2.2 第2课时基本不等式的应用-【志鸿优化训练】2025-2026学年高中数学必修第一册(人教A版)

=时等号城血，所以B域项正晚： C意夏，+3+++中+132 1 √r+·+2+l- 位2中2-无，所以等特不成五，所以C选 清情误： D选须：因为<0，片以y=2十十-2 -+]a0- 当温红者-一江-1时学节成片以D 选项正确， 装速BD 20r<1-2a0 1-红)-吉×红1-a≤是× +-言 南显红省2公一1-2么的，即士=了时等号或土： 网此，声根y=-2<号)的兼大楼为 故选已 [针对到练1]D解析：①园为a.6E(0,十©)，所 以后片∈0+四)，特台基本不等人成之的事林，脱① 的推导过程运桶： 画罗为aER,⑧中0不帮合基本不平又成主的 所合层4是#领的 @费y<0得子均为角最，权在精导址程中特 +者成一个整张疑出角子8(》(-)均文 为正餐，转合基本不等式成位的备件，战命正将， 探究二利用基本不等式证用不等式 【典例糟析] [制例]证明：(1)a>0,h0.r>0 +图- -3 每不等式的性质加 2倍+晋+）≥2a++e 当且仅备-君-青一2时学背浅立，C选项压精 D域项，4=1，h=4时，ab=4,但日十√=3 之区，D选项情误 (2)江法一a十6-1， t选AC 1+是1+-2+培 针对体田舞桥：ab<生≤学 2 当且仪当层==2时￥号成之， 同是，1+号=2+片 到广-广<生艺. +0+)-++) w6a+b8。b =4+1+2给+号5+4=s 年AB斜误，D正项. 多具仅自是-片-6时零子成立 项正 =++》-1++名+ t选CD. 微探究忽降变量的取值范国致罐 又@+b-1, 贵例B错锅：>2之>0，十司 ++)=+器 b安-… 1+号9，*+)+)39（每里仪有。 =6时等号成在 错国分桥：北解套过程醋买，浸有掩出定值条情， [针对挥练2】蓬用：，a,5,心为压案数，盘a十6十 风是机成地备风会式， =1 解断：墨为>2，年a一20.所过a十 d 3 当。-t产2*，印a-2时a十有强小 命上堤三个不等式两边鹅为至，分别相来： 得日-哈-≥2压.匹. 25+品共4+三的承小维为2婚十2 6 [典酬5]错解：本y-x√小一，到y 2画-8，索亚机有a一b-4一行时等号成2， 2 限究三利用基本不等式比较大小 [典例精析) 当层任当-1一，即x=士号时，等号成江，则 [典例AC解析：A选项，由基衣不等式得a十 226■4：售几位修年6■2时￥子成点，A选调 所永最大位为写 量因分析：比解答建整错使，古工<U时，y一 B域算g-1,b4时，54，但十617>8 工一+、一云万，忽视了对符号的说轮， 昌选项解误。 正解1由1一x0w-16r<1 者0<x<1时，上V1一x-V屋1)网 备收-1，和红一经中，等号线：当上 =0kx=士1时，x1一x=0:者一1<x<0时， x1-1<0 除上所连个一子最大组南 【随量演练·达标】 1C幅折：当名分均为正级时，兰十号≥2.两以 只常4h同李即可，所这①3④片可说 名A解新：g'十b一2b-(w一b)0. i+2ad,身a+ 玉ab6一“，解析：围为金>b4, 所xa-b>0,b一>0， 所a学-a-》6-c少a-4-百， 台里议省a一一b一c,视a+r一的时，号盛主 +细+5)>助(a)篇折：两个￥腰重角 形的面为S:-a6, 显然有5>5，脚宁a+>6a+ 气正明：由于。0.b0,所以a十00 又图为e+b-十名-站， 所汉b=1.所以有a十62W5一2，者鹿仅吉 ￥=m1时￥号成立， 所xa十b32. 第2课时瑟本不等式的故用 【必备知识·植理】 [情境探究！ 1,望家该腾形（不会边相）中舍有一大一中两个正 方形和回个金等的直角之角制. 工提示根括正方形AD的面机等十附个发角 二角形的面和加上正方帮BGH的南和，可得：'十 =2站+（任一）严：根据正孝形A议D的面核女于等 于国个直角三角形的面积，可得'十62山 [斜学思地 一，1.1D×(20/(3/(4)× 2.B 3D制桥y-1+号十123巨+山，贝 一1一户气即士一匠+1防少有装小想 22+1 4西精指：由春物>，>0灯<) 5,当几仅当不-y5时y有最大值5 二提示不一史，足鸭卷本不等又术最线财任要术 等季电点到 【关键能力·探究】 探究一利用蒸本不等式求最值 [典例精析] [我例]解1(1)因为a>0.b0, 所以是+-（位+号）a+)-2+ +a+x2要-2. 声层红当-华且十-么中a-与 6一3一1时，等号威立 所以+的装小值为2店. (2)因为￥>0,6>0，心+2bab, 所2a+6-+6)任+》5++≥ 皆成立， 所以2：十的装小值为久 [典例2门解：《1)因为@山为王案数，所以2a十3 2w2a·6,™x(2e十b)8a6, 父圈为6十2a十*-16.设2知十b=t,则0. ab=16-《2a+6)=16-1, 所以18(10一1)，所以十8别一1280， 时以(+15)（一8）20， 文黑为十10，所以t-80,B。 年2a+8,占且仪台2-6， 几ah十2a+b-16, 印一2，b一4时，等号成主 所以2十市的最小值为8 (2)出1》2a十b38,所2ah-18一(2a十b)618 8一8，情直仪婚u一2，b一4时等号成立，所以山的最 史值为8 当风r5y:中■100，y■1知时，等号 [针对调练1】4十22解析：国为a>0,b>0且 清风2a+6=2, 免时，AB=350m,AD=140cm +-如+号-4++≥4+ 批选择矩形的素，宽分利为35的cm,140cm的难 想城，可使两缺量最少， ,兰=4+22， [针球调练]解：授为一干债0，出m子 条且收年e一26，中6-经二-2】 00,其中>0 7 号 当x一9时“市24到-m-2,名 故等案为：4十22 照得0-20，两=0,8： 20 [针对调旅2]解：(1)墨为3a十的+24~9=0 所以干行0. 2h+2h-0, 逢两项费用之和为x(单丝：万元)， ◆W-,则山-看片x红+2x管0，# 制-+-留+6新-品+5 得一， 20 背b。一豆，台且钱有34一h,中a-1,6- 1》-0√：中i×08x+1)一08一72盘盟 有码一8+1，郑一4叶等行底之，片以建率 公岭足储把仑库建在是鼻本站4k世处才能使两项量 (22南x十2b+2b-9=0.得(a十1)2必十3) 用之不最少，最少贵用是了、2万元 12, 保究三利用蒸本不等式求解恒成立同愿 〔典例精析] 7 7 2、2a+12(2+3》-2=4w3-2 [奥例4]日解桥-3-(+y红士y卫 ,省 声xy=1时，等号成土 当几仅每2(a+1)= %+.。月-16 得x十y2,中ty}一2 45-3时号 因为东等式x十ym一m恒成之 所以m一病：十y,中m2一n2,解得 片以2a书的最小恒为4后-名 -1m2 敏选且 眼究二利用基本求制实际同通 「燕侧精析 件计华D新折>y>0华+号 [典例3】解：《1》设时彩年分直角三角形竹高为 +=+w是+》-4++号4+ 群以前都年会龄香款3一香X是型一新 z 6000,所3-12000 又x-G0,所y-200, 当皇亿者-三，期工-y-2时取等号， 南恩周可为AD=y十0■220m AB-3x+50-230m. 六（红十2y》-=5,传士+2y>w'量成主， 海根熊的周装为2×(220十230)■00(cm), 共需(x十y)m>m维成立，年B>m,解得 旅等想就的属长为00m -2w2Cm<22 (2》由10加y-12000,1>0,￥0， t珠山 Sam=(8r十50)y十200=1xy十60g十50y十 微探克多次应用基本不幕式致留 10005343+2v0t+0y+1000-49000, [典例】情解：a>0,b>0, +厚- 8摄 中品o>64 ,a+52a616. 阳十5岭最小线为1玩 蜡因分析：上运解法精误的原园是所次使用基本不 ￥大时，两个等考成立的条件不門，即第一次等号点立 的备#为日-只脚6=1第二求等号点立的条样为 e=b,放a十6取不到量小信1板 正解：o>06>0.+8- a+w-+9a6-+6+培+≥n +2要-n+x4-% 当盟收自台-学为-对样华成立 b=16g', 故等a一5，-20，时厚十取算载小佳25 【随章演练·达标】 1,日解析：由中中口1， +y=p+++}-1++-1叶 （+o-+2+号+号3+2号- 台且仪指子一名，中pg一名时取等多. 2B折：+-·+号+ …1+号5+停及-9(a 红=工时￥号点2 AB解折1+点一计 1 +a+1- 当收等一1可即2时年考成之 本的解折：香小两无次数为四火 总费周-00.4什1z36网-0。 当是位当1-红，即：一0时，￥号点立 23二次潘数与一元二次方程、不等式 第1混时二次函数与一元二次方程，不幕式 【必备知识·梳速】 情境探究] 系p4or2 4ar>n 〔每识德理] 1,(1一个2()零点根 2.1:11)xr<x1,或z>z}r到 x<r<x:}g 3xx<x或x> [科李愿推】 -,1,(1》X(2)X(3)×440 2D解断：黑为△✉《一2)'-4×3×1=4一12 一80，所以不等或8一2x+10的解果为 3x3成x一4解析：要快WT十x一12有意 又，射上+z-20,,《x一3)6x中4}0，x3我 一4 解桥：根摇品量图良可物，才程a过2十：十e=0的 得很分制为1和2，且：>0， 怀括根与春我岭美系可知一产一8二-2，身小 一344=24, 代人r十b)r十C)<0中y拜(ar一3知（一az十 知， 化牌可得任--2>0，解得<导成> 跳答常功长号点> 二，提示岳解法解一无二火不等人的下一盘步康， (1)将原不等式化为标准形式缸+山+上>0龙 ax+hr+ea20) (2)桌△=6-4ac1 (3)若4<0，根格二求孟量的图意直接篱出解黑： (4)著△0，桌出时盘考程的佩，马出时成二次画 数的图套，写出解是. 【关键能力·探究】 探究一解一元二次不等式 典例精析] [典例1]解1(1)”a■（一3-4×5=-110， x一3*十50的解秦为我 形为(r一xm0 (2)零不等式了化为6r十1一20 当a<0时，有da2, 4=1°-4×6×(-2)■492>0， ,不等式的解集为红上父a,或士>a}: ∴方程x十x一2=0有有个不何实模 与a=0时2一a=0, 2 二不零式的解集为xr≠0) 60<a<时，有a>g3, ,不￥式的解集为(x江<a,或x>心}： (3》原不等式T化为4r-红+10， ba-1时，e-a5=1, 中(2x-1)A 二.不等式的解集为{xx1): 6a>1时，有de2, “唇不等无的解装远2一》 ,不平式的解集为柱工<.或1≥a (4》,△=(-4)-4X2×7=-400. (2)若a-0,期返不或为一2x0. 不等式22一r+70的解暴为防 t解案为江：0， 【针对调基】蓄案：加2一 A=4一a',若g>0。 当△>0，年0a幻时 解析：(1)不等式2一±一x>0T化力x+工 方程2r一2r十a0的两核为 2<0,因X分解写得(x一1)(x十2)<0，对成方程岭解 为x一1或x=一2，期不平式2一x一x>0的解集是 -1g x,-10-g {xl-2<x<1. ,原不等式的解集为 (2》意利4r+4r十1=(2r十1)0.所以不等 特解桌分上一 4aa<1+可 探究二含参数的一元二次不等式的解法 当40，脚g=】时，愿不等的解暴为② [典例精桥] 占A<0,年@>1时，原不等式的解鼻为以 [残例2]解：廿x2十r+6<0的解集为{z1< 著a<0, 壶4>0，即一l<C山<0叶，条不等式时解果为 “1,2现z十a+b=0的两根 1+A-@ 由与系焦的关奉有二风特公2 =0，年=一1时， 代人所求不￥我u3十r十1>0，样2：2一3x+ 厘不等式可化为(x+1)0, 10 二原不普式的年集为xx≠一1， 南2x2-x+10=H2r-10x=1>0 古40，学金<一1时，原不等式的解集为比 锋上除超，当：】时，愿不等人的解果为②： <2我>L. 布0<a<1时，原不等人岭解桌为 +ar+D0的解集为<安或>小 [针对捷域2】答案：1)C(2)一3一3 解析：1D由避加d<0且一2,1为才程2十十 省d=0时，原不等式的解果为士：0： 壶一1<a<0时，原不等式的解是为 1=0的两根，山根与《数的美原下桌祥 (2)南题可知1，m是方程a一6x十a=0的两个 11金，成>1Q 。1中w一a'解样-一a点m-2 海a一1时，原不平式的解集为1上士≠一行 当阳心一1时，原不苹式的鼎为R 去). [针国练3]解：(1》若a=0,到原不式为一无 摆究三含参数的一元二次不等式 一不等 典例精析) 解暴为(z上<一I [典例3们解(1》将不￥式一仙+江十a0意 当a0时，方很(ar一1x十1》-0的两银为1 是一1当>0时解集为<-1成x>: 年集<- 有4<-1，-1 解集为女-1<， 当一一1时，解集为区. (2)台国■0时，一30恒或土，解条为民 w钟0时，二次项系数m>0,A一10m>0,不 ￥式花为(u+3)(r-10 省0对，集为心部 操环究忽靡对二次项系数的时论敏蜡 〔角例】错解：愿不￥人可化为（十）(x一1)≥ 0, 孝程(r+2:一)=0的标券4=名】 ①>0时原不祥我都集为或>刘 备出<0时，若u<一2，期章不等式竹解第为 易错分桥：由期塘，可分a=0,u>0,一2<a<0, 烟<一2，：■一2五种情况材论，身可得到不平人的 解氧 正解：（们）事g=0时，总不等式的解桌为1不x之 1. (2)有壁≠0时，象不￥式可化为（十2）(x一1)> 0,才+x-》-0的解考-子-1 ①当年>0时，厚不等式的解象为 的音0<0时，若<一2，别原不等太的解集为 {-吕苦日-一2，期通不华成的解秦为②， 著一<0，到想不羊么的部集为1心< 喻上。登心一2时，原不等武岭解集为 a 者一一2时，乐不等式的解是为☑， 台一2<血<0时，原不式的条为白第二章一元二次函数、方程和不等式 第2课时 基本不等式的应用 学业目标·定位 课标要求 学习目标 1.掌握基本不等式的形式，能用基本不等式解决简单求最值 问题 通过学习掌握基本不等式及其简单应用 2.会用基本不等式结合实例，解决简单问题. 3.在解决实际问题的过程中，体会数学的严谨性. 必备知识·梳理 答案见P3501 情境探究 国知识梳理 1.基本不等式链 2 a2+6 2 -(其中a a2+62 +6支 图① 图② 0,b>0当且仅当a=b时，取“=”号). 图①是2002年在北京召开的第24届国际 2.三个正数的基本不等式 数学家大会的会标，会标是根据中国古代数学 家赵爽的弦图设计的.它的含义：首先，打开外 如果a>06>0,c>0,那么中9中≥a 面正方形的边并放大里面的正方形，这代表着 (当且仅当a=b=c时，取“=”号). 数学家思想的开阔以及中国的开放.颜色的明 酚科学思维 暗使它看上去更像一个旋转的纸风车，这代表 一、思考判断 着北京人的热情好客， 1.判断正误.（请在括号中打“/”或“×”） 1.这个图标中含有怎样的几何图形？ ①Dy=2+2有最小值6.（) (2)若a>0,b>0,且a十b=2,则ab有最大 值1.() (3)当>0时，E+二≥2.() 2.将会标抽象为图②，你能在这个图②中 (4)y=x2+ 中1十3(x>0)有最小值4 1 找到一些相等和不等关系吗？ () 2.用铁丝围成一个面积为16cm2的矩形，最少 需要铁丝( A.8 cm B.16 cm C.32 cm D.64 cm 45 数学必修第一册人教A版 2 3.已知x>1,则函数y=x十z一的最小值为 二、思维探究 两个正数的积为定值，它们的和一定有最小 ( 值吗？ A.2 B.22 C.2√2-1 D.2√2+1 4.已知xy>0,且x+y=10,则xy的最大值 是 关键能力 ·探究 答案见P3511 探究一 利用基本不等式求最值 【典例2】已知a,b为正实数，且ab十2a十b= 16. 目知识深化 (1)求2a十b的最小值： 应用基本不等式可以求某些函数或代数式的最 (2)求ab的最大值， 值，但要注意以下三点： ①a,b一定为正数； ②a十b与ab有一个为定值，才能求另一个的 最值； ③等号必须能取到. 以上三点可简记为“一正、二定、三相等”，且三 个条件缺一不可. @典例精析 【典例1】(1)已知正实数a,b满足3a+b=2, 求后+片的最小值： (2)已知正实数a,b满足a十2b=ab,求 2a十b的最小值， 名师点拨 常数代换法行之有效用于求解条件最值 问题，应用此种方法解最值的基本步骤： (1)根据已知条件或其变形确定定值（常数）. (2)把确定的定值（常数）变形为1. (3)把“1”的表达式与所求最值的表达式 相乘或相除，进而构造“和”或“积”的形式。 (4)利用基本不等式求解最值， [针对训练1]若a>0,b>0且满足2a十b=2, 则+号的最小值是 。46 。第二章一元二次函数、方程和不等式 [针对训练2]已知a>0,b>0,3a十2b+2ab (1)当x=60时，求海报纸（矩形ABCD)的 9=0. 周长； (1)求ab的最大值： (2)为节约成本，应如何选择海报纸的尺寸，可 (2)求2a+b的最小值. 使用纸量最少（即矩形ABCD的面积最小）？ 名师点拨 利用基本不等式解决实际问题的解题思 探究二 利用基本求解实际问题 雏流程： (1)找到解题切入，点； 雪知识深化 (2)字母表示相关量； 利用基本不等式解决实际应用问题的关键是构 (3)找出已知隐含的“和定值”或是“积定值”： 建模型，一般来说，都是从具体的几何图形，通 (4)根据目标量表达式的结构特点，观察 过相关的关系建立关系式.在解题过程中尽量 目标量是否由对应的“积”或“和”决定，进而决 向模型az+b≥2√ab(a>0,b>0,x>0)上 定是否应用基本不等式（或变式）解决问题 [针对训练3]现有一家物流公司计划租地建造 靠拢。 仓库储存货物，经过市场调查了解到下列信息： @典例精析 仓库每月土地占地费为y1(单位：万元)，仓库 【典例3】某广告公司拟在一张矩形海报纸（记 到车站的距离为x(单位：km),x>0,其中y 为矩形ABCD,如图)上设计四个等高的宣 与x十1成反比，每月库存货物费y2(单位：万 传栏（栏面分别为两个等腰三角形和两个全 元)与x成正比，若在距离车站9km处建仓 等的直角三角形且GH=2EF),宣传栏（图 库，则y1和y2分别为2万元和7.2万元，则这 中阴影部分)的面积之和为36000cm2.为 家公司应该把仓库建在距离车站多少千米处， 了美观，要求海报上所得水平方向和竖直方 才能使两项费用之和最少？最少费用是多少？ 向的留空宽度均为10cm(宣传栏中相邻两 个三角形板块间在水平方向上的留空宽度 也都是10cm),设EF=xcm. 水平方向 47. 数学必修第一册人教A版 探究三利用基本不等式求解恒成立问题 C.-2<m<4 D.-2√2<m<2√2 @典例精析 微探究多次应用基本不等式致错 【典例4】已知x>0,y>0,且x+y+xy=3, 若不等式x十y≥m2一m恒成立，则实数m 的取值范围为( ) 【奥例5】已知a>0.6>0,且日+6-1，求 a十b的最小值. A.-2≤m≤1 B.-1≤m≤2 C.m≤-2或m≥1D.m≤-1或m≥2 名师点拨 求解一些比较简单的含有参数a的不等 式恒成立问题，若含有参数的代数式可以直接 求出用参数表示的最大值或最小值，则进一步 可以直接求解含有参数的不等式，求出参数的 取值范围；若是直接求解最值比较困难，可以 考虑分离参数，分离参数后，不含参数的一边 的代数式，若可以利用基本不等式求其最大值 或最小值，此时若a≥y恒成立，则a≥ymx,若 a≤y恒成立，则a≤ym [针对训练4]已知x>0,y>0,且2+=1， 若x+2y>m2恒成立，则实数m的取值范围 是( A.m≤-2√2或m≥2√2 B.m≤-4或m≥2 随堂演练 ·达标 答案见P3521 、1.已知p>0,9>0,b+q=1,且x=p+方， 3函数y=1(x>1)在x=t处取得最 y=g+则x十y的最小值为( 小值，则t等于( ) 2 A.1+√2 B.2 A.6 B.5 C.4 D.3 C.3 D.4 2设xy为正数则x十)+)的最小值 4.某公司一年购买某种货物400吨，每次都购 为() 买x吨，运费为4万元/次，一年的总存储费 A.6 B.9 C.12 D.15 用为4x万元，要使一年的总运费与总存储 费用之和最小，则x= 吨 48