第7章 概率总结提升-【志鸿优化训练】2026-2027学年高中数学必修第一册(北师大版)

球至少一个落入盒子”，则其对立事件为A=“两球都未落入”， p-(1-)x1-）-2×号-号 则PA)=1-P)=号 5.解记A表示事件“进入商场的1位顾客狗买甲种商品”， 刻P(A)=0.5:记B表示事件“进入商场的1位顾客购买乙种 商品”，则P(B)=0.6:记C表示事件“进入高场的1位顾客 甲、乙两种商品都购买”，记D表示事件“进入商场的1位顾客 只购买甲商品” (1)由题可得，P(C)=P(AB)=P(A)P(B)=0.5×0.6=0.3. (2)因为D=AB,别P(D)=P(AB)=P(A)P(B)= 0.5×0.4=0.2. 本章总结提升 【专题突破·素养提升】 【例1】解射手甲射击一次，中粑是随机事件，他射击10次 可以看作是重复做了10次试脸，而每次试脸的结果都是随机 的，所以10次的结果也是随机的，这10次射击可能一次也不 中，也可能中一次、二次、…，甚至十次都中。 虽然中靶是随机事件，但却具有一定的规律性，频牵为 0.9,是说在多次的试验中，中靶的可能性稳定在0.9，实际上， 他10发子弹全中的概率为0.910≈0.349，这是有可能发生的. 因此题中认识不正确. 【变式训练1】解(1)表中次品频率从左到右依次为0.06， 0.040,0.025,0.017,0.020,0.018. (2)当抽取件数a越来越大时，出现次品的频率在0.02附 近摆动，所以从这批U盘中任抽一个是次品的概率约是0.02. (3)设需要进货x个U盘，为保证其中有2000个正品U 盘，则x(1一0.020)≥2000，因为x是正整数， 所以x≥2041，即至少需进货2041个U盘. 【例2】解设小王的成绩在90分以上（含90分），在[80， 90),在60分以下（不含60分）分别为事件A,B,C,且A,B,C 两两互斥。 (1)设小王的成绩在80分以上（含80分）为事件D,别D AUB. 所以P(D)=P(AUB)=P(A)+P(B)=0.18+0.51=0.69. (2)设小王数学考试及格为事件E, 由于事件E与事件C为对立事件， 所以P(E)=1-P(C)=1-0.07=0.93. 【变式训练2】解(1)设事件“电话响第k声时被接”为A: (便∈N,),那么事件A:彼此互斥，设“打进的电话在响5声之 前被接”为事件A,根据互斥事件橛率加法公式，得P(A)= P(A:UA:UA:UA)-P(A:)+P(A:)+P(A:)+P(A,)= 0.1+0.2+0.3+0.35=0.95. (2)由(1)知事件“打进的电话响4声而不被接”是事件“打 进的电话在响5声之前被接”的对立事件，记为A.根据对立事 件的概率公式，得P(A)=1-P(A)=1-0.95=0.05. 【例3一1】AC随机地排列数字1,2,6可以得到的三位数 有126,162,216,261,612,621，共6个，故A正确： 其中奇数有261,621，共2个，所以所得的三位数是奇数的 概率为子，故B不正确， 其中偶数有126,162,216,612，共4个，所以所得的三位数 是锅数的概丰为子，故C正确 其中大于400的有612,621，共2个，所以所得的三位数大 于400的概率为3，故D不正确. 【例3一2】解(1)记“函数f(x)在区间（一∞，一1）上单调 递减”为事件A. 由于a,b都是从集合{1,2,3}中任取的一个数，则基本事 件有(1,1)，(1,2)，(1,3)，(2,1)，(2,2)，(2,3)，(3,1)，(3,2)， (3,3),共9种，若离数f(x)在区间（一∞，一1）上单调递减，则 有-票-1，中台<1则事件A色会共中的6个装本幸件， 62 所以所求的概率P(A)=9=3 (2)记“方程f(x)=0在区间（一0，一3）上有实数根”为事 件B,由于a是从集合(1,2,3}上任取的一个数，b是从集合{1， 2,3,4}上任取的一个数，则基本事件有(1,1)，(1,2)，(1,3)，(1， 4),(2,1),(2,2),(2,3),(2,4),(3,1),(3,2),(3,3),(3,4),共 12种，由题意知a>0,f(0)=一1，所以方程f(x)=0在区间 (一∞，-3)上有实数根，则有f(一3)<0，即9a-6b-1<0,则 事件B包含其中的5个基本事件，所以所求的概率P(B)= 5 【变式训练3】D,当b=1时，没有满足条件的a值： 当b=2时，a=1: 当b=3时，a可以是1，可以是2， .共3个样本点 而从1,2,3,4,5}中随机取一个数a,再从1,2,3}中随机 取一个数b,共有3×5=15个样本，点， 6>a的飘丰为器-号 【例4】解设事件A表示“甲在第k次投篮授中”，其中 =1,2,3, 设事件B,表示“乙在第j次投篮授中”，其中j=1,2,3, (1)记“甲、乙各授球一次，比赛结束”为事件C,C=A1B:, 事件A1与事件B1相互独立，则P(C)=P(A,B:)=(1 PA,PB,)=1-3)x2-号×号-号 “甲，乙各授球一次，比家结束的概率为行 (2)记“甲获胜”为事件D,D=AUA1B,AUAB1A:B2A, P(D)-P(AUABA:UA BA2B2A)-P(A)+ P(.)P(B.)P(A:)+P(A)P(B,)P(A.)P(B:)P(A,)-+ 号×2×g+号××号x×号品 二甲装胜的概率为 27 【变式训练4】解(1)把4个红球标记为A1,A:,A,,A,,2 个蓝球标记为B,,B2,从箱子中随机抽取两琼的样本空间 为n=《A1A2,A1A3,A1A4,AB1,A1Bg,A2Ag,A2A A:BA:B2A3AA:B+A:BABAB:+BB2) 15个样本点.设事件E=“从箱子中随机抽取两球且颜色相 同”，则事件E={A1Ag,A1A,A1A4,A:A3:AzA4,AA4, BB:,包含7个择本点，所以P(B)=品 (2)设事件F=“从箱子中有放回地抽取两球且颜色相同”， 事件M一“从箱子中有放回地抽取两球且两球都为红球”， 事件N=“从箱子中有放回地袖取两球且两球都为蓝球”， 则F=MUN,且事件M与N互斥， 则PF)-PMUN)-P0+PN)-音+号-号 【易错易混·衔接高考】 1.A50十60一70=40人报名足球和乒乓球俱乐部，因此 所求概率为铝-0,8，故选八 2.A对于①，如果a>b,b>c,那么“a>c”是必然事件， 故①错误： 对于②，随机试验多次重复发生时，频率会越来越靠近概 率，但不一定等于概乘，故②错误； 对于③，如采一事件发生的概率为99.9999%，那么只能说 明此事件发生的可能性非常大，不代表一定发生，所以不能说 是必然事件，故③错误： 对于④，确定事件也有概率，故④错误； 对于⑤，若事件A发生的概率为P(A),由概率的性质可知 0≤P(A)≤1.故⑤正确. 3.C若A与B互斥，则P(AB)=p1=0. 若A与B相互独立，则P(A十B)=p:=P(A十B)= 45 P(A)+P(B)-P(A)P(B)=0.6+0.3-0.6X0.3=0.72. 4D根据题意，设事件A=“试验最终成功”，则A=“试 验不减功”，则PA)=(1-)×(1-子)×(1-2)）=0 故PA)=1-P)=1--9 6060 5CDA,B两个金子串联后畅通的概率P-(1-2）× (1-号）=子，A错误： D,E两个金于并联后畅通的概奉P=1-吉×号-器。 B错误， A,B,C三个金子混联后格适的概率P-1一号×号-音 C正确： 当开关合上时：整个电路畅道的概率P-器×音-器。 D正确， 故选CD 6.0.95记事件A=(抽得甲级品}，B=(抽得乙级品}， C=(抽得丙级品}，周为事件A,B,C互为互斥事件，且三个事 件对立，所以抽得正品即为抽得甲级品的概率为P(A)=1一 P(B)-P(C)=0.95. 7.解(1)由试加工产品等级的频数分布表知，甲分厂加工 出来的一件产品为A级品的概率的估计值为0 100 =0.4:乙分厂 加工出来的一件产品为A级品的概单的估计植为器-028 (2)由数据知甲分厂加工出来的100件产品利涧的频数分 布表为 利润6525-5-75 须数40202020 因此甲分厂加工出来的100件产品的平均利润为 65×40+25×20-5×20-75X20-15. 100 由数据知乙分厂加工出来的100件产品利涧的频数分布表为 利涧70300-70 须数28173421 因此乙分厂加工出来的100件产品的平均利润为 70×28+30X17+0×34-70X21=10.比较甲，乙两分厂 100 加工的产品的平均利网，应选甲分厂承接加工业务 50数学「第七章概率 5.设进入某商场的每一位顾客购买甲种商品的概 (2)进入商场的1位顾客只购买甲商品的概率 率为0.5，购买乙种商品的概率为0.6，且购买 甲种商品与购买乙种商品相互独立，各顾客之 间购买商品也是相互独立的.求： (1)进人商场的1位顾客，甲、乙两种商品都购 买的概率； 本章唇总结提升 ©知识网络·整合构建 随机现象 有限样本空间 随机事件的关系与运算 随机事件 随机事件的概率用類率估计概率 随机事件的独立性 古典概型等可能性、有限性特殊的样本空间 ©专题突破·素养提升 专题一频率与概率 频率是概率的近似值，是随机的，随着试验的 不同而变化：概率是多次的试验中频率的稳定值， 是一个常数，不能用一次或少数次试验中的频率 包规律方法概率与频率的关系 来估计概率。 随机事件的概率是指在相同的条件下，大量重复 【例1】射手甲中靶的概率是0.9，因此我们 进行同一试验，随机事件A发生的频率会在某个常 认为，即使射手甲比较优秀，他射击10发子弹也 数附近摆动，即随机事件A发生的频率具有稳定性。 不可能全中，其中必有一发不中，试判断这种认识 这时，我们把这个常数叫作事件A的概率，记作 正确与否 P(A).它反映的是这个事件发生的可能性的大小 [课堂笔记] 一个随机事件的发生既有随机性（对单次试验来 说)，又有规律性（对大量重复试验来说）.其概率一般 不好求，但可以用频率来估计 444444444444 丨变式训练1对一批U盘进行抽检，结果如 下表： 抽出件数a 50100200300400500 次品件数b 3 4558 次品频率 (1)计算表中次品的频率（结果精确到0.001）. (2)从这批U盘中任抽一个是次品的概率约 是多少？ 214 本章总结提升 (3)为保证买到次品的顾客能够及时更换，要 |变式训练2某服务电话，打进的电话响第 销售2000个U盘，至少需进货多少个U盘？ 1声时被接的概率是0.1：响第2声时被接的概率 是0.2；响第3声时被接的概率是0.3；响第4声 时被接的概率是0.35 (1)打进的电话在响5声之前被接的概率是 多少？ (2)打进的电话响4声而不被接的概率是 多少？ 专题二互斥事件与对立事件的概率 及应用 若事件A1,A2,…,A.彼此互斥，则P(A1U A2U...UA.)=P(A)+P(A2)+...+P(A ) 设事件A的对立事件是A,则P(A)= 专题三古典概型 1-P(A) 古典概型是一种最基本的概率模型，也是学 【例2】在数学考试中，小王的成绩在90分以 习其他概率模型的基础，在高考题中，经常出现此 上（含90分）的概率是0.18，在[80,90)的概率是 种概率模型的题目.解题时要紧紧抓住古典概型 0.51,在[70,80)的概率是0.15，在[60,70)的概 的两个基本特点，即有限性和等可能性。 率是0.09，在60分以下（不含60分）的概率是 【例3一1】（多选题）随机地排列数字1,2,6 0.07,此时视为考试不及格.求： 得到一个三位数，则() (1)小王在数学考试中取得80分以上（含80 A.可以排成6个不同的三位数 分)成绩的概率； (2)小王数学考试及格的概率 且所得的三位数是奇数的概率为号 [课堂笔记] C所得的三位数是偶数的概率为号 D.所得的三位数大于400的概率为 3 [课堂笔记] ®规律方法互斥事件与对立事件的概率求法 运用互斥事件的概率加法公式时，首先要确定各 【例3一2】已知函数f(x)=ax2+2hx-1. 事件是否彼此互斥，如果彼此互斥，分别求出各事件 (1)若a,b都是从集合{1,2,3}中任取的一 发生的概率，再求和，求复杂事件的概率通常有两种 个数，求函数f(x)在（一∞，一1）上单调递减的 方法：一是将所求事件转化成彼此互斥的事件的和， 概率； 运用互斥事件的概率加法公式P(AUB)=P(A)十 (2)若a是从集合{1,2,3}中任取的一个数， P(B)求解；二是先求其对立事件的概率，然后再运 b是从集合{1,2,3,4}中任取的一个数，求方程 用公式P(A)=1一P(A)求解. f(x)=0在区间（一∞，一3）上有实数根的概率. 215 数学「第七章概率 [课堂笔记] 444444444444444444 ☒规律方法相互独立事件概率的求法 (1)首先要搞清事件间的关系（是否彼此互斥、是 否相互独立、是否对立)，正确区分“互斥事件”与“对 立事件”.当且仅当事件A和事件B相互独立时，才 规律方法古典概型的概率求法 有P(AB)=P(A)P(B). 在求古典概型问题的概率时，往往需要我们将所 (2)某些事件若含有较多的互斥事件，可考虑其 有样本点一一列举出来，以便确定样本，点总数及事件 对立事件的概率，这样可减少运算量，提高准确率.要 所包含的样本点数.这就是我们常说的列举法.在列 注意“至多”“至少”等题型的转化， 举时应注意按一定的规律、标准，做到不重不漏。 1变式训练4一个不透明的箱子中有4个 1变式训练3从{1,2,3,4,5}中随机选取一 红球、2个蓝球（球除颜色外，没有其他差异） 个数为a,从{1,2,3}中随机选取一个数为b,则 (1)若从箱子中不放回地随机抽取两球，求两 b>a的概率是( 球颜色相同的概率； A等 B号 c号 (2)若从箱子中有放回地抽取两球，求两球颜 专题四相互独立事件的概率 色相同的概率。 设A,B为两个事件，如果P(AB)= P(A)P(B),则称事件A与事件B相互独立.如 果事件A与B相互独立，那么A与B,A与B,A 与B也都相互独立 【例4】甲、乙两人轮流投篮，每人每次投一 球，约定甲先投且先投中者获胜，一直到有人获胜 或每人都已投球3次时投篮结束，设甲每次投篮 投中的概率为了，乙每次投篮投中的概率为2，且 各自投篮互不影响 (1)求甲乙各投球一次，比赛结束的概率； ⊙易错易混·衔接高考 (2)求甲获胜的概率。 1.有50人报名足球俱乐部，60人报名乒乓球俱 [课堂笔记] 乐部，70人报名足球或乒乓球俱乐部，若已知 某人报足球俱乐部，则其报乒乓球俱乐部的概 率为() A0.8 B.0.4 C.0.2 D.0.1 216 本章总结提升 2.下列说法正确的是() 6.某产品分甲、乙、丙三级，其中乙、丙两级均属次 ①已知a>b,b>c,那么事件“a>c"有可能不发生： 品，若生产中出现乙级品的概率为0.04，出现 ②随机试验的频率与概率相等； 丙级品的概率为0.01，则对成品抽查一件抽得 ③如果一个事件发生的概率为99.9999%，那 正品的概率为 么说明此事件必然发生； 7.(2020全国1，文17)某厂接受了一项加工业 ④只有不确定事件有概率； 务，加工出来的产品（单位：件）按标准分为A, ⑤若事件A发生的概率为P(A),则0≤ B,C,D四个等级.加工业务约定：对于A级品、 P(A)≤1. B级品、C级品，厂家每件分别收取加工费90 A.⑤ B.③⑤ 元，50元，20元：对于D级品，厂家每件要赔偿 C.③④⑤ D.②③④⑤ 原料损失费50元.该厂有甲、乙两个分厂可承 3.已知事件A,B,且P(A)=0.6,P(B)=0.7, 接加工业务.甲分厂加工成本费为25元/件，乙 如果事件A与B互斥，那么P(AB)=p1;如果 分厂加工成本费为20元/件.厂家为决定由哪个 事件A与B相互独立，那么P(A十B)=p2, 分厂承接加工业务，在两个分厂各试加工了 则( 100件这种产品，并统计了这些产品的等级，整 A.p1=0,p2=0.9Bp1=0.42,p2=0.9 理如下： C.p1=0,p2=0.72D.p1=0.42,p2=0.45 甲分厂产品等级 乙分厂产品等级 4.在太空站内有甲、乙、丙三名航天员依次出仓进 的频数分布表 的频数分布表 行同一试验，每次只派一人，每人最多出仓一 等级ABCD 等级ABCD 次.若前一人试验不成功，返仓后派下一人重复 频数40202020 频数28173421 进行该试验；若试验成功，终止试验.已知甲、 (1)分别估计甲、乙两分厂加工出来的一件产品 乙，丙各自出仓试验成功的概率分别为0：3， 92 为A级品的概率； (2)分别求甲、乙两分厂加工出来的100件产品 号：每人出仓试验能否成功相互独立，则该项试 的平均利润，以平均利润为依据，厂家应选 哪个分厂承接加工业务？ 验最终成功的概率为( A品 B品 c器 59 D 60 5.(多选题)如图所示的电 路中，5个盒子表示保险 自自 匣，设5个盒子分别为 A,B,C,D,E.盒中所 示数值表示通电时保险丝被切断的概率，下列 结论正确的是( 个盒子串联后畅通 B,D,E两个盒子并联后畅通的概率为0 CA,B,C三个盒子混联后畅通的概率为号 D当开关合上时，整个电路畅通的概率为 6 217·