5.7 三角函数的应用-【志鸿优化训练】2026-2027学年高中数学必修第一册(人教A版)

1士四4这一右边 m草如os呈 组上 时以®等式成土， 56孟数y=Anx十gl 【必备知识·植理】 (槽境家究] 提采能. 「与识魔理】 上左右2馏短伸长王种长密园 [料华愿幢] 一.L.(1)×(2)x(3)×《40/ 2.B 3,D制析，根据图是贵装的才业，y两加：竹图 良向点平移行个单丝长度后件到y=m(:十)竹 温桑， 4.A解析：只需把动数y一面工的国象上所有 的流向友平行移动1个单往装度，使得函蟹y一 in(x十1)的周象，故远A 5.答案：4 解析：南已如得A十1-5，故A=4 二提示 器正孩函数 0,0) -1(2x00 国象的五无 A余孩品配 困章的五点 【关键能力·探究】 探究一三角函数窗象的变换 [肉例精析】 C黄例门1)答案：y-一2ms2x一3 解析：y-Ecm化a+)岭图票向左平得个单 位张度， 保y2m[2(+》+5]-2msat0 com 2r. 异向下平移3个单位长2得y-一2四s2一3的 思象 (2为法一 先平移后种解：y一脚 肉君平号写个单位类度 y=m-} 林多发物安特的短有身水的空 超堂单不发 少一名一哥）#地件装有的多 9=3a红》1uy=3e- 》+1 T得：（行十-l,从若+g+张h长D 方法二先骨缩后平移，5一西上 将1的精务华将超为男系奶立 格合<受得g一营 气业标不堂 所af儿e)-2n(2+受} 肉右平格二个幸桃表魔 ysin 22- ym2-) 2)题喜)-f+》-2到红+》+ 并A所长生内A的y一3an2(一} 雄堂秘不皇 ]=2(+）=2am2=, -n色晋）41+a号y-3n( )+1 [钟对调练1】(DN(2)书解析：()四为y= 所以gx)AX网[6晋上的值线为-1， ox)-m2-t]-m包+》 探究三函数y=A(r十中)图象的对将性 =白2司x十)，所以将y=m2二的周泉约左干 [奥例习ΛD解桥：由图车得A-2,背一 移音个羊维，体到y一（亿一引的围泉 上X红.解博-2，哉A￡确 (2》将西教y■nT圆象上斯有流的横经特解短为犀 文画数图章经址a(债2，则2sin(2×是+e) 长的2（佩丝秘不变），秤解桥文为y一血2红的图象，吾向 2,即（后十）-1 右年移号个单位长度挥解新成为y=m2(:一) 国g<受故音十g-受，解得e一，城fx) nz一}的图象，所以w-tg一子做站且 2m(2+） 限究二由图象求函数y-Awr十的解所式 [典侧精析】 对于B.当：=一品时，2+背=一受灰时品餐 [典制习D解折：南圈家知A=3,T=号 取得最小佳，址B正确： 最是T=*w=亭-2 对于c,f)-m包货+》 一2in2r,是奇函敏，故C特溪： 南图可知.8i加2×+)-3. 时子D,济画数f一2m(2+三}国象上所者 营tg-爱+法∈五 点的稀受称史为原桌的2鲁， 特每到高戴y一2in十要）的图京.敢D正璃 p-含+me0,又<登 放选An 9=8 [针对闲练3]ACD解折：向西餐了x)的圈象，可 f-8ine+}-3[l+] 将T-员-(}-受得T则9=3 又由A=2,前议fx)=2e如(3r十g》, f代x)舟右平移若可得画数ez)一Asa) 又南f(）-2m(ax+小-2m便+) 故域D [针对证s】解：(1)南最大且了确定A一2， amn使+p）小0 此时fx)-2n(2x十p).画数f(x)圈章址A 7降以f=2a3r一》 (信2 所以A正用，B不正精： 对于C中，齿f)-2oa3×是-)-2为画 数f红)的最大组， 所区直提上一吾为f)图阜的一事财都物，所以 C正用： 对于D中，务∫(：)周象上的州有流肉左平移个 果位餐度， y得y-2o[l+)-]-oz+} -2n3x,所以D正确. 北选ACD 探究四三角面背图象与性质的策合应用 [典例精新 〔典酬B解折：图为八倍)一八行，所以直纯 音空泛款)圆永的一务对林格， 偶分红)在区可（后，）上有最小，无藏夫值， 所联省=时(：泉得滚小值 所区只+情一被一费：E么解择。-融-曾 又为T-号-以w12 又网方0，后以-：净-8-男-号 针对辑练订解：1由道务A一1，号-是+营 t别语=w=2,以f=a(2+ w 文国为图章址点（最小，所以2×益十年一营十沙： e2→p=亨+xE,西-骨<g<登到 于，于是fa)-im(2+) 2)站合腾泉可知，西截的对称转为：=十受 ◆营+谈m2+骨<受+2张，k长2户是+ 红6玉《是十红：去E么即画数的排区用为： [+最+e刀. 妇)避果向右平移行个单丝长度得到：y一 [6-）+】=m(红引子是x()= sm(一》如图浒示， 四冷gx)-a一1在：∈[匠]上有两个，所 【随堂演练·达标】 L,C解析：”A>0,斋教酸大值A+1=5。 A=4, 2D都折：北函银了=m(3缸）的图象向左干 得号个单红装度，可将y=m[十》-]的调象：可 通能解新式为y一如玉+匀和年得图象上各点的精 坐封大为原来的2储，得y一径叶的图集 AC解折：由图象女A=2-警--是 -w-2, ?圈象t(行，22=2m(2×+e小 m得+小-1心受+g=受+达z 9景+2x长z 又50<p<受9-君 六画数解天￥一2(2r+管)】 4AD解桥：由越知了（士）一n2红，g(士》- m+]-m2+》 油eG)湖最小运间期跨为T-空-，批A正 (-[()+引m00,做B正 停》-x》-吾-号士1.所 吾不是对粉他，故C精现 (x)的单调地增区风为2m一受≤2r+号≤ 2法x+受长五 得后一君<红知十君kc么多表-0时，送增区 阿为[子]故D玉电 5若案12 解析：快题老北-警-音-登所以丁=，大 57三角函数的虚用 (将=0入1=m(2+得r=4in= 【必备知识·统理】 23, [情清探究] 所以小球开蜡额动时的位移是2方m 慢示衣策莲时闻的变化星得期性麦化 {2)小球上开到最高成和下降到最低走时竹位移分 [知闲梳理) 前是4em和一4cm 1A23经rt￥￥ 3)四为极的的周期是：晚以小装杜复贩精一武 所用的时网是 11)三角函数树整 [角例】解：(1)专题图可和4一0 [科学思峰 一.1.(1)(2)×(3》X(4/ 设1-一90“0则周期T-2:-) 2# 王A解断：T一2而切.故达人 支B解折：-子n(宁+若)的属布T-年- 又者一而时，1-0.中向150x‘高e)小-0， 1<受p景 欧，瓶幅为宁初潮为是 效所成面数的解将大冷=300m(150e十》。 4答案-音 2然随意，周有T≤，中≤品高a>0. 我答案：司 a5300xm94248 二，提示应用三角品数限型解决同稳，首先美起实 又wEN',故岭最小正整餐捷为948 际月延种章为最零月随，通过分所它岭变化是曾，骑定 【针对到练1门解：(1)爱展福为A.时24一2的m: 它竹周泉，从两立名适省的三角函数模型，解决件超 所A-10cm 的一最程小下： 夜调%务T,期号-a55将以T-1,所以了 (》审题，先市滑是题目最样、要求，理解数学吴系 1日 (2》建槽，分桥题目特性，远择道房的三角马数桶型. (2)振于在1为内通过的是离为八。故在5内通 (3》求解，时斯建立的三角画数枫劳武行分桥研窝得 时数学结论，《④们还康，记餐拿结论还零为来尽问是的解器 攻的路程a=5×44=20M=0×10=200(m》, 5等末物保处在B点，所以它的位移为0©m 【关键能力·深究】 探乳二三角面数在生活中的应用 国究一三角函数在物理中的应用 [典例精析] 典例精析] [共例1门解：列表如下 [奥例习解：①先用无A法作由)-n需 9的荷图， 山毫r-79)-0及篇4-79)-2，得4-79及 + 0 =4. 当10时f0-3编盖-9》3-L3 0 -1 0 -29. :f0x)的周期为365，.f(365)-29, 将()在[0,36]上的周象向上平移12个米仕， 0 4 0 -4 就挥D()的围袁（如图所示） 插或，连线，图象如湖斯衣 3 (2)白登时间装装的一天，聊D(r)取最太植的一 天，克时1170，对庭的是6月20日《闻年染外》，臭包 地F-358的D(》麻最中值.时12月20日（写年楼外） 合圣最舰 （3Da>165.年3=篇-79)+1210,5 2 .292249,292一49=243故片有243天的白 经时间整垃0,5小时 [针对练2习解：0D网为0-0-2m壹+》 -1如(0+号1 当=2时，n(是+》= 金-4时，im(侵+5》-一L 于是F()在[0.2们上的最大提为12，最小值为& 放先验室这一天最高递度为2℃，最低温准分 8℃，量大滋差为4℃」 (2)依期意，省(1)>1川时实脸室需委得阻 得r-n-2n(危+》- 有10-2wn(位+》>， 甲鼎+长-子 义0G24所以<0+骨<告 中10<1<1&战在10时至18时实验堂客要年减 探究三拟合三角函数模型 [典例精斯] 〔残例】解：口》向已如我乘，滋出自线如用 wm 13 10 0数学必修第一册人教A版 5.7三角函数的应用 学业目标 ·定位 课标要求 学习目标 1.掌握三角函数的图象与解析式之间的对应问题的处理方法 2.能结合实际生产与生活中与三角函数之间的密切关系，用 通过本节课的学习，掌握常见的三角函数应用 三角函数这一数学模式解决与之相关的问题， 问题的处理方法，了解并掌握数学建模的方法 3.能处理三角函数相关学科之间的问题，用三角函数这一重 与步骤，能处理与三角函数相结合的数学问题、 要工具解决与数学、物理学及其他学科与之相关联的问题. 物理问题及与之相关的其他学科与生产、生活 4.掌握数学建模的重要方法与步骤，并能严谨的应用数学知 有密切联系的问题 识解决问题 必备知识 梳理 答案见P4151 ©情境探究 © 知识梳理 温州市区著名景点—江心屿，江心屿上面有 1.简谐运动 座寺庙一 江心寺，在江心寺中题了一副非常 在物理学中，把物体受到的力（总是指向平衡 知名的对联.上联是：云朝朝朝朝朝朝朝朝 位置)正比于它离开平衡位置的距离的运动称 散；下联是：潮长长长长长长长长消.该对 为“简谐运动”，可以用函数y=Asin(ar十p), 联巧妙地运用了叠字诗展现了瓯江潮水涨落的 x∈[0，十∞)表示，其中A>0,w>0. 壮阔画面.下面是瓯江江心屿码头在某年某个 (1) 就是简谐运动的振幅，它是做简 季节每天的时间与水深的关系表： 谐运动的物体离开平衡位置的最大距离； (2)简谐运动的周期是T= ,它是做 简谐运动的物体往复运动一次所需要的时间； (3)简谐运动的频率由公式∫子 江心屿 给出，它是做简谐运动的物体在单位时间内 往复运动的次数； 0 9 间 12 15 18 21 24 (4) 称为相位；x=0时的相位 水 66.257.552.842.55 7.55 2.55 称为初相. 2.三角函数模型的应用 仔细观察表格中的数据，你能从中得到一些什 (1)匀速圆周运动、简谐运动和交变电流都是理 么信息？ 想化的运动变化现象，可以用 准确地描述它们的运动变化规律 (2)函数模型的应用：利用搜集到的数据，先 210 第五章三角函数 画出相应的“散点图”，观察散点图，然后进行 1 D.100s 函数拟合获得具体的函数模型，最后利用这 C.108 个函数模型来解决相应的实际问题， 3函数y= n(行x+)的周期报幅初相分 留科学思维 别是( 一、思考判断 1π 1元 1.判断正误.（请在括号中打“/”或“×”） A3r3'6 B.6r,3'6 (1)三角函数是描述现实世界中周期变化现 D6x3,8 ) 象的重要函数模型.( C33,-看 (2)与周期有关的实际问题都必须用三角函 4函数y=3sin( 《2x一)的初相为 数模型解决.() 5.电流I(A)随时间t(s)变化的关系式是I (3)若一个简谐振动的振动量的函数解析式 5sin(100πt+ 是y=3sin(4红+君)，则其往复振动一次所 ),则当4=20s时，电流为 A. 需时间为秒.() 二、思考探究 (4)若电流I(A)随时间t(s)变化的关系是 拟合函数模型，利用收集到的数据，画出相应的 I=4sin200πt,t∈[0，+∞)，则电流的最大 散点图，应用三角函数模型解决问题的一般程 值为4A.() 度有哪些？ 2.电流I(A)随时间t(s)变化的关系是I= 3sin100πt,t∈[0，十o∞)，则电流I变化的周 期是( ) 1 B.50s 关键能力 探究 答案见P415 探究 三角函数在物理中的应用 时，小球离开平衡位置的位移s(cm)随时间 (s)的变化规律为s=4sin(2+》,∈[0， 雪知识深化 十∞).用“五点法”作出这个函数的简图，并 (1)在物理学中，当物体做简谐运动时，可以用 回答下列问题. 正弦型函数y=Asin(ax十p)(w>0,A>0)来 (1)小球在开始振动(t=0)时的位移是多少？ 表示运动的位移y随时间x的变化规律.主要 体现在单摆、弹簧振子、电流、机械波等问题 (2)明确物理概念的意义，此类问题往往涉及诸 如频率、周期、平衡位置、振幅等概念，因此要熟 知其意义并与对应的三角函数知识结合解题. ⊙典例精析 【典例1】已知弹簧上挂着的小球做上下振动 211 数学必修第-一册人教A版 (2)小球上升到最高点和下降到最低点时的 名师点拨 位移分别是多少？ 三角函数解决物理问题的三个关键量 (3)经过多长时间小球往复振动一次？ (1)物体运动的初始位置，即初相。 (2)完成一次运动需要的时间，即周期 (3)离开平衡位置的最大位移，即振幅， [针对训练1]弹簧振子以O为平衡位置，在B, C两点间做简谐运动，B,C相距20cm,某时刻 振子处在B点，经0.5s振子首次到达C点， 求： (1)振动的振幅、周期和频率； (2)弹簧振子在5s内通过的路程及位移. 【典例2】已知电流I与时间t的关系式为I= Asin(wt+o)(A>0,w>0,lpI<z). (1)如图是I=Asin(wt十o)在一个周期内 的图象，根据图中数据求I=Asin(awt十p) 的解析式： (②)如果1在任何一段150秒的时间内，电流 I=Asin(cwt十o)都能取得最大值和最小 值，那么仙的最小正整数值是多少？ 300 0 t(秒 900 180 -300 。212 第五章三角函数 探究二 三角函数在生活中的应用 名师点拨 已知实际问题的函数解析式解决相关问 自知识深化 题，题目一般较容易，只需根据函数解析式并 三角函数模型在实际中的应用体现在两个方 结合题中所提供信息即可求解。 面：一是已知函数模型，利用三角函数的有关性 [针对训练2]某实验室一天的温度（单位：℃） 质解决问题，其关键是准确理解自变量的意义 随时间t(单位：)的变化近似满足函数关系： 及自变量与函数之间的对应法则：二是把实际 问题转化成数学问题，建立三角函数模型，再利 f=10-2sm(8+5},te[0,24 用三角函数的有关知识解决问题，其关键是 (1)求实验室这一天的最大温差； 建模。 (2)若要求实验室温度不高于11℃，则在哪段 ⊙典例精析 时间实验室需要降温？ 【典例3】估计某一天的白昼时间的小时数D 口的表达式是D0)-多n 2(4-79)+ 12,其中t(t∈Z)表示某天的序号，t=0表 示1月1日，以此类推，常数k与某地所处 的纬度有关 (1)在波士顿，k=6,试画出当0≤t≤365时 函数的图象； (2)在波土顿哪一天白昼时间最长？哪一天 最短？ (3)估计在波士顿一年中有多少天的白昼超 过10.5小时 213。. 数学必修第-一册人教A版 探究三拟合三角函数模型 (2)一般情况下，船舶航行时，船底高出海底 的距离为5米或5米以上时认为是安全的 ●知识深化 (船舶停靠时，船底只需不碰海底即可)，某 船吃水深度（船底离水面的距离）为6.5米， 根据几何模型，建立适当的三角函数模型，利用 如果该船希望在同一天内安全进出港，那么 三角函数的性质解决问题. 它至多能在港内停留多长时间（忽略进出港 @典例精析 所需的时间)》 【典例4】某港口水深y(米)是时间t(0≤t≤ 24,单位：小时)的函数，记作y=f(t),下面 是某日水深的数据。 t/小时 y/米 0 10.0 3 13.0 6 9.9 9 7.0 12 10.0 的 13.0 18 9.9 21 7.0 24 10.0 经长期观察，y=f(t)的曲线可近似地看成 是函数y=Asin ot十b的图象 (1)试根据以上数据，求出函数y=f(t)的 近似解析式： 名师点拨 在处理曲线拟合和预测的问题时，通常需 以下几个步骤 (1)根据原始数据，绘出散，点图； (2)通过散点图，作出“最贴近”的直线或 曲线，即拟合直线或拟合曲线； (3)根据所学函数知识，求出拟合直线或 拟合曲线的函数关系式； (4)利用函数关系式，根据条件对所给问题 进行预测和控制，以便为决策和管理提供依据。 。214 。第五章三角函数 [针对训练3]已知某海滨浴场的海浪高度y (2)根据规定，当海浪高度大于1米时才对冲浪 (米)是时间t(时)的函数，其中0≤t≤24，记 爱好者开放，请依据(1)的结论，判断一天内的 y=f(t),下表是某日各时的浪高数据： 8:00到20：00之间，有多少时间可供冲浪者进 3 6 9 1215 1821 24 行活动？ y1.51.00.51.01.5 1 0.50.991.5 经长期观测，y=∫(t)的图象可近似地看成是 函数y=Acos wt十b的图象 (1)根据以上数据，求其最小正周期，振幅及函 数解析式； 随堂演练·达标 答案见P4171 1.简谐运动y=4sim(5x一)的相位与初相是 200s时，电流强度1为( ( A.5A B.2.5AC.2A D.-5A A5x-吾，骨 B5x一音4 4.商场人流量被定义为每分钟通过入口的人 数，五一节某商场的人流量满足函数F(t)= C.5x-3,-3 π元 D4,号 50+4sn乞（≥0），则在下列哪个时间段内 2.如图所示，单摆离开平衡位置O的位移s(单 人流量是增加的( ) 位：cm)和时间t(单位：s)的函数关系为s= A.[0,5] B.[5,10] 6sin2t+》,则单摆在摆动时，从最右边到 C.[10,15] D.[15,20] 最左边的时间为( 5.如图所示的图象显示的是相对于平均海平面 的某海湾的水面高度y(m)在某天24h内的 变化情况，则水面高度y关于从夜间0时开 始的时间x的函数关系式为 0 61 A.2s B.1s 61218 039152124 3.电流强度I(单位：A)随时间t(单位：s)变化 的关系式是I=5sin(100xt+),则当t= 215。.