6.4 用样本估计总体的数字特征(课时训练)-【志鸿优化训练】2026-2027学年高中数学必修第一册(北师大版)

班级 姓名 第六章 06 §4用样本估计总体的数字特征 4.1样本的数字特征4.2分层随机抽样的均值与方差4.3 百分位数 A级|必备知识基础练 组距 6a 1.(探究，点一)小霞在学校的“经典诗词朗诵” 大赛中，5位评委给她的分数分别是：93,93， 95,96,92,则小霞得分的中位数与平均数分 2a 别是( 5060708090100评分 A.93,93 B.93,93.8 A.a=0.05 C.93.5,93.5 D.94,93.8 B.评分的众数约为70 2.(探究点二)某射手在一次训练中五次射击 C.评分的第25百分位数约为67.5 的成绩分别为9.4,9.4,9.4,9.6,9.7，则该 射手成绩的方差是( ) D.评分的平均数约为76 6.(探究点三)数据18,26,27,28,30,32,34,40 A.0.127 B.0.016 的75%分位数为 C.0.08 D.0.216 7.(探究点二)若一组数据x1,x2,…,xm的方 3.(探究点一)某商场一天中售出某品牌运动 鞋13双，其中各种尺码鞋的销量如下表所 差为9，则数据3x1,3x2,…,3xm的方差为 ,标准差为 示，则这13双鞋的尺码组成的一组数据中， 众数和中位数分别为( ) 8.(探究，点一、二)某城区举行知识演讲比赛， 中学组根据初赛成绩在高一、高二年级中分 鞋的尺码/cm 23.5 24 24.525 26 别选出10名同学参加决赛，这些选手的决赛 销售量/双 1 2 2 5 3 成绩如图所示 A.25 cm,25 cm B.24.5cm,25cm 成绩分 C.26 cm,25 cm D.25cm,24.5cm 100 。高一年级 4.(探究点一、二)一组数据中的每一个数据都 95 +高二年级 90 减去80，得到一组新数据，若求得新数据的 85 平均数是1.2，方差是4.4，则原来数据的平 均数和方差分别是( 75 A.81.2,4.4 B.78.8,4.4 245678910选手编号 C.81.2,84.4 D.78.8,75.6 数字特征 众数 极差 平均数方差 5.(探究点一、三)(2025湖北武汉二模)某批产 高一年级 a 22 39.6 品检验后的评分，由统计结果制成如图所示 的频率分布直方图，下列说法中正确的是 高二年级 d 85.7 27.8 (1)求出表格中a,b,c,d的值； 297 (2)考虑平均数与方差，你认为哪个年级的 B级丨关键能力提升练 团体成绩更好些？ 9.数据3.2,3.4,3.8,4.2,4.3,4.5，x,6.6的 65%分位数是4.5，则实数x的取值范围是 () A.[4.5,+∞) B.[4.5,6.6) C.(4.5,十∞) D.(4.5,6.6] 10.(多选题)(2025广西软州高一期末)已知一 组数据x1,x2,…,x的极差为m,平均数 为a,方差为b,另外一组数据ax1十b, ax2十b,…,ax。十b的极差为9，平均数为 11,方差为13，则( A.am=9 B.a2+b=11 C.a2b+b=13 D.|a2-b|=69 11.(多选题)气象意义上从春季进入夏季的标 志为“连续5天每天日平均温度不低于 22℃”.甲、乙、丙三地连续5天日平均温度 的记录数据（数据都是正整数，单位：℃）满 足以下条件 甲地：5个数据的中位数是24，众数是22： 乙地：5个数据的中位数是27，平均数是24： 丙地：5个数据中有1个是32，平均数是 26,方差是10.2. 则下列说法正确的是( A.进入夏季的地区至少有2个 B.丙地区肯定进人了夏季 C.乙地区肯定进人了夏季 D.不能肯定甲地区进入夏季 12.高三(1)班4名体育生的测试成绩分别为 82,81,79,78,高三(2)班6名体育生的测试 成绩分别为70,76,77,74,78,75，则这10 名体育生的平均分与方差分别为 298 13.某校在统计一班级50名学生的数学考试成 C级|学科素养创新练」 绩时，将两名学生的成绩统计错了，一个将 14.某市为了制定合理的节水方案，对居民用 115分统计为95分，1个将65分统计为 水情况进行了调查.通过抽样，获得了某年 85分，若根据统计的数据得出平均分为 100户居民每人的月均用水量（单位：吨）. 90分，标准差为5分，则该50名学生实际 将数据按照[0,0.5)，[0.5,1)，，[4,4.5] 成绩的平均分及标准差分别为多少？ 分成9组，制成了如图所示的频率分布直 方图 +频率 组距 0.50 0.42 0.16 0.08 00.511.522.533.544.5月均用水量/吨 (1)求图中a的值： (2)用每组区间的中点作为每组用水量的 平均值，这9组居民每人的月均用水量 前四组的方差都为0.3，后5组的方差 都为0.4，求这100户居民月均用水量 的方差 -2995.ABC样本中女生人数为9十24十15十9十3=60，男生 人数为100一60=40，A正确： 样本中A层人数为9十40×10%=13，B层人数为24十 40×30%=36,C层人数为15十40×25%=25，D层人数为9十 40×20%=17,E层人数为3+40×15%=9，故B正确： 样本中E层男生人数为40×15%=6，C正确： 样本中D层男生人数为40×20%=8，女生人数为9，D错误 故选ADC 6.解(1)图为(0.0024+0.0036+a+0.0044+0.0024+ 0.0012)×50=1,所以a=0.0060. (2)根据频率分布直方图可知，“用电量大于250kW·h”的 频率为(0.0024+0.0012)×50=0.18，所以用电量大于 250kW·h的户数为100×0.18=18. (3)因为前三组的频率之和为(0.0024十0.0036十 0.0060)×50=0.6<0.8,前四组的频率之和为(0.0024十 0.0036+0.0060+0.0044)×50=0.82>0.8, 所以频率为0,8时对应的数据在第四组，所以第一档用电 标准为200+0885×50≈245.5(kW·b. 0.22 故第一档用电标准为245.5kW·h §4用样本估计总体的数字特征 4.1样本的数字特征4.2分层随机 抽样的均值与方差4.3百分位数 1.B 2.B7=号×(9.4+9.4什9.4+9.6+9.7)=9.5， ∴2=号×[(9.4-9.5)+(9.4-9.5)+(9.4-9.5》+ (9.6-9.5)2+(9.7-9.5)2]=0.016. 3.A易知众数为25cm.因为共有13个数据，所以中位数 应为第7个数据，而尺码为23.5cm到24.5cm的共有5个数 据，且尺码为25cm的有5个数据，因此第7个数据一定是 25cm,即中位数为25cm 4.A原数据的平均数应为1.2十80=81.2，原数据的方差 与新数据的方差相同，即为44 5.C由题意10(2a十3a十4a+5a+6a)=1,解得a= 0.005,故A错误：所以平均数的为0.1×55+0.15×95+0.2× 65+0.3X75+0.25×85=76.5,枚D错误：众数约为70,80- 2 75,故B错误，因为0.1十0.2=0.3，第25百分位数约为60十 10×是-675，故C正确.故选C 6.33该组数据一共有8个，8×75%=6，故该数据的 4 75%分住数第6,7个数的平均数，即32牛34=33。 2 7.819数据3x1,3x2,,3x。的方差为32X9=81,标 淮差为√81=9. 8.解(1)高一年级的成绩为80,87,89,80,88,99,80,77， 91,86;高二年级的成绩为85,97,85,87,85,88,77,87,78,88 由此可知高一年级成绩的众数是a=80,平均数b=85十 ×(-5+2+4-5+3+14-5-8+6+1D=5,71 高二年级成绩的众数是c=85,极差是d=20. (2)国为两个年级的得分的平均数相同，高二年级成绩的方 差小，说明高二年级的成绩偏离平均数的程度小，所以高二年级 的团体成绩更好些 9.A依题意可知，题设除x外的另外七个数中，按从小到 大捧列，第五个数为4.3，第六个数为4.5，由于8×65%=5.2， 65%分位数是4.5，故应有5个数不大于4.5，同时至少有2个 数不小于45，故x的取值范围是[4.5，十∞)，枚选A 10.BD假设x最小，xm最大，则x一x=m,若a<0, 则另外一组数据ax。十b最小，ax1十b最大，此时极差为 (ax1十b)-(ar,十b)=a(x1一x。)=一am=9,故A错误：易 a2+b=11, 得 所以|a°-b|=√(a+b)-4ab=√69，故 ab=13, B,D正确，C错误.故选BD 11.AB甲地：5个数据由小到大排，则22,22,24，a,b,其 中24<a<b,满是进入夏季的标志：乙地：将5个数据由小到大 排，别a,b,27,c,d,其中a≤b≤27≤c≤d, 别27+c十d≥81，而a十b十27十c十d=5×24=120,故 a十b≤39，其中至少有一个小于22，故不满足一定进入夏季的 标志：丙地：设5个数据为a,b,c,d,32,且a,b,c,d∈Z, 由方差公式可知(a-26)2+(b-26)2+(c-26)2+ (d-26)2+(32-26)2=10.2×5=51, 别(a-26)2+(6-26)2+(c-26)3+(d-26)2=15=9+ 4+1十1，不坊设a-26|=3,1b-26=2,|c一261= d-26=1,则a,b,c,d均大于22，满足进入夏季标准. 综上，故选AB 12.77385 72 由题意知石，=82+81+79+78=80. 4 云=言×(70+76+7+74+78+75)=75，这10名体 育生的平均成续为云一高×80+哥×75-7。 “号=4[(82-80)2+(81-802+(79-802+(78 80门-号好-合[0-75)+(76-752+(7-75+ 5 （4-75+08-75>+(5-5门-婴这10名体有生的方 差为-[+0-m例]+号×[9+(5-m]-器 13.解设没统计错的数摄为工1，x2,…,x8,统计错的两个 咸绩为xg=95,x0=85,实际成绩为x1,x2,…,x4,1m=115, =65,则动红1十十十a十95+85)=90，所以动（红1十 玉十…十a）=90-8所以云-动十++红十o十 a）)-动十+…+)+动×115+5)=90-9+ 5 8-90由-动[x:-90+…+a-90)2+(95- 90)2+(85-90yr],-0[,-90)2+…+(u-90)P+ (115-90)2+(65-90)],得--0×(25+252-5- 5)-动×1200-24，所以-+24-5+24-49，所以与 7,即该50名学生实际成绩的平均分为90分，标准差为7分， 14.解(1)由频率分布克方图可知，月均用水量在[0,0.5) 内的频率为0.08×0.5=0.04，同理，在[0.5,1)，[1.5,2)，[2， 2.5),[3,3.5),[3.5,4),[4,4,5]内的频率分别为0.08,0.21， 0.25,0.06,0.04,0.02.由1-(0.04+0.08+0.21十0.25+ 0.06+0.04十0.02)=2a×0.5,解得a=0.30. (2)由题意可知，这九组月均用水量的平均数依次是工1 0.25,z1=0.75,工1=1.25，z4=1.75,x6=2.25,x6=2.75, z7=3.25,x8=3.75,正g=4.25, 则这100户居民的月均用水量为x=0.04×0.25十0.08× 0.75+0.15×1.25+0.21×1.75+0.25×2.25+0.15×2.75+ 0.06×3.25+0.0m×3.75+0.02×4.25=2.03, 故这100户居民月均用水量的方差为s=0.04×[0.3十 (0.25-2.03)2]+0.08×[0.3+(0.75-2.03)2]+0.15× [0.3+(1.25-2.03)2]+0.21×[0.3+(1.75-2.03)2]+ 0.25×[0.4+(2.25-2.03)2]+0.15×[0.4+(2.75-203)2]+ 0.06×[0.4+(3.25-2.03)]+0.04×[0.4+(3.75-203)2J+ 0.02×[0.4+(4.25-2.03)2]=1.1136. 第七章概率 §1随机现象与随机事件 1.1随机现象1.2样本空间 1.3随机事件1.4随机事件的运算 1.D随机试验的样本空间为2=(0,1,2}，则事件P 4 1,2}是随机事件，故A正确：事件Q={0,1,2)是必然事件，故 B正确；事件M=(一1，一2}是不可能事件，故C正确：事件 {一1,0}是不可能事件，故D错误.故选D. 2.C 3.B依次投辉两枚骰子，所得点数之和记为X,那么X= 4表示的随机试险的样本点是“第一枚是3点，第二枚是1点” 或“第一枚是1点，第二枚是3点”或“两枚都是2点”.故选B 4.A 5.21X=8表示的试验结果有：(1,2,8)，(1,3,8)，(1,4， 8),(15,8),(1,6,8),(1,7,8),(2,3,8),(2,4,8),(2,5,8),(2, 6,8),(2,7,8),(3,4,8),(3,5,8),(3,6,8),(3,7,8),(4,5,8), (4,6,8),(4,7,8),(5,6,8),(5,7,8),(6,7,8),共21种 6.①②⑤A为（三件产品全不是次品}，指的是三件产品 都是正品，B为《三件产品全是次品}，C为{三件产品不全是次 品}，它包括一件次品，两件次品，三件全是正品三个事件，由此 知：A与B是互斥事件，但不对立A与C是包含关系，不是互 斥事件，更不是对立事件：B与C是互斥事件，色是对立事件 所以正确结论的序号为①②⑤， 7.解(1)是互斥事件，不是对立事件.理由是： 从40张扑克掉中任意抽取1张，“抽出红桃”和“抽出黑桃” 是不可能同时发生的，所以是互斥事件.同时，也不能保证其中 必有一个发生，这是由于还可能抽出“方块”或者“梅花”，因此二 者不是对立事件 (2)不是互斥事件，当然也不可能是对立事件.理由是：从 40张补克牌中任意抽取1张，“构出牌的点数为5的倍数”与 “抽出牌的点数大于9”这两个事件可能同时发生，如抽得点数 为10，因此，这二者不是互斥事件，当然也不可能是对立事件. 8.解(1)A1∩A2表示第1次和第2次射击都击中目标. (2)A,∩A:∩A,表示第1次和第2次射击都击中目标，而 第3次没有击中目标。 (3)A1UA2表示第1次和第2次射击都没击中司标. (4)A,∩A∩A,表示三次射击都没击中目标， 9.AC对于A,由于事件A与事件B不可能同时发生，故 二者是互斥事件，故A正骑：对于B,B∩C=☑，但BUC≠2， 故二者为互斥事件，不是对立事件，故B错误：对于C,至少有一 次摸到红球色括有一次摸到红球一次摸到黄球和两次都摸到 红球，其对立事件为没有一次摸到红球，即两次都摸到黄球，故 事件C与事件D是对立事件，故C正确：对于D,D∩E={有一次 摸到红球，另一次挺到黄球}，故二者不互斥，故D错误故选AC 10.A事件AUB:至少有一件次品，即事件C,所以①正 确，事件A∩B=必，③不正确：事件BUD:至少有两件次品或 至多有一件次品，包括了所有情况，所以②正确，事件A几D:恰 有一件次品，即事件A,所以④不正确.故选A 6