1.2 集合间的基本关系-【志鸿优化训练】2025-2026学年高中数学必修第一册(人教A版)

数学必修第一册人教A版 1.2 集合间的基本关系 学业目标 ·定位 课标要求 学习目标 1.能利用集合间的包含关系解决两个集合间的 1.理解集合之间包含与相等的含义，能识别给定集合的子集、 问题 真子集。 2.在解决集合问题时，易漏集合的特殊形式，比 2.理解与掌握空集的含义，在解题中把握空集与非空集合、任 如集合是空集时参数所具备的意义， 意集合的关系 3.能利用Venn图表达集合间的关系. 4.判断集合之间的关系时，要从元素人手 必备知识 梳理 答案见P3351 ©情境探究 集，记为 实数有相等、大小关系，如5=5,5<7,5> (2)规定： 是任何集合的子集。 3等等，类比实数之间的关系，你会想到集合之 4.集合间关系的性质 间有什么关系呢？ (1)任何一个集合都是它本身的子集，即A二A. (2)对于集合A,B,C ①若A二B,且B二C,则A二C: ②若AB,B军C,则AC. 回知识梳理 (3)若A三B,且A≠B,则AB. l.Venn图的优点及其表示 (1)优点：形象直观. 香科学思维 (2)表示：通常用 的 一、思考判断 代表集合 1.判断正误.（请在括号中打“√”或“×”） 2.子集、真子集、集合相等的相关概念 (1)空集中只有元素0，而无其他元素.() (2)任何一个集合都有子集.() B中的元素 A中元素 (3)若A=B,则A二B或B二A.() A与B Venn图： (A(B) 相等 (4)空集是任何集合的真子集.() A中的 符号表示：」 2.下列关系式不正确的是( 元素都 A是B的 Venn图： B④① 是B中 子集 的元素 符号表示： 或者 A.(1}二{1,2} B.{0}C{1,2 C.{2}二{1,2 D.1∈{1,2} A是B的 Venn图：(B④) 真子集 符号表示： 3.已知集合A={x∈Nx一4≤-1}，则集合 或者 A的真子集个数为( ) 3.空集 A.4 B.8 (1)定义：不含 元素的集合叫做空 C.15 D.16 6 。第一章集合与常用逻辑用语 4.(多选)下列关系中，正确的有() 2.怎样证明或判断两个集合相等？ A.1∈{(1,2)》 B.(1,2)∈{(1,2) C.0≤{(1,2)} D.1∈{1,2} 5.满足A二{1,2}的集合A的个数是 二、思维探究 1.(1)任意两个集合之间是否有包含关系？ (2)符合“∈”与“二”有什么区别？ 关键能力·探究 答案见P3351 探究一 集合关系的判断 (4)A={(x,y)lxy>0,B={(x,y)|x> 0,y>0或x<0,y<0}. 目知识深化 1.集合间的包含关系有：包含于（二），包含 (口)，真包含于()，真包含（吴）.使用这些 符号时要注意方向，如A二B与B一A是相 同的，但A二B与B二A是不同的 名师点拨 2.不能把“A三B”“A手B”简单地理解成“A是 判断集合间关系的常用方法 B中部分元素组成的集合”，当A=⑦时， (1)列举观察法 A二B,当A中含有B中的所有元素时， 当集合中元素较少时，可列出集合中的全 A≤B 部元素，通过定义得出集合之间的关系 (2)集合元素特征法 ⑦典例精析 首先确定集合的代表元素是什么，弄清集合 【典例1】指出下列各组集合之间的关系： 元素的特征，再利用集合元素的特征判断关系。 (1)A={x|-1<x<5},B={xl0x<5}: 一般地，设A={xp(x)},B={xq(x)}, (2)A=(xx=2n,nEZ),B=(xx=4n, ①若由p(x)可推出q(x),则A二B;②若由 n∈Z; q(x)可推出p(x),则B二A;③若p(x), q(x)可互相推出，则A=B;④若由p(x)推不 出q(x),由q(x)也推不出p(x),则集合A,B n∈Z: 无包含关系： 7。 数学必修第一册人教A版 [针对训练1]下列各式中，正确的个数是( 名师点拨 ①0={0}；②0二{0}：③0∈{0}；①0={0)： 求集合子集、真子集个数的三个步骤 ⑤0∈{0：⑥{1}∈{1,2,3}：⑦{1,2}二{1,2， 3};⑧{a,b三{b,a. 判断 根据子集、真子集的概念判断出集合中 含有元素的可能情况 A.1 B.2 C.3 D.4 分类根据集合中元素的多少进行分类 探究二 有限集合的子集问题 列举→采用列举法逐一写出每种情况的子集 自知识深化 [针对训练2]已知集合A=a∈N9∈N, 有限集合的子集、真子集、非空真子集的个数 B={2,3},集合C满足B二C二A,则所有满足 有限集合A={a1,a2,…,am}的子集有2"个； 条件的集合C的个数为() A.3 B.4 真子集有(2"一1)个，非空子集有(2"一1)个：非 C.5 D.6 空真子集有(2一2)个. 参数问题 @典例精析 探究三 【典例2】已知集合M={x∈N|x<2},N= 鲁知识深化 {x∈Z-2<x<2}. 1.求解此类问题通常是借助于数轴，利用数轴 (1)写出集合M的子集、真子集： 分析法，将各个集合在数轴上表示出来，以形 (2)求集合N的子集数、真子集数和非空真 定数，同时还要注意验证端点值，做到准确无 子集数； 误，一般含“=”用实心点表示，不含“=”用空 (3)猜想：含n个元素的集合{a1,a2,…, 心点表示 am}的所有子集的个数是多少？真子集的 2.涉及“A二B”或“A手B,且B≠☑”的问题， 个数及非空真子集的个数呢？ 一定要分A=⑦和A≠⑦两种情况进行讨 论，其中A=☑的情况容易被忽略，应引起足 够的重视。 @典例精析 【典例3】已知集合A=1},B={x|x2-3x+ a=0}.是否存在实数a,使得A三B?若存 在，求a的值：若不存在，说明理由. ●8 。第一章集合与常用逻辑用语 名师点拨 微探究忽视“空集”的存在 由集合间的关系求参数问题的注意点及 常用方法 【典例4】已知集合A={-1,1},B={xax十 (1)注意点：①不能忽视集合为空集的情 1=0},若B二A,则实数a的所有可能取值 形；②当集合中含有字母参数时，一般需要分 的集合为( 类讨论 A.{-1} B.{1) (2)常用方法：对于用不等式给出的集合， C.{-1,1} D.{-1,0,1} 利用数轴分析法，将各个集合在数轴上表示出 方法点拔 来，以形定数，还要注意验证端点值，做到准确 已知两个集合之间的关系求参数时，要根 无误 据集合间的关系来确定元素之间的关系，需关 [针对训练3]已知集合A={x|4一2k<x< 注子集是否为空集 2k-8},B={x|-k<x<k. 一般地，当集合为有限集时，往往通过列 (1)若A二B,求实数k的取值范围； 方程或方程组来处理，此时需注意集合中元素 (2)若B至A,求实数k的取值范围. 的互异性；当集合为连续型无限集时，往往借 助数轴列不等式或不等式组来求解，要注意运 用分类讨论、数形结合等思想方法，尤其需注 意端点值能否取到， 随堂演练·达标 答案见P3361 1.已知集合A={y|y=|x|-1,x∈R},B= 5.已知集合A={x|x<-1,或x>2},B={x {xx≥2}，则下列结论中正确的是( |4x十a<0},当B二A时，求实数a的取值 A.-3∈A B.3B 范围。 C.BCA D.ACB 2.若集合A={-1,2},B={xx2+ax+b 0},且A=B,则有() A.a=1,b=-2 B.a=2,b=2 C.a=-1,b=-2 D.a=-1,b=2 3.集合{a,b}的子集有() A.1个B.2个 C.3个 D.4个 4.已知集合A={-1,3,m},集合B={3,4}, 若B二A,则实数m= 9。1,2焦合间的基本关系 【必备知识·植旺】 情境深究] 提深相等、包含，不包舍 [如识魔理】 L(2)平面上封闭角线肉部 2.都是A-BA二BB2AA≠BAB B2A 3,(1)任有②〔2)空果 和见堆】 =,1,(1》X(2/.(3/4)× 2.B解析：，0屉1,2,01二1,2不正境1根 据于氧的规必可物A,C正璃：D星感正确： 3C解析：网为x一G一1，解得x3,阶以A= (z∈Nr-4-1}-xENx3}-0,1,2,3],即 集合A中合有4个元★，其鼻子集有2一1■15个， 4.CD解析：对A,1年1(1,2)，途预A幢误：对 B,(1,2)E日.2)》，竭项B正：对C,G(1,2)},选 项C连确1对D,1E1,2),域项D正确. 5.答案：4 解析：少A二(1：》，：装合A是集合(1：2}的于 集，黑合A的个数为必一4 二，1，提示(1)不一宽，如条合A■1,32，B■2： 引，这两个暴金龙爱有总常关系. (2)①°E“是表示元常与集合之闻的表原，比如 1eN,-14N. ②二是表示集合与集含之灯的天系，比如N日 R,1,2,3(3,2,1, ☒了∈竹龙设是无素，右造是集合，则“”竹两道 购为桌合 2.摄示(1》若ACB且BCA,期A一B,这就哈出 T证明两本集合和等的为法，中双适A■B,只需道 ACB与B二A均成文 (2)料脑两个集合相平，可起接两个原叫，①设两果 合A,日均为有很集，老两集合的元素个数相同，对应 元青分利相同，则两集合相平，即A一B:②设两集合 A,B均是无限集，只需看两集合的代表元意闻是的条 件是否一我，若一数，用两装合相零，即A一B. 【关键能力·探究】 探乳一合关系的判图 [典例精析] [颜例门分析《1)中桌合表币不举或，可以根据范国 直提刺斯，也可以刺网数仙料斯：(2)根%果合A币数果的 意义连行判断：(3》解集令中为框材到基合A,再机据集 合B中行分科为奇数，高数得桑合8，逢行料新：()可 以革据集合中无本的种任或者果金的元何意夏料能， 解：(》方一集台中的元素都在集合A中 集◆C就为：2.3,2,3.4}，2,3,7,2,3 包氧合A中有参本（比如0，一.5）不在桌B中， 4,7》,果合C的个数是《 故BA. 探究三参数问题 方涤二利层数轴表币是合A,B,如图所兼，南图 [鼻例精析] 可知B可A [典例3】解：因为AB,A={1,B=x{x ✉B 3x十g-0川， 所以1是a-8:+u=0的根，期1一3×1十0= -10 0,解得g=2, (2》:集合A是得复集，集今B是4的待数集 壶a一2时，B=1.2),并合AB, BA. t移在u一2，使将A乐B. (3A■xx3一x=01=01,在集合B中，n [针对事擦3]解：(1)国为A二B, 为有数时，2一中严一，年0为锅数防，正 ①台A一团时，4一2以2必一8，有3持合避墙： 4一2站28， 1y-1B-0,1A- 2 ②当A时，染一8， 34 (40为法一由30得I>0,y>0发<0，y 4一2业3-k. 0:由x0,y0点x0y<0年y0从而A=B 综上所越：4 方法二集合A中的无青是平而真角业禁系中第 (2)国为BA, 一，三象限内的成时庭的坐标：集合出中的元素包是平 ①当H=项时，A≠万： 面直年坐禁原中第一，工象限内的高对盈的皇补，从而 A-B. …4- [针对铜蓝1]D解析：⑦表币堂集，爱有元素， 有一个光本，剩必≠0小，故①层民：堂桌灵任何鼻命 ②B≠灯时，业一8，或k2头一8， 的子集，故②正桶：②和0}年表币集台，故图修误：0表 一>4一2 -k24-2达 承元素，0)表示集合，故④错误：0∈{0，处回正确： 8>8，8， 1},1,2,3)都表示果分，数公特证：1，中的元素标 球上斯逃，8， 是1,2,3}中的元老，故0更确：★于桑合的无★具有无 微探究忽提空黄”的有在 序性，故a,后6，这}，故⑧正确.算上，至精片个数是 [贵例)铅解：周为BCA,后B-上一 4个 限究二有服集合的子衡问是 国克有一∈A,所4a一士，共进C 典例精桥) 错回分析：空集是一个种障西重要岭集合，它不合 [典例2]解：(1)由斯意可知M=0,1},所以其 任何无木，记为必在解余有空果参与的果合同通时 集为：@，01,1》，0.1.真于集为01+1).② 根易些视空集的种体性后导发辑解，本倒桌解过程中有 (2)南道塘可知N=一1,0,1}， 阶说其于集为：0，（一1，(0,1}，{0,1，{一1， 00,一1,1，-10,11头2-8个， 三是起视了BA时，B可以为立集.本笑上a=0时 4子集净：必，-1,01：7：(，10：（一1.0女 方程无解 1-1,1,共-1=7个 正解：器为B三A,斯以每B≠必，中a≠0的，B时 章堂真于桌为：(-11,0).10.0,12，（一1,0 一1,11，2-2m6个： (3》W(1D,2)可择想含有n个元素的集合果于集 当B一②，即g一0时离风秦件， 个量为四个，真子纂个为四一1个，空真于集个量 幢上可得实数4的所有可案卓复的集命是一1， 为2”一2个 0,1.域选h [针对国练]书新析：A=EN。马∈剂- 【随堂清练·达标】 L,C解析：集A■yy一1，日=x1r 2.3,4,7},B-2.31,8二C二A,所以集合C为包 2引，所xB二A 舍无素2和3：且为A的于果. 2.C解析：由A一出加一12灵方程x++ 6=0的两原， 玉D解析当于集不合元素时，即为②：当子集中 含有一个元素时，其于为{]，)：者于条中含有两 个元本时，异半集力，b},所这半集有4个. 4.4制析：三AA=一1,3m}, 四=4 5解：，A=上l<一1，或x>2): B-z+a<-z上<-}.且BCA: 4-6-1,脚a34 ,实数红的取生克国是{@a4. 13集合的基本运算 第1课时并集与交集 【必备如识·硫理】 [情境探究] 摄示1)MCS,FCS,M门F-②，MU下-5 (2}一文有x∈F [知铝镜理] 1,属于集合A我属于集合B AUB (rla∈A, 政z长B 2属于集合A且属于集合B,A∩Bxx∈A, 且xEBI 美AAAE [科学思推] -,1.《1)×(20×(3)×〔4/ aD解析：M机UN-0,1,2U2,1-0,12,. 玉ABD解析：A门B-0,1,AnB的半集为， 0,(1.f0,1,故选ABn. 未A解斯：羽为集合A-0,1,2,,B-xEZx 2图，所xAUB一N 三D解析：B■01,2,3引，A∩B■01.a, 6B解折：周为A|一1x1),B-a06x6 2,所xAUB=x}一1x2. 工若案x1 解折：网为集合A=xr>1,B一zc2,喻试A门 -tl>nukz2)-bk 发答案 解断：周为A=12,B=2a{,度AUB=123,网 da-3 二L慢示氯会递果中的“且”与生活用语中的此竹常 夏相同，均表网时“的含又，中x长A,且x∈B”表示元考 x萬于集合A,同时属于桑台品 工司示并果规念中岭减"与生活用语中岭我的舍又 是不同的，生需丽语中的发是“光气被“风取其一，并不