1.1 集合的概念-【志鸿优化训练】2025-2026学年高中数学必修第一册(人教A版)

答策 第一章集合与常用退排用语 1,1集合的摄念 【必备短识·梳建】 〔物境探究] 提辰构成，开台果女的领金 勿识镜理】 L.(1研究对象小写拉字母￥，6，e…《2) 体大拉丁字得A.B,C,m 2.确定性互异性无序性3.一样 4.金是集合A的元素aEA￥不是集合A中的 元家：延A 5.整数集实数是NN”残N,Q 6.一一列释共同特霍P(x)(x∈A1Px) [科学思推] -,1.1√(2)×(3)/4)/5 (6)×()/ 2,C制桥：A中难观标准不明情，不满是用定性 不能构点集合，B中“平面直年坐林系中第一豪限内的 一些点"”，元素不明用，故不德构成一个集合：C中的对 限每是确之的而亚是不同的，因丙魏构成集合：D中夫 子生标浪不明精，不调是确定性，故不能构成展专， 3C解析：因为A中會有3个元，即日，2一@ 4重不相等，佛速项中的数值代入脸任，加选C 4,A解斯：桌分A中有得个元言0和2，前x0氏人 5.答案：11,13,17,1 解斯：10到20之间的嘴数是11,13,17,19，所议恒 点的案合为(11.13.17.19， 6,答案：一1,1,3.5] 解断：果合中的元本满尾工-2w一5，m∈N”,m 5,利满是各件的上的值为=1时，士一一1出一2时， x=1m=3.时，工=3：m■4时，2=五，时集含为{一1 1,8.51. 二，L.阁示N,《N“》是所有正整数组成的集合，而 N是由0和所有的正整最雄成的果合，所以N北 N,N”)多一个元者0 二提示不究，（江，y)表乐集合的元素是有序美数 对气成，而士或y则表市集令的无素是数，所双群搭连 法表币集命时一定要寿清集命的元有是什 【关键能力·探究】 保究一集合的基木概念 [典例精析] [制例1门D解析：越项A中的对象设有一个 明确时判定款准，而选项B,CD中的对章年有一个明 与解析 对于D,由1EA,2EA,希x=1,y=2,时+一y■ 一1延A,故D情误 t选ABC 确岭料定标准，所以透渠我，C,D中的时象可议组成集 探究三列举法 命，故选D [典例精析] [针对训练1】C解析：①美雷龄有的好零校不具 [鼻例4】答案：一2.0,2 有魂发性，不酰如成黑合：②直角生标系中懒坐标与城 实标至为相反量的，可试红成象合：③π的近银值不 具有确定丝，不轮组成桑合：④小于5的自然数有0,1， 2,3,4,能丝点集合，④特合备外，故选二 --1+1-0 视究二元素与集合的关系 [亮例精析) [典例】BD解析：易如k■0→x■一1◆一1E A,k=1ox-2→2∈A,k=-11→x=-34→34E 多>05>0时+-11-2 A,令3-1=-11-= 10 E乙，身B,CD正确，A 所以用刊举操可表市为一2,0,25 t答室为，(-1,0,2 情风，故动联五 [针对炼4门答案：（一1,0,1,4 [典例3们AC解析：南理知：美合A为奇数某， 集合吕为第数条 解折：是他2∈N.附x十2可取18,6，又 所议+：为奇数，工为偶我 x∈Z.则本可取-1,0,1,4 所议和是★餐，是偶量1十是偶最， 批答常为，（一1,0,1,4 上：十：十表偶数 探究四精进法 即x1x∈A,xx1∈B.x1十1：EB,1十4十 【典例精析] x正A. [典例解由x+3(x一1)<x一3<5得 故滩AC. 2, [针对慎域2]AD解析：2=12>，√11，所议 A正确：自然数集是包套元素1的集合，因1∈N,所保 得十01-红∞得a 3 B得溪：氧设4E(zx=x+1,nEN”,剩4=2+1， 在数仙上表乐知下， 可得抛一士5，与m∈N“承雷，所有凰最不或立，4任杠 r-n+1,m∈N,所C错误，r,y》y-r十1) 中营有13).所有D正确.t选A山. 4寸之-11】3 [针对感3]AWC解折：时于A,氧灵一1EA, 所以解不泽式得上0,5，所以不等式的解桑为{： 0.5) [针对到练5们解：(1)观方准z一2一0的实数根为 令x=-1y-1,则上十y=0∈A. r.并风满风条件一2-0， 令x=1y=0,不有在5，即0，不盾， 用施速法表承为江∈R2一2=0). (2)观夫于10且小于20的夔餐为x,它满是备牛 一1安A,故A王确： x∈Z,且10<x2切， 对于B,片是，1EA,别1十1-2EA,2十1-8EA, 戴月情适法表录为{xEZ10<x0, ,202%6A,2027∈A, (3)二次品数)一一2图象上的所有的点用括速 爱A收B正 清表币旁ry)y-r一. 微限究利用元素与燕合的关系术参郑 对于CI∈AreA心A [典例]解：国为一3EA,所议g一2=一3或2： 七一8，将得a-一1发。-— 壶a=一1时，x一2==8.2+和==3，不满是 集命充素的正丹性，所以管舍但■一1， 1.解：有用制. @-212, 由元肃的至异性可得2a'+a≠12， a-2≠2a2+w u*14, 解保如意且a一 a≠一1， 所以实数出不能取矿个信：受一4。一士 玉解：希拔桑合中只有一个元★，期有一1一 2a+=12 的量一2=12，制件a=14,龙时2e2十5u=2× 1十5×14■42≠12所以请集合中不可能共含有 个光素， 【随魔演练·达标】 1,AD解析：根据集合的侧金，军为集合中元素 的喷定性，可得德项A,CD中的元★都是晚定的，械选 项AC.D煮种或桌合，每B速项中“比较高”的将准不 明确，不符命确定性，不能内点基命，壁选卫 AB解析：出2EA, 蒂8一2，则引a一2，不特合集合元素的至界性： 若年■2，则c■一2或42（舍}a一2m一4，此 时A一(2，一2，一4}琴合集台元素的特性 若￥一2-2，印u一4，则la|一4不科合墨合无★的 战选思 玉B仪D解析：A不三%，反制a-1N,上-一1E +解：由于A中元者是关于x的方框知一x十 2一0(k∈RU的解. 2 若一0，相工一行知A中夜有一个元素，林合通设： 老是0，明方径为一元二武方根 当4-9一融-0，-骨时：标-3r十2-0有 两个相￥的实数服，此时A中包有一个元常，除上两运 50成=号 支：公n将为 x=3, 3r+y=2 则播运法表帝性果合为任y2红-3y-25门 则列单法表章接案合为(《3，一)】.第一章 集合与常用逻辑用语 1.1集合的概念 学业目标·定位 课标要求 学习目标 1元素与集合：(1)理解元素与集合的概念，熟练常用数集的 概念及其记法：(2)了解“属于”关系的意义；(3)了解有限 1.通过集合语言的学习与运用，培养数学思维 集、无限集、空集的意义。 能力 2.集合的表示方法：掌握集合的常用表示方法（列举法、描述 2.通过实例能选择自然语言、图形语言、集合语 法)及相互转化， 言（列举法或描述法）来描述不同的具体问 3.元素的性质：理解集合元素的三个性质：确定性、无序性、互 题，感受集合语言的意义和作用。 异性 必备知识 梳理 答案见P3331 目情境探究 表示集合。 中国共产党第二十届中央委员会第三次全体会 2.集合中元素的特性： 议，于2024年7月15至17日在北京召开. 和 探究：参加二十届三中全会的代表能否构成一 3.集合的相等：只要构成两个集合的元素是 个集合？ 的，我们就称这两个集合是相等的. 4.元素与集合的关系 关系 概念 记法 读法 如果 “a属 属于 就说a属于A 于A” 如果 “a不 不属于引 就说a不属于A 属于A” 国知识梳理 5.常用的数集及符号表示 1.元素与集合的概念与表示 (1)元素：一般地，我们把 统称 常用的 自然 正整 有理 为元素，通常用 表 数集 数集 数集 数集 示集合中的元素。 记法 Z R (2)集合：把一些元素组成的 叫做集 合（简称为集），通常用 1。 数学必修第-一册人教A版 6.集合的表示方法 2.下列对象能构成集合的是()》 (1)自然语言法：用文字叙述的形式描述集合 A.今年高考数学试卷中所有的难题 的方法。 B.平面直角坐标系中第一象限内的一些点 (2)列举法：把集合的所有元素 出 C.今年北京大学的所有应届毕业生 来，并用花括号“{”括起来表示集合的方法 D,杭州某校高一年级的尖子生 (3)描述法：一般地，设A表示一个集合，把 3.由a2,2-a,4组成一个集合A,A中含有3 集合A中所有具有 的元素 个元素，则实数a的取值可以是( x所组成的集合表示为 ,这 A.1 B.-2 C.6 D.2 种表示集合的方法称为描述法. 4.已知集合A={x|x(x一2)=0}，下列正确 ©科学思维 的是( A.0∈A B.2在A 一、思考判断 1.判断正误.（请在括号中打“/”或“×”） C.-1∈A D.0在A (1)平面上到点O的距离等于1的点的全体 5.由10到20之间的质数组成的集合为 可以组成一个集合.() 6.集合{x|x=2m-3,m∈N",m<5}用列举 (2)人教A版高中数学必修第一册课本上所 法表示为 有的难题能够组成一个集合.( 二、思维探究 1.N与N+(N)有何区别？ (3)分别由元素0,1,2和2,0,1组成的两个 集合是同一个集合.() (4)方程(x一1)(x+2)=0的实数根组成的 集合是{-2,1}.() 2.{(x,y)y=x2+2}能否写成{x|y=x2+2} (5)由直线y=2x十4上的横坐标和纵坐标 都是自然数的点组成的集合是{(x,y)|y 或{y|y=x2+2}呢？为什么？ 2x+4,x∈N).( (6)集合{x|3<x<8}是有限集.() (7)集合A={x|x2-1=0}与集合B= {一1,1}表示同一个集合.( 关键能力 ·探究 答案见P3331 探究一 集合的基本概念 续表 特性 意义 作用 鲁知识深化 集合中的元素必须是不同的， 用来求集合中 集合中元素的三个特征 互异性 即对于一个给定的集合，它的 元素的参数 任何两个元素都是不同的 特性 意义 作用 集合中的元素是确定的，即判断涉及的 在同一集合中，通常不考虑 判断两个集 无序性 确定性 任何一个对象是或不是某个 总体是否构 元素的排列顺序 合的关系 集合的元素，两者必居其一 成集合 2 。第一章集合与常用逻辑用语 @典例精析 m∈Z},B={x|x=2n,n∈Z},且x1, 【典例1】（多选）下列对象中能组成集合的有 x2∈A,x3∈B,则下列判断正确的有() A.x1x2∈A A.著名的科学家 B.x2x3∈B B.中国的直辖市 C.x1+x2∈B C.所有的偶数 D.x1十x2十x3∈A D.所有的直角三角形 名师点拨 名师点拨 判断元素和集合关系的两种方法 判断一组对象能否组成集合的标准 1.直接法：如果集合中的元素是直接给出 判断一组对象能否组成集合，关键看该 的，那么只要判断该元素在已知集合中是否出 组对象是否满足确定性，如果此组对象满足 现即可 确定性，就可以组成集合；否则，不能组成集 2.推理法：对于一些没有直接表示的集 合，同时还要注意集合中元素的互异性、无 合，只要判断该元素是否满足集合中元素所具 序性 有的特征即可，此时应首先明确已知集合中的 元素具有什么特征， [针对训练1]下列对象中能组成集合的是： ①某省所有的好学校；②直角坐标系中横坐标 [针对训练2]（多选)下列关系中正确的有 与纵坐标互为相反数的点；③π的近似值；④小 于5的自然数.( A.23t{x|x<V11} A.①② B.②③ B.14N C.②④ D.③④ C.4∈{x|x=n2+1,n∈N"} D.(1,3)∈{(x,y)|y=2x+1} 探究三 元素与集合的关系 [针对训练3]（多选）非空集合A具有如下性 自知识深化 质：①若x,y∈A,则三∈A;②若x,y∈A,则 元素和集合之间的关系 x十y∈A下列判断中，正确的有( (1)根据集合中元素的确定性可知，对任何a A.-1A 和A,在a∈A和a￠A两种情况中有且只有 一种成立 B号029cA (2)符号“∈”和“￠”只能用于元素与集合之间， C.若x,y∈A,则xy∈A 并且这两个符号的左边是元素，右边是集合，具 D.若x,y∈A,则x-y∈A 有方向性，左右两边不能互换 探究三列举法 变典例精析 【典例2】（多选）已知集合A={xx=3k一1，k 自知识深化 ∈Z分，则下列表示正确的有() 用列举法表示推理集合应注意以下几点 A.-1A B.-11A (1)元素间用分隔号“，”； C.2∈A D.-34∈A (2)元素不重复； 【典例3】（多选）已知集合A={xx=2m-1, (3)元素无顺序； 3。 数学必修第-一册人教A版 (4)元素不能遗漏； 方法总结 (5)若集合中的元素较多或无限，但出现一定的 描述法表示集合的两个步骤 规律性，在不发生误解的情况下，也可以用列举 法表示，如正整数集可表示为{1,2,3,4，…》. 写代表元素 :分清楚集合中的元素是点还是数 或是其他的元素 @典例精析 明确元素的 将集合中元素所其有的公共特征】 【典例4】若a,b,x∈R,且a,b≠0，集合B= 特征 写在竖线的后面 则用列举法可表示为 [针对训练5]试用描述法表示下列集合， (1)方程x2一2=0的所有实数根组成的集合； (2)由大于10且小于20的所有整数组成的集合： 名师点拨 (3)二次函数y=x2一2图象上的所有点组成 用列举法表示集合的三个步骤 的集合 1.求出集合的元素； 2.把元素一一列举出来，且相同元素只能 列举一次； 3.用花括号括起来 [针对训练4]设集合A=女∈乙z2∈N, 则用列举法表示集合A为 探究四描述法 自知识深化 用描述法表示集合时应注意以下几点 (1)写清楚该集合中元素的代号（字母或用字母 微探究利用元素与集合的关系求参数 表示的元素符号)： (2)说明该集合中元素的性质； 【典例6】已知集合A含有三个元素a一2， (3)所有描述的内容都可写在集合符号内： 2a2+5a,12,且-3∈A,求a的值. (4)用于描述条件的语句力求简明、准确。 @典例精析 x+3(x-1)<5, 【典例5】解不等式组 x+1 并把解 3≥x 集在数轴上表示出来. 4 。第一章集合与常用逻辑用语 1.(变设问)本例集合A中含有三个元素，实数！2.（变设问）本例集合A中能否只有一个元素？ a的取值是否有限制？ 方法总结 根据集合中元素的特性求参数取值的三 个步骤 求解力 根据集合中元素的确定性，解出参数 的所有取值 检验尔 根据集合中元素的互异性，对解出的 值进行检验 作答☑尔写出所有符合题意的参数的取值 随堂演练·达标 答案见P3341 1.(多选)下列各组对象能构成集合的有( 3x+y=2, 5.分别用列举法、描述法表示方程组 A.拥有手机的人 x-3w=27的 B.2025年高一年级比较高的学生 解集 C.所有有理数 D.小于π的正整数 2.已知集合A={a,al,a一2}，若2∈A,则实 数a的值为() A.2 B.-2 C.2或-2D.4 3.(多选)下列结论中，正确的有() A若a∈N,则后EN B.若a∈Z,则a2∈Z C.若a∈Q,则|a|∈Q D.若a∈R,则a∈R 4.关于x的方程kx2一3x十2=0的解构成集 合A,其中k∈R,若A中仅有一个元素，求k 的值 5