1.4.1 一元二次函数(课时训练)-【志鸿优化训练】2026-2027学年高中数学必修第一册(北师大版)

2√2ab.即3va5≥22，所以ab>（当且仅当a=2b,即a= 等，6-号时取等号），所以ab的最小值为号由a+2的-3db 0,可知+2=3，所以a+6=.(合+）=号(3+ 的+号)≥号8+22)=1+2号当且仅的-号即a 2尘巨，6中时取等号，所以a十6的最小值为1+2 3 8.解(1)设甲工程队的总造价为y元，则y=3(150× 2z+400×）+7200-90(x+）+720(2<x<6. 90(r+19）+720>900x2x,夏+720=140 当且仅当x=16 即x=4时，等号成立.即当左右两面墙 的长度为4米时，甲工程队的报价最低为14400元. (2)由题意可得，900(x+1）+7200>900a1+2对任 x x 意的x∈[2,6]恤成立，即红+4)a1+x) x “a<红+40 -t+6 +6≥2√+D·不+6=12.当仅 又x+1+9 当z十1=品脚红=2时，等号成立， a的取值范围为(0,12). §4一元二次函数与一元二次不等式 4.1一元二次函数 1,D对于x2十x十1=0，因为△=12-4×1<0，所以方程 无实根，故A错误： 对于x十1x十1=0，△=12一4×1>0不一定恒成立，故方 程不一定有两个不相等的实数根，故B错误： 由(x+3)2十x+1=x2+7x+10=(x+5)(x+2)=0,显 然x1·x4=(一5)×（一2）=10，故C错误： 15<1,5kD牌 2 故选D. 2.Cy=x2-4x十3=(x-2)2-1, .当x=2时y取得最小值，最小值为一1： 当y=3时，有x2-4红十3=3，解得x1=0,x2=4, ,当x=0或4时，y=3. 又当0x≤m时，y的最小值为一1，最大值为3， .2≤m≤4. 3.A设y=a(x-1)(x+1)(a≠0)，代入(0,1)，得 a(0-10(0+1)=-a=1,a=-1,y=1-x2 故选A 4.By=3+2x-x2=-(z-1)2+4,.函数在[0,1] 上y随着x的增大而增大，在[1,3]上y随着x的增大而减小， 又当x=0时，y=3,当x=3时，y=0,∴y=3十2x一x2(0≤ x≤3)的最小值为0. 5.BD二次函数y=(x一2)2-1的图象开口向上，对称轴 方程为x=2,且最小值为一1，对于A,周为y=(x一2)2一 1≥-1，所以Vx∈R,y=(x一2)2-1≥1错误，即A错误：对于 B,因为二次函数y=(x一2)2-1≥-1，所以Va>一1,3x∈ R,y=(x-2)2-1<a,故B正确：对于C,因为二次函数y= (x-2)2-1≥-1，所以Va<-1,3x∈R,y=(x-2)2-1=a 错误，即C错误：对于D,令y=0,即(x一2)-1=0，得x=3戏 x=1,所以3x1≠x,(x1一2)-1=(xg一2)2-1，故D正确. 故选BD. 6.一4因为一元二次方程x2十m:x十3=0有两个实数 根x1x,0<x工1<2<x2<4,且其图象开口向上，所以 (02+0·m+3>0, 7 m<-2'。 1 4十2m十30，所以< 即■ 19 <m<-子为 4 42+4m十3>0， 4 mEZ,所以m=一4 7.解(1)由题意得，点A(1,m)在直线y=一3x上， .m=一3×1=一3. 把x=1,y=一3代入y=ax2十6x-8,得a十6一8=-3， 求得a=一1，∴.抛物线的解析式是y=一x2十6z一8. (2)y=-x2+6x-8=-(x-3)2+1, .把抛物线y=一x十6x一8向左平移3个单位长度，再 向下平移1个单位长度得到y=一x”的图象。 8.AD由图可知二次函数的图象与工轴交于两点，所以 b2-4ac>0,即b2>4ac,故A正确：对称轴为工=一1，即 2分=一1,2a一b=0,数B错误：结合图象，当x=一1时，y> 0,即a一b十c>0,故C错误：因为函数图象开口向下，所以a< 0,所以5a<2a.又b=2a,所以5a<b,故D正确.故速AD. 9.D由题得，函数y=x2-4x一2=(x一2)2-6的定义 城为[0，m],值域为[一6，一2]，且函数图象的对称轴为直线 x-2.当x=2时，y=-6,当x=0时，y■一2，由二次函数的 对称性，可知y=一2对应的另一个工的值为4，则值域为 [-6,一2]时，对应x的取值范图为[0,4]，故m的取值范围是 [2,4]故选D. 10.ABD当m=0时，(x-2)(x-3)=0,x1=2,x2= 9 3,故A正确：方程（红一2）(x一3)=m化为x2一5z十6一m=0, 由方程有两个不等实根得△=25一4(6-m)=1+4m>0, m>-子，故B正确：当n>0时，画出函数y=(c 2)(x一3)和函数y=m的图象如图，由(x一2)(x一3)=m得， 函数y=(红x一2)(x一3)和函数y=m的交点横坐标分别为x1, xg,由图可知，x1<2<3<x2,故C错误，D正确.故选ABD. 5 4 y=-2-3 一y=m 外》文 11.30由题意，△=36一4(4m+1)>0,即m<2, 且x1十x2=6,x1x3=4m十1， 因为|x1一x2=√(x1十x)一4x1x2=4, 则√36-4(4m+1)=4,解得m=1,即x1x:=5, 所以xx2十x1x号=x1x2(x1十x:)=5X6=30. 2.解起点（一2,2）代入y-合+号x+e中，得 -子-子十c=2,解得c= 3" ,此函数图象开口向下，当x=1时，函数有最大值5， 13.解设方程的两根为x1,x2: 4=(2k-1)2-4X(-k+1)=4k2-3>0, (1)由题意得 解得 xx2=-k+1<0, k>1.所以实数。的取值范围为(1，十∞). △=4k2一3≥0， (2)由题意得x十工，=2k一1>0，解得分≤k<1. x1x2=-k+1>0, 所以实数的取值花周为[停)小。 (3)设y=x2-(2k-1)x一+1， 由题意得，当x=1时，y<0, 即12-(2k-1)-k十1-3-3<0，所以k>1. 所以实数k的取值范国为(1，十∞)。 4.2一元二次不等式及其解法 4.3一元二次不等式的应用 1.A一元二次不等式对应方程的两根为0和1，且抛物线 开口向下，所以解集为{x|0<x<1}. 2B2z+1-0<0i-号<<3又xeN,且 x≤5，则x=1,2.故遮B 3.C:ax-b>0的解集为(1，十o∞)，.a>0,ax-b>0 可化为>治治-1中a-6营0可化为 a…a x-2 0,a(x+1)(x-2)>0,x>2或x<-1.故选C 4.C设铺售价定为每件x元，利润为y,则y一(x 8)[100-10(x-10)],依题意，得(x-8)[100-10(x-10)]> 320,即x2一28.x+1920,解得12<x<16,所以每件铺售价应 定为12元到16元之间. 5.ACD由于y>-2x的解集为(1,3)，即ax2+(b+ 2)x十c>0的解集为(1,3)，则a<0,且1,3为方程ax2+ 6+2x+c=0的振1+3=-生，1×3=台b= 一4a一2，c■3a,故A,C正确，B错误：对于D项，y十6a■0有两 个相等的根，即a.x2一(4a十2)x十9a=0有两个相等的根，∴，△= [-（a+2-36a2=0,a<0a=-号专故D正确 6(-1,号) 由3x2+x-20,得(x十1D(3x-20, 解得-1<号满足题意的x的取值花调是(-1，号）】 7.[1,9)美于x的不等式(m-1)x2十(m-1)x十2>0的解 集为R,当m一1=0，即m=1时，不等式化为2>0，显然饭成立，符 m-1D0, 合题意；当m一1≠0，即m≠1时，则 4=(m-1)2-8(m-10<0, 解得1<m<9.综上，实数m的取值范国是[1,9). 8.解若a=0,不等式可化为2x一8>0， 所以x>4,不等式的解集为{xx>4). 若a≠0，不等式可化为(ax十2)(x一4)>0， 令ax+2x-)-0,得x-吕或x=4 若2>0，则-2<4， a 所以不等式的解集为>4或x<一} 若a<0,当-二<4，即a<-2时，不等式的解集为 当-吕>4：即-合<a<0时，不等式的解集为{：4< 当一吕-4，即a=一时，不等式的解集为空集 a 综上，当a=0时，不等式的解集为(x|x>4}:班级 姓名 第一章 01 §4一元二次函数与一元二次不等式 4.1一元二次函数 A级|必备知识基础练 6.(探究点四)已知m∈Z,一元二次方程x2十 1.(探究点一)(2025上海徐汇高一期末)下列 mx十3=0有两个实数根x1,x2,且0<x1< 说法正确的是( ) 2<x2<4,则m= A.方程x2十x十1=0的两个实数根x1,x2 7.(探究点一、二)已知抛物线y=ax2十6x一8 满足x1十x2=一1 与直线y=-3x相交于点A(1,m). B.关于x的一元二次方程x2十1x十1=0一 (1)求抛物线的解析式； 定有两个不相等的实数根 (2)指出(1)中的抛物线经过怎样的平移可以 C.已知方程(x十3)2十x十1=0的两个实数 得到y=ax2的图象 根x3,x4,则x3·x4=1 D.若关于x的一元二次方程x2一x一1=0 的两个实数根xs<x6,则x5<1<x6 2.(探究点三)已知函数y=x2-4x十3，当0≤ x≤m时，y的最小值为一1，最大值为3，则 m的取值范围为( A.[2,+o∞) B.[0,2] C.[2,4] D.[-∞，4] 3.(探究点二)已知抛物线与x轴交于点（一1， 0),(1,0),并且与y轴交于点(0,1)，则抛物 线的解析式为( ) A.y=-x2+1 B.y=x2+1 C.y=-x2-1 D.y=x2-1 4.(探究点三)函数y=3十2x一x2(0≤x≤3) 的最小值为( ) A.-1 B.0 C.3 D.4 5.(探究点三、四)（多选题）下列关于二次函数 y=(x一2)2-1的说法正确的是( A.Vx∈R,y=(x-2)2-1≥1 B.Ha>-1,3x∈R,y=(x-2)2-1<a C.Ha<-1,3x∈R,y=(x-2)2-1=a D.3x1≠x2,(x1-2)2-1=(x2-2)2-1 -242- B级|关键能力提升练 C级丨学科素养创新练 8.(多选题)如图是二次函数 13.已知一元二次方程x2一(2k一1)x一k+ y=a.x2十b.x十c图象的一部 1=0. 分，图象过点A(一3,0)，对 (1)当实数k为何值时，方程有一根为正、 称轴方程为x=一1.给出下 一根为负？ 面四个选项，正确的是( (2)当实数k为何值时，方程两根都为正数？ A.b2>4ac B.2a-b=1 (3)当实数k为何值时，方程一根大于1，一 C.a-b+c=0 D.5a<b 根小于1？ 9.若函数y=x2一4x一2的定义域为[0，m],值 域为[-6，一2]，则m的取值范围是() A.(0,2] B.(0,4] C.(2,4) D.[2,4] 10.(多选题)若关于x的一元二次方程(x 2)(x一3)=m有实数根x1,x2,且x1<x2, 则下列结论正确的有() A.当m=0时，x1=2,x2=3 Bm>号 C.当m>0时，2<x1<x2<3 D.当m>0时，x1<2<3<x2 11.(2025上海高一联考)已知m∈R,关于x 的方程x2-6x十(4m+1)=0的两个实数 根为x1,x2,且|x1一x2|=4,则xx2十 x1x号= 12.一元二次函数y=-3x2+号x+c的图象 2 经过点（一2,2），求c的值及函数的最大值. 243