1.4 第2课时充要条件-【志鸿优化训练】2025-2026学年高中数学必修第一册(人教A版)

数学必修第一册 人教A版 第2课时 学业目标 定位 课标要求 1,理解充要条件的意义，并能够进行判断， 2.能够对某些命题的充要条件进行证明。 3.会求命题成立的充分条件、必要条件和充要条件，并 据不同的条件求参数的值或取值范围。 4.理解数学定义和充要条件的关系。 必备知识· 梳理 ©情境探究 水是生命的源泉，那么“地球有水”与“人类生 存”之间有怎样的关系呢？ 图中“开关A闭合”与“灯泡C亮”之间具有怎 样的关系呢？ 回知识梳理 1.充要条件 (1)如果“若p,则q"”和它的逆命题“若q,则 p”均是真命题，即既有 ,又有 ,就记作 ,此时，p既是q的充 分条件，也是q的必要条件，我们说p是q 的充分必要条件，简称为 条件。 (2)如果p是q的充要条件，那么q也是p 的充要条件.概括地说，如果p台q,那么p 与g互为 条件 2.“台”的传递性 若p是q的充要条件，q是s的充要条件，即 p台q,q台s,则有 ,即p是s的充要 条件。 。22 充要条件 学习目标 针对充要条件问题，通过几个数学定义的研究 比较，学生经历梳理知识、提炼定义、感悟思想 能够根 的学习过程 答案见P3411 。科学思维 一、思考判断 1.判断正误.（请在括号中打“/”或“×”） (1)当p是q的充要条件时，也可说成q成 立当且仅当p成立.() (2)符号“台”具有传递性.( (3)若p力q和q中p有一个成立，则p一定 不是q的充要条件.() (4)数学中的每一个定义都是一个充要条件， () 2.已知集合A={1,a},B={1,2,3},则“a=3” 是“A三B”是() A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 3.若p是q的充要条件，q是r的充要条件，则 p是r的 4.下列各题中，p是q的充要条件的为 (填序号). ①p:x>0,y>0,q:xy>0; ②p:a>b,q:a+c>b十c. 二、思维探究 “p是q的充要条件”与“p的充要条件是q”的 区别在哪里？ 关键能力·探究 探究一充要条件的判断 自知识深化 判断充分条件、必要条件及充要条件的三种方法 (1)定义法：直接判断“若p,则q”以及“若q,则 p”的真假， (2)集合法：记命题p:集合A,命题q:集合B. ①若A二B,则p是q的充分条件，若AB, 则p是q的充分不必要条件， ②若B二A,则p是q的必要条件，若B车A, 则力是g的必要不充分条件 ③若A=B,则p,q互为充要条件 (3)传递法：充分条件和必要条件具有传递性， 即由1→p2→→pm,可得1→n;充要条件 也有传递性， 典例精析 【典例1】下列各组命题中，哪些p是q的充要条件？ (1)p:四边形是正方形，q:四边形的对角线 互相垂直且平分： (2)p:两个三角形相似，q:两个三角形三边 成比例； (3)p:xy>0,q:x>0,y>0: (4)p:a2+b2=0,q:a=b=0. 名师点拨 探求充要条件的两种方法 (1)等价法：将原命题进行等价转化，直至获 得其成立的充要条件，其中探求的过程也是证明 的过程，因为探求过程的每一步都是等价的。 (2)非等价法：先寻找必要条件，再找充分 条件，从必要性和充分性两方面说明。 ©第一章集合与常用逻辑用语 答案见P3411 [针对训练1](1)（多选）p是g的充要条件的 是() A.p:3x+2>5,9:-2x-3>-5 B.p:a>2,6<2,q:a>b C.p:四边形的两条对角线互相垂直平分，q:四 边形是菱形 D.p:a≠0,9：关于x的方程a.x=1有唯一解 (2a∈aa<-}是方程ax十3=0有实数 根xo且xo∈{x|-1≤x≤2}的( A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 探究二充要条件 号知识深化 充要条件证明的两个思路 (1)直接法：证明p是q的充要条件，首先要明 确p是条件，q是结论；其次推证p→q是证明 充分性，推证q→p是证明必要性。 (2)集合思想：记p:A={x|p(x)},q:B={x q(x)},若A=B,则p与q互为充要条件. ⊙典例精析 【典例2】求证：关于x的方程ax2十bx十c=0 (a≠0)有一正根和一负根的充要条件是 ac<0. 名师点拨 充要条件的证明策略 (1)要证明p是q的充要条件，需要从充 分性和必要性两个方向进行，即证明两个命题 为真：“若p,则q”为真，且“若q,则p”为真. (2)在证明的过程中也可以转化为集合的 思想来证明，证明p与q的解集是相同的，证 明前要分清楚充分性和必要性，即弄清楚由哪 些条件推证出哪些结论， 23 数学必修第一册人教A版 [针对训练2]已知关于x的一元二次方程：①x -4x+4=0,②x2-4x+4n2-4m-5=0,m∈Z求 证：方程①和②都有整数解的充要条件是m=1. 探究写 充要条件的探求及应用 目知识深化 应用充分不必要、必要不充分及充要条件求参 数值（范围）的一般步骤 (1)根据已知将充分不必要条件、必要不充分条 件或充要条件转化为集合间的关系. (2)根据集合间的关系构建关于参数的方程 (组)或不等式（组）求解 典例精析 【典例3】已知p:一2≤x≤10,9：1一m≤x≤ 1十m(m>0),若p是g的必要不充分条 随堂演练·达标 1.“|x=|y”是“x=y”的( ) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 2.“b=c=0”是“二次函数y=a.x2+bx十 c(a≠0)经过原点”的() A充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 3.集合M∩N=N是MUN=M的( A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 …24 件，求实数m的取值范围. 名师点拨 充要条件的证明策略 (1)要证明一个条件p是否是q的充要条件， 需要从充分性和必要性两个方向进行，即证明 两个命题“若p,则q”为真且“若q,则p”为真。 (2)在证明的过程中也可以转化为集合的思想 来证明，证明p与q的解集是相同的，证明前 必须分清楚充分性和必要性，即搞清楚由哪些 条件推证到哪些结论， [针对训练3]求证：关于x的方程ax2十bx十 c=0有一个根是1的充要条件是a+b十c=0. 答案见P3421 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 4.已知p:-1<x<3,q:-1<x<m+1,若q 是p的必要不充分条件，则实数m的取值范 围是 5.已知ab≠0，求证：a十b=1的充要条件是 a3+b3+ab-a2-b2=0.解桥：>y>0号>1而山5>1教不出之 >0知z-5y-4,满是>1，-5<-4，脚 <0,不满足y>0故r>y>0是号>1纳克 分备件 第2课时充要条件 【必备知识·植连】 [情境探究] 提示地味有农不一定能得出有人类生存，但况人 美生弃一定可以符出地球有水：开美A闭合叫灯魂C …凳尧，反过表不一完成点 【句识麓理】 L(1P一g学中p=9充要(2充要 2南 [科季愿撑] -,1.(1/(2√(3/440 2.A. 人署案：要条件 解桥1器为智白，所议曰所援中是r的 克染备件， 4.答案：② 新桥：在①中，P中9,9衣P,所提①中◆不是g的 克卖条外，在②中，9：所以②中P是9的先要条件 二，提示门)户是g岭儿要事样说明p是泰样：得是 体论。 (2)户竹克美条怜是？，说明g是条件，P是结论， 【关键能力·探究】 探究一克要条件的利断 【典闲精析1 [制例门解：1)需为对角汽E柏叠或几年分的四 随形不一定是正方形，所以？◆P,所以P不是？的克 要泰件 (2)四为"若户，叫g“麦三年形的礼嘴定观，“若g: 则”是期帜三角形的料定定理，它们均为真命超，既 白9，所保单是？的充要泰件 (3)因为嘴y之>0时，x>0,y>0不一定点之，所 以P★？：所以产不是g的克要条棉， (4)若a'6°-0，到a-6-0,年p对：若a-0 0,割a+6=0,即9>p,量9 所以P成g的充委条特， 针对到练1)(1DCD(2)A 解斯：(1》对于A,P工>1，gI<1,所房单是g的 既不克将包不必委豪格：对于B:P可但g产中，户是 的无分不必要条件，时于C,户9，复→户：P是g的 是条件：时于D,P刘：且之，即仁9，P灵y的克套 各件，故动D [针对国撼3]旺明：领政P:方程4x”+r十c■0 (2》“考程ax十3一0有案我根x几x。E{x一 有一个额是1，g4a+6十-g. x2到"等骨子“品数y一4十3的图象在一1x ①巡明，中证明必羹生 a>0. a0, ,x=1是方根ax十z十C=0的根 2时与王物有交表”，则一4十30，或一e十30，解 5g,12+6,1十=0， 2x+302g十0， 释a十b十c=0 得0三3成位反一立姓合果令法可得。∈ 四经明g→中，即证明克分性 由十b十c-0,释c一一8一 @<一引是方丝+3-0有关数株上盘Ea r2+十c=0, |一1江2引的充分不动漫备件 r十bz一一b-0, 限究二充要条件 尊a(x3-1)+6(x-1)=0 典例精析习 t(x一1D4ar十十b)-Q [典例2】证期：克分性：由ac<0寸得6'一ac>0 x■1是方程的一个核 及n·西-后<0.方想云十如十-0，有两不相 戴方程ax'十r十c-0有一个限是】的克要备年 是a十b+=0 等的实根，几两根李，中方程r十如十：■0有一王 【随堂演练·达标】 根和一黄银 LB解析：茶r=1,y= 1,z=y,但x≠： 动是-性，为于方程ax十短十c一0有一正想和 后x=y◆x=y. a-->0-<0六<0雄 2A解析0一0y,二求备银一发是过原克 三求品最yg十好十极过尿表斯=0， 上可如，关于F的方程ar2十r十：=0(a+0)有一至 6不一定等于0，城选A 根和一真想的克要备件是<0 3C解折：M门N=NNCMMUN-M. [针对到练2]证期：本程①有实核的充套条件是 4.署案：w棵>2) m40几△■16一4X4X四20，以n1,见w≠0 方程②有实根的克委条件是△一1w'一4（标 十1， w一520，解m2一 因为？是单的必委不充分条件 骨以考程①②年有集根的无委条件是 副对十13，解开m>2, 印实数州的氧值花图是(mm>. 5,证用：必受性，”4十6=1：a十6一1■0， 又出∈乙，故m=一1友知=1 二a'十十b-a- 售四■一1时，常程①无整餐解 ■(a+6》0a2-ab+2)-a-ah+) 自m一】时，方程①币少都有整数解 =(a+6-1(a'-a6+62)-0. 从而方程①和段都有整数解w=1, 克分性： 成之m=1→方程中②都有整量机 a'+十a'-一0， 所说方程①和②都有垫餐解的克要泰件是用一1 (a+6一1(a-a6十b2)=0 假究三充要条件的探术及应同 又ab≠0，a≠0，直》学0， 典侧精桥] [典例3]解：P:一2x610:1一m不61十 a-ab+=e)'+>0 a十b-1-0.即a+b=1, 菌为户是？的必要不克分条外， 上可如，0时，十一1的无要条并是 所以g是P的克舟不必要备件： a+6+b-a-2=0 中x|1一mx1十w){r一公Cx10的， L.5全称量间与存在量司 长水8C择a 1.5.1全称量风与存在量网 【必备知识·梳理】 又m0,所以宾款稀的章值位周为（两|0<两≤ 〔情境探究】 提示〔1)”任意一一初“一个“任“见 是” 〔2)表示个花国内的株全年 [知识镜理] 1.《1)全称V全称量福(2)Yx∈M,(红) 1(1)存在存在量同《2)3x∈M,(x) [科华恩增】 一，1.1)×(2D×3√(4)X5)/ 玉B解断：对于A.不是命题，不能判所真餐，戴A 借暖：时于B,命道会有存在量胡”存点”，位B是森在量 何命延，B正明：对于C,是若P剩g”的形式◆是，C镜 民：对于D是全际量词命列，D错低 3C解析：务如C正确：A越项是假◆是：B滤酒 是存在量动命通：D选是存在量两命通 4日解析：锐角三角形的内年都是规角，A是氧 命题查1=0时，上可0，所议B选项中的命题既及春 在量命题又是真命避.死十（一2）=0，所以C选项 中的◆题是氧命理，当<0时，了 <02,晚以D魂可 中的◆恩是氧◆通 长答秦：①②① 解析：①②少是全称量妈◆：@是存在量坷#是： ③不是命通 二，1.提示全格量料◆题不一定舍有全称量问，比 如全和量国命超“三方形是种缘的菱附”中没有全棒 量闻 名望示不是洞为“至多有一小”色舍了不存在的 形。 【关键能力·深突】 探究一全称量燭命整和存在量国命题的判定 [典例精析】 [典例1】解：(1》可这此写为斯有的凸多边形的外 角和都零于3奶0矿，故为全静量胡命理 (2》适全称量问年期，“任鸯”为全称量胡 (3们是存在量同◆题，“互少有一个“为存在是妈 ()金有存在量词”有参”，放为存在量胡命见 (5)着一个回垃形是菱形，也就是所有岭菱形，城为 企华量词命斯. [针对辑练1](1)C(2)以 解析：《1)A中命理可登写为：任意一个实数来江零 每等于家，经A成全称量闻命题： B中命理可改写为：任意的自感处都是正餐数，故 日是全件堂间◆理： C中◆可写为：高一（一）血存在分是园 员，C不是全称量胡◆周： D中命翅可道写为：任念的一个餐有大小 D是全格量海命期