2.1 等式性质与不等式性质-【志鸿优化训练】2025-2026学年高中数学必修第一册(人教A版)

第二章 元二次函数、方程和不等式 2.1等式性质与不等式性质 学业目标 ·定位 课标要求 学习目标 1.会用不等式组表示不等关系， 通过本节课的学习，能做到用不等式表示不等 2,能够用作差法比较两个数或式的大小， 关系，能利用等式及不等式的相关性质进行大 3.掌握不等式的有关性质。 小的比较，不等关系的证明、求解相应代数式的 4.能利用不等式的性质证明不等式或解决范围问题. 取值范围。 必备知识 ·梳理 答案见P3461 ◎情境探究 国知识梳理 在日常生活中，我们经常看到下列标志： L等式与不等式 在现实世界和日常生活中，大量存在着相等 10 关系和不等关系，反映在数量关系上，就是相 ① ② ③ 等与不等，相等用等式表示，不等用不等式 7:30-10:00 60 表示 2.实数比较大小的依据 ④ ⑤ 数轴上的两点A,B的位置关系与其对应的 这些标志的含义是： ①限制高度：装载高度h不得超过3.5m. 两实数a,b的大小比较 ②最低限速：限制行驶时速不得低于 (1)数轴上的任意两点中，右边的点对应的实 50 km/h. 数总比左边的点对应的实数大。 ③限制质量：装载总质量M不得超过10t (2)数轴上点的位置与实数大小的关系， ④时间范围：7：30到10：00之间。 点A,B的 点A和 点A在 点A在 ⑤最高限速：限制行驶时速不得高于 位置关系 点B重合 点B右侧 点B左侧 60 km/h. 实数a,b的 探究：你能用一个数学式子表示上述关 大小关系 系吗？ 3.实数a,b大小比较的基本事实 (1)a-b>0台→a>b: (2)a-b<0=a<b; (3)a-b=0台a=b. 36 。第二章一元二次函数、方程和不等式 4.重要不等式 (2)两个实数a,b之间，有且只有a>b,a= 一般地，a,b∈R,有a2+b2≥2ab,当且仅 b,a<b三种关系中的一种.() 当a=b时，等号成立. (3)若a>b,则ac2>bc2.() 5.等式的基本性质 (4)同向不等式相加与相乘的条件是一致的. 性质1：如果a=b,那么b=a; () 性质2：如果a=b,b=c,那么a=c; 2.完成一项装修工程，请木工需付工资每人 性质3：如果a=b,那么a士c=b士c; 500元，请瓦工需付工资每人400元，现有工 性质4：如果a=b,那么ac=bc; 人工资预算20000元，设木工x人，瓦工y 性质5：如果a=b,c≠0，那么2=白 人，则请工人需满足的关系式是() A.5x+4y<200 B.5x+4y≥200 6.不等式的性质 C.5.x+4y=200 D.5x+4y≤200 性质 别名 性质内容 注意 3.设b<a,d<c,则下列不等式中一定成立的 1 对称性 a>bHb<a 台 是( 2 传递性 a>b,b>c→a>c → A.a-c>b-d B.acbd 可加性 a>ba+c b+c 可逆 C.a+c>b+d D.a+d>b+c 4.已知a<0,一1<b<0,那么下列不等式成立 a>b →acbc 的是( c>0 4 可乘性 c的符号 a>b A.a>ab-ab2 B.ab2>ab>a →acbc c<0 C.ab-a>ab2 D.ab>ab2>a 同向 a>b 5.已知x<1,则x2+2与3x的大小关系为 →a+cb+d 同向 可加性 c>dl 同向同正 a>b>0 二、思维探究 6 →ac bd 同向 可乘性 c>d>0 a>b>0→a2>b2 者a>6,且a6>0.则片与方的大小关系如何： 可乘方性 同正 (n∈N,n≥2) 科学思维 一、思考判断 1.判断正误.（请在括号中打“/”或“×”） (1)不等式x2的含义是指x不小于2( 关键能力·探究 答案见P346I 探究 用不等式（组）表示不等关系 式则是用来表示不等关系的式子，可以用“a> b”“a≥b”“a<b”“a≤b”或“a≠b”等式子表 示；不等关系是通过不等式来体现的， 自知识深化 @典例精析 不等关系强调的是量与量之间的关系，可以用 【典例1】某矿山车队有4辆载重10t的甲型卡 符号“>”“≥”“<”“≤”或“≠”来表示；而不等 37 数学必修第一册人教A版 车和7辆载重6t的乙型卡车，有9名驾驶 名师点拨 员.此车队每天至少要运360t矿石至冶炼 对于两个正值，也可采用作商的方法，比 厂.已知甲型卡车每辆每天可往返6次，乙 型卡车每辆每天可往返8次，写出满足上述 较商与1的大小 所有不等关系的不等式 [针对训练1](1)已知0<a< 6且M=1中a 6 1+6,N- 1 1十a一1中b则M,N的大小关系 是( ) 名师点拨 A.M=N B.M<N 将不等关系表示成不等式（组）的思路 C.M>N D.不能确定 (1)读懂题意，找准不等式所关联的量。 (2)已知c>1,且x=√c+1-√c,y=√e- (2)用适当的不等号连接， √c一1，则x,y之间的大小关系是() (3)多个不等关系用不等式组表示， A.x>y [针对训练1]商人如果将进货单价为8元的商 品按每件10元销售，每天可销售100件，现在他 B.x=y 采用提高售价，减少进货量的办法增加利润.已知 C.x<y 这种商品的售价每提高1元，销售量就可能相应 D.x,y的关系随c而定 减少10件.若把提价后的商品售价设为x元，怎 探究三 不等式的基本性质及其应用 样用不等式表示每天的利润不低于300元？ 角度1利用不等式的性质判断命题的真假 自知识深化 (1)对于关于不等式的命题判断，需要通过不等 探究二实数（代数式）得比较大小 式的性质及等式的性质进行判断，除了通过正 鲁知识深化 面证明也可以通过举反例的方法。 作差法比较两个数大小的步骤及变形方法 (2)感悟提升利用不等式的性质判断真假的技巧： (1)作差法比较的步骤：作差→变形→定号→ ①首先要注意不等式成立的条件，不要弱化条 结论 件，尤其是不要凭想当然随意捏造性质。 (2)变形的方法：①因式分解：②配方；③通分： ②解决有关不等式的选择题时，也可采用特殊 ④分母或分子有理化；⑤分类讨论 值法进行排除，注意取值一定要遵循以下原则： 典例精析 一是满足题设条件：二是取值要简单，便于验证 【典例2】比较下列各组中两个代数式的大小： 计算。 (1)x2+3与3x; 心典例精析 (2)已知a,b均为正数，且a≠b,比较a3十 b3与a2b+ab2的大小 【典例3】(1)已知a>b>0,c<d<0,e<0,则 下述一定正确的是() A.aebe B.c2<d2 c。e+ab>0nd-er>8 38 。第二章一元二次函数、方程和不等式 (2)(多选)下列命题为真命题的有( 名师点拨 A.若a>b>0,则ac2>bc2 利用不等式的性质证明不等式注意事项 B.若a>b>0,则a2>b (1)利用不等式的性质及其推论可以证明 C若a<<0,则片<名 一些不等式，解决此类问题一定要在理解的基 础上，记准、记熟不等式的性质并注意在解题 D.若a>b>0,c<0则S>S b 中灵活准确地加以应用。 (2)应用不等式的性质进行推导时，应注意 名师点拨 紧扣不等式的性质成立的条件，且不可省略条件 判断与不等式有关命题真假的3种常用方法 或跳步推导，更不能随意构造性质与法则。 方沙 作差比较法 (3)掌握各性质的条件和结论.在各性质 中，乘法性质的应用最易出错，即在不等式的 方法 利用不等式的性质，进行推理，看 根据条件能否推出相应的不等式 两边同时乘（除以）一个数时，必须确定该数是 方法 利用取特殊值的方法 正数、负数或零，否则结论不确定 [针对训练3]若a>b>0,c<d<0,则一定有 [针对训练4幻比较下列各题中两个代数式值的 大小 A6 B. (1)(x2+1)2与x4十x2+1: c d<o n a+答与+a>b0 角度2利用不等式的性质证明不等式 自知识深化 (1)利用不等式的性质及其推论可以证明一些 不等式解决此类问题一定要在理解的基础上， 角度3利用不等式的基本性质求取值范围 记准、记熟不等式的性质并注意在解题中灵活 自知识深化 准确地加以应用。 要求指定代数式的取值范围，必须依据不等式 (2)应用不等式的性质进行推导时，应注意紧扣 的性质进行求解，同向不等式具有可加性，但是 不等式的性质成立的条件，且不可省略条件或 不能相减或相除，利用性质时，必须步步有据， 跳步推导，更不能随意构造性质与法则. 避免改变代数式的取值范围。 典例精析 @典例精析 【奥例)若c-d≥0，d>0,求证：店≤ 【典例5】已知-1<x<4,2<y<3. c+d (1)求x一y的取值范围； cd (2)求3x+2y的取值范围. 39。 数学必修第一册人教A版 [变式]已知-1<x+y<4,2<x-y<3,求| [针对训练5]已知1≤x一y≤2,3≤2x十y≤ 3x十2y的取值范围. 4,求4x一y的取值范围. 名师点拨 利用不等式的性质求取值范围的策略 (I)建立待求范围的整体与已知范围的整 体的关系，最后利用不等式的性质进行运算， 微探究扩大取值范围致错 求得待求的范围。 (2)同向（异向）不等式的两边可以相加 【典例6】已知-1≤a十b≤1,1≤a-2b≤3，求 (相减)，这种转化不是等价变形，如果在解题 a十3b的取值范围. 过程中多次使用这种转化，就有可能扩大其取 值范围. (3)求解如变式这种不等式问题要特别注 意不能简单地分别求出单个变量的范围，再去 求其他不等式的范围，要整体应用已知的代数 式，结合不等式的性质进行推理， 随堂演练·达标 答案见P3481 1.公司运输一批木材，总重600吨，车队有两种 值范围是( ) 货车，A型货车载重量30吨，B型货车载重 A.{2x-y|-3<2x-y<1} 量24吨，设派出A型货车x辆，B型货车y B.{2x-y|-3≤2x-y≤1} 辆，则运输方案应满足的关系式是( ) C.{2x-y|-9<2x-y<7} A.5.x+4y<100 B.5x+4y≥100 D.{2x-y|-9≤2x-y<7} C.5.x+4y>100 D.5.x+4y≤100 4.设a=√7，b=3一√3，则a b(填入 2.已知a,b,c∈R,且a>b,则下列不等式一定 “>”或“<”). 成立的是( 5.已知a>b,e>f,c>0,求证：f-ac<e-bc. A1、1 "ab B.a2>b2 C.alc>blcl D.+1c2+ 3.已知-2≤x<3,一1<y≤5，则2x-y的取 40十D一，L+1w均为垫我， ,B=CB正魂故法汇 [例a]D解折：集分A=xz一70zEN=x r7.r∈N°1=1,23,45，阶 B-6∈NEA-1.2,a.6,tB有2-5 个子桌故选几 [例4]D解析：因为桌金A=@b1的所有车空真 子集：a,6c,ab.ac,h,r2,筒议有a+b十c十 a十b+u+r十b+r-12*a十b十)-18*+b+r-4 故法D [例司C解桥：向是意年.A=xe7刀一<2)曰 (一1,0.1，，B=,a1,BA,.害数a岭取值桑合为 (-1,07,t选C [例6们解：(1小当B为堂集时，四十12w一1w之2 m+13m-1, ②当B不是空集时，？A,m一1一3， m中1<4， ,一1m2螺上①w3一1 2)①遇B为堂是时，m十12m一1n2.成是 ②当月不是业表.四十，一1， w+1C-3, m<-4球上w>2我m<-《 [例7]C解折：四为A=xEN-r2=0,1 2,又B-(一2，-10，，所xA门B=0,I1.t选C [例8】B解析：两为A=:0<x<8,B 20j.时以AUB-女00，收选且 [例9)D制插：四为B=xx3,所禄CB=x 所议A门(【B)-一2，-1，.1h.故4 例1可B解析：题国中园影峰分表示集会N门K【M (a2x510r1x<3}■(x26x31.戴4且 [例11门D解析：由补a竹版多，C4在◆的区线 如油所衣阴移落域 (CM)门B表衣的区线为下图所泰即都蓝境。 中为圈中的区城W,此慧D 时4<一2 [例12]B解新：根据题套得，P·Q=(《3,6) (3.7).(4.6).(4,7),(5,5),(5,7)1,P×Q中有6个 当Aa≥-名南AB得样 元素，，P+Q的真寺集个数为2一1-3.故选且 [例13]答案：56 撑上所逃，实数a的取值范国为<一2我一1a网 解析：时于1,1+1一2∈T,副1不是孤3光”： 对于2,2-1=1ET,几2十1=3ET,时2不是“花 远②，由“xEA是“x毛8"的克分不必要条件，则A国 B. 对于3,3-1=2E丁，则8不延“张点元“ 多A=必时，期4一1D+1,昨g<一2，满是AFB, 对子5,5-1一4年T,显5十1一6任T,制5是“那 则<-2 根城以上分桥可知，不金“菲立元”是箱在是合中有 吉A8时2-南A版B传不 与止相畅的无者， 能同时取等号，解得一：1. 所议出S中的4个元素构成的所有桌合中，不舍 惊上斯追，务ù的取值就为<一2或一1a 张克元“传爆合有(1,2.3,4)，(1,2,4,5).(1,2,5,61， 2.3,4,5},2.3,5,,3,4.5,1,46个 进③，A时，则一十1，中<一2，满 故爹案为5：6. A门B=必，剩a<-2成立： [倒14们日解断：由题念年A=x1Cr<7》,阶 当A≠0时w2一2由AH=②裤：+1<-2或 。一5，得a友a>4 所以xEA”是“：毛B"的必要不克分条件，故选且 [例15D解析：一克二火不号式十证0的 解集为民， 中二次画数y十证x的国是在x物的下才，等 特上所运，法款后的取佳脱调为8<营道@> 于利一九二水不等文时十缸十女<0的解秦为 [例1]A解桥：由题意，◆理“V>0x3一x一1 ”是企种量词命题，根排全静量调命通每存在性命通的美 g片《。n f,可得其希文是”3x0,x2一士一10位选A [例1]C解析：◆随“3x毛R.x2一2十2考存 [例16]解：(1山条件A=一1<x3,P是9的克 在量调今通，其吾定为，Yr∈R,一十Q.批透C 食备件， [例20]答米0a4 得A-B.冲解样m-2, 解断：国为◆理户：V不∈R,句有十g十日0是真 m十1-3. 命道，所以40，即a60,解得a4,所以失数 前以实复网的京值范写是 的敢值花调为aA (②南户是g的克分不必要条件，得A具也合于B,凰 【8例]答需的> 1一m<十1>0，所以一w一1， 解桥1希命身”3x长凡一工十世=为假命是，时 M十> 元二求考柜x一十阳=0元架貌解， m>0 d-一如<0>0销取值税周是> 1一时<一1，解保国>2 w十3， 第二章一元二次所数，方程和不等式 嫁上实数a的取陵范国是加>之 21等式性质与不等式性质 [到17]解：1D当a-2时，A=x1x5,6B 【必备知识·梳理】 }-a3 (情境探究] 所以.AUB-x-2x5.C.CAUB)-r| 2我x>》, ⑦p6的 (2》速D,南AUB-B知：A二B. [知识宽理】 皆A一万时，副金-1%十1.中a<-2,满花A4, 1(2a-bm6金< >><> [科华易峰】 -,1.G/423、3)X4X 2D 3C 4D 5x+缸 二漫茶因冷山前以：与台月寺：汤。君 又所6aa角言a,时表 【关健修力·探究】 探究一两不第式的)表示不等关暴 [典侧精析1 〔奥例门解：说每天浓出甲型中本x辆，乙型卡车y ， +39. x+9 04, 04, 0<y5, l0dv. [针对测练1】解：若规骨后有品竹售骨为工元，则锡 8量核少一×10，盟比，春天的程钩为一8网 一10风x一10)门无，刺“每天的利鸿不餐于0元”可效表 示为不￥大(：-8D[100-10(上一10)]s320 探究二实美数（代敏式）得比较大小 [典例精新] [具例2]解：(1)(x+3》-3r=x2-3x+3 (+>>0, x2十33z. (2)(a'+62一(@6+ad)-a'+6”-u26-u6 =g3(g一)一6(a一b》m《g一bj(a一)=(a s)(a+6). g0.b>0且a*6, .(a-6)0,w十6>0 ,(a+b2)-(ab十b)>0.a1+6'>a6+ [针对W体2门(1C(2C解轿：(1)色和0<a< 3制0ab<1a>0b>0. aN-N-。)(。 +8-4✉0g0-》- 1+e(1+》 ++00,琴批，>N, 教一动) 故遥C ②)由题接，青加xy>0,又三-干1一 yk一√-1 E+百4： V1+VE hrzy. 效选C 探究旦不等式的基本性质及其登用 [典例精析】 [典例3](10C(2)BD解折：《1)图为ab>9, c<d<0.e0, 所财er,cd,故A,B播误， ->一d0,所以a-r>6-0, 所以1 a-e6-d n,二十亡>0，做C玉确： 时十D,若g-2h1e=-1d=-2w=-1时 时(d-沙-2一。，就D得说 (2)选项A,者c-0时，一x,判断替误1 选理日，准导行合不羊式性黄，判所正确： 可如>06->0，则6>0，中>料 送须D号-言-伤南a>6>0, 可知b>0.6-g0文有r<0期>0，中 [针对围练3]D解析：，c<d< -r>-d0. [典例4]证明：方法一0，，x之ud, +dad十a, 年6(cddw十b). 又M>0,两连同学风储，择产< d 方米二y地_中国十=一起 6 d 43 微探究扩大取值范围致加 [典刷0]绩解：动一1a十6习得一22a十2网 [针对W练4幻解：1)（红2+1产-(x+x2+1》= 2,再体合1x一2弘3，根据不￥式同向可加生，可料 x+2x2+1-x+x23+1)=x0, r+10+x2+1 )蒂-第-8湖 （a2-6(a+6】 导<十动≤是，将以a+站的取佳运调见+ (a-b)(a2+5) 2sh(a-6》 e+b)a+b丙(a+)a+6巧' + a>6>0, 量四分析：利周不等或东某个代数式《转制是涉延 .2b>0,g-6>0a十b>0.g十6>0， 两个成两个以上未如量的气数式》竹敢值总因时，往往 2b(d-61 利a+0+丙20 雾要利月不苦式的礼质“可阁可加性”，但这一性所并不 其有可逆性，多次使用就可能扩大取性能因（所雄得的 不￥头最仍越点立，但并不是准确的京值花图)， 正解：十-,(a十b》十1：(a一2》=1十 [先例5]解(1》图为2<<3 A)a+1一2，)b,时 所2一8<一y心一2 又国为-1<x<4.所以一4<-y<2 21+1:=1, 即x一y的取值范偶是r一y|一心一y2, 解 (2》南-1<r<4,2<y3, 得-3<3<12,4<2yC 阶以13x+2y18. 中3x十2的取量规周是3r十2y13z+y<8别. [变式]解：3十2y=m(红十y)十xy, m' 所以-号a+3 w=2， 所以a十的取值能周更a+达丹十菌。 【随堂清练·达标】 1,B解折：由已如可得，30x十24y200, 又因为-1⊙r十<4.2x3<3 所以有5x4y≥100 故选且 2D解：A项，当>0>时，>A 错提8透项，盏g-一1.b一一2时，满是a>6,包日> h护不点之，藏B0溪C选项，与c=0时，g灯1=6e, 中3+2y岭取值笼国是a十2y-是<+ 故C错D选项，曲a>,+1>,得年 故D正确，数造D [针对W塔习解：由题意可设红一y■a(:一J)十 1D解桥：得为一2r<8,所以一x<我 6(2x十y), 国为一1<y5,所以一5G一y<1, - 副一92r一y<7, 数选D. N为r一5<2,32红十y4+ 所m22xy4,32+34 4芳品a得 F(3+3) 到564r一y8 8+23-1,脚>1 又6>0， 1g>b. 故签素为：>， 5正期：四为g>h:e>0,所以x>标，即一ar< 吴>f,fe,所以f一ace一c, 工2基本不等式 第1课时基本不等式 【必备知识·铲理】 [情境探究】 提示针边中大正方形岭边长，为。干活，大E方形 自根为2十b,所大正方彩面私太于等于国个直角三角 衫的面机和，即得在十6×2后·瓜一2y画，青江 权垂a-b时，取等号，所以不等式a十b2V面《a0, 6>01. [知规板理] 1.(1)运a一6《2)算术平均数几何平均数 不小于3w硒空芒≥重合4-6 1大号 (2)小2下 [科华思堆] 一，1.1)×(2》/3》×(4)×2.C 3日解析：当”十1=2a平(a一-1)2=0，平￥=1 时，-”减立 4D解桥：0a<1,0h<1,aa,b<6, '十bCa十b,t日十>26（南于4-b),2ah< 2十b<@十.又#a十>2/a证（由于1，d十 天@解折：振螺生，空学压成2的新 2 件利断，2④①惜，只有3王情， 二，摄示不同，+2灿成主的条外观4 B∈v品心宁艺点的各什是eb均为运实机 【关键能力·深究】 探究一理解基本不等式 [典例精析 [典例1门(1D(2汇解断：(1)A进项，对于画 y=红十 “,事x0时，y0,所以A选项情溪 B为6>0片以>0，>0