2.3 第2课时一元二次不等式的解法及应用-【志鸿优化训练】2026-2027学年高中数学必修第一册(人教A版)

。第二章一元二次函数、方程和不等式 第2课时 一元二次不等式的解法及应用 学业目标·定位 课标要求 学习目标 会解一元二次不等式、含有参数的一元二次不 L.掌握分式不等式的一般解法 等式、与一元二次不等式有关的存在与恒成立 2.能求解简单的含参一元二次不等式，理解分类讨论的依据. 问题的处理；会解能转化为一元二次不等式的 3.会建立实际情况中的一元二次不等式模型，并会利用此模 分式不等式：理解二次函数、一元二次方程与 型解决实际问题。 元二次不等式之间的关系，能处理与三者之间 有关的问题， 必备知识 ·梳理 答案见P3551 回情境探究 (3)f(x) 8(x)≥0% 学校要在长为8，宽为6的一块长方形地面上 进行绿化，计划四周种花卉，花卉的宽度相同， (4)(x) 8(a)s0 中间种植草坪，为了美观，现要求草坪的种植面 2.不等式恒成立问题 积超过总面积的一半，此时花卉带的宽度的取 (1)不等式的解集为R(或恒成立)的条件 值范围是什么？ 不等式 ax+bx+c>0 ax2+bx+c<0 a=0 a≠0 (2)有关不等式恒成立求参数的取值范围的 方法 设二次函数 若a.x2+bx十c≤k恒成立台 y=ax2+ 回知识梳理 bx+c 若ax2十bx十c≥k恒成立台 1.分式不等式的解法 圈科学思维 若f(x)与g(x)是关于x的多项式，则不等 一、思考判断 武0（或0，或≥0，或≤0）称为分式 1.判断正误.（请在括号中打“/”或“×”） 不等式 1)不等式>1的解集为x<1.（ 解分式不等式总的原则是利用不等式的同解 (2)求解m>a.x2+bx十c(a<0)恒成立时， 原理将其转化为有理整式不等式（组）求解. 可转化为求解y=ax2十bx十c的最小值，从 (Df(D>e 而求出m的范围.() 8(x) 2.若集合A={x|-1≤2x+1≤3}，B= (2)(x) ✉2≤0，则AnB等于( 53. 数学必修第一册人教A版 A.{x-1≤x<0} B.{x|0<x≤1} 二、思维探究 C.{x|0≤x<2} D.{x|0≤x≤1 3不等式经0的解集是() 1+多0与红一3》c+2)>0等价吗： <号 c女<号或> 3 3 4.某文具店购进一批新型台灯，若按每盏台灯 2将>0变形为-3》(x+2)>0,有什 15元的价格销售，每天能卖出30盏；若售价 么好处？ 每提高1元，日销售量将减少2盏，现决定提 价销售，为了使这批台灯每天获得400元以 上（不含400元）的销售收入.则这批台灯的 销售单价x(单位：元)的取值范围是() A.{x|10≤x<16} B.{x|12≤x<18} C.{x115<x<20} D.(x|10≤x<20} 关键能力 探究 答案见P3551 探究一分式不等式的解法 a1 自知识深化 (1)对于比较简单的分式不等式，可直接转化为 一元二次不等式或一元二次不等式组求解，但 要注意分母不为零。 (2)对于不等号右边不为零的较复杂的分式不 等式，先移项再通分（不要去分母），使之转化为 不等号右边为零，然后再用上述方法求解。 名师点拨 典例精析 分式不等式的一般解题步骤 【典例1】解下列不等式. (1)移项并通分合并，不等式右侧化为“0” : (2)转化为同解的整式不等式 (3)解整式不等式 54 。第二章一元二次函数、方程和不等式 [针对训练1]解下列不等式： 名师点拨 ≥0，e1 与一元二次不等式有关的实际问题，经常 涉及物价、路程、产值、环保等最值问题，也可 涉及角度、面积、体积、造价的最优化问题.解 答这类问题的关键是确立相应的函数解析式， 然后应用函数、方程和不等式的有关知识加以 综合解答.操作步骤如下： 阅读理解、认真审题，把握问题中的关键 量，找准不等关系 (建 将文字语言转化为符号语言，用不等式表 示不等关系，建立相应的数学模型 (解 解不等式，得到数学结论，要注意数学模 型中元素的实际意义 探究二 一元一次不等式在实际问题中的应用 答 回归实际问题，将数学结论还原为实际问 题的结果 自知识深化 [针对训练2]某商品每件的成本价为80元，售 一元二次不等式实际问题常以二次函数为模 价为100元，每天售出100件.若售价降低x成 型，解题时要弄清题意，准确找出其中的不等关 系，再利用一元二次不等式求解，确定答案时应 1成=10为，则售出商品的数量就增加号： 注意变量具有的“实际含义”. 成.要求售价不能低于成本价. ⊙典例精析 (1)设该商品一天的销售额为y元，试求y与x 【典例2】某农家院有客房20间，日常每间客房 之间的函数关系式，并写出x的取值范围； 日租金为80元，每天都客满.该农家院欲提 (2)若要求该商品一天的销售额至少为10260 高档次，并提高租金，经市场调研，每间客房 元，求x的取值范围。 日租金每增加10元，客房出租数就会减少 1间.每间客房日租金不得超过130元，要使 每天客房的租金总收入不低于1800元，该 农家院每间客房日租金提高的空间有多大？ 55。. 数学必修第-一册人教A版 探究三不等式恒成立问题 x≤2}，y≥2恒成立，求a的取值范围. 自知识深化 对于一元二次不等式恒成立问题，恒大于0就 是相应的二次函数的图象在给定的区间上全部 在x轴上方，恒小于0就是相应的二次函数的 名师点拨 图象在给定的区间上全部在x轴下方，对于一 一元二次不等式在R上恒成立的条件 元二次不等式中的恒成立、能成立问题，常常转 不等式类型 恒成立条件 化为求二次函数的最值或分离参数后求最值的 ax2+bx+c>0 a>0,△<0 方法解决问题。 a.x2+bx十c≥0 a>0,△≤0 ●典例精析 ar2+bx+c<0 a<0,A<0 【典例3】(1)设函数y=mx2一mx一1，若对于一 a.x2+bx+c≤0 a<0,△≤0 切实数x,y<0恒成立，求m的取值范围. [针对训练3]若不等式kx2十2kx一2<0对一切 (2)已知y=x2十a.x十3-a,若{x|-2≤ 实数x都成立，则的取值范围为 随堂演练·达标 答案见P3561 1.若集合A={x|1≤2x+3≤5)，B= 5.已知当2≤x≤3时，不等式2x2-9x十a<0 女5≤0，则AnB=（ 恒成立.求实数a的取值范围. A.{x|-1≤x<0} B.{x|0≤x<1} C.{x|0≤x≤2} D.{x|0≤x≤1}》 2.已知不等式x2+a.x十4<0的解集为空集， 则a的取值范围是() A.-4≤a≤4 B.-4<a<4 C.a≤-4，或a≥4 D.a<-4,或a>4 3不等式x+ ≤3的解集为 4.已知函数y=x2十m.x一1，若对于任意的 m≤x≤m十1都有y<0,则实数m的取值 范围为 .56h-: 壶a一0时，系不等又怜解桌为{xz>1}: 布融>0时，原不等式的解暴为 【随堂濱练+达标】 1,D解折：@不等其化为x(不一？)<0，故0 I2 2.B解析：不等又《mx)《n十：)>0可亿为 (红一m(x十w0, 方程（稀一x)(十工）一0的两根为丽，一： 因为国十>0，所以m>一H,片合函数3一{m一 x)n十x)的图象，得原不￥式的解暴是x|一n<1< 游》，故速且 3B解析：网为不￥真的解是为一2门： 所这a<0,静隆C,D,文与坐林物交点的精坐标为 -2,1,故端弘 4一2了解析：山测意了知一豆，2是才程 r十r十2=0的两个根是g0 山根与系数竹关原得 ×-2 根44m一2，h=3 5,解：原不等其转化为(x一2知)(r十a)<A 时盘的一元二求方根的模为工1一2s一一a (1)当g>0时，12xe 不等风岭解集为{r一a<r2a1, (2)省4=0时，原不等天纪为z<0,无解： (3)当a<0时，z<x,不等式岭解集为{x2a - 蜂上阶遥，原不￥式的解集为： a0时，解集为x广4<x和] a一0时，解秦为②： a<0时，解第为x2a<r<-a). 第1螺时一元二次不等式的解法及改用 【必备知识·梳理】 [情境探究】 提示总面根是8×6一8，草坪互少2，花卉最大 宽带是1，《6士)〔8一x)24,解得022. 【每供流理] I.(Df()g(r)0 ()/Gr)g(z) (3Fg() REG)0. xr)≠0 g(士)*0 2.(1b=0.c>06-0r<0 0,<0， 40 0 (2y-.y3 [科华眼健」 r十3 ….1.10×2)X 202r+10+300 1B解桥：A-x-1r611,B-z10 +3 xG2引，A∩B=x0rG1). 日-3e<-是 AB解折：不样密0化为：红+0 2<0,解-<< 2 【针对调练】解：原不爷人可化分品<0 黄送B C期析：合湖意秀加，[30一2（工一15）门x> 中士2一30r+2000,解得10<xc20 界为x>15,所以15<x20, 2想不￥我可化为异是1>0， 这轮合的铬准单价士的取值觉国灵江1远， 故远二 x+2 二周示L等价 放章不等式竹解集为士x<一的， 工野处是将不然。的分式不等或化归为巴经典患 探究二一元二次不等式在实际问整中的皮用 的一元二次不等式， [典例精析] 【关键能力·探究】 [典例2幻解：配香间客号日拉金规高：个10.元 民究一分式不幕式的解法 中每同客隆日雅金凝高到（知十10：）元，别客烤出照餐 [典侧精析】 域少x司，光时客髻岭粗量惠减入为（的十10r)(0一 [A解：0 正)元因为每天常席的加全塘流入不核千10克， 所以(0+1r)(20-x}1800 -r+ 化模，得x1-12x+20Q 解得2x10,所以20610x100 又由题意T知0+10x运130，所就10z0.4 此，镇丸家院春间多传日阻金提高的空屑走0一50元， [针对国练2】解：1)装售价降王成，刷母：后 的高品售件为1001一司)元，售出商品的数量为 “:愿不等天的解条为 100,+品#。 山题意，得y与x之间的高酰美善民为 、2方接-：原不普式可完为3，。 y=101-)10o1+0 国为售命不粮纸于成表任。 F+30, x>-3, 所410-局)一00，解得2， 所以y=20(10x1(50+8r),x的敢使花国为 <-3, ±0r2. 《2)由是意，得20(10一x50十8x)310260,化篇 得8r-奶x+180,解杆号r<调为0r2 “原不子式的解桌为工 方法二：单不等式丁免为 所网上的取图 探究三不等式恒城立何置 [典例精析】 [典例3](1根：芳m0,整越一10量成土： 若m0,加0, 一4m40 d厘n2十4国0 m的取接范得为x{一r0. (2)解：若xEx一2xG2引，y2铁成真可特 化为1x长x|一2运x2,32 <-2 - ymn=7-Ja22 >0 5y==7十u2, 解得实数u竹敢值花写为一5a6一2+2v2, [针对调练3]答酱：一2<最60解析：身=0 时，一2<0，不平式成主. 台0时，二次画数y一x“+2虹一含特图象开 口向上，不￥式红2十2以红2<0不可戴恒成立. 首最<0时，二次高最y=妇°十2一2的图急升 口向下，若不等式r2+2一2<0对一初实数x每或 主，则A一4h+8c0,解限-2<<0 棕上，k的取佳他墨为一2<兔Q 收参米为，一2<写0 【随世演练·达标】 1.日解折：A=|x1一1r1,B=x106 r<1, .A几B-xl0x<1 工A解折：他题意应有△a-160, 解得一吃aA,城速A 0,引解中8 30=2二0问t2-10具t*0r<0或 4一受<m<n解新越6莲态得 1m3十m2-10, 1(w+1)°+m(m+1)一10. 五解：：当23时，2’-9x十gC《0恤成之， ,备2x时<一2x十7快成王 ◆y=-2z+9数， :2纪江，盟时格精方橙为江一一 二y一9，久实最日岭取值花离为细≤视 章末总结 【执型例题】 [例1门C解斯1令6■一3，am一2，满是6<u< 0,不满>行A得溪ba<0,b>a,B相 0a>0g>00 1 吉，C精a<0b>a,D错任做速C [例2]B解析：-N=a+6一《a+&+ 2yab)--2vub cn.MCN. [到1]-32a+363解析：设2a十35- A(a+b)十(u=6) 5 时t二名解 以u-3, 所a2a+3b-昌a+6)-支a-b. 由-1a+b1.a-a+6 由-1u一1，所8--是a字 t24十303. [例]解：2a7,1<b2,<2<14,3< 6<,-2-6K-l1 5a+6<1a,22a-613,1K67 敛<a+30<13,2u-b<l3,l<g<. [到5]2解新：月为a,b>0,所x2十0=4 22a·6,解得a02,布且银省2一6印a=1.6-2 时，等号点上， 所以盛的最大值为2，故答案为2 例2销气 中≥0 4 等号成土，所裙景大值为2，处答案为工 门8期指立尧尸+斋 空希字弄1， 生名年y一时取华华低多套为 [例8]23+2解所：1x>1,x-1>0,y= 24242-24+1042-3H3x-1+-1+3 a+6=6-+a+=5++ 伤L仪指1=1气即"店+1时，￥号 16鱼仅当点一时取￥号 成立 (4+6-6(g+b)一160，解存a十628友 城答聚为25十2 4十h≤一2（會去），当具往者a一2,6一6时取等号， [例]D解桥：国为x十2y一y一0，x0,y之 批答常为《 [例13】C朝析：由意意可得，维登备年平岭费则 将2+-2+（得+）-2++53 +0u+3 7 有L仪2-兰，即于y3时，等号浅立 片以Z千4，脚2的大值为1 9 所以结或备年平均费厚最少时的年队为9， 戴速C 故选D [例1】解：南u'+1一2ax一20可得r十1D [例间登解折：两为a十4-)-4所是 -2)0 ①省￥0时，原不￥式中x一0，解裤x32, ②4<0时，ar十1)(x一)50， 黄为0a<:。气0 方程（取十一粉=0的将爆为1= 日2 一一立时，原不等式解为-2， 收一-高中=，￥特成2后+ 当一<0时>2原不等式的解为2 已>×8+10)=号故多素为号 [例1门C解桥：方读一：两为xy十一2y=4,所 a时，一不华人的为- 0+Dr-+名样22-， 2 +1 峰上，4=0时，原不￥式的解集为xx2): 4 所以2红+y-+,有卡灯+1》-133+ 当a■一之时：愿不羊式的解集为r:=2: 2写有》g+D-当及牧市-y中1 当一<<0时不的解集为 y一1，工一3时，等季成主. 方涂品：南为十本一2y=4,阶以(x-2)(y十 1)-2.且y十1>0，%以x一0 声a心一受时，原不等天的解功-2 故2红+y=2(x-2)+《y十1)十3 [例15】A解析：壶m一0时，2五>0，拜上>0，不合 22x-y+正十8-7，当且食者2(x-2-y十1， 即y=1口=3时，等季成生.故域G 当m0时，羽为关于x的不等式m于十2红十两 [例12]8解折：调为>0b>0成十6-6叶+ m0, >0的解集是民，所就 解年四>1， 64-4m2<0, 综上，发颜网的取值克国是《1。十00)，戴选A 〔例16]一3<k<小解折：山题意△-一4× 2x音0，一<<水.黄答定为一店< 第三章函数的概念与性质 3,1函数的橙念及其表示 人11函数的短念 【必备知识·梳理】 [情境招究] 错示：B中都有来教与之时应，盟时应夫我唯一 [知识桃理时 1.任童个数x对应关系子雅一确定的数 y-f(z》,x∈A定义城值域子集 2定义域对应关系值城 3(1加<，[a,b]a,6)[￥，)《a.b] 2)(一o,十00).(3)[a,+6e)《a.十om》《-8, 】《o,b) [科学思地] 一，1.《1)/(20×(3(40/ .ACD解析：小函数的定义可如，对任意的自史 量士，有生一的y值刺对足，或项B中的图象不是画是 周象，出规了一对多的情风，其中远项AC,D皆符念品 数的定发，可以表示是漏数故选AD 玉C解桥：函处士)=x文笑为我，而A中函量 定义藏0，十)，发义域不可，情误：B中函教化简为 f《工)一工，时盘关系不网，得提C中品数定又城分 民，可化简为/《x)一x,远确：D中高数定义城为{r子 0,瓷义装不网，锋流 宽义或为<0成引 故答发为上心0，或》 二提示：1个 【关镀能力·保究】 探究一新数慨老的理解 [典例精析] 《典酬门D解新：0在时位关系f一y一音下 A■x工E药中不能故3垫除的数在县中浸有唯一项 定的数海之对应，不能明定y是主岭漏数 ②在时应吴系f,+y=3下，A=任上>0，正 ∈的量在H=)yER}中，有两个数与之对底，不