5.1.1 任意角-【志鸿优化训练】2026-2027学年高中数学必修第一册(人教A版)

工B解析：根据恩意可件15×动. C=50×7.5, 两式相 除可得结一 所以e品-收可得王- 2g2 -2×0.301-1.1i 8.477一1 险魂且 3答案：14 解桥：亚镇信羊骨应塞上无，到实称销售平耸为 (10十x)元，此时母桶维量为10的一10r》个.每个商品 的州滨为《10+x)一8=(2+x)《元)，总州算y= (2十x3(000-10r)--10r+89x+200--10(x 4》+30(0<x<10,风r∈N”).1》本=4时-y有泵 大位，光时单骨为14元 4答案：15 解桥：由题意得：拉100只野免增长月10万只开兔 大气常要工年， 时100×2#-100020解得：2-1600， 两造取计数，于g2=g100-3, 因为填2m0.3010, 所以x15 放答常为，1近 章末总结 【典型例题】 [例1门解1(1)原元=《-)+1-3-。 34+1-3=13 2原-[5×v画)×西]-1ox号× 密)-g0=-1 [到习解：08太-3+1+号-2名 @爆x-8+a7+日e7-音针 2g7-g0-受+2ka1-一是是-2 [倒】B期扬：国为丝-常天是 欧--异-器- eta +a 宗牛1 以每2b>g,故速C 十 +e [例]A解析：四为函数y=蜗士在定义战上 所议梦年>0时，高数为增品数，者日<0时，高我 单调递增， 为减函数， 睛以b-eg5ng13-ln,9=g>g2一1. 南为f2023>/2024),xa<0,故年一1 又=w=w== [例门AC解析：命4>1时，对应的国象可魏为 用以6>阳>1>r.故速A 选谓A,每0<阳<门时，对旋的需象写能为选项故选 [例10门答系：4 AC. 解析：函我f(x》是偶品载，说明品数f(x)岭图章 [例月B解析：画数y-+2(a>0@≠1) 头于y轴对称，/《2)一了(x十2》昆明f(x)=了z+ 的周象地过发表(1,3)，m十n=3一1一2， 站)，0E么，在网一平奇直商坐韩原中善出品酸y 2）-m层+)-10++培≥ 10+2,0=16. 当风收自启-只中-空m-受5成之 如用局帝，共有4个不的交成，g)=(》 是十是竹装小值为品益高且 g(x+1》有4个零克 [到1山门B解析：由随喜，观品表x(x)一 [例6们CD解析：或项A,B中，由对数函数图象 112x+3-1,*0, 得a>1,则二次面量中二次境系数a一10，其对意方 Im r.x>0. 配的两个根为0，。己越项Λ中，由图来得。可> ◆f口)=0，岸gx)=n 从61公2选克A可我：选质B中由阳表得。己D, 所以门避棒化为一g工)，以一m有3个交点 在矣内，作出高餐x)的周象如下所示： 与>1相千眉，选减B不可来.选源C,D中，由对数品 数的两象待0<1，则g一<0，二k高餐园是开口 向下，D不可兼：选谓C中，由圈象与工轴岭交成岭徒 里得。>l,与0a指香精，选清C不可量，执进 EXCTL 结合可知，一1w2,故国约取范国 [例刀篝案：[2，a0 为（一1,21.故选且 解析：设x(任)=±”十ur十2，琴为y=6:单调 [例12]答案：0,1门 是增 2+4-1x0, 若fx)-lgz+ax2)在(-1，中》单通 解析：岛年西兼f(x)回 的周象 增，到r红)在（一1，十）举偶还增： r>0 中他≥8解得2发 k《-10=1一a+20 g63, 故实数a的取值就国是[2,31 [例】C解析：设f(x)=05,由物教函数的性 魔知了(x)-05子在R上羊洞越减 由苦象T加一1a0时，g(上)了x》 所以6=f(0.5)=0.5>=f06)=0“, 令6(》=”，由莱函最的战盾如h(x)=x在 专0<a1时，r)=/(上)一d有3个家克， [0,十四)单调增， 当>1或a-0时，e)-fx)一w有2个车本 所以a-h(0.6)=0.6>b-h(0.5》=0.5,阶 [例13】若案：3672 都折sN-0时4=一1410-14吾 一144lg5-2w3)m36,72, C例14]解：们)最期的嘴量为500g 是过1年后，一500×(1-10%)-500×09： 最政2年后w00X09X(1一10=00X0乎 南之粮如，年后-e-500×0罗. (2)解方框00×0.学一20，射0.学-0.5， 片：-08g-号 中这种流射性元走的平我期约为长6年， 第玉章三角函数 51任意角和通度制 51.1任意角 【必备如识·桩理】 [情境耀究] 摄示有会头域表的两针战组成的几何图形网角。 角竹花图，0°一3巧0 [知识植理】 1.《1)速点透时针照时针设有敏任句正角 鱼物军角能转方向相同且旋转量相等不可 相0的量(2a十音。十（一9》 太(1)第儿象般角(2)a十6·36，ke乙整型 个周角 [科学思地] 一.1.答案：(10×《2)×)×(43 解析(1)据暖.第二是及角100小于第一是球角 351”,《2)情溪知第二象限角一181”不是纯角，(3)得 民.终边相同的鼻可表示为口一十。·3份-∈乙.年▣ 与3不一定相等.(4)正确 1日解折：区年有126,0共2个 美A 4D解析：A错援，0身脱不是第一象限角包不 是第二象限角，B情民，0角是第日章限扇，但它不是 备角C错误，00一一540不是34的整数德：D正 瑞，分针林一周为0分钟，非过的角度为一360”，将分 针城侵是递时叶镜特，城侵10分钟转过角为3矿× =60 530”解析：山周知.用中的角为王角0=390 二湿示生意角的格进落在回个象限邦有可能， 【关键能力·探究】 探究一任意角的短念 奥例精析] [典例门(1)C解析：)格垃与站边重合的角还可 能是3灯，2行，…，故A铺：终造和地过都相网的两个角可 能相差3的整我待，如3了与一33对，故B場：由于友 3范国内的角B色含扇，所双不一定是艳角， C正确：小于行的角可以是矿也军以是美角，故D错 (2)解：夏周①中， 至角a-720+30°-75时 题因②中，贵角=一(360°一210)=一1B0, 至角7-210价-150-60 [针对漏等1】答案：一100 -1200 解桥1喜为时针母中时传30“，分什每小时转30， 又黑为时针、分针布按疑时什考南说传， 就时针转过的角度数为一3子×奶”-一100 分针特过的角成我为一3号×360=一1200 放答常为：一100°：一1200 探究二象限角 [典例精析] [我例幻AC解析：A中，0很系格是革二 B中，480°=120°+360是第二象服角： C中，一960-一$×弱0十120是第三象限角， D中，133灯-4×36十9不是第二拿模角. [针对训练2】D解桥：忆角是女子是小季心 岭属，终边落在第一象限，是第一象限角，所以A延确 一0角是第一象限角，但它是贵角，所以B错接：0”角 是小十1°的用，但它展不麦纯角：也不是直角或复角： 所红C骨误：由于在90<18花国内岭角昌包食 0角，所这月不一定是饶角，所就D玉确. 探究三终边图圆的角的建解 鼻例精析】 [典例3](1)D解析：由期意，6和-2×180 足长乙，酸a=1a产，又0心<a6 k-1时w=60k=2时0=120°k=3龄，g 18W=4时a=240:0=5时，d=00止=6时-自= 36 效选An (?)解：出避西如，桃过落在是规上的角的集合为 M,-aa=30+k·360,k∈Ual。-2104 ★·360，kE=(aa=0+2h·180,★∈Uw a=十(2地+1》·180，∈Z}-a1a一3十w· 18,wE: 经速第衣直线上的身的系合为 〔每识馆理] M=aa-12+k·e∈石U{aa=十k· .心度心站 (2)①嘉度②事径长1翼 3.EZ=ga=120+2法·10，k∈Z}Uwa= 120+(2h+1)·18f,kEZ=ala=1'+w·18. m∈. (3制：自为g是第二象限角，所以0”+是+3所0< (2片很R <18+h·350heD, [科拳思推 可得8了+2铁·323十头+3，表∈Z. 一，，1》×2√(3)×(4)/2B 斯风2可胞麦幕三象限角，第明京限角或林边点 格垂正早新上的角 1B解桥碧-4十要“营产是第二果保角， 学是第二保有 新k=m,eZ时·360+3和<号<m·360 4C解斯：司为一<-2<一登所以。的终边 +0,长乙，洗时3是第一象限角： 在第三意限 当-新+1,4乙时m·36时+150'<号< 【关键修力·探究】 3+1,止∈么，我时号是第二京限角： 探究一角度与第度之闻的互化 [典例精析] 当-十2，★∈乙时n·360+270<号< [典制】精：山如-高-号 350”+300°，∈Z.竟时学是第司泉晨角： -15需一是 上所运，能是第一象限角，第二象限发第 a语-×1时r-1s 百象限角 [针对调体8】解：终政在30角的降边所在直线上 01号=×1m-0 的角的集合为S,=(aa=30+k·18G,业∈Z.降述 [针对到练1门解：1)法一，免为磁度)： 卷18一75一105角的格墟所在直找上的角岭集合为 S:一aa一105十业·1G,∈，因此，林设在图中 。=15-15×高一高 阴影部分内的角g的取佳花周为段+：+1% 105+★·150.eZ. 0-105-1的×高一2 【随黛演练·达标】 1,D解析：①①①都正境 登01<语北< 王D解折：预时粉特过宣个周角：格让的难我为 止二，（完为角发） -30 3C解析：分=一1.0,1,2，则A:B的会共元 -语×-10g 有-126，-36,54°，144 4答案：15+（一）×360 E热，l<1g.35.故er9一单 解折：一85-（一3》×36时+105 -18-1480×高-7华-0+ 5L.1蕴度制 【必备知识·统理】 [情境探究 -145如'是第臂息限角， 浸示在整学和其她料学局究中连轻常用刺芳一种 探究二用度制表示角 度童角的朝度一区度制 【鼻例精析] [典例2门解体造落在材线04上的角为8=13行+ k·eX. 中0-要+20Ez 终边体在射汽（州上的用为8=一3十上·3斯0， 故终迪落在两教年分的角9的集合为母一言十 2头n0+2,e2☑ 【销对得练门C解折：峰域茅在y一复上的有 为音十xk∈D,格随落在y一店x上竹得为号十表 (质. 共商知的怎合为e君+<a<子+de, 成地G 探究三常形的弧长，面积公式的度用 [典例精新] 〔纯例可解：1r本轻我=2.周心用日-受 基长1一1a·R-受 (设角彩的平径为r英卡为，所对圆心角为✉0 2+=10。 =8,业=2 专一1时一8光时。一-8d>2,不持 合，常去 六辉求雨心角的张魔我为三nd [针对到练3习解：或扇形面防角的服度数为9(0< 心2)，第长为1，早径为r,岳积为5. 为1+2r=10得-10-2r 要oA毒一，8k得复大a学 5 5 2 故这痛都竹香款竹菜大值为要矿，取得技大位时 围心角为2md.最长为5cm第五章 三角函数 5.1 任意角和弧度制 5.1.1任意角 学业目标·定位 课标要求 学习目标 1.理解并掌握正角、负角、零角的概念. 通过本节课的学习，要求掌握任意角的概念，并 2.掌握象限角的范围，掌握终边相同的角的表示方法及判定 能用集合的形式表示任意角. 方法 必备知识· 梳理 答案见P3921 ©情境探究 国知识梳理 在花样滑冰比赛中，运动员的动作是那么优美！ 1.角的概念与加减运算 尤其是原地转身和空中翻转动作都让我们叹为 (1)角的概念 观止.运动员在原地转身的动作中，仅仅几秒内 ①角的概念：角可以看成一条射线绕着它的 就能旋转十几圈，甚至二十几圈，因此，花样滑 旋转所成的图形 冰美丽而危险.初中学过角的概念是什么？范 ②角的分类：按旋转方向可将角分为三类. 围是多大？ 名称 定义 图形 按 方 正角 向旋转形成的角 04B 按」 方 负角 向旋转形成的角 条射线 零角 旋转形成的 0 A(B) 角 ③相等角：把角的概念推广到了任意角，包括 和 设角 α由射线OA绕端点O旋转而成，角3由射 153。 数学必修第一册人教A版 线OA'绕端点O'旋转而成.如果它们的 (4)终边相同的角有无数个，它们相差360°的 那么就称a=B. 整数倍.() ④相反角：射线绕其端点按 方向 2.下列各角：一60°，126°，一63°，0°，99°，其中正 旋转 所成的两个角互为相反角. 角的个数是() (2)角的加减法运算， A.1 B.2 C.3 D.4 ①设a,3是任意两个角.我们规定，把角a 3.将射线OM绕端点O按逆时针方向旋转 的终边旋转角B,这时终边所对应的角 120°所得的角为( 是 A.120° B.-120°C.609 D.240° ②引入正角、负角的概念以后，角的减法运算 4.下列说法正确的是( ) 可以转化为角的加法运算，即α一B可以化为 A.三角形的内角是第一象限角或第二象限角 B.第四象限的角一定是负角 2.象限角与终边相同的角 C.60°角与600°角是终边相同的角 (1)象限角 D.将表的分针拨慢10分钟，则分针转过的 角的顶点与坐标原点重合，角的始边与x轴 角为60° 的非负半轴重合，那么，角的终边在第几象 5.如图中从OA旋转到OB,时所成的角度是 限，就说这个角是 如果角的终边 在坐标轴上，就认为这个角不属于任何一个 象限 130 (2)终边相同的角。 所有与角α终边相同的角，连同角α在内，可 二、思维探究 构成一个集合S={BB },即任 为了进一步研究角的需要，我们常在直角坐标 一与角a终边相同的角，都可以表示成角a 系内讨论角，并使角的顶点与原点重合，角的始 与 的和。 边与x轴的非负半轴重合，那么对一个任意 科学思维 角，角的终边可能落在哪些位置？ 一、思考判断 1.判断正误.（请在括号中打“√”或“X”) (1)第二象限角大于第一象限角.() (2)第二象限角是钝角.( (3)终边相同的角一定相等.() 关键能力 ·探究 答案见P3931 探究 任意角的概念 角等概念 2.处理任意角问题的两个关键点 自知识深化 (1)定方向：明确该角是由顺时针方向还是逆 1.正确理解象限角、正角、负角、锐角、钝角、周 时针方向旋转形成的，由逆时针方向旋转形 .154 。第五章三角函数 成的角为正角，否则为负角。 [针对训练1]时钟走了3小时20分，则时针所 (2)定大小：根据旋转角度的绝对值确定角的 转过的角的度数为 分针转过的角的 大小 度数为 ⊙典例精析 探究二 象限角 【典例1】(1)下列命题正确的是( ) A.终边与始边重合的角是零角 自知识深化 B.终边和始边都相同的两个角一定相等 1.象限角的概念是以“角的顶点与坐标原点重 C.在90°≤3<180°范围内的角B不一定是 合，角的始边与之轴的非负半轴重合”为前提 钝角 条件的，否则不能从角的终边的位置来判断 D.小于90°的角是锐角 某角是第几象限角， (2)分别求出下图中从OA旋转到OB, 象限角 象限角的集合表示 OB1,OB2时所成的角a,3,Y {a|k·360°<a<k·360°+90°， 第一象限角 k∈Z 30 {ak·360°+90°<a<k·360°+ 第二象限角 180°，k∈Z 图① 图② ak·360°+180°<a<k·360°+ 第三象限角 270°，k∈Z {ak·360°+270°<a<k·360°+ 第四象限角 360°，k∈Z 2.所有与角α终边相同的角，连同角a在内，可 构成一个集合S={31B=a十k·360°，k∈ Z,其中a是任意角，k为整数，a与k·360 之间是“+”号，角α与角B相差的是360°的 整数倍 ©典例精析 【典例2】（多选）在①160°：②480°：③-960°； ④1530°下列四个角中，属于第二象限角的 有( 名师点拨 A.160° 正确理解锐角、直角、钝角、平角、周角等 B.480° 概念，弄清角的始边与终边及旋转方向与大 C.-960° 小.逆时针旋转形成一个正角，顺时针旋转形 D.1530° 成一个负角，正角与负角是表示具有相反意义 的旋转量，它的正负规定纯属习惯，就好像正 数和负数的规定一样 155。. 数学必修第-—册人教A版 名师点拨 (②)如图所示，已知直线1：y= 3x及直线 (1)判断α是第几象限角的三个步骤 第一步，将a写成a=k·360°十B(k∈Z, l2:y=一√3x,且l1与l2垂直，请表示出终 0°≤3<360)的形式. 边落在直线11，l2上的角， 第二步，判断B的终边所在的象限 2:=-/5 :V= 第三步，根据B的终边所在的象限，即可 确定α的终边所在的象限， (2)求解给定范围内终边相同的角的方法 先写出与角a终边相同的角B,即B=a十 k·360°(k∈Z),根据给定的范围建立关于k (3)若角a是第二象限角，试确定角2a,号， 的不等式，解出的范围，再根据∈Z确定B. 是第几象限角。 (3)已知角的终边所在直线或射线求角的 集合方法先写出0°~360°内的射线所在的角 的集合，再求各个集合的并集。 [针对训练2]（多选）下列说法正确的有 ( A.锐角都是第一象限角 B.第一象限角一定不是负角 C.小于180的角是钝角、直角或锐角 D.在90°≤3<180范围内的角3不一定是钝角 探究三终边相同的角的理解 自知识深化 求解给定范围内终边相同的角的方法 先写出与角a终边相同的角B,即B=a十k· 360°(k∈)，根据给定的范围建立关于k的不 等式，解出k的范围，再根据∈Z确定β. @典例精析 【典例3】(1)（多选）有一个小于的正角，这个角 的6倍的终边与x轴的非负半轴重合，则 这个角可以为( A.60° B.90° C.120 D.360 .156 。第五章三角函数 名师点拨 [针对训练3]已知角α的终边在图中阴影部分 1.由角的终边的范围求角的集合的步骤 内，试指出角a的取值范围。 1 (1)写出临界处终边所对应的角，一般在 0°一360°内找一个 (2)按照所给的范围写出角的范围， (3)每个临界角都加上360°·k,即得范围 内的角的集合 2.已知角。所在象限，要确定角号所在象 限，有两种方法： (1)用不等式表示出角。的范围，然后对n 的取值分情况讨论：被n整除，被n除余1，被 n除余2，…，被n除余n一1，从而得出结论. (2)作出各个象限的从原，点出发的n等分 射线，它们与坐标轴把周角分成4n个区域.从 x轴非负半轴起，按逆时针方向把这4n个区 域依次循环标上1,2,3,4.标号为几的区域，就 是根据角口终边所在的象限确定角：的终边 所落在的区域。如此，角所在的象限就可以 由标号区域所在的象限直观地看出 随堂演练·达标 答案见P3931 1.以下说法，其中正确的有() 3.已知集合A={aa=-36°+k·90°，k∈ ①一75°是第四象限角；②225°是第三象限 Z},B={β-180°<3<180}，则A∩B= 角：③475°是第二象限角：④-315°是第一象 ( 限角. A.{-36°，54} A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 B.{-126°，144y 2.手表时针走过了1小时，时针转过的度数为 C.{-126°，-36°，54°，144y ( D.{-126°，54y A60 B.-60 4.将-885°化为a+k·360°(k∈Z,0°≤a< C.30° D.-30 360)的形式是 157。.