7.3 频率与概率-【志鸿优化训练】2026-2027学年高中数学必修第一册(北师大版)

数学「第七章概率 5.某学校成立了数学、英语、音乐3个课外兴趣小 (2)随机选取1个成员，他参加不超过2个小组 组，3个小组分别有39,32,33个成员，一些成 的概率是多少？ 员参加了不止1个小组，具体情况如图所示 英语 音乐 6 8 10 数学10 (1)随机选取1个成员，他至少参加2个小组的 概率是多少？ §3频率与概率 1.在具体情境中，了解随机事件发生的不确定性和频率的稳定性 学习目标 2.正确理解概率的意义，利用概率知识正确理解现实生活中的实际问题 3.理解概率的意义以及频率与概率的区别. 基础落实·必备知识一遍过 知识点1概率 在上述抛掷硬币的试验中，你会发现怎样的规律？ 该常数是确定的，是一个理论值 在相同条件下，大量重复进行同一试验时， 随机事件A发生的频率通常会在某个常数附近 摆动，即随机事件A发生的频率具有稳定性这时， 把这个常数叫作随机事件A的概率，记作P(A). 名师点睛 自主诊断 概率的性质 (人教A版教材倒题)为了推广一种新饮料，某饮 (1)随机事件A的概率P(A)满足0≤P(A)≤1 料生产企业开展了有奖促销活动：将6罐这种饮料 (2)当A是必然事件时，P(A)=1:当A是不可 装一箱，每箱中都放置2罐能够中奖的饮料.若从 能事件时，P(A)=0. 一箱中随机抽出2罐，能中奖的概率为多少？ 思考辨析 曾有人做过抛掷一枚质地均匀的硬币的大量重 复试验，结果如下表所示： 抛掷次数正面向上的次数 正面向上的频率 2048 1061 0.5181 4040 2048 0.5069 12000 6019 0.5016 24000 12012 0.5005 30000 14984 0.4995 72088 36124 0.5011 206 §3频率与概率 知识点2频率与概率之间的关系 自主诊断 1.区别 1.判断正误.（正确的画、√，错误的画×） 本身是随机的，在试验之前是无法确定的， (1)随机事件的频率与概率不可能相等.() 频率 做同样次数的重复试验，得到的事件的频率 (2)随机事件A的概率是频率的稳定值，频率是概 值也可能会不同 率的近似值 () (3)随机事件发生的概率是随着试验次数的变化而 本身是一个在[0,1]上的确定值，不随试验 概率 变化的 () 结果的改变而改变 2.质检部门对世园会所用某种产品进行抽检，得知其 合格率为99%，若世园会所需该产品共有20000 2.联系 件，则其中不合格产品约有 件 随机事件的频率是指大量随机试验中，此事 3.(人教B版教材例题)某女篮运动员统计了她最近 件发生的次数与试验次数的比值，它具有一定的 几次参加比赛投篮的得分情况，得到的数据如下表 稳定性，总是在某一个常数附近摆动，且随着试 所示 验次数的不断增加，这种摆动幅度越来越小.我 投篮次数 投中两分的次数 投中三分的次数 们给这个常数取了一个名字，叫作这个随机事件 的概率.概率可看作频率在理论上的期望值，它 75 45 12 从数量上反映了随机事件发生的可能性的大小， 注：每次投篮，要么得两分，要么得三分，要么没投中。 频率在大量重复试验的前提下可近似地作为这 记该女篮运动员在一次投篮中，投中两分为事件 个事件的概率。 A,投中三分为事件B,没投中为事件C,试估计 名师点睛 P(A),P(B),P(C). 频率本身是随机的，在试验前不能确定；概率是 一个确定的数，是客观存在的，是事件的固有属性，与 每次试验无关 思考辨析 “某彩票的中奖概率为°含义是买100张彩 票能中一次奖”吗？ 重难探究·能力素养速提升 探究点一概率概念的理解 【例1】问题辨析： (2)某种病的治愈率是0.3，那么前7个人没 (1)掷一枚均匀的正方体骰子得到6点的概率 有治愈，后3个人一定能治愈吗？如何理解治愈 是号，是否意味着把它掷6次能得到1次6点？ 率是0.3？ 207- 数学「第七章概率 [课堂笔记] 反面向上”呢？ 规律方法对概率的正确理解 (1)概率是随机事件发生可能性大小的度量，是 随机事件的本质属性，大量重复试验中事件A发生 的频率是随机事件A发生的概率的近似值， (2)由概率的定义我们可以知道随机事件A在 一次试验中发生与否是随机的，但随机中含有规律 性，而概率就是其规律性在数量上的反映 1变式探究我们知道，每次抛掷硬币的结果 (3)正确理解概率的意义，要清楚概率与频率的 出现正、反的概率都为0.5，则连续抛掷质地均匀 区别与联系.对具体的问题要从全局和整体上去看 的硬币两次，是否一定出现“一次正面向上，一次 待，而不是局限于某一次试验或某一个具体的事件 探究点二概率与频率的关系及求法 【例2】(2025山东青岛联考)如图，A地到火 车站共有两条路径L1和L2,现随机抽取100位 从A地到火车站的人进行调查，调查结果如下： 10,(20,(30,(40,(50, 所用时间（分钟） 20]30]40]50]60] 选择L1的人数 6 12 18 12 12 选择L2的人数 0 4 16 16 4 >火车站 (1)试用频率估计概率，估计40分钟内不能 赶到火车站的概率： (2)现甲、乙两人分别有40分钟和50分钟时 间用于赶往火车站，为了尽可能在允许的时间内 赶到火车站，试用频率估计概率通过计算说明，他 ☒规律方法概率与频率的解题策略 们应如何选择各自的路径 (1)频率是事件A发生的次数m与试验总次数 [课堂笔记] n的比值，利用此公式可求出它们的频率.频率是变 化的，当n很大时，频率总是在一个稳定值附近左右 摆动，这个稳定值就是概率。 (2)解此类题日的步骤是：先利用频率的计算公 式依次计算频率，然后用频率估计概率， 208 §3频率与概率 1变式训练1下表是某批乒乓球质量检查 品的数量大约为多少？ 结果表： 抽取球数 50 100 200 500 10002000 优等品数 45 92 194 470 954 1902 优等品出 现的频率 (1)在上表中填上优等品出现的频率 (2)估计该批乒乓球优等品的概率约是多少 (结果精确到0.01)？ (3)若抽取乒兵球的数量为1700只，则优等 探究点三概率的应用 【例3】为了估计某自然保护区中天鹅的数 1变式训练2某中学为了了解初中部学生 量，可以使用以下方法：先从该保护区中捕出一定 的佩戴胸卡的情况，在学校随机抽取初中部的 数量的天鹅，例如200只，给每只天鹅做上记号， 150名学生，其中有60名佩戴胸卡.第二次检查， 不影响其存活，然后放回保护区，经过适当的时 调查了初中部的所有学生，有500名学生佩戴胸 间，让其和保护区中其余的天鹅充分混合，再从保 卡.据此估计该中学初中部一共有多少名学生。 护区中捕出一定数量的天鹅，例如150只，查看其 中有记号的天鹅，设有20只，试根据上述数据，估 计该自然保护区中天鹅的数量： [课堂笔记] 本节要点归纳 1.知识清单： 富规律方法概率的实际应用 (1)频率与概率的意义； 由于概率体现了随机事件发生的可能性，所以在 (2)用频率估计概率； 现实生活中我们可以根据随机事件概率的大小去预 (3)概率的应用. 测事件能否发生，从而对某些事情作出决策.当某随 2.方法归纳：数据分析法， 机事件的概率未知时，可用事件发生的频率去近似估 3.常见误区：概率的意义理解错误；不能正确 计总体中该事件发生的概率. 区分频率和概率的含义， 209 数学「第七章概率 学以致用·随堂检测促达标 1.对以下命题： C.0.5,0.45 D.0.45,0.5 ①随机事件的概率与频率一样，与试验重复的 3.某中学要在高一二班、三班、四班中任选一个班 次数有关；②抛掷两枚均匀硬币一次，出现一正 参加社区服务活动，有人提议用如下方法选班： 一反的概率是行；③若一种彩票买一张中奖的 掷两枚硬币，正面向上记作2点，反面向上记作 1点，两枚点数和是几，就选几班，按照这个规 概率是100，则买这种彩票-千张就会中奖： 则，当选概率最大的是 班 4.管理人员从一池塘内捞出30条鱼，做上标记后 ④“投篮一次，求投中的概率”属于古典概型概 放回池塘，10天后，又从池塘内捞出100条鱼， 率问题 其中有标记的有2条，根据以上数据可以估计 其中正确的个数是() 该池塘内共有 条鱼 A.0 B.1 C.2 D.3 5.对某产品进行抽样检查，数据如下： 2.在一次抛硬币的试验中，同学甲用一枚质地均 抽查件数50100200300500 匀的硬币做了100次试验，发现正面朝上出现 合格件数4792192285475 了45次，那么出现正面朝上的频率和概率分别 根据上表中的数据，如果要从该产品中抽到950 为() 件合格品，则大约需要抽查 件产品。 A0.45,0.45 B.0.5,0.5 §4 事件的独立性 1.在具体情境中，了解两个事件相互独立的概念. 学习目标 2.能利用相互独立事件同时发生的概率公式解决一些简单的实际问题. 3.综合运用互斥事件的概率加法公式及独立事件的乘法公式解决一些问题 基础落实·必备知识一遍过 知识点1相互独立事件 事件A(或B)是否发生对事件B(或A)发生的概率没有影响，这样的两个事件叫作相互独立 事件 名师点睛 相互独立事件与互斥事件、对立事件的区别与联系 名称 区别 联系 定义 事件个数 互斥事件 在一次试验中不能同时发生的事件 两个或两个以上 ①两事件互斥，但不一定对立：两 在一次试验中不能同时发生但必 对立事件 两个 事件对立，则一定互斥。 有一个发生 ②两事件相互独立，则不一定互 一个事件发生与否对另一个事件 独立事件 两个或两个以上 斥（或对立） 发生的概率没有影响 210PC)-PA)+PB-动+高-高 5.解(1)从题图可以看出，3个课外兴趣小组的总人数为 60.用A表示事件“远取的1个成员只参加1个小组”， 则A表示“选取的1个成员至少参加2个小组”， 于是，P)=1-PA)=1-6+8+10-3 60 5 因此，随机选取的1个成员至少参加2个小组的概率 (2)用B表示事件“选取的1个成员参加3个小组”，则B 就表示“选取的1个成员参加不超过2个小组”， 于是，P团=1PB)=1品-号 所以，随机选取的1个成员参加不超过2个小组的概率 为2号 §3频率与概率 ○基础落实·必备知识一遍过 知识点1 【思考辨析】 提示当试验次数很多时，正而向上的频率在0.5附近 摆动 【自主诊断】 解设事件A=“中奖”，事件A1=“第一罐中奖”，事件 A2=“第二罐中奖”，那么事件A1A:=“两罐都中奖”，A1Ag “第一罐中奖，第二罐不中奖”，A1A2=“第一罐不中奖，第二罐 中奖”，且A=A1A2UA1A2UA1A. 因为A1A2,A1A:,A1A妇两两互斥，所以根据互斥事件的概 率加法公式，可得PA)=P(A1A:)十P(AA2)十P(A1A:). 我们借助树状图来求相应事件的样本点数 第一罐 第二罐 可能结果数 中奖 =---2×1=2 中奖 不中奖】 ----2X4=8 中奖 ===4×2=8 、不中奖 3 不中奖】 ----4×3=12 可以得到，样本空间包含的样本点个数为m(D)=6X5= 30,且每个样本点都是等可能的. 因为#(A1A:)=2,n(A1A:)=8,n(A:A:)=8, 所以PUA)-品+品+品-器-号 4 知识点2 【思考辨析】 提示来彩票的中奖概奉为品高味着中笑的可能性为品， 1 可能中奖，也可能不中奖，并不一定是买100张彩票能中一次奖。 【自主诊断】 1.1)×(2)W(3)× 2.200不合格产品约有20000×(1一99%)=200（件）. 为5=0.6： 3.解因为7 ,是=0.16，所以可以估计P(A)=0.6, P(B)=0.16.注意到C=A十B,而且A与B互斥，因此估计 P(C)■1-P(A+B)=1-P(A)-P(B)=0.24. @重难探究·能力素养速提升 探究点一概率概念的理解 【例1】解(1)把一枚均匀的餐子抑6次相当于做6次试 验，因为每次武验的结果都是随机的，所以做6次被验的结果也 是随机的，这就是说，每抑一次总是随机地出现一个点数，可以 是1点，2点，也可以是其他，点数，不一定出现6点所以榔一枚餐 子得到6点的概率是行，并不高味着起它掷6次能得到1次6点 (2)如果把治疗一个病人作为一次试脸，治愈率是0.3，是 摇随着试脸次数的增加，即治疗病人人数的增加，大约有30% 的人能够治愈，对于一次试验来说，其结果是随机的，因此前7 个病人没治念是可能的，对后3个人来说，其结果仍然是随机 的，即有可能治愈，也可能没有治愈。 【变式探究】解不一定，这是因为统计规律不同于确定的 数学规律，对于具体的一次试验而言，它带有很大的随机性（即 偶然性)，通过具体试脸可以知道除上述结果外，也可能出现“两 次都是正面向上”“两次都是反面向上”，尽管随机事件不像函数 美系那样具有确定性，但是如果我们知道某事件发生的概率的 大小，也能作出科学的决策例如：微连续抛掷两救质地均匀的 硬币的试验1000次，可以预见：“两个都是正面向上”大约出现 250次，“两个都是反面向上”大约出现250次，而“一个正面向 上、一个反面向上”大约出现500次 探究点二概率与频率的关系及求法 【例2】解(1)在调查的100人中，40分钟内不能赶到火车 站的有12十12+16十4=44（人），因此40分钟内不能赶到火车 站的频率为0.44，用频率估计概率，得40分钟内不能赶到火车 站的概率为0.44. (2)设A1A:分别表示甲选择L1和L2时，在40分钟内 赶到火车站：B:,B:分别表示乙选择L1和L2时，在50分钟内 起到火车地位题意，PA)=品+号+品-6，PCA) 希+8-05，由PA,》PA),得甲庭选择移径L 6 PB,)-品+品++品-a8,P,)-者++ 6=0,9,由P(B)<P(B,),得乙应选择路径L2, 所以甲应逃择路径L1,乙应选择路径L: 【变式训练1】解(1)如下表所示： 抽取球数50100200.50010002000 优等品数45921944709541902 优等品出现的频率0.90.920.970.940.9540.951 (2)从表中数据可以看出，这批乒兵球优等品的概率约是 0.95. (3)由优等品的概率约为0.95，则抽取1700只乒乓球时， 优等品数量约为1700×0.95=1615（只）. 探究点三概率的应用 【例3】解设保护区中天鹅的数量约为n只，假定每只天鸫 被捕到的可能性是相等的，从保护区中任捕一只，设事件A一 “带有记号的天鹅”，则P(A)=200 ① 第二次从保护区中捕出150只天鹅，其中有20只带有记 号，由概率的统计定义可知P(A)-2, © 由02两久，得0-离解得a=150, 所以被自然保护区中天鸺的数量约为1500只。 、【变式训练2】解设初中茚有”名学生，依题意得0二 500,解得n=1250.所以该中学初中部共有学生大约1250名. ○学以致用·随堂检测促达标 1.A随机事件的概率与频率不一样，与试验重复的次数 无关，所以①错误：抛螂两枚均匀硬币一次，包含的样本，点是 (正，正)，（正，反），（反，正），（反，反），所以出现一正一反的概 是号，所以②特误若买一张彩来中奖是随机事件，买这种彩示 一千张也不一定会中奖，所以③错误；“投篮一次，求投中的概 率”，投篮的结果中与不中概率不相等，不燕于古典概型概率问 题，所以④错误，故选A 2D由频率和概率的桃念，可知出现正面朝上的频单是 00-0.45,而出现正面朝上的概率是0.5. 3.三抑两枚硬币，样本空间2=(（正，正），（正，反），（反 正)，（反，反）}，共包含4个样本点，其，点数和分别为4,3,3,2， 别选二班和选回底的概非斯是，选三意的概率为子-子：故 选三班的概率最大 4.1500由题意可得，从池塘内捞出100条鱼，其中有标 记的有2条，所以池塘中有标记的鱼的概率为100一0 21 又因为池塘内具有标记的鱼一共有30条， 30 所以可以估计城池塘内共有1=30X50=1500(条)鱼. 50 5.1000根据题表中数据可知合格品出现的频率为 0.94,0.92,0.96,0.95,0.95,因此抽一件产品为合格品的概平 约为0.95，因此要抽到950件合格品，大约需要抽查1000件 产品。 §4事件的独立性 ○基础落实·必备知识一遍过 知识点1 【思考辨析】 提示不是，相互独立事件是指事件A(或B)是否发生对事 件B(或A)发生的概率没有影响，是以它们能够同时发生为前 提：而对立事件首先应是互斥事件，是指不可能同时发生的两个 多件 【自主诊断】 1.(1)/(2)/(3)× 2.解因为样本空间n=(m,n)m,n∈1,2,3,4)，且 m≠n},A={(1,2),(1,3),(1,4),(2,1),(2,3),(2,4)},B= {(1,2),(2,1),(3,1),(3,2),(4,1),(4,2)},所以P(A)= PB)-是-PB)-最- 此时PAB)≠P(A)P(B),因此，享件A与事件B不独立. 知识点2 【思考辨析】 提示因为甲击中和乙击中是相互独立事件，因此可利用 P(AB)=P(A)P(B)求解，得P(AB)=0.8×0.7=0.56. 【自主诊断】 1解设A1,A:分别表示甲两轮猜对1个，2个成语的事 件，B1,B分别表示乙两轮精对1个，2个成语的事件 根据独主性假定，得PA)=是×号+×是=， PA,)-(》'=P(B,)=号×+号×号= P(B,)=(号)”=青设A=“两轮活动里队精对3个成 语”，则A=A1B2UA:B,且A1B:与AzB:互斥，A:与B:, A:与B1分别相互独立，所以P(A)=P(AB:)+P(A2B1)= PA,)P(B,)+P(A,)P(B)=8X9+i6×9-i2 3×4+9×4=5 国此，“里队”在两轮活动中精对3个减语的概率是品。 2.解(1)记事件A:甲投中，B:乙投中，因为A与B相互独 立，所以P(AB)=P(A)P(B)=0.7×0.8=0.56, 7