1.1.1 空间向量及其线性运算-【志鸿优化训练】2025-2026学年高中数学选择性必修第一册(人教A版)

第一章 空间向量与立体几何 1.1 空间向量及其运算 1.1.1空间向量及其线性运算 学业目标·定位 课标要求 学习目标 1.通过类比平面向量的相关概念学习空间向量 的相关概念。 1.经历由平面向量推广到空间向量的过程，了解空间向量的 2.通过类比平面向量的线性运算法则与运算 概念 律，推出空间向量的线性运算法则和运算律 2.经历由平面向量的线性运算推广到空间向量的过程，掌握 并掌握，培养学生的类比意识 空间向量的线性运算及其运算律。 3.通过合作探究，归纳得出共线向量定理与 3.掌握空间向量共线、共面的充要条件及其应用。 共面向量定理并理解，培养学生的自主探 究能力和归纳总结能力，提升直观想象核 心素养 必备知识 梳理 答案见P2351 ©情境探究 自知识梳理 小明从学校回家，需先从学校大 一、空间向量的有关概念 ·东 门口骑上自行车向北行驶南 住处 1.定义：在空间，我们把具有 和 1000m,再向东行驶1500m, 的量叫做空间向量。 学校 最后乘电梯上升15m到5楼的 2.长度或模：空间向量的 叫做空间向 住处.在这个过程中，小明从学校大门口回到住 量的长度或模。 处所发生的总位移就是三个位移的合成（如图 3.表示法 所示)， 几何表示法：空间向量用 表示 探究：(1)以上三个位移是同一个平面内的向 字母表示法：用字母 表示，若向 量吗？ 量a的起点是A,终点是B,则向量a也 (2)如何刻画小明同学行驶的位移？ 可以记作 ,其模记为或 1 数学选择性必修第一册人教A版 4.几类常见的空间向量 三、共线向量与共面向量 名称 定义 表示法 共线（平行）向量 共面向量 零向量 长度为 的向量 0 如果表示空间向量的 有向线段所在的直线 单位 lal= 或 平行于 模为」 的向量 向量 IABI= 定义 ,那么这些向 的向量，叫做 量叫做 或 共面向量 相反 与向量a长度 平行向量，对于任意 向量 而方向 的向量 向量a,都有0∥a 若两个向量a,b不 相等 方向 且模 a=b或 共线，则向量p与 对于空间任意两个向 向量a,b共面的充 向量 的向量 AB-CD 充要 量a,b(b≠0)，a∥b 要条件是存在唯一 条件 的充要条件是存在实 二、空间向量的线性运算 的有序实数对(x, 数入，使 1,空间向量的加法、减法以及数乘运算的运算 y),使 法则 M 2.直线1的方向向量：已知O是直线1上一点， A 1a>0) Mald <0) 在直线l上取非零向量a,则对于直线l上任 意一点P,由数乘向量的定义及向量共线的 a W 图(1) 图(2) 充要条件可知，存在实数λ，使得O泸= 由图(1)，知 .我们把与向量a平行的非零向量 ①a+b=OA+AB= 称为直线L的 ②a-b= 3.与直线、平面平行的向量：如果表示向量a的 由图(2)，知 有向线段OA所在的直线OA与直线1 ③当A>0时，a=λOA= 或 ,那么称向量a平行于直线 当<0时，a=λOA= l,如果直线OA 或 当λ=0时，a= 那么称向量a平行于平面a. 2.空间向量的线性运算满足的运算律 ®科学思维 交换律：a十b 一、思考判断 结合律：a+(b+c)= 1.判断正误.（请在括号中打“/”或“×”） λ(a)= (1)空间中任意两个非零向量a,b共面.() 分配律：（十）a= (2)若向量a,b所在的直线为异面直线，则向 λ(a十b)= 量a,b一定不共面.() 3.一般地，对于三个不共面的向量a,b,c,以任 (3)若A,B,C,D是空间任意四点，则有 意点O为起点，a,b,c为邻边作平行六面体， AB+BC+CD+DA=0.( 则a,b,c的和等于以 为起点的平行六 (4)对空间任一点O,若OP=xOA十yO(x十 面体 所表示的向量. y=1),则P,A,B三点共线.() …2 。第一章空间向量与立体几何 (5)对空间任一点O,若O币-xOA+yO克+ 二、思维探究 xOC,则P,A,B,C四点共面.( 1.若A∈R,向量a≠0，则向量a的方向、模与 (6)若三个向量a,b,c两两共面，则向量a,b, 向量a的方向、模之间分别有什么关系？ c共面.() 2.空间向量Oi-Oi+AC-() A.AB B.CB c.oc D.BC 3.(多选)在长方体ABCD-A1BCD1中，下列 2.空间中三点A,B,P,如果对空间中任意一点 关于AC的表达正确的有( O,满足向量关系式O泸=OA十μO克，A,μ∈ A.AA+A B+A Di R,当A,μ满足什么等式时，A,B,P三点共 B.AB+DD+DC 线？当入，以为什么值时，点P为AB的中点？ C.AD+CC+D CI D.(AB+CD)+AC 4.已知正方体ABCD-A1B1C1D1中，A1E= 3.对空间任意四点P,M,A,B. }AC,若A证=xAA+y(AB+市. (1)如果M-xM+yM(xy∈R),P,M, A,B四点是否共面？ 则( (2)对空间任意一点O,O币=OM+xM瓜+ A.z-1.y-g B.z= 2y=1 yM(x,y∈R),则P,M,A,B四点是否 Cx=1y-号 共面？ D.x=1,y=4 (3)对空间任意一点O,O=xOM+yOA+ 5.如图，在平行六面体 O克，x十y十2=1，则P,M,A,B四点是否共面？ ABCD-A'B'C'D'中，用 AB,AD,AA表示BD, A心，则BD= AC 关键能力 探究 答案见P235 探究 空间向量的有关概念 量的模相等，则它们的长度相等，但方向不确 定，即两个空间向量（非零向量）的模相等是两 自知识深化 个空间向量相等的必要不充分条件 处理空间向量概念问题要关注的两个要素和两 ②向量的模与空间向量大小的关系：由于方向 个关系 不能比较大小，因此“大于”“小于”对空间向量 (1)两个要素 来说是没有意义的.但空间向量的模是可以比 判断与空间向量有关的命题时，要抓住空间向量 较大小的 的两个主要要素，即大小与方向，两者缺一不可 @典例精析 (2)两个关系 【典例1】(1)下列说法正确的是( ①模相等与空间向量相等的关系：两个空间向 A若|a<|b,则a<b 3。 数学选择性必修第一册人教A版 B.若a,b为相反向量，则a十b=0 ②若G为△ABC的重心，则O心=号(O+ C.空间内两平行向量相等 D.四边形ABCD中，AB-AD=DB Oi+O心). (2)如图所示，在平行六面 典例精析 体ABCD-A'BCD'中，顶 【典例2】如图所示，在平行六 点连接的所有向量中，与向 面体ABCDA B,CD中， 4 量AA相等的向量有 设AA=a,AB=b,AD= M :与向量AB相反的向量有 c,M,N,P分别是AA1, (要求写出所有适合条件的向量) BC,CD的中点，试用a, 名师点拔 b,c表示以下各向量： 1.在空间中，零向量、单位向量、向量的模、相 (1)AP,(2)A1i:(3)M+NC 等向量、相反向量等概念和平面向量中相对 应的概念完全相同. 2.由于向量是由其模和方向确定的，因此解答 空间向量有关概念问题时，通常抓住这两，点 来解决。 3.零向量是一个特殊向量，其方向是任意的， 且与任何向量都共线，这一点说明了共线向 【变式1】若把本例中“P是C1D,的中点”改为 量不具备传递性 P在线段CD上，且品-”，其他条件 [针对训练1]下列命题中，正确的个数是( 不变，如何表示AP? ①如果a,b是两个单位向量，则|a=|b; ②两个空间向量共线，则这两个向量方向相同； ③若a,b,c为非零向量，且a∥b,b∥c,则a∥c; ④空间任意两个非零向量都可以平移到同一平 面内。 A.1 B.2 C.3 D.4 探究三 空间向量的线性运算 【变式2】本例其他条件不变，若O是B:D,的 中点，试用a,b,c表示向量A 自知识深化 与空间向量的线性运算相关的结论 (1)在平行六面体ABCDA1B1CD1中，AC= A克+AD+AA. (2)若G为△ABC的重心，则ACG+B+亡=0. (3)若O为空间中任意一点，则 ①点P是线段AB中点的充要条件是O产= 20i+0i. …4 。第一章空间向量与立体几何 名师点拔 (1)存在实数λ，使PA=λP克成立 1.空间向量的线性运算技巧 (2)对控间任一点O,有O-OA+tA(u∈R). (1)巧用相反向量：向量加、减法的三角形法 (3)对控间任一点O,有O=xOA+yO克(x+ 则是解决空间向量加法、减法运算的关键， y=1). 灵活应用相反向量可使向量间首尾相接 @典例精析 (2)巧用平移：利用三角形法则和平行四边 【典例3】如图所示，在正方体ABCD-A1BCD 形法则进行向量的加法、减法运算时，务必 中，E在A1D1上，且AE-2ED,F在体对 要注意和向量、差向量的方向，必要时可采 用空间向量的自由平移获得更准确的结果， 角线A1C上，且AF=号F武.求证：E,F,B 2.化简空间向量的常用思路 三点共线， (1)分组：合理分组，以便灵活利用三角形法 则、平行四边形法则进行化简. (2)多边形法则：在空间向量的加法运算中， 若是多个向量求和，还可利用多边形法则。 若千个向量的和可以将其转化为首尾相接 的向量求和。 (3)走边路：灵活运用空间向量的加法、减法 法则，尽量走边路（即沿几何体的边选择 途径). [针对训练2]在空间四边形ABCD中，AB a,AC=b,AD=c,点P为AB中点，点Q为 CD靠近D的三等分点，则P等于( A2a+3b+号c 探究三向量共线的判断与应用 自知识深化 1.判断空间向量共线的策略 (1)熟记空间向量共线的充要条件：①a∥b, b≠0，则存在唯一实数入，使a=b;②若存在 唯一实数入，使a=b,b≠0，则a∥b 名师点拔 (2)判断空间向量共线的关键：找到实数λ. 如果a,b是由空间图形中的有向线段表 2.证明空间三点共线的三种思路 示的，可利用空间向量的运算性质，结合具体 对于空间三点P,A,B可通过证明下列结论 图形，化简得出a=b,从而得出a∥b,即a与 来证明三点共线， b共线。 5 数学选择性必修第一册人教A版 [针对训练3]如图，已知四 名师点拔 边形ABCD是空间四边形， 1.证明向量共面，可以利用共面向量的充要条 E,H分别是边AB,AD的中 件，也可直接利用定义，通过线面平行、直线 点，F,G分别是边CB,CD上 在平面内等进行证明. 的点，且C=子C3,C心=cD, 2.利用向量法证明点共面、线共面问题，关键 是熟练地进行向量表示，恰当应用向量共面 求证：四边形EFGH是梯形 的充要条件，解题过程中注意直线与向量的 相互转化. 3.空间一点P位于平面MAB内的充要条件 是存在有序实数对(x,y),使M=xM十 yM店.满足这个关系式的点P都在平面 MAB内；反之，平面MAB内的任一点P都 满足这个关系式.这个充要条件常用来证明 探究四共面向量的判定与应用 四点共面 目知识深化 [针对训练4]如图所示，在四面体OABC中， G,H分别是△ABC,△OBC的重心，设OA= 证明空间四点P,M,A,B共面的方法 (1)MP=zMA+yMB; a,Oi=b,O心=c,点D,M,N分别为BC,AB, (2)对控间任一点O,O巾-OM+xMA+yM殖； OB的中点 (3)对空间任一点O,O驴=xOM+yOA+ xOi(x十y十z=1)； (4)PM∥A(或PA∥M或P克∥AM,由此， 可以证明点共面或线共面。 【典例4】在四棱柱ABCD (1)试用向量a,b,c表示向量MN,O心： A1BCD中，D1E= (2)试用空间向量的方法证明M,N,G,H四点 kDA,D市=kD1B, 共面. DG=kDC,D直=kD (k∈(0,1) (①)当k=子时，试用AB,AD,AA表示A的 (2)证明：E,F,G,H四点共面. 6 。第一章空间向量与立体几何 随堂演练·达标 答案见P237 1.下列命题中，为真命题的是( 4.如图，在三棱柱ABCA'B'C'中，AC与AC是 A.向量AB与BA的长度相等 向量，AB与BA'是 向量 B.将空间中所有的单位向量移到同一个起 (用“相等”“相反”填空)。 点，则它们的终点构成一个圆 C.空间非零向量就是空间中的一条有向 线段 D.不相等的两个空间向量的模必不相等 5.如图，在正方体ABCD-A,BCD1中，化简下 2.如图，在三棱锥OABC中， 列向量表达式： M,N分别是AB,OC的中 (1)AB+CD+BC+DA; 点，设OA=a,Oi=b,O心=c, (2)AA+BC+DD. 用a,b,c表示NM,则NM等 于() A2(-a+b+c) B.(a+b-o C.j(a-b+e D2(-a-b叶e) 3.(多选)在正方体ABCD-A1BCD中，已知 AC1的中点为O,则下列互为相反向量的 有() A.OA+Oi与OB+OC B.Oi-O心与0A-OD C.OA-OA与0C-0G D.Oi+Oi+心+O市与0A+OB+0C+ OD 1.1.2 空间向量的数量积运算 学业目标·定位 课标要求 学习目标 1.掌握空间向量的夹角的概念。 L.了解空间向量夹角的概念及表示方法。 2.掌握空间向量的数量积的定义、性质，运算律. 2.掌握两个向量的数量积的概念、性质与运 3.了解空间向量投影的概念以及投影向量的意义， 算律 4.能用空间向量的数量积解决立体几何中的垂直、夹角、长度 3.可以用数量积证明垂直，求解角度和长度。 等问题 7。答策 第一章空间向量与立体几何 1.1空间向量及其运算 1,1.1空间向量夏其线性运算 【必备如识·梳理】 【情境深究 提示：(1》不是 (2)借时于空间向量的途算， [句供减理] 一，上.大小方网 2.大小 3有向线a,b,cnAB1aAB 4,0111相等相反一4相同相等 二l,恋2-花M 2.b+a.(a+b)+e(ua加+mg+洁 3.0体封角线 三，，互相平行线重合共线向量司一个平面 4=洁2一m十油 2.加方向向量 3.平行意合平行于平面a在平面内 [料学愿维] 一，1，(1/(2)×3)/40/(5)× 6)× 2.DN-证+心-+C-武 酰志D 3AD面++成=成+B配 ,新以A正情： i+D+DC-A在+-+≠ 所江B辅接： 动++C话-0+莎+DG-或+ D-AC前以C至确， 是+)+AG=是减+G)+C 风+AC-,骑以D正确 4.D 5.亦-i++6- 与解析 m-a++20 {)因为M是：的中点 二1提示：①当0时，向量m的方向与向量： 所-+-是A不+产 的方向相同：当A<0时，向量游的方向与向量：的为 向相反：当1=0时，加为，方向是任意的， =2a+(e++c小-++e 心a的模为短|=1A:·1ā，即向量的模的 又C-C+-号+A 2提示：0①当1十n一1时A.B,P三点共线 -0+-+e, ②当A一时，P为AB的钟点， 所aM+-(付a++t(e+号+) 3提录：(1)共直(2)共面：(3)共直 【关2能力·探究】 一++ 假究一空间向量的有关隔念 [典例精桥) [室式门解：周为P本线C上，部 [典例】答案：1DD(2).心DB公 子，所城=++D户 BA.co.cn 解析：(1)向童的模省大小，但向童不能比校大小， =++号 A替液：构反向量的和力0，不是0，日错孩：相等向量满 -a+t+号在-a十号+6 足减相等，方向相同雨个泰外，中行向量不一定鼻备，C [变式2灯解：国为国改形AA,BB是平行甲边形， 惜误D正确. (》根据相著向量岭定文如，与向麦心和等的向 所xA所-A月+-k十a 量有，，D根据制反向童的定义如，与向量 AB相足的向童有BA',BA.CD.C [所封训等1]C对于①，由羊位南量的发义得 a一b=1.数①玉魂：时于②，共线不一定月南，志可 区方向相反，林心骨误：对于③，正确时千①，在堂间任 因为网边移AADD是平行得边形， 取一成，过此从引得个与已知非零向量相等的向量，后 所以旷-0+-c+: 这两个句童两在的直我相交于先成，两条刺文直残偏流 因为O是B,的中克： 一个平面，所以两个非家价量可以平移到刘一平面内， 纸③正确.就法日 所心-是试+武 氨究二空间肉量的线性遍算 -tareta)-a+号b+t 典例精析】 [珠例2]解r(1》日为P是C,D的中成， 【针对潮练2】D南超意，0-0--（风 所议-瓦+A式+P -号雨=市+青花-)-号丽 -0+AB+DC +号+号动-++号 -a+e+2随-e+2+e D (2》因为N是C的中克。 所衣-AA+A+N --a十b+武-s计b+0 探究三向量共线的判新与应月 [典例精新] [典例3们证明：连接AC,授A语一a,心一5 Mi-c. 周为AE=2可下=号F比 所xA正-是A立，A下-是 所x正-号亦-号， 下-2t--是C市+- -号a+号b-c 所a球--AE-登a-务-号e e小 义B-++一中目一等 筒x脉-是原所以康》E通 又EF考EB有公具底E,所以E,F,B三成共线， [针对调体3】证期：：E,H会利是AB,AD的 中人， AE=是A,月=子Ah 刚-游-=币-语-币 =是-动=(t-是到 -是成--花 EF心，E-心≠. 又F不在定战H上， 回边形EFGH是禄利。 探究四共面向量的判定与应周 [典例精新] [典例】解：(1》回报柱ABDA,BG0中，或- A+AD. 两为一号 臂以F=A2+欲=是旷+DF-DE 孤+B-有-心+游-环+ +诚 (2)说式-面十加严不为》， -DG-E-D,C-+历A-★AC AAAA)-AA+A =从（瓦原-D)+(DD-DA)=A(DF DE+w,月-D正)-A乎+w, 则E,E共面且有公共点E,所xE,P,G,日 国急其面。 [针对荆练】解：()南题意得网的=一号码 量，周为心-0i+花. 花-而，亦-0亦-成. 又D为BC的中是，所以市-（随+C, 斯元-试+是市-+号亦- +号×是硒+西- =a+0语+0=号a++e. (2四为丽-0丽-武 0丽-号动=号×20通+=青+e. 简acA-号h+e-寸a++e)=—寻a 诚. --},所- 所江N,N,G,H国点共面 【随堂演滋·达标】 上，A对于A因岁空间向量朋与厨至为相反向 童，所以室同肉量A存号的长度相等，故A正项：对 于B,将实间中所有的单位南量平移到同一个起成，刚 官们的弊点种成一个珠面，故B错误：时于C,空间向量 可注用空司中的一条有衡线授表示，根堂闻向量不是有 向线段，故C替误：对于D,两个堂间向量不核等，它幻 的模可能抽等，也可能不相￥，知如向量A存与人的模相 等，故D错说 1BNM-NM+扇=〔0减-0)+号A返= 3A因为语一不，两球语为A℃的是商为 45,址A正填：网为店-不区，斯以与C不的夹月 i-心+流-)-0对+-心 为]5，城B不正墙：图为市-不矿，所洪市与 的美角为0，武C不正确：四为A历一官，所以B与 是a+0-c以 的表角为附，故D不至墙 3AD女国，设MN分到为AD,品G的中走， 4.B由随老可得AB⊥D.ABLAA:, A,(A分利为上.下底垂的中心，+（动一2丽， 所以9⊥b,aLG,所以0·b-00·C-0 +-2内，E为相反向曼，址A正确：流-C 所以0"《十e)=g"b十g”c0 ,--D,夏为相等向量，位B接： 五号ma高-意- --A风，元一可=C乙，是为相成向量，故C王 4:i++记+-2，++C+ da创- 二提示：不满足，即对于向量a,b,C,(s·c是与 共线的向量，面a·(B·》晶当a共线的向量，所以同 者不一定相等。 【关键能力·探究】 探奖一向量的整量积坛算 4答案：相等相及 [鼻刷精析] 解析：在三校杜ACA'BC中，对边剂ACCA'是 [奥例]解：1)E卧，=号那，高 平静网遂形，则配-℃，甲心与A是相予肉量：臂 政形AB矿A'是平行臂边形，一E=-A,甲 =是adob, 市B是相反向量. -=wm0-是 5制：1ai+亦+觉+成-A+配454 成-元+i+-市-心- 2·-是d·市-是6- (2AA++5-5-C a.式-号动.心-号动1·C1 11.1空风向量的数量规运算 【必备知识·较理】 ast.d-吉m1n'- [情黄探究】 (AB.c-AB. 湿示：由于任意两个室间向量都可以通过平移转化 A原，AD-A雨，C 为司一学面内的向量，因此，两个空间风量的夹角和数 =i1da,7市-1花1m(在， 量积饺可以像平面向量那样来定义 A-cos 60"-cos 6o'-0. [知识核理 [针对剩练1】答案：1D《213 一.1.∠A0Ba,b 解析：（门）如周.周为D为传AB的中点，所以 1[6,]e0或球直日1b 二，零la5ma(a,b的ana,b》0 币-i+) e·B=0 ab)4·b+ee 三1aoma投影向级 不书不Be.X [科学思维】 -.110(2)×(3》X(4/ 币，风-i+F,风-号P以.武+ 2AD PA.PC). 肉正四西体得性爱，P以为风的炎角为6，网厘 P可与C的夫角为6，P=可=心=I,PM, 风-丽，风-1Xm的- 所，P师-名×传+ 故地可 (2)空月向量，的夫角为号，=2，b=3 影aa+w)=a+ab-a+3a·m于 3+3X2X3X分-1R 故客案为13 探究二料用数量积求向量的夹角 [典例精桥 [典倒】解：母为而一C不-C$-以十 0-CB. 官*帝+C 所以孩赋--+2+=6， 1 CR中-C-0i+-CF+-P+ E1-5 .C-(CA+0-·(B+0 =-语=四-1=3， m赋.a-哥 切 6×店10 [针对瑞德2]B在王三棱枝AA:BCG中，肉 量就，不去面，瓜-感-， -+成 ◆8形1-，时话-C一2a,而昭⊥话. L那： 子是得 成·心=底一)·心+成)-成· 心一话·C-威· -一2aV2aow6时-0 离光AB国⊥ 背缓H:与C所成角的女小为 故选