第2章 一元二次函数、方程和不等式章末总结-【志鸿优化训练】2026-2027学年高中数学必修第一册(人教A版)

二y一9，久实最日岭取值花离为细≤视 章末总结 【执型例题】 [例1门C解斯1令6■一3，am一2，满是6<u< 0,不满>行A得溪ba<0,b>a,B相 0a>0g>00 1 吉，C精a<0b>a,D错任做速C [例2]B解析：-N=a+6一《a+&+ 2yab)--2vub cn.MCN. [到1]-32a+363解析：设2a十35- A(a+b)十(u=6) 5 时t二名解 以u-3, 所a2a+3b-昌a+6)-支a-b. 由-1a+b1.a-a+6 由-1u一1，所8--是a字 t24十303. [例]解：2a7,1<b2,<2<14,3< 6<,-2-6K-l1 5a+6<1a,22a-613,1K67 敛<a+30<13,2u-b<l3,l<g<. [到5]2解新：月为a,b>0,所x2十0=4 22a·6,解得a02,布且银省2一6印a=1.6-2 时，等号点上， 所以盛的最大值为2，故答案为2 例2销气 中≥0 4 等号成土，所裙景大值为2，处答案为工 门8期指立尧尸+斋 空希字弄1， 生名年y一时取华华低多套为 [例8]23+2解所：1x>1,x-1>0,y= 24242-24+1042-3H3x-1+-1+3 a+6=6-+a+=5++ 伤L仪指1=1气即"店+1时，￥号 16鱼仅当点一时取￥号 成立 (4+6-6(g+b)一160，解存a十628友 城答聚为25十2 4十h≤一2（會去），当具往者a一2,6一6时取等号， [例]D解桥：国为x十2y一y一0，x0,y之 批答常为《 [例13】C朝析：由意意可得，维登备年平岭费则 将2+-2+（得+）-2++53 +0u+3 7 有L仪2-兰，即于y3时，等号浅立 片以Z千4，脚2的大值为1 9 所以结或备年平均费厚最少时的年队为9， 戴速C 故选D [例1】解：南u'+1一2ax一20可得r十1D [例间登解折：两为a十4-)-4所是 -2)0 ①省￥0时，原不￥式中x一0，解裤x32, ②4<0时，ar十1)(x一)50， 黄为0a<:。气0 方程（取十一粉=0的将爆为1= 日2 一一立时，原不等式解为-2， 收一-高中=，￥特成2后+ 当一<0时>2原不等式的解为2 已>×8+10)=号故多素为号 [例1门C解桥：方读一：两为xy十一2y=4,所 a时，一不华人的为- 0+Dr-+名样22-， 2 +1 峰上，4=0时，原不￥式的解集为xx2): 4 所以2红+y-+,有卡灯+1》-133+ 当a■一之时：愿不羊式的解集为r:=2: 2写有》g+D-当及牧市-y中1 当一<<0时不的解集为 y一1，工一3时，等季成主. 方涂品：南为十本一2y=4,阶以(x-2)(y十 1)-2.且y十1>0，%以x一0 声a心一受时，原不等天的解功-2 故2红+y=2(x-2)+《y十1)十3 [例15】A解析：壶m一0时，2五>0，拜上>0，不合 22x-y+正十8-7，当且食者2(x-2-y十1， 即y=1口=3时，等季成生.故域G 当m0时，羽为关于x的不等式m于十2红十两 [例12]8解折：调为>0b>0成十6-6叶+ m0, >0的解集是民，所就 解年四>1， 64-4m2<0, 综上，发颜网的取值克国是《1。十00)，戴选A 〔例16]一3<k<小解折：山题意△-一4× 2x音0，一<<水.黄答定为一店< 第三章函数的概念与性质 3,1函数的橙念及其表示 人11函数的短念 【必备知识·梳理】 [情境招究] 错示：B中都有来教与之时应，盟时应夫我唯一 [知识桃理时 1.任童个数x对应关系子雅一确定的数 y-f(z》,x∈A定义城值域子集 2定义域对应关系值城 3(1加<，[a,b]a,6)[￥，)《a.b] 2)(一o,十00).(3)[a,+6e)《a.十om》《-8, 】《o,b) [科学思地] 一，1.《1)/(20×(3(40/ .ACD解析：小函数的定义可如，对任意的自史 量士，有生一的y值刺对足，或项B中的图象不是画是 周象，出规了一对多的情风，其中远项AC,D皆符念品 数的定发，可以表示是漏数故选AD 玉C解桥：函处士)=x文笑为我，而A中函量 定义藏0，十)，发义域不可，情误：B中函教化简为 f《工)一工，时盘关系不网，得提C中品数定又城分 民，可化简为/《x)一x,远确：D中高数定义城为{r子 0,瓷义装不网，锋流 宽义或为<0成引 故答发为上心0，或》 二提示：1个 【关镀能力·保究】 探究一新数慨老的理解 [典例精析] 《典酬门D解新：0在时位关系f一y一音下 A■x工E药中不能故3垫除的数在县中浸有唯一项 定的数海之对应，不能明定y是主岭漏数 ②在时应吴系f,+y=3下，A=任上>0，正 ∈的量在H=)yER}中，有两个数与之对底，不章末 ②知识整合 用不等式表 等式性质写 示不等关系 不等式性质 不等式的证明不等式 基本性质比较大小作差法 数 基本不等式的变形 基本不等式 ab≤+地 俅最值 方 (a>0,b>0) 证明不等式 一元二次函数与一元二次方程 不等 二次函数、 一元二次方一元二次不等式 式 程、不等式一元二次不等式的应用 典型例题 专题一不等式 考点1不等式的性质及应用 利用不等式的性质判断正误的两种方法 (1)直接法：对于说法正确的，要利用不等 式的相关性质或函数的相关性质证明；对于说 法错误的只需举出一个反例即可. (2)特殊值法：注意取值一定要遵循三个原 则：一是满足题设条件；二是取值要简单，便于 验证计算：三是所取的值要有代表性。 [例1]若b<a<0,则下列不等式正确的 是() B.ab<a2 C1>1 D.a>b "a-b-a [例2]已知a>0,b>0,M=√a+b,N= √a+√b,则M与N的大小关系为() A.MN B.M<N C.M≤N D.M、N大小关系无法确定 考点2利用不等式的性质求取值范围 利用待定系数法求代数式的取值范围 已知M1<f1(a,b)<N1,M2<f2(a,b)< N2,求g(a,b)的取值范围. (1)设g(a,b)=pf1(a,b)十qf2(a,b): (2)根据恒等变形求得待定系数p,q; 。第二章一元二次函数、方程和不等式 总结 (3)再根据不等式的同向可加性即可求得 g(a,b)的取值范围. [例3]已知-1≤a十b≤1，-1≤a-b≤ 1,则2a十3b的取值范围 [例4]设2<a<7,1<b<2,求a+3b, 2a-b,分的范围。 专题二基本不等式的应用 考点1直接法 利用基本不等式法求最值的最基本类型可 以分为两类：和积一定一动型、和与平方和一定 一动型.积ab,以及a十b和平方和a2十b2三 者之间的不等式关系： ab≤2 a2+b 2 (a,b>0): <<a(a.ER. [例5]已知a>0,b>0,若2a十b=4,则 ab的最大值为 [例61若>0，则年的最大值为 考点2配凑法 将目标函数恒等变形或适当放缩，配凑出 两个式子的和或积为定值， ①应用基本不等式解题一定要注意应用的前 提：“一正“二定“三相等”.所谓“一正”是指正数， “二定”是指应用基本不等式求最值时，和或积为 定值，“三相等”是指满足等号成立的条件 ②配凑法的实质在于代数式的灵活变形， 配系数、凑常数是关键，利用配凑法求解最值。 ③形如y=ar十红+C的分式函数求最 kx十m 值，通常直接将分子配凑后将式子分开或将分 母换元后将式子分开再利用不等式求最值.即 化为y=ml十 +B(A>0,B>01=c十 m),t恒正或恒负的形式，然后运用基本不等式 来求最值， 57 数学必修第一册人教A版 [例刀已知y∈R,则2+年，的最 小值为 [例8]函数y=x2+2 x-1 x>1)的最小值 为 考点3常数代换法 若已知条件中的“1”（常量可化为“1”）与目标 函数之间具有某种关系（尤其是整式与分式相乘 模型)，则实施“1”代换，配凑和或积为常数， 模型1已知正数x,y满足a.x十by=1,求 +”的最小值.(a>0,b>0,m>0,n>0) 模型2已知正数x,y满足%+6=1(ay 十bx=xy),求m.x十ny的最小值.(a>0,b 0,m>0,n>0) [例9]已知x>0,y>0,且满足x十2y xy=0,则2z十的最大值为 ) A.9 B.6 C.4 D.1 [例10]若0a<4,则后+的最小值 是 考点4消元法 消元法，即根据条件与所求均含有两个变 量，从简化问题的角度来思考，消去一个变量， 转化为只含有一个变量的函数，然后转化为函 数的最值求解.有时会出现多元的问题，解决方 法是消元后利用基本不等式求解.注意所保留 变量的取值范围， [例11]已知x>0,y>0,且xy+x 2y=4,则2x十y的最小值是() A.4 B.5 C.7 D.9 [例12]已知a,b为正实数，且a十b=6十 +号，则a+b的最小值为 a 考点5基本不等式的实际应用 利用基本不等式解决实际问题的步骤 解实际问题时，首先审清题意，然后将实际 问题转化为数学问题，再利用数学知识（函数及 不等式性质等)解决问题.用基本不等式解决此 类问题时，应按如下步骤进行： 4.58 (1)先理解题意，设变量.设变量时一般把 要求最大值或最小值的变量定为函数， (2)建立相应的函数关系式.把实际问题抽 象为函数的最大值或最小值问题. (3)在定义域内，求出函数的最大值或最小值. (4)正确写出答案 [例13]某单位为提升服务质量，花费3万 元购进了一套先进设备，该设备每年管理费用 为0.1万元，已知使用x年的维修总费用为 万元，则该设备年平均费用最少时的年 27 限为() A.7 B.8 C.9 D.10 专题三一元二次不等式、方程 考点1解含参数的一元二次不等式 解含参数的一元二次不等式的步骤 讨论三次 二次项若含有参数应先讨论是等于0，小 项系数 于0，还是大于0，再将不等式转化为二次 项系数为整的形式 判斯方程 判断方程的根的个数，讨论喇别式4与0 、根的个数 的关系 确定无根时可直接写出解集，确定方程 写出解集 有两个根时，要讨论两悬的大小关票， 从面确定解集形式 [例14]当a≤0时，解关于x的不等式 a.x2+(1-2a)x-2>0. 考点2恒成立问题 解决恒成立问题一定要清楚选谁为主元， 谁是参数.一般情况下，知道谁的范围，就选谁 当主元，求谁的范围，谁就是参数.即把变元与 参数交换位置，构造以参数为变量的函数，根据 原变量的取值范围列式求解 [例15]若关于x的不等式mx2+2x+ m>0的解集是R,则实数m的取值范围是 A.(1,十∞) B.(0,1) C.(-1,1) D.[1,十∞) [例16]若关于x的一元二次不等式 2一c十>0对于一切实数x都成立，则实 数k的取值范围为