在棱长为1的正方体ABCD A.AC B fAC A1B1CD1中，向量AB在向量AC上的投影向 CB励 D.}B动 量是 ,向量AB在平面BDD1B1上的 投影向量是 (2)若空间向量6，e满足1e|=|2e十e2= 3,则e在e2方向上投影的最大值是( ) A.3 B.0 C-33 2 D 名师点拨 微探究混淆向量的夹角与空间角 1.如图(1)，在空间，向量a向向量b投影，由 【典例6】如图所示，在 于它们是自由向量，因此可以先将它们平移 平面角为120°的二 到同一个平面《内，进而利用平面上向量的 面角arAB-B中， 投影，得到与向量b共线的向量c,c ACCa,BDCB,且 1 alcos(a,b)合，向量e称为向量a在向量 AC⊥AB,BD⊥AB,垂足分别为A,B.已知 AC=AB=BD=6,求线段CD的长. b上的投影向量，类似地，可以将向量a向直 线1投影如图(2)]. 2.如图(3)，向量a向平面B投影，就是分别由 向量a的起，点A和终，点B作平面B的垂线， 垂足分别为A',B,得到AB,向量AB称 为向量a在平面B上的投影向量.这时，向量 a,AB的夹角就是向量a所在直线与平面B 所成的角 c B (1 (2) (3) [针对训练5](1)如图，在三棱锥PABC中， 已知PA⊥平面ABC,∠ABC=120°，PA= AB=BC=6,则向量P心在向量BC上的投影向 量为 (用向量BC来表示)， …12 。第一章空间向量与立体几何 随堂演练·达标 答案见P240 1.下列式子正确的是( 4.在等腰△ABC中，若A=,AB=2,则向量 3 A.aa=a2 B.(a·b)2=a2b C.a(a·b)=b·a D.la·bl≤|allb AB在向量BC上的投影向量为 2.在长方体ABCD-A1BCD中，设AB=a, 5.如图，在□ABCD中，AD=4,CD=3, AD=b,AA=c,则a·(2b十c)的值 ∠ADC=60°，PA⊥平面ABCD,PA=6,则 为() 线段PC的长为 A.1 B.0 C.-1 D.-2 3.已知a,b是异面直线，A,B∈a,C,D∈b, AC⊥b,BD⊥b,且AB=2,CD=1,则a与b 所成的角是() A.30° B.45 C.60° D.90 1.2空间向量基本定理 学业目标 ·定位 课标要求 学习目标 1,理解并记住共线向量基本定理、平面向量基本定理、共面向 1.通过对空间向量基本定理的意义的掌握与了 量定理及空间向量基本定理的内容及含义. 解，会用空间向量的基底表示空间任一向量， 2.理解基底与基向量的含义，会用恰当的基向量表示空间任 能用正交分解及坐标形式表示空间向量。 意向量 2.结合平面向量与空间向量的基本定理，解决 3.会用相关的定理解决简单的空间几何问题 平面与立体几何的相关问题 必备知识 ·梳理 答案见P2411 目情境探究 目知识梳理 观察如图所示的平行六面体，已知AB=a,AD 一、空间向量基本定理 =b,AA=c,请运用空间向量的线性运算知 1.空间向量基本定理：如果三个向量a,b,c 识，用a,b,c表示向量AC,表示唯一吗？此时 ,那么对任意一个空间向量 这三个向量a,b,c共面吗？ p,存在唯一的有序实数组(x,y,),使得p= D 2.基底：如果三个向量a,b,c不共面，那么所有 空间向量组成的集合就是 这个集合可看作由向量a,b,c 生成的，我们把{a,b,c}叫做空间的一个 13…