5.4.3 正切函数的性质与图象-【志鸿优化训练】2026-2027学年高中数学必修第一册(人教A版)

数学必修第一册人教A版 5.4.3 正切函数的性质与图象 学业目标·定位 课标要求 学习目标 1.理解与掌握正切函数的性质，并能运用正切函数的性质解 决与正切函数相关的周期性、奇偶性，定义域、值域、单调性 通过本节课的学习，会运用正切函数的图象与 等问题 性质解决与正切函数有关的周期、奇偶性、单调 2掌握正切函数的图象的画法，会运用正切函数的图象研究 性及值域等问题。 正切函数的性质，并能解决与正切函数有关的相关量问题. 必备知识 梳理 答案见P4041 目情境探究 国知识梳理 孔子东游，见两小儿辩斗，问其故 正切函数的图象与性质 一儿日：“我以日始出时去人近，而日中时 解析式 y=tan x 远也.” 一儿日：“我以日初出远，而日中时近也.” 图象 一儿日：“日初出大如车盖，及日中则如盘 盂，此不为远者小而近者大乎？” 一儿日：“日初出沧沧凉凉，及其日如探汤， 定义域 xx∈R,且x≠T+kπ，k∈Z 2 此不为近者热而远者凉乎？” 值域 孔子不能决也 个 两小儿笑曰：“孰为汝多知乎？” 奇偶性 奇函数 对称 中心 (经o),k∈z 单调性 在每一个区间 内都是 事实上，中午的气温较早晨高，主要原因是早晨 太阳斜射大地，中午太阳直射大地.在相同的时 ©科学思维 间、相等的面积里，物体在直射状态下比在斜射 一、思考判断 状态下吸收的热量多，这就涉及太阳光和地面 1.判断正误.（请在括号中打“√”或“×”） 的角度问题.研究太阳光和地面的角度问题常 (1)正切函数的定义域和值域都是R.() 常用到哪个函数的性质与图象呢？ (2)正切函数图象是中心对称图形，有无数个 对称中心.() (3)正切函数图象有无数条对称轴，其对称轴 ◆186 。第五章三角函数 是x=k士受∈Z() 是() A.y=tan x (4)正切函数是增函数.() B.y=cos 2.函数y=tan(2x十开)的最小正周期为 C.y=tan 2 D.y=|sin x A.2π B. 5.函数y=tan3x的定义域为 c nf 二、思维探究 3.函数f(x)=cosx·tanx是() 1.如何研究正切函数有关的函数的定义域？ A奇函数 B.偶函数 C.非奇非偶函数 2.判定与正切函数有关的函数奇偶性的方法是 D.既是奇函数又是偶函数 什么？ 4.下列函数中，同时满足：①在(0，)上单调递 增，②为奇函数，③以π为最小正周期的函数 关键能力 ·探究 答案见P4051 探究一 正切函数的定义域和值域 A[km-开，k],k∈Z 自知识深化 B[x+,keZ 求正切函数定义域的方法 (1)求与正切函数有关的函数的定义域时，除了 C(k-吾kx+],k∈Z 求函数定义域的一般要求外，还要保证正切函 D.kx+于，kx+》,k∈乙 数y=tamx有意义即x≠受十kx,k∈Z而对 (②)求函数y=28千与的最大值和最小值 于构建的三角不等式，常利用三角函数的图象 2tan'x+1' 求解. (2)求正切型函数y=Atan(x十o)(A≠0， m>0)的定义域时，要将“ax十p”视为一个“整 体”.令r十9≠kx十受k∈Z,解得工 典例精析 【典例1】(1)函数y=√1-tanx的定义域 为(). 187. 数学必修第一册人教A版 名师点拨 (2)函数f(x)=tanx(w>0)的图象的相 求正切函数值域的方法 邻两支截直线y=所得线段长为g,则。 (1)对于y=Atan(ar十p)的值域，可以把 的值是 口十p看成整体，结合图象，利用单调性求值域； (2)对于与y=tanx相关的二次函数，可 名师点拔 以把tan工看成整体，利用配方法求值域 判断函数的奇偶性要先求函数的定义域，判 断其是否关于原点对称.若不对称，则该函数无奇 [针对训练1](1)函数y=sin?十cos的定义 tan x 偶性，若对称，再判断f(一x)与f(x)的关系. 域为 [针对训练2](1)已知函数f(x)=sin(ux十 (2)求函数y=tanx-tanx,x∈[-至，]的 2 p)(w>0,0<p<π)的最小正周期为3π，其图 最大值与最小值 象的一个对称中心的坐标为（任，0小，则曲线 g(x)=tan(ax十p)的对称中心坐标为( A修20，k∈z B泛o,keZ c等+∈z 探究二 正切函数的周期性奇偶性对称性 D. 悟+是0，kez 自知识深化 (2)已知f(x)=2025sinx十2026tanx-1,f(-2)+ (1)一般地，函数y=Atan(ar十p)的最小正周 f(-1)+f(0)+f(1)+f(2) 期为T=高，常常利用此公式来求周期。 探究三正切函数的单调性及应用 (2)若函数y=Atan(ar十o)为奇函数，则p=kπ 自知识深化 或g=kx十∈2刀，否则为非奇非偶函数 (1)求函数y=Atan(az十)(A,w,p都是常 (3)正切函数是奇函数，所以原点是y=tanx 数)的单调区间 的对称中心，同样，结合y=tanx的图象，可以 ①w>0时，把x十9看成一个整体，解一十 得到，0小，k∈Z都是正切函数的对称中心. kx<ar十g<受十k,k∈乙，求x的取值范围. @典例精析 ②<0时，先用诱号公式把w化为正值再球单调☒间 【典例2】a)已知f(x)=atan乏-bsin十4 (2)运用正切函数单调性比较大小的方法 ①运用函数的周期性或诱导公式将角化到同一 (其中a,b为常数且ab≠0)，如果f(3)= 单调区间内. 5,则f(2010π一3)的值为() ②运用单调性比较大小关系. A.-3 B.3 C.-5 D.5 ◆188 。第五章三角函数 @典例精析 (2)运用正切函数单调性比较大小的方法 【典例3】(1)若直线x=aπ(0<a<1)与函数 ①运用函数的周期性或诱导公式将角化 的图象无公共点，则不等式tanx≥2a的解 到同一单调区间内. 集为( ②运用单调性比较大小关系 Azkx+6<x<kx+受k∈Z [针对训练3](1)函数y=tan(-3x+)的单 调区间是( B{女kx+T<x<kx+2k∈Z clkx+骨<x<kx+经k∈☑ Akx一吾x+k∈四 Bkx晋ka+}e刀 D女kx+<x<kx+至k∈Z (2)已知a=sin2,b=cos2,c=tan2,d= c[-吾+]e刀 1,则() 悟吾督+cD A.a<b<c<d B.a<b<d<c D.3 C.c<b<a<d (2)若a=sin1.5,b=cos1.5,c=tan1.5.则 D.b<a<d<c 名师点拨 A.b<a<c B.a<b<c (1)对于构建的三角不等式，常利用三角 C.b<c<a D.c<b<a 函数的图象求解.解形如tanx>a的不等式 的步骤： (3)若函数y=tan()在[一至，引上为单调递 作图象一作在(-受，受)上的正切函数图象 减函数，则实数ω的取值范围是 求界点 求在(-受，受)上使anx=a成立的r值 求范围 求(-牙，号)上使tanx>a成立的x的范围 定义域 据正切函数的周期性，写出定义域 随堂演练·达标 答案见P406 1.函数y=√tanx十1的定义域为( Abx-牙，kx十T)k∈Z) A.4 B.3 C.2 D.1 Bkm一景k云十受》h∈Z刀 .函数y=an(2x+)的单调递增区间 是 C[kx-子kx+》k∈D 4求函数y=tam侵+》x∈0，若]的值域 D.[kx-平，+e)k∈z刀 2.已知函数f(x)=3 tanw-)的最小正周 期为，则正数u=() 189。.y一m在[0，]上单调曦我 一青w+0, 停+条，0心w号 [典例晨：)eam(-)-(-红+子) 605 ()-am-x+7-om7 六em5ros (2)sm1”-in(18r+14=-sin1, 60%160'-60s(18'-25=-60s20 =一独U。 01'70c0°.4in14m70 从而-m14>-im7,中in19>0w160, [针对满练3)解：1》m(-留)-m管 o(-}-m音mg-m吾<君 co<on 5 ，-如子在[登剖上是减品数，六血号> 探究三三角函数的值城（酸最值问艇 [奥例精析】 [典例解：[君引 +别 个=2+片 又y一加：在[0]上单得超地， 0cam包+}i, oe2ml2r+g）<2: ol. 当inx=1时y=-5, 当mr=时y-是 ∴.-2(2r+5）2. [典例们解：方法一，（分离常数） 数的值成为[√百，红. mya+n一0 y子 因为一1mr61, 又dhx30时，02mf2, .孟复y=imx|+x的雀境为[O,21 所以12-m.2-4 [针对调练】解：恩为三[一牙引 所以时<3即西盘时祖线为[得 州以2x+[- 方法二：《数别结合) 知圈，最.AP(2,2),Q(o%x, 从看是a红+》1， cos x). 则Q表在找脱y=一x,一 背以当m十)= 1上，两y的单值就国为Q片 料单的梨值花国 即2江+5-02--营附y--8-《--L 由国可以看出，是≤k阳 sme+5}》-是 而m品宁n-- 2-11 2-1 印2+骨--营 -3-x(》-6 身西能特楼说分[合可 棉上所注，唐上一君时9-一： 青：高艺心3-2 当x=8时m-5 国为1十y≠0（否刺两边不成主）， 【典例5】解：Dy-omsx十2如r一2-一rx十 2sinz-1=-《sinx-1)'. 器勇一1写如运1，所以gmr-一1， 由om1,号1，解得a 即x--+2染：k后Z哈 所以复售线冷[合 西数取样最小信，y一=一《一1一1)=一4： [针对圳炼6]解：日为一16mx<1,所这0<1 指恤一1，野一受十达长之防 sin 2. 函我取将最夫值y=一(1一1)'=， (2y=√/-20r+360s2-1 特准道为[子，+小 -√2@-+ W为-16mwx61.具-26w2x十30的x-10, (y一1》n=y一2，然y1，x 州以当m不=子时y=日- 3y2 2y-3 x10 解y3 ,所以函复 [针对HW练门解：y=一2(1一±)+2inx+ 0 3-2a+2inr+1-2(m+号)+会xe ,十0 [语] 【随堂演遂·达标】 1B隔析：曲x+受2红2洗+经长乙 所以》=血2红岭米研递增器同是 [lx+6]4ez 工日解析：由函量为奇高数，可样C、D督误：购为 画量y海在[-营】]上米网港赠，是 [只]2红∈[贤小为加数乡-血在 [只]上养河遂减，故A铅混，B三瑰 3.答秦：051>四52608 解析：0<1<223，而y-osx在[0，x1上单 铜通减， 41>o42g3, 4着案[ 解桥06受 营君 s音m+}长ms音 天解：fr)-1-2inxt2msx =2e0s21+2c0sz-1 =是 8m于-时心r-是 当m4x=】时，f(r).-3, 请品数的维线为[是可 543正切函数的性置与围象 【必备知识·毓理】 「情境探究】 提示正初函餐 [如识板理 R周期（一受+，2+∈2增系 [科学思维] 一.1.1)×(20(3)×(4)X 20解断，杯福期有公天研果得了日-受故选C 3A 人A解析：处脸江，盛项B,D中所修函数察是偶 函数：选预C中所始的品整的用制为2示， 5.答案+宁+骨e☑ 解报：两为3+受五时以于宁x+管， k∈Z 二，1，提示表与正切函表有关的品数的发义境时， 险了桌高数宽又城的一教要桌并，还要保江至切品数 ymx有老风为r营针c乙 之疆示料定与正越品数有吴的函数奇，性的方法 先来函数的定文城，看其定文城是否美于原点对 称，希其不美于原虚时称，则域品牡为非奇非第函载：若 其天千原成时称，再秦（一工）与2》的关最. 【关键能力·探究】 保究一正切函数的定义战和值域 典例精析] [典例1]1C解析：由斯意可得：1一n上a0, 盟r+是十0xke乙 Fran rx1, re+ez 敛该C (2)鞘1①当n士0时，y=0: ②tamz>0时，y= 8 2十 由+2物是 专仪车2m一d中m-复件等特核 主，0y2爱. 当nx<0时y■8 品 南-mr计山之如mx+d2≤ 2g5c0. 8 t-2√26y0 位上，的最大位为2死，量小值为一2豆. 【针对调练订答案管∈可 解析：国为函数y一nr与y一o8x的发又线 为民， 若爱桃西数y-血十路二有意义，必烦使恤x 【且1 有意义，直n上≠0， 两以有十5e名体x一受毛乙 红≠h青E乳 所以击数y一血兰将定文线为上女 tan 警e 酰选且 (2)◆g(x》-2025sinx十2026anz· 装客案为：rr告e。 由y一inx与y=tanx为奇晶数，则，g《一r)= g(). (2》解1核题意，孟数y一x一unx,xE 了(-2)+(-1》+f0)+(1》+f2) g(-2)一1+x-1)-1+0)-1+w(1) 1十g(2)-1 灵f=tnx,te[一1,1] -一g3+x(2)-g1》十x(1)十g(0》-5+-5 n---(--1.. 常为，一5 探究三正彻面数的单调性及应同 游钢省上一三时，取得量小值为一了 [典例精析] 出=一1时，取挥最大接为（一1）一（一1》=2 [典例3]1)B(2C解析：《1)四为直线x=a开 飘究二正切函数的周期性，而视性，对秋性 与函餐ynnx的周象无会来成，几<aI, [典例精析】 [典例2】箐案：(1)B{2)8解析：1)提(z) t1mn2aT化为s士31， 所以解得开十卡n红<受十长写长么 華g-一-sm子-一)-(ea 所以不等我的娇集为r十普<红<十营 EZ. 刚函食g(红)是★函我： 十2a 耸选且 g(r+2g)-atmm2 (2)因为2是第二拿很角，所以0<n2<1,一1 60s2<0, 别函数以(：)是周期为2年的周期品数： 国为受<2<票，所以m2n冬-一l, 南3-5，可将x(3-/0-一41，副（一30=-1， 时以g200x一动=f200一3》-4g(一3=-1， 锋上可知，aE0,1).bE(-1,0).r<-1d=1 别f(200一3)=4一1=3， 所以rbCa<d 故域我 批选C [针时谓练3]客案：DD2)A(3)(一2,0) (2)向随意如函酸fx)=nr的录小正两相为营 解析：yy-1am(3a+》--n3缸- 故装黄为：8 个-营<r一名<x+受4eZ解挥智 [针对W塔2]答案：(1)B《2)一5 解析：1)品餐f(x)-in (our十g》(w>0.0<g< 函数y■an(一8x十)竹单祸是或落月为 nkr十学)， 西版图象的一个对黎中妇的坐格为（侣小，测 此陆D f得》-m停+-o ☒1.5e(便，}y=ar在xeb)上 两毛增。 为0p<p-7, Bg)-tm+引由+培-营∈D 又y一加不在r∈(0，）上羊调递增，故日 所找x)=an(a证十》的对中过 又y一四s:在x长(0)上单涧通减， -m5m-号 Cc 故选A 3:通数y一画上片单销遥增这的为（一要十 为单铜绿成画数， 只>≥-是4件-s<0.即ue(-2,0. a<0, 故参案为：（一2,01 【随量演练·达标】 1B解轿：山题可得1回士十10，即如士 -1,解得ze[-景km+）eD. 2C解折：>aT-是-受-2故选C 3管案修警号+引4z 解桥：◆太受<2+ka十受长乙 斯<受+晋z un<a(经+}am 中1un后+)<s :所水函数的佳城为1B 5,5三角但等变换 气5.1再角和与差的正蕴、余猛和正切公式 【必备知识·镜理】 [情境探克 镯示本成主， [知识顿理] 1.tos occo月十in asin cos oc月-masin月 工in+es aain xn gcns且-o oain twn坐一th是 1十tan etao9 [科华愿幢] 一.11D/20(3》×大√ 2B解折：8式-60m(6rt3的-s6前- 王B解桥：”m25=in《155十0)=