1.3 第2课时全集与补集-【志鸿优化训练】2025-2026学年高中数学必修第一册(人教A版)

数学必修第一册人教A版 第2课时 学业目标·定位 课标要求 1.在具体情境中，了解全集与补集的含义. 2.理解在给定集合中一个子集的补集的含义，能求给 的补集。 必备知识 ·梳理 ©情境探究 某学习小组学生的集合为U={王明，曹勇，王 亮，李冰，张军，赵云，冯佳，薛香芹，钱忠良，何 晓慧}，其中在学校应用文写作比赛与大赛中获 得过金奖的学生集合为P={王明，曹勇，王亮， 李冰，张军}. 探究：没有获得金奖的学生有哪些？ ©知识梳理 1.全集 (1)定义：如果一个集合含有所研究问题中涉及 的 ,那么就称这个集合为全集 (2)记法：全集通常记作 2.补集 对于一个集合A,由全集U中 文字 的所有元素组成的集合称为集合A相对 语言 于全集U的补集，记作 符号 CoA- 语言 图形 U 语言 A 14 全集与补集 学习目标 能够在现实情境或数学情境中概括出全集、补 定子集 集、子集等数学对象的一般特征，并学会用三种 语言表达和转换。 答案见P3371 3.补集的性质 (1)CU= :(2)Cu0=:(3)(CA)U A=:(4)A∩(CA)=:(5)Cu(CA) 科学思维 一、思考判断 1.判断正误.（请在括号中打“/”或“×”） (1)全集一定含有任何元素.() (2)集合CRA=CoA.() (3)一个集合的补集一定含有元素.( 2.已知集合U={1,2,3,4,5,6},M={2,3,5}, N={4,5},则Cu(MUN)=() A.{2,3,4,5} B.{5} C.1,6} D.{1,2,3,4,6} 3.已知全集U={1,2,3,4,5},A={2,3},B= {1,3},则Cu(A∩B)=() A.{3} B.{4,5} C.{1,2,4,5} D.{1,2,3,5} 4.已知集合M={1,2,3},N={3,4},全集I= {1,2,3,4,5},则MU(CN)=() A.{1,2,4} B.{1,2,3,5} C.{1,2,4,5 D.I 5.(多选)已知集合U={x∈N0<x<8},A= {1,2,3},B={3,4,5,6},则下列结论正确的 有() A.A∩B={3} B.AUB={1,2,3,4,5,6} C.C0A={4,5,6,7,8} D.CuB={1,2,7} 二、思维探究 1.在集合运算问题中，全集一定是实数集吗？ 关键能力·探究 探究一全集与补集 自知识深化 (1)全集是相对于研究问题而言的一个概念，它 仅含有所研究问题中涉及的所有元素，如研究 整数，Z就是全集；研究方程的实数解，R就是 全集.因此，全集因研究问题而异 (2)补集是集合间的一种运算.求集合A的补 集CA:首先必须具备ACU;其次利用定义 CA=(zx∈U,且xEA}进行运算. 典例精析 【典例1】(1)已知全集U={x|-2≤x≤3}，集 合A={x-1<x<0,或2<x≤3)，则CA (2)已知集合A={x∈R|x<1},设全集U= R,则CuA= 名师点拨 求集合补集的方法 (1)定义法：当集合中元素较少时，可利用定义 直接求解。 (2)Venn图法：借助Venn图可直接地求出全 集及补集， (3)数轴法：当集合中的元素无限时，可借助数 轴，需注意端点问题， 。第一章集合与常用逻辑用语 2.怎样理解补集？ 答案见P3381 [针对训练1](1)设全集U={x∈Nx≥2}，集 合A={x∈Nx2≥5}，则CuA=() A.0 B.{2}C.{5} D.{2,5} (2)已知全集U={x|1≤x≤5}，A={x|1≤ x<a},若CuA={xl2r<≤5}，则a= 探究二集合交、并补的综合应用 自知识深化 求集合交、并、补运算的方法 (1)如果所给集合是有限集，则先把集合中的元 素一一列举出来，然后结合交集、并集、补集的 定义来求解.在解答过程中常常借助于Venn 图来求解。 (2)若所给集合是无限集，则常借助数轴，把已知 集合及全集分别表示在数轴上，然后进行交、并、 补集的运算，解答过程中要注意边界问题 ©典例精析 【典例2】(1)（多选）已知全集U=Z,集合A= {1,2,3},B={a十ba,b∈A},则下列结论 正确的有() A.集合B中有6个元素 B.AUB={1,2,3,4,5,6} C.(CuA)nB={4,5,6} D.A∩B的真子集个数是3 15 数学必修第一册人教A版 (2)(多选)已知集合M={-1,0,1},N= {x一1≤x≤2}，则下列结论正确的有() A.MCN B.N∈M C.MUN={-1,0,1,2y D.MO(CRN)= (3)已知全集是实数集R,集合A={x|x> 2},B={x|x2一x一6>0}，则图中阴影部 分所表示的集合为( A A.(xlx>2) B.{x|-2≤x≤2} C.{xlx≤2} D.{x|x<-2,或x>2y 名师点拨 求集合交、并、补运算的方法 常借助于数轴，把已知集合及全集 无限集 分别表示在数轴上，然后再根据交 并、补集的定义求解，这样处理比 较形象直观，解答过程中注意边界 有关集 问题 合交、 并、补 先把集合中的元素一一列举出来，然 的运算 后结合交、并、补集的定义来求解 另外针对此类间题，在解答过程中 也常常借助于Venn图来求解，这样 处理起来，机对来说比较直观、形 有限集 象，且解答时不易出错 [针对训练2](1)设U=R,A={xx>0},B {xx>1},则A∩(CuB)=( A.{x|0≤x<1} B.{x|0<x≤1} C.{x|x<0} D.{x|x>1} (2)已知集合U=1,2,3,4},A={1,3},B= {1,3,4,则AU(CB)= …16 探究三根据集合的运算求参数 目知识深化 由集合的运算求解参数的方法 (1)由补集求参数问题，若集合中元素个数有限 时，可利用补集定义并结合集合知识求解， (2)与集合交、并、补运算有关的求参数问题，若 集合中元素有无限个时，一般利用数轴分析法 求解 @典例精析 【典例3】(1)已知集合A={x|x2十ax+12b= 0}和B={x|x2-ax十b=0},满足B∩ (CA)={2,A∩(CB)={4),U=R, 求实数a,b的值： (2)已知集合A={x|2a一2<x<a},B= {x1<x<2),且A军CRB,求实数a的取 值范围. [针对训练3](1)设全集U={2,3,a2+2a一3}， A={2a-1,2,CuA={5},求实数a的值； (2)设集合A={x|x+m≥0}，B={x|-2< x<4},全集U=R,且(CA)∩B=②，求实数 m的取值范围. 随堂演练·达标 1.已知三个集合U,A, 0.4.7.8 B之间的关系如图所 B 5.6 示，则(CuB)∩A= ( A.{3} B.{0,1,2,4,7,8} C.{1,2 D.{1,2,3} 2.设全集U=R,A={x0≤x≤6}，则CRA等 于() A{0,1,2,3,4,5,6} B{xx<0,或x>6} C.(x|0<x<6) D.{xx≤0，或x≥6} 3.已知全集U=R,A={xx≤0}，B={xx≥ 1},则集合Cu(AUB)=() A.{xx≥0} B.{x|x≤1} C.{x|0≤x≤1》 D.{x|0<x<1》 。第一章集合与常用逻辑用语 微探究韦恩图实际应用 【典例4】某班有21名学生参加数学竞赛，17 名学生参加物理竞赛，10名学生参加化学 竞赛，他们之中既参加数学竞赛又参加物理 竞赛的有12人，既参加数学竞赛又参加化 学竞赛的有6人，既参加物理竞赛又参加化 学竞赛的有5人，三科都参加的有2人.现 在参加竞赛的学生都要到外地学习参观，则 需要预订火车票的张数为( A.29B.27 C.26 D.28 方法总结 韦思图在集合运算中扮演着重要角色，它 通过图形化方式直观展示集合之间的交集、并 集和补集等关系。具体来说，韦恩图使用圆形 或椭圆形表示集合，重叠部分表示集合的交 集，而两个集合的全部区域（包括重叠和非重 叠部分)则表示并集。此外，韦恩图还能清晰 地展示一个集合在全集中的补集。这种可视 化方法不仅简化了集合运算的理解过程，还有 助于解决复杂的逻辑问题，广泛应用于数学、 逻辑学、统计学等多个领域。 答案见P3391 4.设全集U={0,1,2,3},集合A={xx2+ mx=0},若CuA={1,2},则实数m= 5.已知全集U=R,A={x|2≤x<4},B={x 3x-7≥8-2x),求AUB,(CA)∩B. 17豪存：后并秦中的或"期是“或此气校一我此政”，景有 【关盛能力·探究】 探究一交集的运算 [典精折] [典例1门薪案：1A(2C 解析(11M∩B=102∩-2，-1,0,12=02 24nB=xw>-11nxr留-r|-1r2到 [针对球1门箐漏：(1C 解析：(1应数抽上表白集合A,B, 山图可无A∩B≠万，明a>一1， 2解：4门B-红，y)1x>0,且y20,来元何意义为 牛百直角皇标系中第一象以所有点的暴合 探究二求集合的并集 典网精析] [典例幻1D(2A(34 解折：(1D国为A=@,-2到，B=0,2,所线AUB= (-20的，故感D (2)如图，在数他上表意两集命 所以MUN<一5，或x>一3放选A (3)由AUB-11.4,x1, 得x=x,推x≠1， 所以x=0,故A [针对练2]答案：(1)D(2)3 新析：(1》易N一(0,3,9)， tMUN=(0,1,3.9j.t选D (2)在数轴上表年AU B如图所示， A AUB1-1<r< -1123@ 2U「x1<r<a-(z一1<x<3,此m-3 保究三交集，并焦的参数问题 「鼻例精析 [典例3】答需：()/2到 (I)解析：南MUN-M得N二M,点N=万时， 2+1G?-1,即写北时MUN-M底立 2-1<2r+1, 省N≠②时，由数精T积2+15， 2--2 特号以 4 生，辞香并，我总表，树晚慧 MN -22-22+151 [如识麓理] L.(1)有元套U 悠上罗知，买我岭取值花周是6 2不属于售合A【AIx1xEU,且xA} (2》解：南江-2=0，得￥=0成正-之.A=0, 3.(10(2)U3U4085)A [科条思推] ①A门#=B,A,H=0,o,2,(0,2 一，1.(1》×〔2)×30× 者8-②时，d-4a一4a-g)=a<0,a<0, 2.C解析：国为U=1,2,3.4,5,6},M=2,3, 当B=16时时.8t-0:4-0, s引，N=4,5,斯以MUN=2,3,4.5,所xCMU 1d■4am0, N)=(1, 专B-2时，如十女一a无解 3.C解析：A门B-2,31门1,8)=(3，文U- (1,2,3.4,5},刚CuA0B)=1,2,4,5}, 2a-2. .B解析：南理意得CN-,2.5),所以MU 当B=0.21时，a=40,得g-1 (C,N)=1,2,3,5 a-进=0， 5,AD解析：为集=xEN0<r8) 够上所还，瓷表a的和值花周是{a4一【或4 (1,2,3.4,5.6,7},4-1,2,31,B=3.4,5,81,所2 A∩B=3},AUB-1.2,3,4,5,6j,【A=4,5,6: 2AU-ACB. 71,【m8=1,2.71 ”A=(0,2引，而B中方程重多有两个根， 二，1提示全集是一个相对性岭规舍，只色食解究 A一B,由①如g-1 题中沙及的所有竹无素，所以企氧器间期的不网 [针对W练3】解：1A=:|(一-3(x+2<0) 而不阿， x|-2<x3j, 2.提示《们》孙是是相对于全集而言的，一方面，着 当-2时，B=(z1<x<5动，所以A门B一x1< 澄有定又全桌，则不弃在补集的远陆：芳一方面，补鼻的 3 龙煮边不出全集的花国， (2)因为AU吕=A,片误B三A,星然集合出 (2)朴集跳是墨合之间的一种美系，色是集合之阀 非堂 的一种造耳在给义全集U的情泥下，求集命A的补集 以的存2解纤1放害很。的取 的前提是A为全集U的子条，随着斯选全桌的不周，待 l2+163 铜的补裹色是不同岭 位能函是是a小。 【关键能力·探究】 【随黛演练·达标】 探究一全集与朴集 典例精析】 1.D解析：由题可加，N=1,2,3,4,所这M门 N=2).选D [奥例1门答卷1(1》x一2士-1，或0x2到 1A解析：洞为案合A={x|-2x31,B (2)(ar11 r1-1x-2a-山1<5， 解析：》在数轴上表示出全集U,桌合A, 前议AUH={x-2x5). 根撼扑条的舰G可知A一x一2红安-1，友 故透A 表答案：民 解析：由己制可停AUB■R 4答案：4 就答案为：(x|一2x6一1，或0r21, 解析：因为A门B一2,3,4，陈以4∈B. 42)国为集合A-xERx,全集-R, 为集金A=1,2,3,4,纂食出2.3，m), 群议群= 所以CA-xx3 第2课时金集与补集 故答案为，(xx31. 【必备如识·统理】 [针对荆练1]答案：1)B(2)2 情境探究】 解析：(1)南理意知集合A-xEN引x≥57，则 提示没有我得全是的学生的集命为Q一（起云，马 CA-lx∈N2x<51-12卧，故送B 2AU(CA-U,里An(A)-5, A-(x|1x<21.a-2. 保究二集合交、并，补的地合应用 [典例精新] [典例2】(1DBCD(2)AD(3)B 解桥1)山B=a+bu,6∈A),且A=1,2,3动， 所以B=(2,3,4.5,6, 所弦桌合B中有5个元章，A倍误： AUB=1,2,3,4,5,6},日玉扇： (CA)n8-4,5,6,C压确： A门B=(2,3,弄于米个数是2一1=3个，D 正 妆选CD (2}若为1∈N,0∈N,1∈N,所以fGN,tA 正明。 国为2EM,2EN,所以NCM不成主，城B转接， 4为fGN,所aMUN=杠一1x2).故C 情误， 周为[，N=红不<-1，我x>2,期城M门 (C,N-②：tD正： 放送AD. (3)由不等式x一了-6位0，解博x<一2或*>3， 所以B-(xx<一2.煮x引， 义电A-xz>≥2，学得C,A-xx≤)R C8-r1-25r53). 义网为C.AUB)=(CAn(CB)-xx≤ 2门红|一2r3}=(|2x2. 故选县 针对辑练]答案：(1)B()11.2,3 解析：1DU-R.B-[xa>1.dCB-x1x .又A-xx>01.…An(CB)-z0<x≤ 15. (2)CB-5,AU(CB-1,2,3. 保究三根规集合的运算术梦数 [典例精新于 [典例】1解：着力B门(A)-2,所远z∈ H.具2足A 周为A0(CB)=4. 所4∈A,且4兵B. +4+126=0, 所级世-2+书0 6= 12 对以。山的值分利为停，一号 ()CB-[xlx1,成+g 网为A=CB, 所以分A一必和A≠必两种得况计论 ①若A=d,此时有2如-2e,喻以年2 @香A有 1 所以a,标上所证，实数：的京值志围为xa 1,成432L, [针对练3]解：)周芳[4-5. 所以5∈U,且5年A. 所以-2+2a一3=5，解得a=2或4=一4 当4=2时，2a-11-3*5 此时A-(3,2),U=2,3,5卧，料合题意. 布4■-4时，(24一11=9， 6时A-(0.2引，U-[8.,1,5 不满混备#A-5卧，故网一一4金去.缩上如 20法一（直接法白A=xz十m0■x2 m.年0A=l-r<wk 因冷B=-2Cr<1,(CA)nB-必， B☐ m2024方 所以一和6一2，中四32： 所以架最裤的取值愿国是m2), 端二（集台网的美豫）由(CA)门#-心可知 BCA. 元B=±|-2Cx<4, A=行*十得0)=甘x3一裤]： 得一街一2，年稀2， 所以实量程的取值范国适程标2 微探究专思图实家店用 [奥酬4】B解斯：城底争生参如竟不情观如图所 帝，集合A,B,C,D,E,P,G中的任意两个集今无会来 元者， 其中G表章品部都参加的学生集合，G中的争生 为2 四为死参如餐学竟事又尽如骑理意基的有】层人 所这D中的争生数为12一2一10， 同理，辉E中的学生数为日一2=4：F中的学生数 为5-2-8 又智为参加数争，物里，批甲先赛岭人数分朝为 21,17,10, 所议A中的学生酸为21一2一10一4=5： 【关键能力·探究】 B中的净生数为17一2-10-一3-2， 探究一命慕直服的判断 C中的学生数为10一3一2--=1， 【典例精析] 成需预行文本参的张数为5+2+1+10十4+3+ [负例1】日解析：①者四=0时，考程变为一2： 2=27. 七3一0，亚然不是一无二求方组，国无本界号命矩不是 真命周： 化学 物列 的国为堂集是使州非室集合的真子墨，除以本序号 命期是真命理： ③士>3置然艳推出0，所本序号◆息是具 A数学 ①风为2十丽与2一百的知是有理数4，便是2十 故进以 和2一厅都不是有理数，所以本序专命题不是真 【随堂演练·达标】 ◆题， 1.C解斯：南Venn圈可如U=(0,1.2,3,4,3.0, 戴法R 7,81A-1,3,31,B-135,61,%xeCB)门A [针封到练1】解：1)“ab”是“a中c>6+e”纳克 分意件，”u十r>6+r“是"a>6“的必要备件 11,2). ()“两个三角形的三边对应相等”是“建两个三角 2B解桥：由补集定义井结合数轴务知儿，A 形全子竹克分朵外：“这西个玉角形金平”是”焉个三角 xx0,观±>6，放选五 形的三边对应相羊“的函要条仲， 3D解折：：AUH=x1r0,或21. (3)“两粗对垃分利平行的日边利是平行四墟形”可 ·(AUB)=x0<xI,故选n 表连为著网设形的两如对边分到平行，则这个耳造形 4答案：-一3 麦平行四边和“，阶以“百边形的两组对迫分刺平行“是 解折：U-0.l,2.3,CA=(1,2.A-0 “这个回边形是平什四煌形”的克分盔件，“这个四连利 是平行网造形”是“造形物两对分利平行”的必要 3),投m=一3. 条性 5解：B-xl231,CA-x<2,成r 探究二免分条件、企要泰件的列断 40, [典例精析] AUB-1x2(A)nB-x [典例2]解：(10：一3=0→(x一2(x一3)=0，g 1.4充分条件与必要条件 (x一2》x一3)=0+x-3一0，城是V的克分条样 第1课时爽分条件与业要桑杆 感不是必委条件 【必备知识·整理】 ()两个三角形相似◆得个三角形全羊，性两个三 [情境探究】 角形全等→两个之角形相奴，抗卢是厚的密受泰件，恒 提示如某有和尚加水上山，那么山置就有奇 不是充分喜件 [知说梳理】 《3)a>6 pace,具dr>-ka>6. 1.一÷充分必要充分必要充分 就卢既不是的克分备件，也不是日的必要泰样 必要 [针时国练2幻解：1)苏<b,莉台<0时，营> [科学思维] 一1答案：1)×(2)√(3)√40/(5)/ 1a6>0时.号<1，数a<6+号<1，当>0，>0 3A解断：只有>4>3，其他速项均不可单 亏时，可以推由<：贵<0，b<0,若<1时，可 出x3 4充分不必◆各外解桥1受P1n=2,g,A∩B 以根出>b,故受☑阳<，网比户是日的民不元分 }:当A门B=(42时，称m4,解样两四士2，岸号：w= 也不必象各件。 士2，所以*程，任，所以“m-2”是“A门B-(4” (2)W为r一1+(y-2)=0◆r=】且y=2 的老会不动要条外 (z-13-2)-Q.(-1)(y-2)-0(.x-1)+ 二，提示等价， (y一2=0，所试单是g岭先分不必黄备件 探究三由充分条件、必要条件求参数 [典例精析] x十2 我例】解：(D不等-4<0(r+红 60<0,城A=x-2<x<6, 关于±的不￥式王2-2女+1一w<0曰(x十规 1Dm-1)<0.由千w>0, 故君■xI一m<家十m. (2)感①充舟不受春件 1)为A=|-2<6:B=r1一m 1十w, 因为暑士∈A是工∈B点立的克分不必夹条排， 所双果合A是桌合B的真+第， a2 〔￥号不网时成立1，航将规5， 所我实餐四的取任范得为两35， 选②必要不充舟泰件 南(1)为A■-2<<6)，B■x|1一mCx< 得为著x∈A是x∈B成是的必要不克分豪样， 所环果合B是暴合A的真辛集 所以，解样m63,又期为m>0,登 0<知3， 所缓务数细的致值范库为0小m3 [针对谓线3]解：1)喜w一2时，A=(x一1< A几B=(x-Ir<2》.AUB=(zlx5,k r>6J. (2),P是冒的充分不必要秦件，A是B怜真 于集： ·用十2成两一36，解得用一1成w9, 收尖载裤的取值范国是m写一1我m县 【随拿演练·达标】 1AC解析：r>,5→r3,14,>4◆x≥ 31L士>3.14成也的一个花务条外是士>a.5或 x>4,状塔C 工目解析：图为集合A=士1013》：集合B rx可3》：解出“用EA"得不胡“得EB”+减式出 “mEB“可得到m∈A”,故路县 3A解析：当g=1时，a=1成立，但=1 时，“■士1，所这■=1不一定成立 故“：“”是“一1”岭元分条样 4A解桥：试封请的意品中，”好人”→“有好报 所以“蜡人”是“有针龈”的无分条件蚊速A 三答案：充分