课时训练(11)基本不等式的应用-【志鸿优化训练】2026-2027学年高中数学必修第一册(人教A版)

课时训练（十一）》 A级》基础巩固练 一、选择题 1.已知正数a,b满足a十4b=12,则ab的最大 值为( ) A.3 B.6 C.9 D.12 1 2.已知x>,则y=4红十4红一5的最小值为 ( A.-3 B.2 C.5 D.7 3.√(3-a)(a+6)(-6≤a≤3)的最大值为 A.9 B号 C.3 D.3/2 2 4.设x>0,则函数y=x十 2 2x+1 2的最小值 为() 1 A.0 b.2 C.1 D.2 二、填空题 5.已知直角三角形的斜边长为20cm,则该直 角三角形面积的最大值是 2 ≥k恒成立，则k 的最大值为 三、解答题 7.为迎接四川省第十六届少数民族传统体育运 动会，凉山民族体育中心进行了改造翻新，在 改造凉山民族体育中心时需更新所有座椅， 并要求座椅的使用年限为15年，已知每千套 座椅建造成本是8万元，设每年的管理费用 2 基本不等式的应用 为y万元，总座椅数为x千套，两者满足关 系式：y2,050≤x≤8).15年的总维修 费用为80万元，记w(单位：万元)为15年的 总费用.请问当设置多少套座椅时，15年的 总费用w最小？并求出最小值.（总费用= 建造成本费用十使用管理费用十总维修 费用) B级》综合提升练 1.已知a>0,b>0,3a+b=3ab,则a十b的最 小值为() A.2√3+3 B.4w5+3 C.25+4 D234 33 1 2.已知a>0,b>0,若不等式。 6产2a+6恒 成立，则m的最大值等于( A.10 B.9 C.8 D.7 3.(多选)一个矩形的周长为1，面积为S,则如下 四组数对中，可作为数对(S,)的是( A.(1,4) B.(6,8) C.(7,12) n.3,) 4.十六世纪中叶，英国数学家雷科德在《砺智 石》一书中首先把“=”作为等号使用，后来英 国数学家哈利奥特首次使用“<”和“>”符 号，并逐渐被数学界接受，不等号的引入对不 等式的发展影响深远，若不相等的两个正实 数a,6满足a+b=4,且后+方>t恒成立， 则实数t的取值范围是 5.已知x>0,y>0,xy=x+2y,若xy≥m-2 恒成立，则实数m的最大值是 6.某品牌电脑体验店预计全年购入360台电 脑，已知该品牌电脑的进价为3000元/台， 为节约资金决定分批购入，若每批都购入x (x∈N*)台，且每批需付运费300元，储存购 入的电脑全年所付保管费与每批购入电脑的 总价值（不含运费）成正比（比例系数为k), 若每批购入20台，则全年需付运费和保管费 7800元. (1)记全年所付运费和保管费之和为y元， 求y关于x的函数关系式； (2)若要使全年用于支付运费和保管费的资 金最少，则每批应购入电脑多少台？ 7.某天数学课上，你突然惊醒，发现黑板上有如 下内容： 例：求x3一3x(x>0)的最小值. 解：利用基本不等式a十b十c≥3abc(a,b, c>0),得到x3+1+1≥3x, 于是x3-3x=x3+1+1-3x-2≥>3x- 3x-2=-2, 当且仅当x=1时，取到最小值一2. (1)老师请你模仿例题，研究x一4x,x>0 的最小值[提示：a十b+c+d≥4abcd(a, b,c,d>0)]; (2)研究gx3-3x(x>0)的最小值： (3)当a>0时，求x3一ax(x>0)的最小值. 0<学几权多a=6时：年号成之 7.证用xy都现数， x>0,y>0x>0,3>0t+y2y>0, 2+y≥2y>0,x+y32Ty>0 (里机省士一y时羊号成之). Gtyx2+yx23+y)8y·2y. 2ry. 印(x+y)(x'+y)(x'十y')8xy,当几在当 工一y时，等雪成主. 够合授丹棒 1B-w0-4 a 此时（日一1）(h一2)■4不可能成意。故 a-104+地=(e-1+4(5-)+92 16-200, 2w4a-16-2)+9=17, a-1=4(6-22, 多视s0-0-公-手号 a3>1. b≥2， 故选丑 2D流a>0.5>0+1-a-ke-}°+ >0,A减工：2+写-和=a一3P>0,B不减2： a++》-1+++2*- 当显任省=芳：脚a=6时取等半：改C点名：十 +名≥2.样a包+0+》≥4s自 。一一即8--1时取学有，我D我立收达 ACD 3Da3-2s+1-(a-1030 a2十12，故A情民， 分于B,虚>0时，+-+省且权 者x=1时取“一1 12备且仅备工一 一1时章“一，数B王确： 财于C,若u-b--1,则产-一8么，城C 情误： 课时训蜂（十一】基本不等式的废用 对子D+本-1+克1多且 基德巩园练 低书x一0时京=，故D正州， 1.C男为ab为正数a十6-12，所以b-了a“ y向是意落十中画=a十 2 -x-, 6=gth十a十场 布夏任斯a=6=6时，￥号成立 》 a+b>2a6《g￥h).2<2 斯以步a6,b一交时助取将晨大值头故选G 支，x0y>0,x<y. 9+0+)-1++培+培·号 2Dy-u+言--g6 又>是4r-5>0r-5+22 -5+5+-9年收事6 t225-7.等子成五的条外上一是 2a时，平号成点). 3B得为-fa3,所以3-a30w十60 最旺明《1)由eb,d脚是正数，科周基表不等式 可知，ob十d2a园，壶且仅当ab-d时，等号 所以√3-4a干可30+g+)_9 2 2 成在： 十38a阳，当显便数k=d时，等号 当是收当34=十6，即=一时，等号成生， 年3@a十-a3)最大值为是 所以(ab+ed)(ar十hd)2va·2a闲- 4A两为：0，以十0 中有(ab十d(r十》34ad,》且当=d 2 0=心时，导号或主. (2》中■，6，e都是正教，利用表本不等式可知 否十，当盟机当一c时，等骨成主： e2十a22ae,当风任当年=c时，等号成立 x十 x”十2b,备且复南a=6时，￥号或之. 所2(b十2)十6（十a')十c(a十）3a· 2十6,2e十r+2abm6ac,背且仅新a=b回e时，￥ 号成主 野不一时，等手液立，所江品的最小值为0 7.证期(1)a>0,b>0, 5,100m2议直角三扇形的两直角边长分制为 T a cm.d cm. 由观意得a+山-4002b,年且复省a一6 当凡仅年日■6时，等号成之， 10w2时，等号成立，0,2ab100 4 故道直角三角形面制的最大佳为D的m】 68为题喜可如1一m>0信》 +14,1+14 同理g得分+6+e'。2+e +:+)+≥8s具仅 tare' 值为且. 7,解1白通意择，建逢成本0用为8r(06工<8》 万元 使用务型年用为2背万元 所以=k+0X5+30GG. 2x+5 x15+0180 则w-42+十2+ 专收年2+》-2得即-5称世率降 最小维，中备设置5于套座精时，15年的些费用四最 小，最小量为1胸万无 综合规开蓝 4 岸=中，=士时￥号成立 所以a+6的最小恒为+的长选n 1B图为>0，b>0, m由>0b>0≥2要-4 且仅备a-b时，平号浅立所以5+的十经≥，所以 w象放选民 3C报都的迪表分制为则十y=, 8-3x时于A1,).则十y-2,y-1,根据基本 不苹我得≤空，特合凝高1对于B,《6.5. 上+y-4-6,报括辰未不等大得<空，不 特命延意：时于C(T,12),则x十￥■6，y■7，根抵是 丰不等又得安，特合道意时于D(8》】 利：十y=子y=,极据是本不等成得可 ),不特合周意：长越C 4动为>0,6>0，且a+6-4,所a十 -(+6)+)=++)≥ 6+2-1收合8中- a+b=4, 2对等卡成2两为+号>成4师证心 5.10要使x到w一2值或东，甲使m运y十2 雄盛立， 士是委m6(y十2)m中可 r0.y0xy- 1y-1+2y22列，壶此机当1-2y, 年士一y一2时取￥号. 伞=/y,则2v2, 132w2,南y35,.xy+2的晨小维为10， 两0.年裤的最大值为10 6.屏：山南超意，得y一3×300+转×3000， 当工一2知时y-70,解特本-A0,所以y-× 0X3000x-18 0001(N"). 0泽y-四+m头√0Xm- 2闲国=了2m,奇仪当除亚=1m平=0特，等 号盛立，所以要使会年用于走付递费和侯管费竹受金最 少，导批原肉人电脑的名， 7.解：(1》南x>0,如x-u-x”十1十1十1一4x 一4：一4山3一-3，金且复备x一1时，取到最小植 由>0-=言+3+3-”-6 3红一3红-6一6，省且仪省士=3时，氧列最小值-丘 国u2au以4答贤 9 9 当红省-将-， 取到最小复一细 课时练十二】二次函数与一元二次方程.不等式 基宽现因炼 LA器为不平天十2r+6<0片解第是{江| 2<工<4}，所以x2十a时十+6■0的两根为一2,4，别 -2十4-一日，一8-b,年g--8,b-一8，所以g十5 10.批选A 2.C山不￥式x-{a十2》x十a十10，可月 (r-1[-(a+1]0, 中a61, 者a十1>1时，年>0时.可得1<ra+1, 若满是解案中怡好有2个整数，则3e十14，解 所以上-u和2一b无方程号一3证十4一布的所 得2ca3, 报，从西有子一功十一，解得一3我6一4，又古 台a十1<1时，年aC0时，可得金十1红<1， 若清是解集中袖导有2个整载，到一2▣+1< -1,解得一83a一21 省2十1=1时，年a■0时，形不￥式的解集为必 a,不科合题意，C错误： 显然不成在， 对于选有D步5-4时，南是-3十4-6-4：解 格上可得，案数a的取佳说偶是一3<一2气 得a=0=4,a=0时满a1,此时一=4 2<a3.2<a3.故G 0=4.故D至确。 3Aar十x十c>0的解集为（一1,8），骑以 放速A -1,3为为程r+u+c=0的两个根，且a<0, -1+3= 5D著若不等友十r+受>0渔成上，则方程 (-10×3-5 6-+-e+ +r+受=0的判形我4=m-4…受<0，屏 得0Cw2, (4-长-多且仅多a-a<0-1时 6.《2或4坐-】是不等天x-红+ 0的解，把2一1代入不著式得一做十80，解 ￥考点立)，故造九 得4我2 4AD片个选项A,由是一十《区，可得 7.(1)130(2)151)x-10,家一次期吴草零 和西各一食，(60+80)一10=130. 3r-12:+16-400,方83-12+16-46-0时 (2)设顾家一次购买衣某的促销前总价为y元， 判副式d=48(6一1)，夏b<1.所以△=48(6一1)<0， y<10无时，李明得到的全氧为yX0%,每合 所以不￥式3x一12x+18一协0岭解桑为⑦，所风 不等我-3让十片解为，A： y0无时，有y士)×80%3y×0%性成主， 对于选项B,在爵一平面直角皇标系中，作品数 年8y-27y常率（省）=5元 所以x岭最夫提为15， 的图象，如图所承，授交点A(zA,6》,B(za,b),Ce, a< a),Drne》 a[1-(z十a)2--r+x+a-a,a=a)③ 南图和，音a-2时，不等我号-缸十区 (x十)白时任意岭来数x有成点，所议x一x十 b的解装为{r|axxcU(rDrx的利 a十1一阳>0时任意的案敏x都成立，所成凸一1一 3 ，B错： 南关不等大氧成立表泰我的眼生复国，通零兴里岁续有 ()看满最吾进附票套量分两，餐验，理构出共于至量的 活数，特化唐家忍数的委大（个）整，从周魔士囊星是内不 (口着参夹量不袭妆离，则症州准兴于夹量的因数（知 文菌最，二次勇数》，是州◆雷多电生来突量的不等大求每 果解：（门）当a-2时，y<0,群2x-5z十20， 对于选项C曲不等人写号-3十岭 T得（色一1）r-2)0 “2y60的解为女r2 (2)不￥太y《0南r-(2a+1)x十260.可% 为ae-r-2yea @信u一时，有日-解得-2 ①倍a>2时：有解得r2 称上：年0<“<号，不等我的部集为 26当@一时：不等天的解集为 2:喜>是片：不号天片都名为日列 解，道多将动点+高少服 移项垫理，得x十9x一710>0 星然a>0,x°十：-7110=0有两个其数板， 中x1-一8,4，r17994. 然后：很婚三次高数y一十9：一7110的周象， 得不平式的解桑为{里1x<一8好.， r>7994). 在道个头珠问随中，0，所以这辆汽车利年的华 逢至岁为民9鲜服h 一无二次不等我配则夏看以二发西数发横型，解夏时看 票滴强塘，准确我出其中的不等关系，再有用一无二太不等式 老韩，确见参宝对经进老麦量其有“天界含其” 综合提升练 1,A1D青为u≠0，当a>0的，西数y=s(g a)·(:十1)的图章开口为上，故不等人的解是为(x 一1友>u以.有a0时，画数y=a(女一a)r+1D的国 象开口向下，希：=一1，不￥式的解集为：差一1< @0,不等其的解某为x一1<x<若a<一1，不 子大的解巢为+世<：一1).做击A以D AD四为x十x十10对于经意实板x饭 成文， 不大斗轻T免内+2十 26m(x十x十1)，年(3-w)x”十(2-w)x十2一 w30. 新四=3时，不等式化为士+10，不科冷规意 当四3时，校理意， 海信00， 4-(2-m)一48一w)(2m小0 整最得in-16a十物20，