2.2 第1课时基本不等式-【志鸿优化训练】2026-2027学年高中数学必修第一册(人教A版)

②)由题接，青加xy>0,又三-干1一 yk一√-1 E+百4： V1+VE hrzy. 效选C 探究旦不等式的基本性质及其登用 [典例精析】 [典例3](10C(2)BD解折：《1)图为ab>9, c<d<0.e0, 所财er,cd,故A,B播误， ->一d0,所以a-r>6-0, 所以1 a-e6-d n,二十亡>0，做C玉确： 时十D,若g-2h1e=-1d=-2w=-1时 时(d-沙-2一。，就D得说 (2)选项A,者c-0时，一x,判断替误1 选理日，准导行合不羊式性黄，判所正确： 可如>06->0，则6>0，中>料 送须D号-言-伤南a>6>0, 可知b>0.6-g0文有r<0期>0，中 [针对围练3]D解析：，c<d< -r>-d0. [典例4]证明：方法一0，，x之ud, +dad十a, 年6(cddw十b). 又M>0,两连同学风储，择产< d 方米二y地_中国十=一起 6 d 43 微探究扩大取值范围致加 [典刷0]绩解：动一1a十6习得一22a十2网 [针对W练4幻解：1)（红2+1产-(x+x2+1》= 2,再体合1x一2弘3，根据不￥式同向可加生，可料 x+2x2+1-x+x23+1)=x0, r+10+x2+1 )蒂-第-8湖 （a2-6(a+6】 导<十动≤是，将以a+站的取佳运调见+ (a-b)(a2+5) 2sh(a-6》 e+b)a+b丙(a+)a+6巧' + a>6>0, 量四分析：利周不等或东某个代数式《转制是涉延 .2b>0,g-6>0a十b>0.g十6>0， 两个成两个以上未如量的气数式》竹敢值总因时，往往 2b(d-61 利a+0+丙20 雾要利月不苦式的礼质“可阁可加性”，但这一性所并不 其有可逆性，多次使用就可能扩大取性能因（所雄得的 不￥头最仍越点立，但并不是准确的京值花图)， 正解：十-,(a十b》十1：(a一2》=1十 [先例5]解(1》图为2<<3 A)a+1一2，)b,时 所2一8<一y心一2 又国为-1<x<4.所以一4<-y<2 21+1:=1, 即x一y的取值范偶是r一y|一心一y2, 解 (2》南-1<r<4,2<y3, 得-3<3<12,4<2yC 阶以13x+2y18. 中3x十2的取量规周是3r十2y13z+y<8别. [变式]解：3十2y=m(红十y)十xy, m' 所以-号a+3 w=2， 所以a十的取值能周更a+达丹十菌。 【随堂清练·达标】 1,B解折：由已如可得，30x十24y200, 又因为-1⊙r十<4.2x3<3 所以有5x4y≥100 故选且 2D解：A项，当>0>时，>A 错提8透项，盏g-一1.b一一2时，满是a>6,包日> h护不点之，藏B0溪C选项，与c=0时，g灯1=6e, 中3+2y岭取值笼国是a十2y-是<+ 故C错D选项，曲a>,+1>,得年 故D正确，数造D [针对W塔习解：由题意可设红一y■a(:一J)十 1D解桥：得为一2r<8,所以一x<我 6(2x十y), 国为一1<y5,所以一5G一y<1, - 副一92r一y<7, 数选D. N为r一5<2,32红十y4+ 所m22xy4,32+34 4芳品a得 F(3+3) 到564r一y8 8+23-1,脚>1 又6>0， 1g>b. 故签素为：>， 5正期：四为g>h:e>0,所以x>标，即一ar< 吴>f,fe,所以f一ace一c, 工2基本不等式 第1课时基本不等式 【必备知识·铲理】 [情境探究】 提示针边中大正方形岭边长，为。干活，大E方形 自根为2十b,所大正方彩面私太于等于国个直角三角 衫的面机和，即得在十6×2后·瓜一2y画，青江 权垂a-b时，取等号，所以不等式a十b2V面《a0, 6>01. [知规板理] 1.(1)运a一6《2)算术平均数几何平均数 不小于3w硒空芒≥重合4-6 1大号 (2)小2下 [科华思堆] 一，1.1)×(2》/3》×(4)×2.C 3日解析：当”十1=2a平(a一-1)2=0，平￥=1 时，-”减立 4D解桥：0a<1,0h<1,aa,b<6, '十bCa十b,t日十>26（南于4-b),2ah< 2十b<@十.又#a十>2/a证（由于1，d十 天@解折：振螺生，空学压成2的新 2 件利断，2④①惜，只有3王情， 二，摄示不同，+2灿成主的条外观4 B∈v品心宁艺点的各什是eb均为运实机 【关键能力·深究】 探究一理解基本不等式 [典例精析 [典例1门(1D(2汇解断：(1)A进项，对于画 y=红十 “,事x0时，y0,所以A选项情溪 B为6>0片以>0，>0 =时等号城血，所以B域项正晚： C意夏，+3+++中+132 1 √r+·+2+l- 位2中2-无，所以等特不成五，所以C选 清情误： D选须：因为<0，片以y=2十十-2 -+]a0- 当温红者-一江-1时学节成片以D 选项正确， 装速BD 20r<1-2a0 1-红)-吉×红1-a≤是× +-言 南显红省2公一1-2么的，即士=了时等号或土： 网此，声根y=-2<号)的兼大楼为 故选已 [针对到练1]D解析：①园为a.6E(0,十©)，所 以后片∈0+四)，特台基本不等人成之的事林，脱① 的推导过程运桶： 画罗为aER,⑧中0不帮合基本不平又成主的 所合层4是#领的 @费y<0得子均为角最，权在精导址程中特 +者成一个整张疑出角子8(》(-)均文 为正餐，转合基本不等式成位的备件，战命正将， 探究二利用基本不等式证用不等式 【典例糟析] [制例]证明：(1)a>0,h0.r>0 +图- -3 每不等式的性质加 2倍+晋+）≥2a++e 当且仅备-君-青一2时学背浅立，C选项压精 D域项，4=1，h=4时，ab=4,但日十√=3 之区，D选项情误 (2)江法一a十6-1， t选AC 1+是1+-2+培 针对体田舞桥：ab<生≤学 2 当且仪当层==2时￥号成之， 同是，1+号=2+片 到广-广<生艺. +0+)-++) w6a+b8。b =4+1+2给+号5+4=s 年AB斜误，D正项. 多具仅自是-片-6时零子成立 项正 =++》-1++名+ t选CD. 微探究忽降变量的取值范国致罐 又@+b-1, 贵例B错锅：>2之>0，十司 ++)=+器 b安-… 1+号9，*+)+)39（每里仪有。 =6时等号成在 错国分桥：北解套过程醋买，浸有掩出定值条情， [针对挥练2】蓬用：，a,5,心为压案数，盘a十6十 风是机成地备风会式， =1 解断：墨为>2，年a一20.所过a十 d 3 当。-t产2*，印a-2时a十有强小 命上堤三个不等式两边鹅为至，分别相来： 得日-哈-≥2压.匹. 25+品共4+三的承小维为2婚十2 6 [典酬5]错解：本y-x√小一，到y 2画-8，索亚机有a一b-4一行时等号成2， 2 限究三利用基本不等式比较大小 [典例精析) 当层任当-1一，即x=士号时，等号成江，则 [典例AC解析：A选项，由基衣不等式得a十 226■4：售几位修年6■2时￥子成点，A选调 所永最大位为写 量因分析：比解答建整错使，古工<U时，y一 B域算g-1,b4时，54，但十617>8 工一+、一云万，忽视了对符号的说轮， 昌选项解误。 正解1由1一x0w-16r<1 者0<x<1时，上V1一x-V屋1)网 备收-1，和红一经中，等号线：当上 =0kx=士1时，x1一x=0:者一1<x<0时， x1-1<0 除上所连个一子最大组南 【随量演练·达标】 1C幅折：当名分均为正级时，兰十号≥2.两以 只常4h同李即可，所这①3④片可说 名A解新：g'十b一2b-(w一b)0. i+2ad,身a+ 玉ab6一“，解析：围为金>b4, 所xa-b>0,b一>0， 所a学-a-》6-c少a-4-百， 台里议省a一一b一c,视a+r一的时，号盛主 +细+5)>助(a)篇折：两个￥腰重角 形的面为S:-a6, 显然有5>5，脚宁a+>6a+ 气正明：由于。0.b0,所以a十00 又图为e+b-十名-站， 所汉b=1.所以有a十62W5一2，者鹿仅吉 ￥=m1时￥号成立， 所xa十b32. 第2课时瑟本不等式的故用 【必备知识·植理】 [情境探究！ 1,望家该腾形（不会边相）中舍有一大一中两个正 方形和回个金等的直角之角制. 工提示根括正方形AD的面机等十附个发角 二角形的面和加上正方帮BGH的南和，可得：'十 =2站+（任一）严：根据正孝形A议D的面核女于等 于国个直角三角形的面积，可得'十62山 [斜学思地 一，1.1D×(20/(3/(4)× 2.B。第二章一元二次函数、方程和不等式 2.2基本不等式 第1课时基本不等式 学业目标·定位 课标要求 学习目标 通过本节课的学习，要求掌握基本不等式成立 1.理解基本不等式的内容及证明. 的条件，运用基本不等式这一重要的工具解决 2.能熟练运用基本不等式来比较两个实数的大小， 与最值有关的问题，会用基本不等式解决简单 3.能初步运用基本不等式证明简单的不等式. 问题的证明， 必备知识·梳理 答案见P3481 目情境探究 √ab叫做正数a,b的 ,基 《几何原本》中的几何代数法 本不等式表明：两个正数的算术平均数 是用几何方法研究代数问题，这种 它们的几何平均数 方法是数学家处理问题的重要依 (3)下面是基本不等式历<士的一种儿 据，很多的代数公理或定理都能够通过图形实 何解释，请你补充完整， 现证明，也称之为无字证明.如图是我国古代数 如图所示，AB是⊙O的直 学家赵爽创作的弦图，弦图由四个全等的直角 径，AC=a,CB=b,过点C 三角形与一个小正方形拼成的一个大正方形. 作CD⊥AB交⊙O上半圆 探究：若直角三角形的直角边长分别为√a 于点D,连接AD,BD, 和6，你能找出一个关于a和b的不等关系吗？ OD,由△ACD∽△DCB可得，CD 而OD= ,因为OD≥CD,所以 a+b 2 √ab,当且仅当点C与O ,即当 时，等号成立 2.基本不等式与最值 国知识梳理 已知x,y都是正数， 1.基本不等式 (1)若x十y=S(和为定值)，则当x=y时， a+b 积xy取得最 值 .(简记： (1)如果a>0,b>0,有√ab 2, 和定积最大) 当且仅当 时，等号成立.通常称这个 (2)若xy=P(积为定值)，则当x=y时，和 不等式为基本不等式， x十y取得最 值 (简记： (②a>0.b>0时，生叫做正数a,6的 积定和最小) 41… 数学必修第一册人教A版 爵科学思维 中最大的是( 一、思考判断 A.a2+b2 B.2/ab 1.判断正误.（请在括号中打“/”或“×”） C.2ab D.a+b 1不等式a2+b≥2a6与生≥b成立 5.当a,b∈R时，下列不等式成立的是 (填序号). 的条件是相同的.() 面26≥b2②a-b≥2ab,③a2+6座 (2)当a>0,b>0时，a+b≥2/ab.() 2ab;④a2-b2≥2ab. (3)函数y=x十1的最小值是2.( 二、思维探究 )若a>0,则。+是+的最小值为 不等式a+6>2ab与，历<宁成立的条件 2√a.( 相同吗？如果不同各是什么？ 2.下列不等式正确的是() Aa+1≥2 B(-a)+(-≤-2 n(-a)+(-≤-2 3.不等式a2+1≥2a中等号成立的条件是( A.a=±1 B.a=1 C.a=-1 D.a=0 4.已知0<a<1,0<b<1,且a≠b,下列各式 关键能力·探究 答案见P3481 探究 理解基本不等式 且若a,b∈R且ab>0,则2+号≥2 自知识深化 1 C.若x∈R,则x2+3+ x+2的最小值为3 一正，a,b均为正数；二定，不等式一边为定值； 相等，不等式中的等号能取到，即α=b有解， D.函数y=2+x+1( (x<0)的最大值为0 @典例精析 【典例1】 (2已知0<<，则函数y=x1-2x)的 (1)(多选)以下结论正确的有( 最大值是( A函数)=红+1)'的最小值是4 2 B c D I 9 42 。第二章一元二次函数、方程和不等式 名师点拨 数、式合理地拆成两项或多项或恒等地变形配 (1)利用基本不等式证明不等式，关键是所 凑成适当的数、式，以便于利用基本不等式 证不等式中必须有“和”式或“积”式，通过将“和” (3)在证明不等式时，要注意“1”的代换，另外 式转化为“积”式或将“积”式转化为“和”式，从而 要特别注意等号成立的条件， 达到放缩的效果，“一正，二定，三相等” 典例精析 (2)注意事项：①多次使用基本不等式时， 要注意等号能否成立；②对不能直接使用基本 【典例2】(1)已知a>0,b>0,c>0,求证.c+ 0 不等式的证明可重新组合，形成基本不等式模 g+2a+b十c 型再使用。 (2)已知a>0,b>0,且a+b=1,求证： [针对训练1]给出下面三个推导过程： ①因为a,b∈(0，十∞)，所以2 1+a)0+6>≥9. 2N0 ②因为a∈Ra≠0，所以+a>2√a=4: ③因为x,y∈R,xy<0,所以十y -[(-)+(-]≤-2) 一2.其中正确的推导过程为() A.①② B.②③ C.② D.①③ 探究三 利用基本不等式证明不等式 目知识深化 1.两个不等式（重要不等式、基本不等式）都具 名师点拨 有放缩的功能，因此利用这两个不等式可以 (1)条件不等式的证明，要将待证不等式 将数式进行放大或缩小，即可用来判断大小 与已知条件结合起来考虑，比如本题通过“1” 关系 的代换，将不等式的左边化成齐次式，一方面 2.利用基本不等式证明不等式 为使用基本不等式创造条件，另一方面可实现 (1)利用基本不等式证明不等式时，可依据待 约分与不等式的右边建立联系. 证不等式两端的结构特点，合理选择基本不 (2)先局部运用基本不等式，再利用不等 等式及其变形不等式来证明，如ab≤a十 2 式的性质（注意限制条件），通过相加（乘）合成 为待证的不等式，既是运用基本不等式时的 (a>0,6>0)可变形为ab≤士)等 种重要技能，也是证明不等式时的一种常用 (2)在利用基本不等式证明的过程中，常需要把 方法. 43 数学必修第一册人教A版 [针对训练2]已a,b,c为正实数，且a十b十 [针对训练3]（多选）若a>0,b>0,且a十b= c=1,求证：（层-号-12-1≥8， 4,则下列不等式恒成立的有() B.√ab<2 c+6 11 D.a2+b2≤8 微探究 忽略变量的取值范围致错 探究三利用基本不等式比较大小 【臭例)已知a>2,则a+。2的最小值为 自知识深化 () 利用基本不等式比较实数大小的注意事项 A.6 B.2√3+2 (1)利用基本不等式比较大小，常常要注意观察 其形式（和与积） c号 D.23 (2)利用基本不等式时，一定要注意条件是否满 【典例5】求x√1一x2的最大值 足a>0,b>0. 典例精析 【典例3】（多选）设a,b为正实数，ab=4,则下 列不等式中对一切满足条件的a,b恒成立 的有( A.a十b≥4 B.a2+b2≤8 D.√a+√b≤2√2 随堂演练·达标 答案见P3501 1.给出下列条件：①ab>0;②ab<0;③a>0, 等腰直角三角形构成的，图②是一个矩形，则 6>0:0a<0,6<0.其中能使名+号≥2成 这两个广告牌面积的大小关系可用含字母 a,b(a≠b)的不等式表示为 立的条件有( ) A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 2.下列不等式成立的是( ) A.abatb B.a6a2+6 图① 图② 2 2 C.a+b>≥2ab D.a+b≤2√ab 5设a>06>0.且a+b=日+6求证a+62 3已知a>6>c,则/a-b6-0)与2的 大小关系是 4.如图所示的两种广告牌，其中图①是由两个 。44