5.2.2 同角三角函数的基本关系-【志鸿优化训练】2026-2027学年高中数学必修第一册(人教A版)

。第五章三角函数 5.2.2同角三角函数的基本关巢 学业目标·定位 课标要求 学习目标 L.掌握同角三角函数的基本关系式。 通过本节课的学习，会用同角三角函数的基本 2.能正确运用同角三角函数的基本关系式进行求值、化简和 关系进行求值、化简、证明。 证明. 必备知识 梳理 答案见P3971 回情境探究 ©科学思维 气象学家洛伦兹1963年提出一种观点：南美洲 一、思考判断 亚马孙河流域热带雨林中的一只蝴蝶，偶尔扇 1.判断正误.（请在括号中打“/”或“×”） 动几下翅膀，可能在两周后引起美国德克萨斯 sin 2 的一场龙卷风.这就是理论界闻名的“蝴蝶效 (1)对任意角a, tan Q 都成立. 应”，此效应本意是说事物初始条件的微弱变化 cos 2 可能会引起结果的巨大变化.蝴蝶扇翅膀成为 ( 龙卷风的导火索.从中我们还可以看出，南美洲 亚马孙河流域热带雨林中的一只蝴蝶与北美德 (2)因为sin2 x十co2牙-1，所以sina十 克萨斯的龙卷风看来是毫不相干的两种事物， cos2=1成立，其中a,3为任意角.() 却会有这样的联系，这也正验证了哲学理论中 事物是普遍联系的观点. (4)对任意角a,sina=cosa·tana都成立. ( 2.化简 1-sin2 3元 的结果是( 想一想：既然感觉毫不相干的事物之间都是相 3 A.cos 5 &如 互联系的，那么“同一个角”的三角函数之间有 元 没有关系呢？ C.-cos 5 π D.-sin 5 8'cos a=15 7 3.已知sina= ,则tana等于 a雪 国知识梳理 同角三角函数的基本关系式 e A (1)平方关系： (2)商数关系： 4.若sina= 3且a为第四象限角，则tana 167。 数学必修第一册人教A版 的值等于( 二、思维探究 A号 8 D.- 5 “同角”一词的含义是什么？ 12 5.已知cosa=- 5,且a为第三象限角，则sna ,tan a= 关键能力 探究 答案见P3971 探究 利用基本关系式求值 名师点拨 (1)已知sin0(或cos0)求tan0常用以下 自知识深化 方式求解 利用同角三角函数的基本关系解决给值求值问 cos20=1-sin20 sin20+c0s20=1 tan 0=sin0 题的方法 sin20=1-cos20 cose (1)已知角α的某一个三角函数值，求角α的其 (2)若没有给出角α是第几象限角，则应 余三角函数值，要注意公式的合理选择，一般是 分类讨论，先由已知三角函数的值推出α的终 先选用平方关系，再用商数关系。 边可能在的象限，再分类求解。 (2)若角α所在的象限已经确定，求另两个三角 函数值时，只有一组结果；若角α所在的象限不 [针对训练1](1)已知a∈(x, 3π ,tana=2,求 确定，应分类讨论，一般有两组结果 cosa的值， (3)记住常见的“勾股数”，如6,8,10；5,12,13； (2)已知角0终边上p(x,2x一3)(x≠0)，且 8,15,17等，可以方便解题. tan0=-x,求sin0+cos0 愈典例精析 sin0-cos9的值. 【典例1】(1)已知tana=- 子则 3已知sn0十cos0=,0∈(0，m,求下列各 式的值： sina十2cos&的值为( 5cos a-sin a ①sin0-cos0; 1 A.-1B.1 ②tan0- 16 4 tan a' (2)若cosx-sinx= 3,则cosx sin'x (3)已知c0sa=- 7,求sina,tana的值 。168 第五章三角函数 探究二 三角函数的化简与证明 名师点拨 三角函数式化简的方法 自知识深化 (1)化切为弦，即把非正弦、余弦的函数都 (1)在进行三角函数式的化简时，根据问题的结 化为正弦、余弦函数，从而减少函数名称，达到 构特征，灵活、恰当地选用公式，统一角、统一函 化简的目的. 数、降低次数是三角函数关系式变形的出发点. (2)对于含有根号的，常把根号下化成完 利用同角三角函数的基本关系主要是统一函 全平方式，然后去根号达到化简的目的， 数，要掌握“切化弦”和“弦化切”的方法。 (3)对于含高次的三角函数式，往往借助 (2)利用同角三角函数的关系式可以进行三角 因式分解，或构造sin2a十cos2a=1,以降低函 函数式的化简，对化简结果的要求： 数次数，达到化简的目的. ①项数尽量少：②次数尽量低；③分母根式中尽 [针对训练2]化简： 量不含三角函数；④能求值的尽可能求值. (1)sintana2sinacos @典例精析 tan a 【集别21化简：2a2++1 o 1十c0sa+ (2)1-cos a -cosa(180°<a<270): V1十cosa (3)求证： 1+2sin acos a tan a+l sin'a-cos'a tan a-1" 随堂演练·达标 答案见P3981 1.下列四个结论中可能成立的是( 2.已知c0sa= 3a∈，2 ,则sina 1 A.sina-2,且cosa=2 3.化简：(1十tan2a)·cos2a= B.sina=0,且cosa=-1 4.已知a是三角形的内角，且tana= C.tana=1,且cosa=-1 3,则 sina十cosa的值为 D.a是第二象限角时，tana= sin a cos a 169。.【随堂演练+达标】 L.B解析：根播三角色数竹定义可加na一3一 2A解析：由已知得x=4y=一3，斯以 一+一-5，故- 3D解折：因为-登a<0,所以s>0.是 nw<0,背议走Q(ae8a,由g】在第对良限，数选D. 4.答案：0 解析：景天 -sm2x+7}+e(+）-ta(-i+引 5.解：(1120是第二象展角，n120<0. 旷是第三象很角.in2g'<0 ,n120'·如26g>0. ②<4<受4是第三泉限角 m4a.“项-6m开 .cos 4 tan 发22同角三角函数的基本关系 【必备知识·梳理】 [情境探究 提示有关系，ai。十eia-l,急。-tame 日1线星 [句识麓理] ditoeoea 【科学题推] 一，1.1)X〔2)×30/40× 2C解析：调为管是第二泉限角，将以四暂< o,片以如要-V园要-m-m告 D晰o:店要n 4D解新：举为血a一一百里▣为第回泉限角， 12 所以osa一营所殊ma一立拔选n 5案：号 由①得ma=2mgg代入得 4co'a codod 解析：一写且为第三角如 天a长(》ma<0, (2解：由于n92红二3，股2红二3一，解特 x=-3发r=L, 二.假示一是”角相网”，加dn绿十66月=1就不 一定减点。二是对件意一个每〔在使得品数有意发岭前 多时细=小品二-品告4 提下)，美系式都成立，即与角的录远式列天无关，如 2-1时，00-一1， n十amB1an&+1 a15+ow215一1，》w是-1年 9a0n-一0 (3)解：(1)(sin8+os)-1+2sin8os0 【关健能力·深究】 银究一利用基本关系式术值 典例精析) 3 [门答案aC号断：D调为m0= 六血0os-一意90e0, 对n>0,又inan0=一80， "是 c0u9D,sih9-田38>0， (int-mw0y2=1-2inm%9=1-2× 故越G ( (2m如工了两楼平才拼12如mX一 m身-m-号 am0。;g- 荆osx一snx(co4x一inx》·《co8x十 (sin coe 0)(sin dce9) n鲜8 收客米为： 13 .tan 9- 湘mg-音 探究二三角函数的化菌与证明 ,a是第二或第玉象限而 [典例精析] 台厦是第二象限角时，到 [典例2】精：原天-2a2二e+ 加。--摄 十eoa-2 sin'a 15 +-e+, ecs'a-sin'a 1 ng一 60sa-1十1-2 17 [针调练2】解：0乐大一m。·ng+ma· 当立是第五象限斯时，副 sin a--V1-cos g-- 15 g十2img路e Nin a -in2a十co十&ino2a 4na-2,0 针对词练1j(1解：南已如量 (sin'atcos's) 1 a+owa一1@ sin atos g sin ges a (2)W为180Cg270,所以ina0, 源天-、1一oa - 2 In (3)整明：会一1左边 ima十ma+2 incos ing一90 -ina十mye ina十osg in't一oog sin a-cos 盟右点角以手化成王 0+1 法二：右边一 inx十osg nr0s年 LUSE 《He十ene月 "n-ue in+9aa司 _+3nu四兰-左墟 sima一ga 所汉等式成生 【随堂演练·达标】 1,日解析：根婚同年三角高最的是本美系进什验 江，8为台a-x时，sina=0且o5a=一1.所以B成 土，而A,C,D每不点立 2着案：片 血-器到 12 3答案：1 解析：1十tara)·osa -h+2》·aa-+ia- 4茶案：四 5 解折：由ta一一 将其税入a十ea-1,得a。-1, 所以四网a=而易知0， 故加a+em。-亚 5 5.3诱导公式 【必备知识·植理】 [情境探克】 提示存在