5.5.1 第1课时两角和与差的正弦、余弦、正切公式-【志鸿优化训练】2026-2027学年高中数学必修第一册(人教A版)

数学必修第一册人教A版 5.5三角恒等变换 5.5.1两角和与差的正弦、余孩和正切公式 第1课时两角和与差的正弦、余弦、正切公式 学业目标·定位 课标要求 学习目标 1.了解两角差的余弦公式的推导过程，体会单位圆上点的坐 标的表示方法. 通过本节课的学习，熟悉两角差的余弦公式的 2.掌握由两角差的余弦公式推导出两角和的余弦公式及两角 灵活运用，了解公式的正用、逆用以及角的变换 和与差的正弦、正切公式 的常用方法。 3.熟悉两角和与差的正弦、余弦、正切公式的灵活运用，了解 公式的正用、逆用以及角的变换的常用方法。 必备知识 ·梳理 答案见P4061 ○情境探究 2.两角和与差的正弦公式 公式 我们知道cos45°= 名称 简记符号 使用条件 2,c0s30°= 2. 请同学们 两角和的 sin(a+B)= S(a+ a,B∈R 思考这样一个问题：cos15°=cos(45°-30°)= 正弦公式 cos45°-c0s30°成立吗？ 两角差的 sin(a-B)= 正弦公式 Sup a,B∈R 3.两角和与差的正切公式 名称 简记符号 公式 使用条件 a,B,a十B≠ 两角和 tan(a+8)= x+受∈ 的正切 T+ ZD且tana· 国知识梳理 tanB≠1 1.两角和与差的余弦公式 a,8,a-B≠ 名称 简记符号 公式 使用条件 两角差的 cos(a-B)= 两角差 tan(a-B)= kx+受∈ 余弦公式 C。D a,3∈R 的正切 T ZD且tana· 两角和的 cos(a十B)= tanB≠-1 余弦公式 C+ a,3∈R …190 。第五章三角函数 ©科学思维 3.sin245°sin125°+sin155°sin35的值是 一、思考判断 ( 1.判断正误.（请在括号中打“√”或“×”） A、③ c n号 (1)两角和与差的正弦、余弦公式中的角a,3 是任意的.（) 4.已知tana十tanB=2,tan(a十B)=4,那么 (2)存在a,3∈R,使得sin(a一B)=sina-sin3 tan atan B等于( 成立.() A.2 B.1 c D.4 (3)对于任意a,B∈R,sin(a十B)=sina+ 5.sin70°sin65°-sin20°sin25°= sin3都不成立.() 二、思维探究 (4)存在a,B∈R,使tan(a十3)=tana十tanB成 公式中a,3为任意实数吗？ 立.() 2.cos57°cos3°-sin57°sin3的值为() A.0 唱 D.cos54° 关键能力 ·探究 答案见P407 探究一 给值求值 (2)若sin(r十0)=一号0是第二象限角， 自知识深化 sm经+)-25 9是第三象限角，求 给值求值问题的解题策略 cos(0-p)的值. (1)已知某些角的三角函数值，求另外一些角的 三角函数值时，要注意观察已知角与所求表达 式中角的关系，即拆角与凑角 (2)由于和、差角与单角是相对的，因此解题过 程中可以根据需要灵活地进行拆角或凑角.常 见角的变换有： ①a=(a-)+;②a=a9+a22,③2a= 2 2 (a+B)+(a-B);④23=(a十3)-(a-3). @典例精析 【典例】已知cosa-着cosa+9) 5,且 a,3均为锐角，求cosB的值. 191 数学必修第-一册人教A版 名师点拨 (2)一般途径是将非特殊角化为特殊角的和或差 给值求值的解题策略 的形式，化为正负相消的项并消项求值，化分子、 (1)已知某些角的三角函数值，求另外一 分母形式进行约分，解题时要逆用或变用公式. 些角的三角函数值，要注意观察已知角与所求 ⊙典例精析 表达式中角的关系，即拆角与凑角。 【典例2】化简求值： (2)由于和、差角与单角是相对的，因此解 (1)sin40°sin160°+cos200°cos(-320). 题过程中根据需要灵活地进行拆角或凑角的 (2)sin(a-35)·cos(95°-a)+cos(a 变换.常见角的变换有： 35°)·sin(95°-a). ①a=(a-3)十3； ②a-ae+a里 2 2 ③2a=(a十3)+(a-B); ④28=(a十B)-(a-), [针对训练1】已知骨<B<a<osa一) 12 sin(a+8)= 号求os2a的值 [针对训练2](1)sin20°cos10°-cos160°sin10°= () A③ c-2 n (2)求sin15°+sin75的值. 探究二 化简求值 自知识深化 探究解决给角求值问题的策略 (1)对于非特殊角的三角函数式求值问题，一定 要本着先整体后局部的基本原则，如果整体符 合三角公式的形式，则整体变形，否则进行各局 部的变形 …192 。第五章三角函数 【奥例3】已知cosa一B)=号，tan atan月=m, 【典例4】已知a∈(o,》8∈(-2,0，sin月= 求cos(a十3)的值. 且oso一到-号求e的值 名师点拨 (1)给角求值：解题关键是正确选用和差 角的正弦余弦公式，以便把非特殊角的三角函： 数转化为特殊角的三角函数」 (2)给值求值：解题关键是找出已知式子 与待求式子之间的联系及函数名称和结构的 差异.一定要注意已知角与所求角之间的关 系，恰当地运用拆角、拼角技巧，同时分析角之 名师点拔 间的关系，利用角的代换化异角为同角。 给值求角策略 (1)解决此类题目的关键是求出所求角的 [针对训练3引已知osa)-号，maam月= 某一三角函数值，再求角的范围，进而确定角 3,求cos(a十). 的大小 (2)三角函数的选取，一般要结合角的范 围：若角的范围为0，》，选正孩函数和余弦函 数都可若角的范周是（一受引，选正弦画数 比余弦函数好；若角的范围是(0，π)，选余弦函 数比正弦函数好 [针对训练4](1)若sin2a= 5,sin(8-a)= ,且a∈[臣引，Ae[,小，求a+月 10 的值 193。. 数学必修第一册人教A版 (2)已知a为锐角，sin(a十）=cos(-a),求 [针对训练5]求sim6+sin9cos15 cos6°-sin9sin1的值. a的值. 探究三公式的正用、逆用、变形用 探究四条件求值（角） 自知识深化 目知识深化 (1)关于求值问题，利用角的代换，将所求角转 探究公式T±刚的逆用及变形应用的解题策略 化为已知角的和与差，建立与待求式间的联系， (1)“1”的代换：在T。士中，如果分子中出现 进而求值 “1“常利用1=tan平来代换，以达到化简求值的 (2)关于求角问题，先确定该角的某个三角函数 值，再根据角的取值范围确定该角的大小 =m经-。)，0 目的，如1十tana 1一tana @典例精析 amla+f》: 【典例6】在△ABC(非直角三角形)中，tanA 和tanB是方程x2一mx十n=0的两个根， (2)整体意识：若化简的式子中出现了“tana士 求tanC的值. tanB”及“tana·tanB”两个整体，常考虑 tan(a士B)的变形公式. @典例精析 【奥制5】7器的位 。194 。第五章三角函数 [针对训练6]已知f(x)=tanx十1，且a,B满 ©典例精析 足f(a)f(3)=2,则a,3可能是() 【典例7】已知sin(a-B)=2cos(a十B),tan(a一 Aa-g- 段=号求m。一m月的值 B.a- 3π ce语a-= 5π 探究五 两角和与差的正切/公式的综合应用 自知识深化 (l)当化简的式子中出现“tana士tanB”与 “tana·tanB”的形式时，要把它们看成两个整 体，这两个整体一是与两角和与差的正切公式 有关，通过公式能相互转换，二是这两个整体还 [针对训练7]设a,b是非零实数，且满足 与根与系数的关系相似 -bcos 5 asin 5 (2)在应用公式求值时，要注意隐含的条件，能 =tan 缩小角的范围。 acos- +bsn 5 随堂演练·达标 答案见P4091 1.cos80°cos35°+sin80°cos55的值是( A号 B号 8,且a日为锐角，求 c 成若a=5 D.-2 a十B的值. 2.sin34°sin26°-cos34°cos26°的值是( N位 B号 c日 D~3 3 3已知0<a<受<B<,sina=号，sin(a+ )=,则如月等于( A.0 B0设蜡 c器 D士器 4.函数y=sin2x十cos2x的最小值为 195.5.答案+宁+骨e☑ 解报：两为3+受五时以于宁x+管， k∈Z 二，1，提示表与正切函表有关的品数的发义境时， 险了桌高数宽又城的一教要桌并，还要保江至切品数 ymx有老风为r营针c乙 之疆示料定与正越品数有吴的函数奇，性的方法 先来函数的定文城，看其定文城是否美于原点对 称，希其不美于原虚时称，则域品牡为非奇非第函载：若 其天千原成时称，再秦（一工）与2》的关最. 【关键能力·探究】 保究一正切函数的定义战和值域 典例精析] [典例1]1C解析：由斯意可得：1一n上a0, 盟r+是十0xke乙 Fran rx1, re+ez 敛该C (2)鞘1①当n士0时，y=0: ②tamz>0时，y= 8 2十 由+2物是 专仪车2m一d中m-复件等特核 主，0y2爱. 当nx<0时y■8 品 南-mr计山之如mx+d2≤ 2g5c0. 8 t-2√26y0 位上，的最大位为2死，量小值为一2豆. 【针对调练订答案管∈可 解析：国为函数y一nr与y一o8x的发又线 为民， 若爱桃西数y-血十路二有意义，必烦使恤x 【且1 有意义，直n上≠0， 两以有十5e名体x一受毛乙 红≠h青E乳 所以击数y一血兰将定文线为上女 tan 警e 酰选且 (2)◆g(x》-2025sinx十2026anz· 装客案为：rr告e。 由y一inx与y=tanx为奇晶数，则，g《一r)= g(). (2》解1核题意，孟数y一x一unx,xE 了(-2)+(-1》+f0)+(1》+f2) g(-2)一1+x-1)-1+0)-1+w(1) 1十g(2)-1 灵f=tnx,te[一1,1] -一g3+x(2)-g1》十x(1)十g(0》-5+-5 n---(--1.. 常为，一5 探究三正彻面数的单调性及应同 游钢省上一三时，取得量小值为一了 [典例精析] 出=一1时，取挥最大接为（一1）一（一1》=2 [典例3]1)B(2C解析：《1)四为直线x=a开 飘究二正切函数的周期性，而视性，对秋性 与函餐ynnx的周象无会来成，几<aI, [典例精析】 [典例2】箐案：(1)B{2)8解析：1)提(z) t1mn2aT化为s士31， 所以解得开十卡n红<受十长写长么 華g-一-sm子-一)-(ea 所以不等我的娇集为r十普<红<十营 EZ. 刚函食g(红)是★函我： 十2a 耸选且 g(r+2g)-atmm2 (2)因为2是第二拿很角，所以0<n2<1,一1 60s2<0, 别函数以(：)是周期为2年的周期品数： 国为受<2<票，所以m2n冬-一l, 南3-5，可将x(3-/0-一41，副（一30=-1， 时以g200x一动=f200一3》-4g(一3=-1， 锋上可知，aE0,1).bE(-1,0).r<-1d=1 别f(200一3)=4一1=3， 所以rbCa<d 故域我 批选C [针时谓练3]客案：DD2)A(3)(一2,0) (2)向随意如函酸fx)=nr的录小正两相为营 解析：yy-1am(3a+》--n3缸- 故装黄为：8 个-营<r一名<x+受4eZ解挥智 [针对W塔2]答案：(1)B《2)一5 解析：1)品餐f(x)-in (our十g》(w>0.0<g< 函数y■an(一8x十)竹单祸是或落月为 nkr十学)， 西版图象的一个对黎中妇的坐格为（侣小，测 此陆D f得》-m停+-o ☒1.5e(便，}y=ar在xeb)上 两毛增。 为0p<p-7, Bg)-tm+引由+培-营∈D 又y一加不在r∈(0，）上羊调递增，故日 所找x)=an(a证十》的对中过 又y一四s:在x长(0)上单涧通减， -m5m-号 Cc 故选A 3:通数y一画上片单销遥增这的为（一要十 为单铜绿成画数， 只>≥-是4件-s<0.即ue(-2,0. a<0, 故参案为：（一2,01 【随量演练·达标】 1B解轿：山题可得1回士十10，即如士 -1,解得ze[-景km+）eD. 2C解折：>aT-是-受-2故选C 3管案修警号+引4z 解桥：◆太受<2+ka十受长乙 斯<受+晋z un<a(经+}am 中1un后+)<s :所水函数的佳城为1B 5,5三角但等变换 气5.1再角和与差的正蕴、余猛和正切公式 【必备知识·镜理】 [情境探克 镯示本成主， [知识顿理] 1.tos occo月十in asin cos oc月-masin月 工in+es aain xn gcns且-o oain twn坐一th是 1十tan etao9 [科华愿幢] 一.11D/20(3》×大√ 2B解折：8式-60m(6rt3的-s6前- 王B解桥：”m25=in《155十0)= cw155.m125■sin(90+35=ow35,源X m8155mm35+动155n3行-155-35)-m%13f- 4c餐指：ma十)=4及 1ana+1通3=2， 六-amB4,标特om身 2 五苦案号 解析：原或=im70心ccm5一m70°in2药■ h(-石g-是 二，提示任意. 【关键能力·探究】 探究一始值求值 典例精析】 [典例门解：(1)a3均为抚角， 0g+<十>0， 3 0sB-s[(x十)-a]=s(a十》m4a十 grnx+9》-ae学血9=亭 又6是第二良限角6得一写 4 如经小mpp为2限年 恤= 六eos(0-g}-ms0osg十in9slnF -(×)+号x(9)晋 【针对到练门解：<<。 0a号gt告 美ae+=-多ia+ 从西有o0e+》-一言 4 s-昌m-o-景a- 12 13 ÷,os2-e(a十3)=(a-a)门 -om(o十9)a网9一a)+n6g+man(京-o》 -(←)×得+(-》×(-)-器 √得-，时时瑞之侵》 限究二化简求值 典侧精析】 用为血--巴e[后引 [其例2]解11)原式一如0如n-的灯m20 --ea(4g+20-6- 所城一ee(受，普 (2》康式=an[a一35的十(95-e)】=im0 m除)-1-g可--} 3w/0 [针对误】《1DD解析：唇式-面2co%0十 10 cos a'sin 10in(1 精网(x十D特化为m[(一e)十2金] 所以owa+图-oe&如s如a (2解：如15+n75-dn(45-30+n(45+ 物-2n45ms30-要 (×{2）-×g- 10×5 西×54须历5而E [典例3]解：因为0《。一)=①sa田s日十 10X6 0 02 为。∈（侵引∈[】所中月 停 臂议aa3w十namm干污 o6十-m-血B一器 (2解：调为me十若）-a*(行一 #对酒练】解：得为m卧-号即m 所以血a6ow若+eas年血吾-os吾msg十 msa月时aa月-导 对如e骨)-s音咖)m 又0为机角将以。一吾 [典刷解：由（小血-一得释 探究三公式的正用、逆用，变形月 m个5-洛 [A制可格"器带 an75+145型 南a0登引0心-，又ema-- -tn75n4行-an行*+5-anl3w--8. [针对到练】解： 因。的一1-a- sin fi"+ain 9'oo 15" w6im9a月 所议sma-m[e-)+门-(a一》eoa+ in(15'-的+in9cm15时 oa即血-音×2音×语-竖 m15--一n9m15 sin 15'cs-cos 15'sin sin B'oos 15" 所以。一 15'cossin 15 sin 9"sin g'sin 15 sim 15'cos 【特对道装解：)调为a∈[子小将以✉∈ m15sg-m15-ts(0一45-区- 1+ [侵血山-得>，t2e(货动 -业-2- 2 探究因条件求值（角》 根插m十w2=1,将岛=一V/1一行 [典例6们解：园为1anA和anB是方程x2一 r十n■0的两个根， 所这情A十BB=精，tan Atan B, 所x1nmC=1mx一A十B)]=一tn(A十B)= tmA中15B5 i-tan Aus B w [针对调德6们D解桥：茶A正：则。+日=a> unfm一ang: pfa)f(0■(g+1)1-an)m2→o 一1，黑腐不点之，或A情误： 老B,C正偏，则e十9=营m tan a 年or0=mo(品.+）=2m时 品。0是不成 故B,C情遥： 对十D填+月=受m月=m(得-) 1始年 1+tn a' 装af9-tma*行+)-2a表 是，城D延确 故域几 银究五两角和与象的正切公式的综合应用 典酬】解：8为n(a一3》-2csa十》，na 1na■) 所x6o(aD-2oa+ 所我0%rm殊是十金in月-4(m404星 sin asin B). 中8 os 00s骨-Ssin asin月， 中tan-音 an4一1通月 1+ ana一m月一 针对训练汀等密：一号 m骨 解析：由题意可存， "1+m号 an30 1+ma3 m 年an径d-an3前 所以管-9-5十货即一一君e乙 就都家州：一 【随堂濱练·达标】 LAn析：os知'6a35+5切'6a5 =n83ms35十m80对H35-em(80-35) -mr- 2,C解折：因为34'in25°-m34*2” -(34+25) =一mm0=一名设选C eama-音osuo+a0-一 in=i[a+十前一a] =ina十3》osa一ma十8ime 4齐案：一区. 解析：3一in2红+602台 (m2红ms5+ms2xn}2n, ,)的最小值为一2， 5,解：e,3片为规角， ima一。-9as月-小B 3v1 101 六coa+月》-mses-血咖月-25x *- 又0心a<受0<受0e+K o+- 第2课时二信角的正兹、来弦，正切公式 【必备知识·梳理】 [情境深究] 提示由两角和的涂镇会式得 G862a=t0s(a十a) 一e0e0sa一iHo的g -co'a-sin'a ■uw2a-(1-w2a) =2aow2a-1, [知阙梳】 25in(-48y 1.8 in o-ia。 2tan e 2cs 2sin 12 c 12 一25sim48 -25地48_-4w5. 11-2in's 1-42g-11十4 sin 24'cos 24" 2. 2 sin ts A典 (20(dna士msa) 探究二化前求值 [典例精析] [科学见维] …,11)×(2)/(3》X(4√ [病例习解：)原文-9m》1-一n助 (1-1an8)1+un0) 2D折桥：始-2血m。一器 21n9 3C解折o2a-2m。-1-合-1=号 7 1-n9n0, (2)原式 00s 2e D解新：认-心音出言m著-厚 am(w经年】 42 5答案：一吉 n(-jow(片- 解折一知g=2,片法m2=仁。 24 oos a 2n货-eoe-a Cts 2g 三.提示2a-2inu0o例t0%2a“ms'a一 in'eitan 21 tan 2a ex7-a】 【关键能力·深究】 2-1 限究一给角求值 [针对国练2]解： 典闲精析】 (1草式-√10+10+2in10usD十 √m10+oo10=2a10'aos10 [先例1门解：)秦式= 2 24' -(sin 10*+cos 10)+(sin 10-ooe 10) (2》原式-05(2×750门=c0s1500-ms(4× -Isin 10'+oos 10"]+lsin 10'-cos 1o" 3物+0)-@s60- -shn10°+eos10+es10°-sn10 =2cow10. (a乐天-105地10 =10ocm16 a-计2二经司 26ms2a十2oos2asin2a 2xin2a+2in 2gm 2g sin 10'cos 10" 2cos2a(oos2a十in2a】 金m-编器- 2sin Za(sin 2a+co 2) 2m106cs10 （4条我-2血20+m2g,0·ms8如 n2 2an2 保究三始简术曾 2对n40°，c44,eo82 [典例精析] Asin 20 [典例】解：a<要亭+码 8sin 20" [针对调练1]答案：→4区 ol+》>0音+< v3sin 12 cos 12 ima+）--om(e+ 解折：原我-22o12-1面127 35(哈血1g-s1l 留- am%12'(gm24m12】 m=m(色+》=a+}we+】 -×-)×是一著 in2s-o+）-1-2ma+7) 1-x得-品 ma+》-停m么号aa -号×（碧动 -E 50 [针对辑塔订L,解： 原式 5g象二0 -2《sg-m)= in 2o(o+}-g 工解：由(-》- 得如os吾西g如吾- 两或个者时得之岩 2 中血a…停+m: 17 n色+》-5 【随堂演滋·达标】 1.D解析：因为os(任-）-m于ms十 7 2B解折：m(任m[登-（任-小- 即m倍-如（任-）-号 又0<70c<n9-号 答常孔 3答常：日 解析：s2红-1-红-1-2X传}'-