2.3 第1课时二次函数与一元二次方程、不等式-【志鸿优化训练】2026-2027学年高中数学必修第一册(人教A版)

2.3二次函数与 第1课时 二次函数与 学业目标·定位 课标要求 1.理解一元二次方程、一元二次不等式与二次函数之间的 2.掌握图象法解一元二次不等式 必备知识·梳理 目情境探究 汽车在行驶过程中，由于惯性作用，刹车后 还要继续滑行一段距离才能停住，我们称这段 距离为“刹车距离”刹车距离是分析事故的一 个主要因素.在一个限速为40km/h的弯道 上，甲、乙两车相向而行，发现情况不对同时刹 车，但还是相撞了.事后现场测得甲车的刹车距 离略超过12m,乙车的刹车距离略超过10m. 已知甲、乙两种车型的刹车距离s(单位：m)与 车速x(单位：km/h)之间分别有如下关系：s甲 =0.1x+0.01x2,sz=0.05.x+0.005x2 探究：根据题意分别列出甲、乙两车车速x满 足的不等式组 画知识梳理 1.一元二次不等式的概念 (1)一般地，我们把只含有 未知数， 并且未知数的最高次数是 的不等 。第二章一元二次函数、方程和不等式 元二次方程、不等式 一元二次方程、不等式 学习目标 通过本节课的复习与学习，会解一元二次方程： 系 二次函数的图象与性质；会解一元二次不等式： 理解二次函数、一元二次方程与一元二次不等 式之间的关系，能处理与三者之间有关的问题 答案见P3531 式，称为一元二次不等式.一元二次不等式的 -般形式是ax2+bx十c>0或ax2+bx+c <0,其中a,b,c均为常数，a≠0. (2)一般地，对于二次函数y=ax2十bx十c, 我们把使ax2十bx十c=0的实数x叫做二 次函数y=a.x2十bx十c的 .即一元 二次方程的 是相应一元二次函数的 零点 2.二次函数与一元二次方程、不等式的解的对 应关系 △=b2-4ac △>0 △=0 △<0 y=ax2+ bx+c (a>0) 的图象 0X2 ax2+bx+ 有两个不相 有两个相等的 c=0(a>0) 等的实数根 实数根x1= 没有实数根 b 的根 x= 2a ax'+bi+ c>0(a>0) x≠ 、6 2 2a R 的解集 axi+bx+ c<0(a>0) 0 的解集 49。 数学必修第一册人教A版 3.不等式ax2十bx+c>0(a>0)的求解方法 将原不等式化成ax2+ 计算△=b2-4ac的值 bx+c>0(a>0)的形式 方程a.x2+bx十c 原不等式的 =0有两个不相 △>0→ 解集为 等的实数根，解得 t1,x2(x1<x2) 方程a.x2十bx十c= 原不等式的解 0有两个相等的实 集为 △=0→数根，解得x1=x2= b 2a 2a 方程ax2+bx十c= 原不等式的 △<0→ 0没有实数根 解集为R 卧科学思维 一、思考判断 1.判断正误.（请在括号中打“/”或“×”） (1)m.x2-5.x<0是一元二次不等式.( 关键能力·探究 探究一、 解一元二次不等式 鲁知识深化 解一元二次不等式的一般步骤 (1)利用不等式的性质，将不等式化为a.x2+bx +c>0(a>0)或ax2+bx+c<0(a>0); (2)求方程ax2十bx十c=0(a>0)的根，并画出 对应函数y=ax2十bx十c图象的简图； (3)由图象得出不等式的解集， 典例精析 【典例1】求下列一元二次不等式的解集： (1)x2-3x+5>0;(2)-6.x2-x+2>0; 50 (2)若a>0,则一元二次不等式ax2+1>0 无解.() (3)若一元二次方程a.x2十br十c=0的两根为 x1,x2(x1<x2),则一元二次不等式a.x2十bx十 c<0的解集为{xx1<x<x2}.( (4)不等式x2-2x十30的解集为R() 2.不等式3x2-2x十1>0的解集为() A-1<x<} a< C.☑ D.R 3.若v√x2十x一12有意义，则实数x的取值范 围为 4.已知函数y=ax2+bx+c的图 象如图所示，则关于x的不等式 (ax+b)(bx十c)<0的解集是 012 二、思维探究 如何用图解法解一元二次不等式？ 答案见P3531 (3)-4x2>1-4x;(4)2x2-4x+7<0. 名师点拨 解一元二次不等式的方法 方法一：若整理后的ax2十bx十c(a>0)可 以分解，则原不等式可化为(x一x1)(x一x2)>0 (<0),其中x1,x2即方程ax2+bx十c=0的两 根(x1<x2),则可写出解集，特别地，若x1= x2,则原不等式可化为(x一x1)2>0(<0),则不 等式的解集为{xx∈R,且x≠x1}(☑). 方法二：若a.x2十brx十c(a>0)不能分解， 则由一元二次不等式的通法即判别式法求解. [针对训练1](1)不等式2-x-x2>0的解集 是() A.{x|x<-1,或x>1》 B.{x|x<-1,或x>2} C.{x|-1<x<2y D.{x|-2<x<1} (2)不等式4x2+4x十10的解集为 探究二含参数的一元二次不等式的解法 自知识深化 (1)一元二次不等式ax2十bx十c>0(a≠0)的 解集的端点值是一元二次方程ax2十bx十c=0 的实数根，也是二次函数y=a.x2十bx十c的图 象与x轴交点的横坐标，也就是二次函数y= a.x2+bx+c的零点. (2)二次函数y=ax2十bx十c的图象在x轴上 方的部分，对应的是不等式ax2十bx十c>0的 解集；图象在x轴下方的部分，对应的是不等 式ax2+bx十c<0的解集 ©典例精析 【典例2】已知关于x的不等式x2十a.x十b<0 的解集为{x|1<x<2},求关于x的不等式 bx2+ax+1>0的解集， 。第二章一元二次函数、方程和不等式 名师点拔 应用三个“二次”之间的关系解题的思想 一元二次不等式与其对应的函数与方程 之间存在着密切的联系，即给出了一元二次不 等式的解集，则可知不等式二次项系数的符号 和相应一元二次方程的实数根，在解决具体的 数学问题时，要注意三者之间的相互联系，并 在一定条件下相互转换， [针对训练2](1)已知关于x的二次不等式 ax2十bx十1>0的解集为{x|一2<x<1},则 a,b的值为( A.a=-1,b=-2 B.a=-2,b=-1 ca=6-号 D.a=1,b=2 (2)若关于x的不等式a,x2一6x十a2>0的解 集为{x|m<x<1},则a= 探究三 含参数的一元二次不等式 昌知识深化 解含参数的一元二次不等式，与解一般的一元 二次不等式的基本思路是一致的，但要注意分 类讨论思想的运用.如二次项系数含有参数时， 应首先对二次项系数进行大于零、小于零、等于 零分类讨论：当二次项系数不等于零时，再对其 判别式进行大于零、小于零、等于零分类讨论： 当判别式大于零时，再对两根的大小进行比较 讨论，最后确定解集 @典例精析 【典例3】(1)解关于x的不等式：x2-(a十a2)x十 a3>0(a∈R). (2)解关于x的不等式：ax2-2x十a<0(a∈ R). 51 数学必修第一册人教A版 名师点拨 在解答含有参数的一元二次不等式时，往 往要对参数进行分类讨论，为了做到分类“不 重不漏”，一般从以下三个方面进行考虑： (1)关于不等式类型的讨论：二次项的系 数a>0,a=0,a<0: (2)关于不等式对应的方程的实数根个数 的讨论：两不等根（△>0）、两相等根（△=0）、 无根（△<0）： (3)关于不等式对应的方程的实数根的大 小的讨论：x1>x2,x1=x2,x1x2: [针对训练3]解下列关于x的不等式 (1)(a.x-1)(x+1)>0: 随堂演练·达标 1.不等式x(2-x)>0的解集为( A.(xx>0) B.{x|x<2} C.{xx>2,或x<0) D.{x|0<x<2} 2.设m十n>0,则关于x的不等式(m一x)(n+ x)>0的解集是( A.{xx<-n,或x>m} B.(x-n<x<m) C.{xx<-m,或x>n} D.(|-m<x<n) 3.关于x的不等式y=ax2一x一c>0的解集 为{x|一2<x<1),则函数y的图象为 -02 B 52 (2)m2x2+2mx-3<0. 微探究忽略对二次项系数的讨论致错 【典例4】解关于x的不等式ax2+(2-a)x 2>0. 答案见P3551 -2大0 4.若关于x的不等式ax2十bx十2>0的解集 为女-2x<2小，则实数a= ,实 数b= 5.解关于x的不等式x2-a.x-2a2<0(a∈R).当是位当1-红，即：一0时，￥号点立 23二次潘数与一元二次方程、不等式 第1混时二次函数与一元二次方程，不幕式 【必备知识·梳速】 情境探究] 系p4or2 4ar>n 〔每识德理] 1,(1一个2()零点根 2.1:11)xr<x1,或z>z}r到 x<r<x:}g 3xx<x或x> [科李愿推】 -,1,(1》X(2)X(3)×440 2D解断：黑为△✉《一2)'-4×3×1=4一12 一80，所以不等或8一2x+10的解果为 3x3成x一4解析：要快WT十x一12有意 又，射上+z-20,,《x一3)6x中4}0，x3我 一4 解桥：根摇品量图良可物，才程a过2十：十e=0的 得很分制为1和2，且：>0， 怀括根与春我岭美系可知一产一8二-2，身小 一344=24, 代人r十b)r十C)<0中y拜(ar一3知（一az十 知， 化牌可得任--2>0，解得<导成> 跳答常功长号点> 二，提示岳解法解一无二火不等人的下一盘步康， (1)将原不等式化为标准形式缸+山+上>0龙 ax+hr+ea20) (2)桌△=6-4ac1 (3)若4<0，根格二求孟量的图意直接篱出解黑： (4)著△0，桌出时盘考程的佩，马出时成二次画 数的图套，写出解是. 【关键能力·探究】 探究一解一元二次不等式 典例精析] [典例1]解1(1)”a■（一3-4×5=-110， x一3*十50的解秦为我 形为(r一xm0 (2)零不等式了化为6r十1一20 当a<0时，有da2, 4=1°-4×6×(-2)■492>0， ,不等式的解集为红上父a,或士>a}: ∴方程x十x一2=0有有个不何实模 与a=0时2一a=0, 2 二不零式的解集为xr≠0) 60<a<时，有a>g3, ,不￥式的解集为(x江<a,或x>心}： (3》原不等式T化为4r-红+10， ba-1时，e-a5=1, 中(2x-1)A 二.不等式的解集为{xx1): 6a>1时，有de2, “唇不等无的解装远2一》 ,不平式的解集为柱工<.或1≥a (4》,△=(-4)-4X2×7=-400. (2)若a-0,期返不或为一2x0. 不等式22一r+70的解暴为防 t解案为江：0， 【针对调基】蓄案：加2一 A=4一a',若g>0。 当△>0，年0a幻时 解析：(1)不等式2一±一x>0T化力x+工 方程2r一2r十a0的两核为 2<0,因X分解写得(x一1)(x十2)<0，对成方程岭解 为x一1或x=一2，期不平式2一x一x>0的解集是 -1g x,-10-g {xl-2<x<1. ,原不等式的解集为 (2》意利4r+4r十1=(2r十1)0.所以不等 特解桌分上一 4aa<1+可 探究二含参数的一元二次不等式的解法 当40，脚g=】时，愿不等的解暴为② [典例精桥] 占A<0,年@>1时，原不等式的解鼻为以 [残例2]解：廿x2十r+6<0的解集为{z1< 著a<0, 壶4>0，即一l<C山<0叶，条不等式时解果为 “1,2现z十a+b=0的两根 1+A-@ 由与系焦的关奉有二风特公2 =0，年=一1时， 代人所求不￥我u3十r十1>0，样2：2一3x+ 厘不等式可化为(x+1)0, 10 二原不普式的年集为xx≠一1， 南2x2-x+10=H2r-10x=1>0 古40，学金<一1时，原不等式的解集为比 锋上除超，当：】时，愿不等人的解果为②： <2我>L. 布0<a<1时，原不等人岭解桌为 +ar+D0的解集为<安或>小 [针对捷域2】答案：1)C(2)一3一3 解析：1D由避加d<0且一2,1为才程2十十 省d=0时，原不等式的解果为士：0： 壶一1<a<0时，原不等式的解是为 1=0的两根，山根与《数的美原下桌祥 (2)南题可知1，m是方程a一6x十a=0的两个 11金，成>1Q 。1中w一a'解样-一a点m-2 海a一1时，原不平式的解集为1上士≠一行 当阳心一1时，原不苹式的鼎为R 去). [针国练3]解：(1》若a=0,到原不式为一无 摆究三含参数的一元二次不等式 一不等 典例精析) 解暴为(z上<一I [典例3们解(1》将不￥式一仙+江十a0意 当a0时，方很(ar一1x十1》-0的两银为1 是一1当>0时解集为<-1成x>: 年集<- 有4<-1，-1 解集为女-1<， 当一一1时，解集为区. (2)台国■0时，一30恒或土，解条为民 w钟0时，二次项系数m>0,A一10m>0,不 ￥式花为(u+3)(r-10 省0对，集为心部 操环究忽靡对二次项系数的时论敏蜡 〔角例】错解：愿不￥人可化为（十）(x一1)≥ 0, 孝程(r+2:一)=0的标券4=名】 ①>0时原不祥我都集为或>刘 备出<0时，若u<一2，期章不等式竹解第为 易错分桥：由期塘，可分a=0,u>0,一2<a<0, 烟<一2，：■一2五种情况材论，身可得到不平人的 解氧 正解：（们）事g=0时，总不等式的解桌为1不x之 1. (2)有壁≠0时，象不￥式可化为（十2）(x一1)> 0,才+x-》-0的解考-子-1 ①当年>0时，厚不等式的解象为 的音0<0时，若<一2，别原不等太的解集为 {-吕苦日-一2，期通不华成的解秦为②， 著一<0，到想不羊么的部集为1心< 喻上。登心一2时，原不等武岭解集为 a 者一一2时，乐不等式的解是为☑， 台一2<血<0时，原不式的条为 h-: 壶a一0时，系不等又怜解桌为{xz>1}: 布融>0时，原不等式的解暴为 【随堂濱练+达标】 1,D解折：@不等其化为x(不一？)<0，故0 I2 2.B解析：不等又《mx)《n十：)>0可亿为 (红一m(x十w0, 方程（稀一x)(十工）一0的两根为丽，一： 因为国十>0，所以m>一H,片合函数3一{m一 x)n十x)的图象，得原不￥式的解暴是x|一n<1< 游》，故速且 3B解析：网为不￥真的解是为一2门： 所这a<0,静隆C,D,文与坐林物交点的精坐标为 -2,1,故端弘 4一2了解析：山测意了知一豆，2是才程 r十r十2=0的两个根是g0 山根与系数竹关原得 ×-2 根44m一2，h=3 5,解：原不等其转化为(x一2知)(r十a)<A 时盘的一元二求方根的模为工1一2s一一a (1)当g>0时，12xe 不等风岭解集为{r一a<r2a1, (2)省4=0时，原不等天纪为z<0,无解： (3)当a<0时，z<x,不等式岭解集为{x2a - 蜂上阶遥，原不￥式的解集为： a0时，解集为x广4<x和] a一0时，解秦为②： a<0时，解第为x2a<r<-a). 第1螺时一元二次不等式的解法及改用 【必备知识·梳理】 [情境探究】 提示总面根是8×6一8，草坪互少2，花卉最大 宽带是1，《6士)〔8一x)24,解得022. 【每供流理] I.(Df()g(r)0 ()/Gr)g(z) (3Fg() REG)0. xr)≠0 g(士)*0 2.(1b=0.c>06-0r<0 0,<0， 40 0 (2y-.y3 [科华眼健」 r十3 ….1.10×2)X 202r+10+300 1B解桥：A-x-1r611,B-z10 +3 xG2引，A∩B=x0rG1). 日-3e<-是 AB解折：不样密0化为：红+0 2<0,解-<< 2 【针对调练】解：原不爷人可化分品<0 黄送B C期析：合湖意秀加，[30一2（工一15）门x> 中士2一30r+2000,解得10<xc20 界为x>15,所以15<x20, 2想不￥我可化为异是1>0， 这轮合的铬准单价士的取值觉国灵江1远， 故远二 x+2 二周示L等价 放章不等式竹解集为士x<一的， 工野处是将不然。的分式不等或化归为巴经典患 探究二一元二次不等式在实际问整中的皮用 的一元二次不等式， [典例精析] 【关键能力·探究】 [典例2幻解：配香间客号日拉金规高：个10.元 民究一分式不幕式的解法 中每同客隆日雅金凝高到（知十10：）元，别客烤出照餐 [典侧精析】 域少x司，光时客髻岭粗量惠减入为（的十10r)(0一 [A解：0 正)元因为每天常席的加全塘流入不核千10克， 所以(0+1r)(20-x}1800 -r+ 化模，得x1-12x+20Q 解得2x10,所以20610x100 又由题意T知0+10x运130，所就10z0.4 此，镇丸家院春间多传日阻金提高的空屑走0一50元， [针对国练2】解：1)装售价降王成，刷母：后 的高品售件为1001一司)元，售出商品的数量为 “:愿不等天的解条为 100,+品#。 山题意，得y与x之间的高酰美善民为 、2方接-：原不普式可完为3，。 y=101-)10o1+0 国为售命不粮纸于成表任。 F+30, x>-3, 所410-局)一00，解得2， 所以y=20(10x1(50+8r),x的敢使花国为 <-3, ±0r2. 《2)由是意，得20(10一x50十8x)310260,化篇 得8r-奶x+180,解杆号r<调为0r2 “原不子式的解桌为工 方法二：单不等式丁免为 所网上的取图 探究三不等式恒城立何置 [典例精析】 [典例3](1根：芳m0,整越一10量成土： 若m0,加0, 一4m40 d厘n2十4国0 m的取接范得为x{一r0. (2)解：若xEx一2xG2引，y2铁成真可特 化为1x长x|一2运x2,32 <-2 - ymn=7-Ja22 >0 5y==7十u2, 解得实数u竹敢值花写为一5a6一2+2v2, [针对调练3]答酱：一2<最60解析：身=0 时，一2<0，不平式成主. 台0时，二次画数y一x“+2虹一含特图象开 口向上，不￥式红2十2以红2<0不可戴恒成立. 首最<0时，二次高最y=妇°十2一2的图急升 口向下，若不等式r2+2一2<0对一初实数x每或 主，则A一4h+8c0,解限-2<<0 棕上，k的取佳他墨为一2<兔Q 收参米为，一2<写0 【随世演练·达标】 1.日解折：A=|x1一1r1,B=x106 r<1, .A几B-xl0x<1 工A解折：他题意应有△a-160, 解得一吃aA,城速A 0,引解中8 30=2二0问t2-10具t*0r<0或 4一受<m<n解新越6莲态得 1m3十m2-10, 1(w+1)°+m(m+1)一10. 五解：：当23时，2’-9x十gC《0恤成之， ,备2x时<一2x十7快成王 ◆y=-2z+9数， :2纪江，盟时格精方橙为江一一