5.3 诱导公式-【志鸿优化训练】2026-2027学年高中数学必修第一册(人教A版)

【随堂演练+达标】 L.B解析：根播三角色数竹定义可加na一3一 2A解析：由已知得x=4y=一3，斯以 一+一-5，故- 3D解折：因为-登a<0,所以s>0.是 nw<0,背议走Q(ae8a,由g】在第对良限，数选D. 4.答案：0 解析：景天 -sm2x+7}+e(+）-ta(-i+引 5.解：(1120是第二象展角，n120<0. 旷是第三象很角.in2g'<0 ,n120'·如26g>0. ②<4<受4是第三泉限角 m4a.“项-6m开 .cos 4 tan 发22同角三角函数的基本关系 【必备知识·梳理】 [情境探究 提示有关系，ai。十eia-l,急。-tame 日1线星 [句识麓理] ditoeoea 【科学题推] 一，1.1)X〔2)×30/40× 2C解析：调为管是第二泉限角，将以四暂< o,片以如要-V园要-m-m告 D晰o:店要n 4D解新：举为血a一一百里▣为第回泉限角， 12 所以osa一营所殊ma一立拔选n 5案：号 由①得ma=2mgg代入得 4co'a codod 解析：一写且为第三角如 天a长(》ma<0, (2解：由于n92红二3，股2红二3一，解特 x=-3发r=L, 二.假示一是”角相网”，加dn绿十66月=1就不 一定减点。二是对件意一个每〔在使得品数有意发岭前 多时细=小品二-品告4 提下)，美系式都成立，即与角的录远式列天无关，如 2-1时，00-一1， n十amB1an&+1 a15+ow215一1，》w是-1年 9a0n-一0 (3)解：(1)(sin8+os)-1+2sin8os0 【关健能力·深究】 银究一利用基本关系式术值 典例精析) 3 [门答案aC号断：D调为m0= 六血0os-一意90e0, 对n>0,又inan0=一80， "是 c0u9D,sih9-田38>0， (int-mw0y2=1-2inm%9=1-2× 故越G ( (2m如工了两楼平才拼12如mX一 m身-m-号 am0。;g- 荆osx一snx(co4x一inx》·《co8x十 (sin coe 0)(sin dce9) n鲜8 收客米为： 13 .tan 9- 湘mg-音 探究二三角函数的化菌与证明 ,a是第二或第玉象限而 [典例精析] 台厦是第二象限角时，到 [典例2】精：原天-2a2二e+ 加。--摄 十eoa-2 sin'a 15 +-e+, ecs'a-sin'a 1 ng一 60sa-1十1-2 17 [针调练2】解：0乐大一m。·ng+ma· 当立是第五象限斯时，副 sin a--V1-cos g-- 15 g十2img路e Nin a -in2a十co十&ino2a 4na-2,0 针对词练1j(1解：南已如量 (sin'atcos's) 1 a+owa一1@ sin atos g sin ges a (2)W为180Cg270,所以ina0, 源天-、1一oa - 2 In (3)整明：会一1左边 ima十ma+2 incos ing一90 -ina十mye ina十osg in't一oog sin a-cos 盟右点角以手化成王 0+1 法二：右边一 inx十osg nr0s年 LUSE 《He十ene月 "n-ue in+9aa司 _+3nu四兰-左墟 sima一ga 所汉等式成生 【随堂演练·达标】 1,日解析：根婚同年三角高最的是本美系进什验 江，8为台a-x时，sina=0且o5a=一1.所以B成 土，而A,C,D每不点立 2着案：片 血-器到 12 3答案：1 解析：1十tara)·osa -h+2》·aa-+ia- 4茶案：四 5 解折：由ta一一 将其税入a十ea-1,得a。-1, 所以四网a=而易知0， 故加a+em。-亚 5 5.3诱导公式 【必备知识·植理】 [情境探克】 提示存在 [知识城理] L.(L0草点②-n。一cos a tal a (2①x②-aamg-ng(3》①y ②ina-cosa-tna 2.〔1①直t线y-r②asg4ng22aa [科平愿推] -,L,(1》×〔21X3)×《40/ 2.AC解析：南墙平金式易知AC正确，D错 3.日机析：15面■m(15一3门=一江 2 4D解折：a一君me±等m(受针 】=m=士号t海n 5.答案：-1 解析：n315=an(36心一45)=1a《一45的= -tan45=-1. 二，提示角。与用登十和的林站类子y“好体 (一r3). 【关键能力·探究】 探究一利用锈导公式求值 奥例精析] [典例1门(1C()D(aD解断：(1)4为✉的 降边上有一永(1,3)， 所以四“万干罗0 就法C (②四路e∈（骨》，所营+∈（高 又n悟+。)一>0，所a m(得-小-恤[复仔+】-a(倍+- 、-r(哈+- 登选D )肉题盒y得m(e+)-m[臣一(e+】 m(侵-小-n。-》g 【针时华司答案：D四2号 解折：(1)1)c(e十)=一1 ,e十=云十2线8，kE乙 ”-"这， a+2)=in(a+十)=in(十2张可+ 此草等式成五 n十n=一m一子状达n (2)解： (2》由三角函量的请导公式，可得： ①f(a) sin(o()ain) tn3+tm5-aK0+2X18)+nk-3+ s音-e)-x一g) 3×150)-1an0+an{-3-an60°-an30'- 《-oo8a)"ine - 2w5 巴喝为到-一细a,将以画g一一言 长器案为：3 又▣是第三章限角，所以 a根两为o倍+a)=om[一（传-] -m(倍-小 的国为-=-5X2十要 如6-》-（得-】 所4}-( -1-(g-)- =-m(-6x2m+）=-m 群os悟+a小--】 微保究调导公式在三角形中的应用 [奥例3]A解根：购为mA=mnB=anC,里 摆克二利用清导公式化简和菜值 A,B,C为△AC的内角：时以<B<受 [典例精析】 [典例2](1》答案：1 所以A-B+受发A+B-于 解折：o二)an7x士a 老A+8-受时C-受成时mC不得我，故舍刻 -aan（x十a_a:eu-im5=1. 所法A一晋+B n年 sin e in (2》证期：原式在边 故法A 8昌aa 【随常清练·达标】 L,A解析：nG85■m{360+1时+45 =m:一加，e=me。一 Cex·(一006g)·ina 0 右选.威原天得医 2A解斩：四以十》一s,降以0s一学 (3》解：m4(105一a)一in(15一u） 此进A -ems180°-(75+a)]-sim9-(75+a》] -@5+o》em(5+》-号 3答席：月 [针对理练2】(1)证所： 精桥：eam行+-m[受-（信一]小-a(借 本边-mg-)十o(m。 a)- _im-4r十x十g】-osg 一ins十oowa 4答案 一aa十wa 一na十68%a 解析：为第网限角且a一 sin a--VT-mss t.co+) 5 天解：及式=√/1十260w2(一n2到 -√/-2sm2s2-√/(m2-o42y-1sin2 mns 2. 义m2四%2，.通其-面2-mw2 长解：山身意得了(e》 一n侵-小(-血eme一aa im(一g)(-ta)一in(r十a) 0ssg)1通a(-sne》 一纳g(一ane》Mn自 60sa.放f(a)=-60sg. 5,4三角函数的图象与性质 天41正蓝函数、象盛函数的留象 【必备知识·硫理】 [情境探克 慢示王，余独函整的阁象是“波流起线”的造埃无 滑自线 [知识枕理1 1,正装由线1()①五个关健点 [科华见量] 一.1.1) (2)X(3》X(4)× 2.A 3C解轿：由解析式可如y=F的图象过克 (a,b),则y-一0%z的国象必址&(a,一b》,南此州 制两个函数的目象是干工物对体 4B 5答案1需01 二.1.握示如图，在[0,2]上任取一个值x。,根 正被福数的定父了如y=m工：此时孤AB的长度为 :结合之脑母一个角的蓝是数与实量的一一对应关 系，可得点T(t。,如xo Aro:sin.To 工提术根条请学会天一，把r∈0,2]的图是不 断向左。肉右平移（每移动2x个果位长魔），拜y nrx∈E的图象数学必修第—册人教A版 5.3 诱 学业目标 ·定位 课标要求 1.掌握诱导公式的内容、规律适用范围。 2.了解诱导公式的作用. 3.会用诱导公式进行化简、求值、证明恒等式. 必备知识 梳理 ©情境探究 对称美是日常生活中最常见的，在三角函数中 一a、π士a、2π一a等角的终边与角a的终边关 于坐标轴或原点对称，那么它们的三角函数值 之间是否也存在对称美呢？ 南京眼的桥身的完美对称 辽宁生命之环的完美对称 枫叶的完美对称 国知识梳理 1.诱导公式二、三、四 (1)诱导公式二 ①角π十a与角a的终边关于 对 称，如图所示 0 P 4.170 导公式 学习目标 理解与掌握诱导公式的内容，会用诱导公式进 行相关的运算 答案见P3981 ②公式：sin(r十a)= cos(r十a)= tan(π十a)= (2)诱导公式三。 ①角一a与角a的终边关于 轴对 称，如图所示。 ②公式：sin(-a)= cos(-a)= tan(-a)= (3)诱导公式四. ①角π一a与角a的终边关于」 轴 对称，如图所示. ②公式：sin(r一a)= cos(x-a)= tan(π-a)= 2.诱导公式五、六 (1)诱导公式五. ①角-a与角a的终边关于 对 ②公式：sim受-a) cos段-a)= (2)诱导公式六， ①公式五与公式六中角的联系为受十a=元 (-a: ②公式：sim(昏+a） cos(2+a)- 卧科学思维 一、思考判断 1.判断正误.（请在括号中打“√/”或“×”） (1)公式二~四对任意角α都成立.() (2)由公式三知cos[一(a一B)]=一cos(a B).(） 关键能力 ·探究 探究一 利用诱导公式求值 自知识深化 用诱导公式化简求值的方法 (1)对于三角函数式的化简求值问题，一般遵循 诱导公式先行的原则，即先用诱导公式化简变 形，达到角的统一，再进行切化弦，以保证三角 函数名最少 。第五章三角函数 (3)公式五和公式六中的角a一定是锐角. ( (4)在△ABC中，sin(A+B)=sinC.( 2.（多选)下列说法中，正确的有() A.存在角a,使sin(π十a)=-sin&,cos(π a)=-cos a B.当a是第三象限角时，tan(一a)=tana C.tan(a-π)=tana D.若a,3满足a十B=π，则sina=sinB且 tan a=tan B 3.c0s150°=( A号 2 c号 4.已知sina= 则sim(经+a)的值为() A号 R c D士 5.tan315°= 二、思维探究 作点P(x,y)关于y轴的对称点P',又能得到 什么结论？点P坐标是什么？ 答案见P3991 (2)对于x士。和±。这两套诱导公式，切记 运用前一套公式不变名，而运用后一套公式必 须变名。 (3)巧用相关角的关系会简化解题过程.观察所 求角与已知角是否具有互余、互补等特殊关系. 在转化过程中可以由已知到未知，也可以由未 知案已知.常见的互余关系有了-a,音十a:骨 171。 数学必修第一册人教A版 十a,吾-a:牙十a,晋a等.常见的互补关系有 2一04 +0，-0等 ⊙典例精析 【典例1】(1)已知a的终边上有一点p(1,3), 则cos(π十a)的值为( A号 B罗 C、0 10 D-3I0 10 ②已知sm后+a)-,且aE(,引， 则sin(3-a)=( 3若如。引- 号，那么cos(a+)的 值为( ) A29 B-25 5 c D-5 5 名师点拨 解决化简求值问题的策略 (1)首先要仔细观察条件式与所求式之间 的关系，发现它们的互补、互余关系， (2)可以将已知式进行变形，向所求式转 化，或将所求式进行变形，向已知式转化 (3)利用诱导公式解决给角求值问题的基 本步骤： 负化正用公式一或三来转化 大化小用公式一将角化为0°到360°的角 小化锐用公式二或四将大于90°的角转化为锐角 锐求值得到锐角的三角函数后求值 …172 [针对训练)(I)已知sinB=3,os(a十)= 一1，则sin(a+23)的值为() A.1 B.-1 c号 D.- 3 (2)tan420°+tan510°= (3已知m(行。-号求管+a-(。 君)的值 探究二利用诱导公式化简和求值 鲁知识深化 (1)三角函数式化简的常用方法. ①合理转化：a.将角化成2kπ士a,kπ士a,k∈Z 的形式.b.依据所给式子合理选用诱导公式将 所给角的三角函数转化为角α的三角函数. ②切化弦：一般需将表达式中的切函数转化为 弦函数. (2)三角恒等式的证明的策略， ①遵循的原则：在证明时，一般从左边到右边或 从右边到左边或左右归一，总之，应遵循化繁为 简的原则， ②常用的方法：定义法、切化弦法、拆项拆角法、 公式变形法、“1”的代换法， @典例精析 【典例2】(1)化简，cos(一a)tan(7x十a) sin(-a) (2)求证： tan(2x-a)sin(-2x-a)cos(6x-a) cos(a-π)sin(5π一a) -tan a. (3已知6ow(75+a）-日求os(105-。） -sin(15°-a)的值. 名师点拨 关于三角恒等式的证明，常用方法： (1)从一边开始，证得它等于另一边，一般 由繁到简； (2)左右归一法，即证明左右两边都等于同 一个式子，无论用哪种方法都要针对题设与结 论间的差异，有针对性地变形，以消除其差异. 三角恒等式的证明策略 对于恒等式的证明，应遵循化繁为简的原 则，从左边推到右边或从右边推到左边，也可 以用左右归一、变更论证的方法.常用定义法、 化弦法、拆项拆角法、“1”的代换法、公式变形 法，要熟练掌握基本公式，善于从中选择巧妙 简捷的方法 。第五章三角函数 [针对训练2](1)证明： sin(a-3r)十cos(πa)_tana十l sin(-a)-cos(π十a)tan&-1' (2)已知f(a)= sina-3acos(2r-a）sinl-a+） cos(一π-a)sin(一π-a) ①化简f(a); ②若。是第三象限角，且cos。一）-号，求 f(a)的值； ③若e=-求a)的值， 173。 数学必修第一册人教A版 微探究诱导公式在三角形中的应用 【典例3】若△ABC的内角A,B,C满足sinA= cosB=tanC,则角A与B的关系为() 随堂演练·达标 1.sin585的值为( A一② 2 C③ 2 n号 2.若cos(π十a)=- 3,则cosa的值为( A号 C2 3 D、 2√2 3 3.已知sin(后-)-号则cos(昏+)等于 4已知cosa=行且。为第四象限角，那么 cos(e+)等于 5.化简1+2sin(受-2)·cos(5+2. 4.174 A.A-B-2 BA+B-2 C.B-A-2 D.A+B-3 答案见P4001 6.已知f(a)= smle-}cos经-a小lamx+aos经+a sin(2n-a)tan(-a-x)sin(-a-n) 化简f(a).