5.5.2 简单的三角恒等变换-【志鸿优化训练】2026-2027学年高中数学必修第一册(人教A版)

所以管-9-5十货即一一君e乙 就都家州：一 【随堂濱练·达标】 LAn析：os知'6a35+5切'6a5 =n83ms35十m80对H35-em(80-35) -mr- 2,C解折：因为34'in25°-m34*2” -(34+25) =一mm0=一名设选C eama-音osuo+a0-一 in=i[a+十前一a] =ina十3》osa一ma十8ime 4齐案：一区. 解析：3一in2红+602台 (m2红ms5+ms2xn}2n, ,)的最小值为一2， 5,解：e,3片为规角， ima一。-9as月-小B 3v1 101 六coa+月》-mses-血咖月-25x *- 又0心a<受0<受0e+K o+- 第2课时二信角的正兹、来弦，正切公式 【必备知识·梳理】 [情境深究] 提示由两角和的涂镇会式得 G862a=t0s(a十a) 一e0e0sa一iHo的g -co'a-sin'a ■uw2a-(1-w2a) =2aow2a-1, [知阙梳】 25in(-48y 1.8 in o-ia。 2tan e 2cs 2sin 12 c 12 一25sim48 -25地48_-4w5. 11-2in's 1-42g-11十4 sin 24'cos 24" 2. 2 sin ts A典 (20(dna士msa) 探究二化前求值 [典例精析] [科学见维] …,11)×(2)/(3》X(4√ [病例习解：)原文-9m》1-一n助 (1-1an8)1+un0) 2D折桥：始-2血m。一器 21n9 3C解折o2a-2m。-1-合-1=号 7 1-n9n0, (2)原式 00s 2e D解新：认-心音出言m著-厚 am(w经年】 42 5答案：一吉 n(-jow(片- 解折一知g=2,片法m2=仁。 24 oos a 2n货-eoe-a Cts 2g 三.提示2a-2inu0o例t0%2a“ms'a一 in'eitan 21 tan 2a ex7-a】 【关键能力·深究】 2-1 限究一给角求值 [针对国练2]解： 典闲精析】 (1草式-√10+10+2in10usD十 √m10+oo10=2a10'aos10 [先例1门解：)秦式= 2 24' -(sin 10*+cos 10)+(sin 10-ooe 10) (2》原式-05(2×750门=c0s1500-ms(4× -Isin 10'+oos 10"]+lsin 10'-cos 1o" 3物+0)-@s60- -shn10°+eos10+es10°-sn10 =2cow10. (a乐天-105地10 =10ocm16 a-计2二经司 26ms2a十2oos2asin2a 2xin2a+2in 2gm 2g sin 10'cos 10" 2cos2a(oos2a十in2a】 金m-编器- 2sin Za(sin 2a+co 2) 2m106cs10 （4条我-2血20+m2g,0·ms8如 n2 2an2 保究三始简术曾 2对n40°，c44,eo82 [典例精析] Asin 20 [典例】解：a<要亭+码 8sin 20" [针对调练1]答案：→4区 ol+》>0音+< v3sin 12 cos 12 ima+）--om(e+ 解折：原我-22o12-1面127 35(哈血1g-s1l 留- am%12'(gm24m12】 m=m(色+》=a+}we+】 -×-)×是一著 in2s-o+）-1-2ma+7) 1-x得-品 ma+》-停m么号aa -号×（碧动 -E 50 [针对辑塔订L,解： 原式 5g象二0 -2《sg-m)= in 2o(o+}-g 工解：由(-》- 得如os吾西g如吾- 两或个者时得之岩 2 中血a…停+m: 17 n色+》-5 【随堂演滋·达标】 1.D解析：因为os(任-）-m于ms十 7 2B解折：m(任m[登-（任-小- 即m倍-如（任-）-号 又0<70c<n9-号 答常孔 3答常：日 解析：s2红-1-红-1-2X传}'- 5,51简单的三角智幕变换 【必备知识·植理1 情境深究] 提示者，如受是：竹学角是2的车角等 (科学总维】 ,1.1》×(2/(3)×4) 2.C解折：180㎡<a<0.∴90<号<18时，又 心告空。 2. 3A那折：a(货a∴号e(停血是 5 4D糊折：m色=-=n 2in5日网a 5.喻： 解新：器为了0)-m上-1兰，所议f 2 的表小压月南T一智= 二，提示在积化和表的公式中，如果“从右丝衣"看， 实质上就是和差化机为了用起来才德，在机免和是时公式 中，中果◆+日月产g照。生08子 把这套值代人标化和是的会或1中，杭有 -++m生安 -2lng+ap以 月林可件n9-恤甲一2如告·a与 s叶p-2m生m m食-g-一m生，m字这组公 2 式明装和差死和会式 【关键伦力探究】 探究一皮用半角公式求值 [奥例镜析] 块制门捕：血9-专吾<<，m6 一个-m6-是 m0-2omr号-1imw号-1z9 <费 一子20一市边 原人成主， 方法二 友造m。 csasin是 【针对调练1订解！琴为g为税角日为忆角，m®= m登m呈m是一m号 2 m是m是 5 件假cosa一一言c0m月一，米以ma一肌 ma咖分m员 oo9血m一君×名+×指-器 一号in-血么一右选 又用为登a<,0K登所以0心a-K:所 箭以愿太成点 探究三辅陆角公式的应用 [典侧精析] [我例门解：1)fx)=2im2a-若)+em(十 2 65 m 深究二三角西数化第与证期 典例精析) [典例2]解：虑式= 色+m) c sin 停oern (3 sin 2:-com 2r )+2com 2r (色是-cm} 一5a2z十euw2=2mf2a+7》 n 两以fr-sin2+若) 登经学w20n>0 ◆2+号62r+<法：+要E,郎待 im受+m号】 +管+eD, 一 tf在洲果e区间%[a十音标]E五 (白告w号 四当re[一音]时，以2+晋∈[-营， 2hn员 ]片+)[小 中m登，中分立w告 故函数x)的位城为[一1,2] 2 [针对训练3]解：f(上》=一m上·（一6%上》一 ctan专 +-+- [针对请修】证明：方清一左边 1-tar号 -ood'a 最小正周麻为T-受-南2五红一音一标十 “1-m号 音€z得出时作地：号晋e五 +9e[告 甲g心)最小位为0，最大住为1+停 【随堂演练·达标】 1B解析：由道多如血。-侣∈(k》所 两为受（侵》斯以a(货十受}=m是 2D解断：“x<0<m∈（度a小，号e 停) 厚 kB解断：f)-n了一o+》-m 停mr+nr-mgm一月lg》. 所x高数f)的佳域为[一3各们，故选B 4.答案：士 解斩：国为f--g马，片法/ 的藏小正周期T一受-元 5解：-71阿°<<270时<号<135， 中是第二限角，n是<0 -】 -2 √+() 漆二1<270”，即6是第三象限年， 咖一6-√1一第子 ng上m9_1(》 =-2 原注明：左边■ in rom r {a壹ms营-细如萱+m引 2xim rem 4m经到o草-im）2n号。第五章三角函数 5.5.2简单的三角恒等变换 学业目标·定位 课标要求 学习目标 L.会运用三角函数的正弦、余弦、正切的和与差、二倍角公式 会运用三角函数的相关公式进行简单的三角恒 进行三角函数式的化简与求值， 等变换，并能解决与三角函数有关的计算、化 2.会运用相应的三角函数公式进行三角函数式的证明. 简、证明等问题. 必备知识· 梳理 答案见P4111 ○情境探究 国知识梳理 同学们知道电脑输入法中的“半角”和“全角”的 半角公式 区别吗？半角、全角主要是针对标点符号来说 =士 (1)sin 1-cos a 的，全角标点占两个字节，半角占一个字节，但 不管是半角还是全角，汉字都要占两个字节.事 (2)cos 1十cosa 实上，汉字字符规定了全角的英文字符、图形符 2 号和特殊字符都是全角字符，而通常的英文字 母、数字键、符号键都是半角字符 (3)tan2 =士 1-cos a V1+cos a 半角 s血号 2c0s ⑤中力。t (4)tan sin 2 2 2 ⑤中g,国a￥E cos 2 a cos 2 ·2c0s1 2 全角 任意角中是否也有“全角”与“半角”之分，二者 sin sin a a sin 2 ·2sin 2 有何数量关系？ 1+cosa'tan 2 a cos 2 cos 2 ·2sin 1-cos a sin a ©科学思维 一、思考判断 1.判断正误.（请在括号中打“/”或“×”） 1+cos a. ) (2)存在a∈R,使得cos2=2osa,（） （3)对于任意a∈R,in号-号如a都不成 立.() 199。 数学必修第一册人教A版 (4)若a是第一象限角，则tan e唱 2w5 2 D. 1-cos a ) 4.下列各式与tana相等的是() 1+cos a 1-cos 2a 2.已知180<a<360°，则c0s号的值等于 A.+cos 2a sin a ( B.1+cos a 1-cos a sin a A.- 2 C.1-cos 2a B. 1-cos a 1-cos 2a 2 D. sin 2a 1+cos a 5.函数f(x)=sin2x的最小正周期 C.- 2 为 二、思维探究 B. 1+cos a 2 n0+9.cos°2 公式sin0+sinp=2sin21 0一9是否 3.已知cosa= a∈（经，2x,则sn号等于 1 成立？ ( A10 5 BV10 5 关键能力·探究 答案见P4111 探究一应用半角公式求值 sin2 a 1-cos a 2 ,c0s29=1+c0s计算. 2 2 自知识深化 @典例精析 1)已知0的某个三角函数值，求关于号的三角 【典例1】已知sin0= 且警<0<3元求 函数值的步骤： ①根据0的取值范围，利用同角三角函数的基 名和am号的值 本关系式求得0的其他三角函数值： ②注意号的取值范围，代人半角公式计算。 (2)注意公式的选取：涉及半角公式的正切值 sina=1一cosa,其优点 时，常用m号=中o。na 是计算时可避免因开方带来的求角的范围问 题；涉及半角公式的正、余弦值时，常先利用 …200 。第五章三角函数 名师点拨 探究二三角函数化简与证明 利用半角公式求值的思路 (1)看角：若已知三角函数式中的角是待 自知识深化 求三角函数式中角的两倍，则求解时常常借助 三角函数化简与证明的常见方法 半角公式求解 (1)从复杂的一端向简单一端化简，即化繁为简. (2)明范围：由于半角公式求值常涉及符 (2)两边化简，使其都等于中间某个式子，即左 号问题，因此求解时务必依据角的范围，求出 右归一. 相应半角的范围。 (3)把式子中的切函数化为弦函数，即化切为弦 (3)选公式：涉及半角公式的正切值时，常 (4)利用分析法、综合法找与原式等价的式子， 用am号0.8，关优点是计头 即等价化归。 sin a ⊙典例精析 时可避免因开方带来的求角的范围问题；涉及 半角公式的正、余弦值时，常先利用sin2 【典例2】已知a<经，化简： 2 1+sin a 1-cos a 十 2 “,c0s2g 2 1十cosa计算. 2 √/1+cosa-√/1-cosa [针对训l练1]已知a为饨角，3为锐角，且sina= 1-sin a √/1+cosa+√/1-cosa 青血B号求cms的值 201。 数学必修第一册人教A版 cos'a [针对训练2]求证：1 1 4sin 2a. @典例精析 一tan2 tan 2 【典例3】已知函数f(x)=2sin(2x-)十 4cos(z+)cos(x-F)月 (1)求函数f(x)的单调减区间： (2当x[看，】时求函数f的值域 名师点拨 常见基本形式 0ynr5asx-分nxg =-2sin(-5》; 探究三辅助角公式的应用 (2)y=sinx+ose+）=sinx十 目知识深化 3 对于形如asin x十bcos x(a,b不同时为零)的式 2 cos z-2sin z-sin(+) 子可以引人辅助角变形为Asin(x十o)的形式. 即amx+bcos=a+F(+i (3)y=c0s(2++2sin'x-cs 2x a sin x+ 3 2 sin 2x+1-cos 2x- 2os2c号m2之4 b va+0s以. 1=1-sim(2x+): b 令c0s9 va'sin v ,原式 ④y=4nxas(红3》3=4x2msx寸 Va2+b2(sin xcos十cos xsin)=√a2+b2· 2 sin )-3=2sin xcos x+2/3sin'3 b sin(x+g),其中tanp= =sin2x+√3(1-cos2x)-√3=sin2x 运用辅助角公式，必须满足三个条件：同角（均 为x):齐一次（均为一次的）：正余全（一个是 3cos 2x=2sin(2x- sinx,一个是cosx). 。202 。第五章三角函数 [针对训练3]已知函数f(x)=sin(2π-x)· sim经-x-3cos2z+3. (②当x∈，得]时，求f)的最小值和量 大值. (1)求f(x)的最小正周期和图象的对称轴 方程； 随堂演练·达标 答案见P4121 1.若sin(x-a)=- 5已知0=号且10<0<2m求m号 sim(+)等于( A6 3 B6 co 2设5<0<6，o号-u,则血号等于 ) 2sin xcos x A.VIFa BV1 a 6.求证：(inx+cosx-1)(sinx一cosx十D 2 1+cos x C.-+a sin x D.--a 2 3.函数f(x)=sinx-cos(+君)的值域为 ( A.[-2,2] B.[-√3w3] C.[-1,1] n[- 4.函数f(x)=sinx的最小正周期为 203。