1.5.1 全称量词与存在量词-【志鸿优化训练】2025-2026学年高中数学必修第一册(人教A版)

。第一章集合与常用逻辑用语 1.5全称量词与存在量词 1.5.1全称量词与存在量词 学业目标·定位 课标要求 学习目标 1.理解全称量词与存在量词的意义，熟悉常见的全称量词和 全称量词、存在量词梳理、表达学过的相应数学 存在量词， 内容；通过学习能准确判定全称量词命题与存 2.了解含有量词的命题的含义，并能用数学符号表示含有量 在量词命题的真假性，会用数学符号准确表达 词的命题及判断命题的真假性。 题目的具体要求。 必备知识 梳理 答案见P3421 回情境探究 常见的全称量词还有“一切“每一个“任给”等 在某个城市中有一位理发师，他的广告词是这 (2)通常，将含有变量x的语句用p(x), 样写的：“本人理发技艺十分高超，誉满全城.我 q(x),r(x),…表示，变量x的取值范围用 将为本城所有的不给自己刮脸的人刮脸，我也 M表示.那么，全称量词命题“对M中任意一个 只给这些人刮脸.我对各位表示热诚欢迎！” x,p(x)成立”可用符号简记为 (1)文中理发师说的“我将为本城所有的不给自 2.存在量词与存在量词命题 己刮脸的人刮脸”，对“所有的”这一词语，你能 (1)短语“存在一个”“至少有一个”在逻辑中 想到其他词语代替吗？ 通常叫做 量词，并用符号“彐”表示. (2)上述词语都有什么含义？ 含有存在量词的命题，叫做 命题 常见的存在量词还有“有些”“有一个”“对某 些”“有的”等 (2)存在量词命题“存在M中的元素x,p (x)成立”可用符号简记为 图科学思维 1.判断正误.（请在括号中打“/”或“×”） 国知识梳理 (1)在全称量词命题和存在量词命题中，量词 1.全称量词与全称量词命题 都可以省略.() (1)短语“所有的”“任意一个”在逻辑中通常 (2)“三角形内角和是180°”是存在量词命题. 叫做 量词，并用符号“ ”表 ( 示.含有全称量词的命题，叫做 (3)“有些三角形没有内切圆”是存在量词命 命题 题.() 25 数学必修第一册人教A版 (4)“有些”“某个”“有的”等短语不是存在量 5.下列语句中，是全称量词命题的是 词.() 是存在量词命题的是 ·(填序号) (5)全称量词的含义是“任意性”，存在量词的 ①菱形的四条边相等； 含义是“存在性”.() ②所有含两个60°角的三角形是等边三角形： 2.下列语句是存在量词命题的是( ③负数的立方根不等于0； A.整数n是2和5的倍数 ④至少有一个负整数是奇数； B.存在整数n,使n能被11整除 ⑤所有有理数都是实数吗？ C若3x-7=0,则z-{ 二、思维探究 1.全称量词命题中是否一定含有全称量词？ D.Hx∈M,p(x) 3.下列命题中，是全称量词命题且是真命题的 是() A.每个二次函数的图象都开口向上 B.存在一条直线与已知直线不平行 C.对任意实数a,b,若a一b≤0，则a≤b 2.短语“至多有一个”是存在量词吗？ D.存在一个实数x,使等式x2一2x+1=0 成立 4.以下四个命题既是存在量词命题又是真命题 的是() A.锐角三角形有一个内角是钝角 B.至少有一个实数x,使x2≤0 C,两个无理数的和必是无理数 D,存在一个负数x,使二>2 关键能力·探究 答案见P3421 探究 全称量词命题酥和存在量词命题的判定 全称量词命题 存在量词命题 命题 “Hx∈M,p(x)” “3x∈M,p(x)” 自知识深化 (1)所有的x∈M, (1)存在x∈M,使得 p(x)成立 p(x)成立 全称量词命题与存在量词命题的判断 (2)对一切x∈M, (2)至少有一个x∈ 判断一个命题为全称量词命题还是存在量词命 p(x)成立 M,使p(x)成立 题，关键是看命题中是否有全称量词和存在量 泰 (3)对每一个x∈M, (3)对有些x∈M, 词.应当指出，同一个全称量词命题、存在量词 p(x)成立 p(x)成立 命题，由于自然语言的不同，可能有不同的表述 (4)任意一个x∈M, (4)对某个x∈M, 方法.现列表总结如下，在实际应用中可以灵活 p(x)成立 p(x)成立 地选择： (5)凡x∈M,都有 (5)有一个x∈M,使 p(x)成立 p(x)成立 ●26 。第一章集合与常用逻辑用语 这里需要注意的是，有些全称量词命题在文字 (2)(多选)关于命题“3a∈N,a2十a≤0”，下列 叙述上可能会省略了全称量词，这时我们就要 判断正确的有() 根据命题所涉及的意义去判断.例如： A.该命题是全称量词命题 (1)“末位是0的整数，可以被5整除”； B.该命题是存在量词命题 (2)“正方形的对角线相等且垂直”； C.该命题是真命题 D.该命题是假命题 (3)“负数的平方是正数”等都是全称量词命题. 全称量词命题和存在 ⊙典例精析 探究 量词命题的真假判断 【典例1】判断下列命题是全称量词命题还是存 在量词命题 知识深化 (1)凸多边形的外角和等于360°； 1.全称量词命题真假的判断 (2)圆周上任意一点到圆心的距离都等于圆 对于全称量词命题“Hx∈M,p(x)” 的半径： (1)要证明它是真命题，需对集合M中每一 (3)至少有一个三角形没有外接圆； 个元素x,证明p(x)成立； (4)有些素数的和仍是素数； (2)要判断它是假命题，只要在集合M中找 (5)若一个四边形是菱形，则这个四边形的 到一个元素xo,使p(xo)不成立即可.（通常 举反例) 对角线互相垂直. 2.存在量词命题真假的判断 对于存在量词命题“3xo∈M,p(xo)”: (1)要证明它是真命题，只需在集合M中找到 一个元素xo,使p(xo)成立即可.（通常举正例） (2)要判断它是假命题，需对集合M中每 名师点拨 个元素x,证明p(x)不成立 判断一个语句是全称量词命题还是存在量词 ⊙典例精析 命题的步骤 【典例2】下列命题中，假命题的个数是( (1)Hx∈N",(x-1)2>0 判命题 判断该语句是否为命题 (2)3x∈Z,x3<1 (3)Ha,b∈R,方程a.x十b=0恰有一解 看命题中是否含有量词或隐含量词】 看量词 判断量词或隐含量词是全称量词还 (4)两个无理数的和一定是无理数 是存在量词 A.1 B.2 C.3 D.4 含有全称量词的命题称为全称量词 下结论 名师点拔 命题，含有存在量词的命题称为存 在量词命题 判断命题真假的方法 (1)真命题的判定方法 [针对训练1](1)下列语句不是全称量词命题 要判断一个命题是真命题，一般要有严格的 的是( 证明或有事实依据，比如根据已学过的定义、公 A.任何一个实数乘以零都等于零 理、定理证明或根据已知的正确结论推证， B.自然数都是正整数 (2)假命题的判定方法 C.高一（一）班绝大多数同学是团员 通过构造一个反例否定命题的正确性，这 D.每一个实数都有大小 是判断一个命题为假命题的常用方法 27 数学必修第一册人教A版 [针对训练2]下列命题中为真命题的是( a≥0”，命题q:“3xo∈R,x6十2ax十2-a A.p1:3x∈R,x2+1<0 =0”.若命题p,g均为真命题，则实数a的 B.p2:Hx∈R,x+lx|>0 取值范围为() C.pa:Hx∈Z,lz|∈N A{aa≤-2，或a=1} D.p4:3x∈R,x2-7x+15=0 B.{aa≤-2，或l≤a≤2 探究三全称量词命题、存在量词命题的应用 C.{ala≥1} D.{a|-2≤a≤1} 自知识深化 名师点拨 依据含量词命题的真假求参数取值范围 通过量词的意义及命题的真假，建立关于参数 (1)首先根据全称量词和存在量词的含义透彻 的不等式（组）或方程求解 地理解题意 [针对训练3](1)已知命题“Yx∈R,4x2+(a (2)其次根据含量词命题的真假把命题的真假 问题转化为集合间的关系或函数的最值问题， 2)x十>0“是假命题，则实数a的取值范 再转化为关于参数的不等式（组）求参数的取值 围为 范围。 (2)若“3x∈{x|1≤x≤3}，使得x2一mx+ 4>≥0成立”为假命题，则实数m的取值范围是 @典例精析 【典例3】已知命题p:“Hx∈{x|x≥1}，x2 随堂演练·达标 答案见P3431 1.下列命题是存在量词命题的是( 4.已知集合A={x|一2≤x≤5}，B={x|m+ A.每个正方体都有六个面 1≤x≤2m一1}，且B≠0，若命题p:“Hx∈A, B.Hx∈{x|0<x<1},x2∈(x2|0<x2<1} x∈B”是真命题，则实数m的取值集合是 C.矩形的四个内角均为直角 D.3x∈{x|0<x<2},x2∈{x2|x2>2} 5.已知a∈R,命题p:Hx∈{x|1≤x≤2}，a≤ 2.下列命题中，不是全称量词命题的是( x2;命题q:3x∈R,x6+2ax0-(a-2)=0. A.任何一个实数乘以0都等于0 (1)若p是真命题，求a的最大值： B.自然数都是正整数 (2)若p,q中有且只有一个是真命题，求a C.实数都可以写成小数形式 的取值范围。 D.存在奇数不是素数 3.已知a为实数，使“Hx∈{x|3≤x≤4}，x a<0”为真命题的一个充分不必要条件是 A.a>4 B.a>5 C.a>3 D.a≥4 …28解桥：>y>0号>1而山5>1教不出之 >0知z-5y-4,满是>1，-5<-4，脚 <0,不满足y>0故r>y>0是号>1纳克 分备件 第2课时充要条件 【必备知识·植连】 [情境探究] 提示地味有农不一定能得出有人类生存，但况人 美生弃一定可以符出地球有水：开美A闭合叫灯魂C …凳尧，反过表不一完成点 【句识麓理】 L(1P一g学中p=9充要(2充要 2南 [科季愿撑] -,1.(1/(2√(3/440 2.A. 人署案：要条件 解桥1器为智白，所议曰所援中是r的 克染备件， 4.答案：② 新桥：在①中，P中9,9衣P,所提①中◆不是g的 克卖条外，在②中，9：所以②中P是9的先要条件 二，提示门)户是g岭儿要事样说明p是泰样：得是 体论。 (2)户竹克美条怜是？，说明g是条件，P是结论， 【关键能力·探究】 探究一克要条件的利断 【典闲精析1 [制例门解：1)需为对角汽E柏叠或几年分的四 随形不一定是正方形，所以？◆P,所以P不是？的克 要泰件 (2)四为"若户，叫g“麦三年形的礼嘴定观，“若g: 则”是期帜三角形的料定定理，它们均为真命超，既 白9，所保单是？的充要泰件 (3)因为嘴y之>0时，x>0,y>0不一定点之，所 以P★？：所以产不是g的克要条棉， (4)若a'6°-0，到a-6-0,年p对：若a-0 0,割a+6=0,即9>p,量9 所以P成g的充委条特， 针对到练1)(1DCD(2)A 解斯：(1》对于A,P工>1，gI<1,所房单是g的 既不克将包不必委豪格：对于B:P可但g产中，户是 的无分不必要条件，时于C,户9，复→户：P是g的 是条件：时于D,P刘：且之，即仁9，P灵y的克套 各件，故动D [针对国撼3]旺明：领政P:方程4x”+r十c■0 (2》“考程ax十3一0有案我根x几x。E{x一 有一个额是1，g4a+6十-g. x2到"等骨子“品数y一4十3的图象在一1x ①巡明，中证明必羹生 a>0. a0, ,x=1是方根ax十z十C=0的根 2时与王物有交表”，则一4十30，或一e十30，解 5g,12+6,1十=0， 2x+302g十0， 释a十b十c=0 得0三3成位反一立姓合果令法可得。∈ 四经明g→中，即证明克分性 由十b十c-0,释c一一8一 @<一引是方丝+3-0有关数株上盘Ea r2+十c=0, |一1江2引的充分不动漫备件 r十bz一一b-0, 限究二充要条件 尊a(x3-1)+6(x-1)=0 典例精析习 t(x一1D4ar十十b)-Q [典例2】证期：克分性：由ac<0寸得6'一ac>0 x■1是方程的一个核 及n·西-后<0.方想云十如十-0，有两不相 戴方程ax'十r十c-0有一个限是】的克要备年 是a十b+=0 等的实根，几两根李，中方程r十如十：■0有一王 【随堂演练·达标】 根和一黄银 LB解析：茶r=1,y= 1,z=y,但x≠： 动是-性，为于方程ax十短十c一0有一正想和 后x=y◆x=y. a-->0-<0六<0雄 2A解析0一0y,二求备银一发是过原克 三求品最yg十好十极过尿表斯=0， 上可如，关于F的方程ar2十r十：=0(a+0)有一至 6不一定等于0，城选A 根和一真想的克要备件是<0 3C解折：M门N=NNCMMUN-M. [针对到练2]证期：本程①有实核的充套条件是 4.署案：w棵>2) m40几△■16一4X4X四20，以n1,见w≠0 方程②有实根的克委条件是△一1w'一4（标 十1， w一520，解m2一 因为？是单的必委不充分条件 骨以考程①②年有集根的无委条件是 副对十13，解开m>2, 印实数州的氧值花图是(mm>. 5,证用：必受性，”4十6=1：a十6一1■0， 又出∈乙，故m=一1友知=1 二a'十十b-a- 售四■一1时，常程①无整餐解 ■(a+6》0a2-ab+2)-a-ah+) 自m一】时，方程①币少都有整数解 =(a+6-1(a'-a6+62)-0. 从而方程①和段都有整数解w=1, 克分性： 成之m=1→方程中②都有整量机 a'+十a'-一0， 所说方程①和②都有垫餐解的克要泰件是用一1 (a+6一1(a-a6十b2)=0 假究三充要条件的探术及应同 又ab≠0，a≠0，直》学0， 典侧精桥] [典例3]解：P:一2x610:1一m不61十 a-ab+=e)'+>0 a十b-1-0.即a+b=1, 菌为户是？的必要不克分条外， 上可如，0时，十一1的无要条并是 所以g是P的克舟不必要备件： a+6+b-a-2=0 中x|1一mx1十w){r一公Cx10的， L.5全称量间与存在量司 长水8C择a 1.5.1全称量风与存在量网 【必备知识·梳理】 又m0,所以宾款稀的章值位周为（两|0<两≤ 〔情境探究】 提示〔1)”任意一一初“一个“任“见 是” 〔2)表示个花国内的株全年 [知识镜理] 1.《1)全称V全称量福(2)Yx∈M,(红) 1(1)存在存在量同《2)3x∈M,(x) [科华恩增】 一，1.1)×(2D×3√(4)X5)/ 玉B解断：对于A.不是命题，不能判所真餐，戴A 借暖：时于B,命道会有存在量胡”存点”，位B是森在量 何命延，B正明：对于C,是若P剩g”的形式◆是，C镜 民：对于D是全际量词命列，D错低 3C解析：务如C正确：A越项是假◆是：B滤酒 是存在量动命通：D选是存在量两命通 4日解析：锐角三角形的内年都是规角，A是氧 命题查1=0时，上可0，所议B选项中的命题既及春 在量命题又是真命避.死十（一2）=0，所以C选项 中的◆题是氧命理，当<0时，了 <02,晚以D魂可 中的◆恩是氧◆通 长答秦：①②① 解析：①②少是全称量妈◆：@是存在量坷#是： ③不是命通 二，1.提示全格量料◆题不一定舍有全称量问，比 如全和量国命超“三方形是种缘的菱附”中没有全棒 量闻 名望示不是洞为“至多有一小”色舍了不存在的 形。 【关键能力·深突】 探究一全称量燭命整和存在量国命题的判定 [典例精析】 [典例1】解：(1》可这此写为斯有的凸多边形的外 角和都零于3奶0矿，故为全静量胡命理 (2》适全称量问年期，“任鸯”为全称量胡 (3们是存在量同◆题，“互少有一个“为存在是妈 ()金有存在量词”有参”，放为存在量胡命见 (5)着一个回垃形是菱形，也就是所有岭菱形，城为 企华量词命斯. [针对辑练1](1)C(2)以 解析：《1)A中命理可登写为：任意一个实数来江零 每等于家，经A成全称量闻命题： B中命理可改写为：任意的自感处都是正餐数，故 日是全件堂间◆理： C中◆可写为：高一（一）血存在分是园 员，C不是全称量胡◆周： D中命翅可道写为：任念的一个餐有大小 D是全格量海命期 酸选C (2),3aEN,a十0是存在量命雄 ,A选项错联，B选项正： :省单如0时，a3十<0成生， 三命慧为真命理，中C正确，D错误 批法BC 探究二全称量闺降题和存在量国中抛的真似判盾雨 「鼻例精析】 C肉例]C解析：对子1)，取x一1，(x一1)= 0,(1)情误： 时于(2)，数x=0r1■01，(2)正州： 时于(3)，者g-b=0时，考程这十6-0有无穷多 个解，(3》错误： 时卡(4)w2,12想是无理数，表反+(1一2)=1 麦有理数，()得溪。 所以餐命延的个数是 教法已 [针对国练2]C解桥：Vx∈R.x3+1]>0,故 是氧◆是： 当T=0时，x十lx=0,板户：是假◆题： xEZr|EN,故P,是真◆题： 才程x3一7x+15=0中6=7-4×150，龙方程 无解，城户：是假命划 故选C 探究三全称量国命题、存在量国命题的应用 [典闲精析】 [典例】A解析：出巴如可知D和？均为真命 道，由命观户为养命理，得出1：由命观g为养命观，制 △=如2-4(2-a)30成生，得a6-2,或0⊙1，除以 实数日的取值花国为{aa可一2，（一1.战速A [计对i练a司答案：1a0政单420m>5 新折：1◆期”V长R,+a-x+>0 远氧◆意，技4=a--XX0 航得或u0, 故答策为：(a40友34， (2)“3x∈江1x31,线得x一r+0 成1”为假命超， T裤"YxE(r1Gx3),使特r2一世十40成 上“分真命是， a释 叶实载m的京值花周是四> 【随堂演练+达标】 上D解断：城播全格量调命题和春在量词命道的 次夏加A.B,C均为全称量炯每周，D为丹在查何命想 所以◆是“3xER,x”+5r十4的否发是“VxER: 1D解析：A遇项，任何”是全标量胡，故A醋 ++4>0月 溪：日通项，雀感了量抑质有，“阶有是企格童得，故日 4B解桥：因勇存在量得命题的否定是全称量胡 错误C遂项，省略了量调所有，“所有“是全称量鸿，酰 命题，所以命题“3x∈Z.+1是4的得数"的香定为 C绿溪：D选璃，“年在“是存在量间.盆力三隔，故选1 Vx∈第.x2十1不是4的格数”， 3已解析：快是意，全锋量稀命理：Hx∈「x|3运 5.解：(1》3n∈Z,和足0：(2)存在一个奇数竹平为 上4引，一业0为真命题， 不是寺数：(3》存森一个平行四边形不是中心对林周形， 所议q>x&r3r)上量成在，所试a>4 二、提示这科的命是理解为全释量词命题（量词 所汉使“Yx∈任|3写上运4}，正一@<为再命湖 有味了)，以它竹香定是有的形的两成装 的一个充舟不必要各件是“>5 相等” 故送五 【关键能力·探究】 4答案1 探究一盘有量网的价题的吾定 解析：风为命题卢：“YxEA,x∈B”是真命题，所 【典例精析] xA仁B, [典例1门解：(1)这一命想可汉表连为“对阶有的实 m十12m一1. 数网，方粗工十一用一0有宪数想”，并否定形式是 又B≠②，所以M十1运一2，无解， 在餐m使得2十一=0有实数机，“菌为 2m-155, 故来数w的取植集合是区 天解：门)根抵超意，若P是真◆恩，中ux红E 一元二求方根十x一稀一0没有笑我根，所以原命避 [1,2们)成 的看定是弃命题。 出xE,2]时，x的最小模为1： 《?)这一命通可以表还为“所有羊面的面积相等” 所保ù1，即丝的最大值为1 其定形是“存在一对等，其飘不相”山平国 (2》若9是真◆题，△=(2知+4(a一220.解样 的气金如虑◆随的否文是复命观 e写-2浅1. ()这一命理的香定形人是“有的土角形至多有 肉巴如，g一真一俱， 个纪角”，山三角形的内角和为18加加原命题的香文为 若P真g做，则2m1→一2<a<, 【针对利等1门解：(1》命延的否定，存在一个平行 2成e心 四边形的对迫不海平行”，由平行四说形的瓷又物，这是 假命翅 推上a>1我-2<a<1, 2)命期的看定，“存在一个套负数竹平方不是正 成实餐a的取推范周为{知阳>1.或一2a<1 餐”，国为0一0，不是正表，所这流命剩是真命理 15.1全称量词命题和存在量词命题的香定 {3)命题的吾定，“上，3∈乙.都有Ea十y≠3”国 【必备知识·统理】 为年z=0,y=3时W2r十下=3，所以原◆是为真，命 情狮探究】 道的否定为能命题 提示班规至少一本月学的数学成量不超过0分 探究二利用体”的吾定求参数的取值范围 血域所有同学的数季成情双格 [鼻刷精析] [知阴慎理) [典例门解：命着“3x∈B,江氏A”是阻命通，它的 1.3x∈M,一Pz1群在量词 否瓷◆题“YrEB:xEA”是真◆周，出时A, 1HxEM,一P1全称量词 4=xx2-1x+2=0=1,2. [科学见维】 ①B为单元素集分时，（一4一4a=0信=4.B -.11ù×()(3W(40X ulr-4r+4=01=2A: 左C解析：命频p:春在实数，使方植十wu ②日为观元素集合时，H■1,2，这是不军能的， 一1=0有条根。为存在量同◆理，兵否瓷为：时任意案 国为方程一正十一0如最有根，之和为4，而】 数m,使方程x°十mu一10无实模 、C解析：网为存在量何◆题的否定是全除量河 修上可知，实数日竹单值他离是(4， 命理，◆“3：∈民，+5让十40是存在量命观 [针对国练2]解：出"Vx∈A,这∈B”的否定为健 命恩，得“VrEA.rEB”为真◆是， 可知ACB, 220,P10, .实数年的取维范周是ag。10。 【随常演练·达标】 1,C解析：在写◆随的否家时，一是视童师，二是 否结轮，量调：“有些戏为“所有”，雄论是重角无角形” 及为”不是直角三角形”，放选已 2 BCD A解所：户皆舌完是戴命题，户是真命题.x十1 的量大值是2，e32: ◆相g是具命题.△-16一4如30，a64 命题户与令都是真命题，所以有2如运4，故选A 4答案a0 解析：命通“3r毛=[x一1Gx≤31，ra是 氧命观，它的吾定”￥g∈▣={任=143}，z>a" 是真◆恩 工∈g任|一r3时，x的最小值无0，所以 00,期a0. 天答案：存在一个雀被6整除的数，不能被2整除 且不衡技3整爵 解析：“水“和“夏”至相香定，体会追的浙的套义否 促是意思的否定，不是局单学面的吾定 章末总结 【我型例丽】 【例们A糊圳=n时4-血士长乙 当-n+1时，x-234中+13weZ 当=3n+2a2+20山a5wez. 所以县一，盖一，或 因为A=上-，列：所aA云队我 3 A [例2习匹解折：A--m+如E {-mme,B-r-是-言a 6 ∈-n后E2,且2领十1为★数，e为 整数， A空B,南A三B:A,D属，C正州：