6.2.2 分层随机抽样-【志鸿优化训练】2025-2026学年高中数学必修第一册(北师大版)

数学「第六章统计 3.假设要考察某公司生产的500克袋装牛奶的质 4.要从某汽车厂生产的30辆汽车中随机抽取 量是否达标，现从800袋牛奶中抽取60袋进行 3辆进行测试，请选择合适的抽样方法，并写出 检验.利用随机数法抽取样本时，先将800袋牛 抽样过程 奶按000,001，…，799进行编号，如果从随机数 表第8行第7列的数开始向右读，请你依次写 出最先检测的5袋牛奶的编号 .(下面摘取了随机数表第7行至第9行) 8时42175331】57245药063770M7447672176385025 32120676 63016378591695556719981050717512867358074439523579 3811234297845607粒524207443骜1510的13429966022954 2.2分层随机抽样 1.理解分层随机抽样的概念 2.掌握分层随机抽样的步骤，会利用分层随机抽样从总体中抽取样本. 学习目标 3.能解决分层随机抽样中的计算问题. 4.能综合运用简单随机抽样与分层随机抽样解决相关问题 基础落实·必备知识一遍过 知识点1分层随机抽样 的个体数在总体中所占的比例得到. 1.定义 思考辨析 将总体按其属性特征分成互不交叉的若干 某地区有高中生7400人，初中生10900人，小 类型（有时称作层），然后在每个类型中按照所占 学生11000人当地教育部门为了了解本地区中小 比例随机抽取一定的个体，这种抽样方法通常叫 学生的近视情况及其形成原因，要从本地区的中小学 作分层随机抽样 生中抽取1%的学生进行调查，为了抽样方便，能不 2.特点 能只从小学生或初中生或高中生中抽取中小学生总 (1)分层随机抽样适用于已知总体是由差异 数的1%？你认为应当怎样获取样本才更为合理？ 明显的几部分组成： (2)分成的各层互不重叠； 自主诊断 (3)各层抽取的比例都等于样本容量在总体 1.判断正误.（正确的画√，错误的画X) 中的比例，即，其中n为样本容量，N为总体 (1)分层随机抽样中每层抽样的可能性是不相 等的， () 中的个体数 (2)分层随机抽样时，样本是在各层中分别抽取. (4)各层抽样可以按简单随机抽样进行。 () 名师点睛 (3)在统计实践中选择哪种抽样方法关键是看总体 容量的大小 () 关于分层随机抽样应注意的问题 (4)分层随机抽样中，个体数量较少的层抽取的样 (I)分层随机抽样中分多少层，如何分层要视具体 本量较少，这是不公平的。 () 情况而定，总的原则是每层内样本的差异要小，不同层 (5)分层随机抽样中，每层样本的抽取可以用抽签 之间样本的差异要大，且互不重叠 法或随机数法。 (2)每一层抽取的个体数由样本容量乘以这一层 168 §2抽样的基本方法 2.(人教A版教材习题改编)高二年级有男生490人， 女生510人，张华按男生、女生进行分层，通过分层 随机抽样的方法，得到男生、女生的平均身高分别 为170.2cm和160.8cm.如果张华在各层中按比 例分配样本，总样本量为100，那么在男生、女生中 分别抽取了多少名？在这种情况下，请估计高二年 级全体学生的平均身高 知识点2分层随机抽样的步骤 样本，若样本中的青年职工为14人，则样本容量为 () 1.分层：根据已经掌握的信息，按某种标准 A.14 B.30 C.50 D.70 将总体分成互不交叉的若干部分 2.某校做了一次关于“感恩父母”的问卷调查，从8一 2.求比：根据总体中的个数N和样本容量n 10岁，11~12岁，13~14岁，15~16岁四个年龄段 计算比例K=是 回收的问卷数量依次为120,180,240，x.因调查需 要，从回收的问卷中按年龄段分层抽取容量为300 3.定数：确定第i层应该抽取的个体数为 的样本，其中在11~12岁学生问卷中抽取60份， n:=N:×K(N:是第i层所包含的个体数)，使 则在15~16岁学生中抽取的问卷份数为 得各层抽取的样本之和等于样本容量. 3.(人救B版教材例题)某科研院所共有科研人员 4.抽样：按照第3步中确定的应在各层抽取 800人，其中具有高级职称的160人，具有中级职 的个体数，分别在各层抽取样本，然后合在一起 称的320人，具有初级职称的240人，无职称的80 就得到所需要抽取的容量为n的样本 人，欲了解该科研院所科研人员的创新能力，决定 抽取100名科研人员进行调查，应怎样进行抽样？ 思考辨析 在分层随机抽样中，总体的个体数、样本量、各层 的个体数、各层抽取的样本数这四者之间有何关系？ 自主诊断 1.某单位有职工1500人，其中青年职工700人，中 年职工500人，老年职工300人，为了了解该单位 职工的健康状况，用分层随机抽样的方法从中抽取 重难探究·能力素养速提升 探究点一 分层随机抽样的概念 【例1】(1)下列问题中，最适合用分层随机抽 抽取12人了解有关情况 样抽取样本的是() C.从某校1000名高中一年级学生中，抽取 A.从10名同学中抽取3人参加座谈会 100名调查上学途中所用时间 B.一次数学竞赛中，某班有10人在110分以 D.从生产流水线上，抽取样本检查产品质量 上，40人在90~100分，12人低于90分，现从中 169 ⊙数学「第六章统计 (2)分层随机抽样将相似的个体归入一类 2,使用分层随机抽样应遵循的两个原则“ (层)，然后每类抽取若干个个体构成样本，所以分 (1)将相似的个体归入一类，即为一层，分层要求每 层随机抽样为保证每个个体等可能抽样，必须 层的各个个体互不交叉，即遵循不重复、不遗漏的原则； (2)分层随机抽样为保证每个个体等可能入样，需 A.每层等可能抽样 遵循在各层中进行简单随机抽样，每层样本数量与每 B.每层可以不等可能抽样 层个体数量的比等于样本容量与总体中个体数的比 C.所有层按同一抽样比例等可能抽样 ★变式训练1某校有1700名高一学生， D.所有层抽取的个体数量相同 1400名高二学生，1100名高三学生.高一数学 [课堂笔记] 兴趣小组欲采用分层随机抽样的方法在全校抽取 42名学生进行某项调查，则下列说法正确的是 () A高一学生被抽到的可能性最大 B.高三学生被抽到的可能性最大 规律方法1.使用分层随机抽样的前提 C.高三学生被抽到的可能性最小 分层随机抽样的适用前提条件是总体可以分层， D.每名学生被抽到的可能性相等 层与层之间有明显区别，而层内个体间差异较小 探究点二 分层随机抽样的方案设计 【例2】一个单位有职工500人，其中不到35 ★变式训练21(1)某单位有老年人28人， 岁的有125人，35岁至49岁的有280人，50岁及 中年人54人，青年人81人.为了调查他们的身体 50岁以上的有95人，为了了解这个单位职工与 状况，从他们中抽取容量为36的样本，最适合抽 身体状态有关的某项指标，要从中抽取100名职 取样本的方法是( 工作为样本，职工年龄与这项指标有关，应该怎样 A.抽签法 抽取？ B.随机数法 [课堂笔记] C,先从老年人中剔除1人，再用分层随机抽样 D.以上三种方法均合适 (2)某工厂有在编人员100人，其中副处级以 上千部10人，一般干部20人，工人70人.上级部 门为了了解他们对机构改革的意见，要从中抽取 一个容量为20的样本，试确定用何种方法抽取， 请具体实施操作。 规律方法 应用分层随机抽样的解题策略 在分层随机袖样的过程中，为了保证每 个个体被柚到的可能性是相同的，这就 要求各层所袖取的个体数与该层所包含 的个体数之比等于样本容量与总体的个 体数之比，即：N=n:N 分层后，可采用简单随机抽样取出各层 中的个体，一定要注意按比例抽取当湘 样比例不是整数时，可在该层随机剔除 部分个体 170 §2抽样的基本方法 操究点三抽样方法的综合应用 【例3】选择合适的抽样方法抽样，写出抽样 「变式训练3下列问题中，采用怎样的抽样 过程 方法较为合理？ (1)有甲厂生产的30个篮球，其中一箱21 (1)从10台冰箱中抽取3台进行质量检查； 个，另一箱9个，抽取3个； (2)某学校有160名教职工，其中教师120名， (2)有30个篮球，其中甲厂生产的有21个， 行政人员16名，后勤人员24名，为了了解教职工 乙厂生产的有9个，抽取10个： 对学校在校务公开方面的意见，拟抽取一个容量 (3)有甲厂生产的300个篮球，抽取10个. 为20的样本。 下面给出的是随机数表中的第8行到第 12行 27486198718441487086288885191620 747701111630.240429797991 96835125 5379707626942927 4399551981068501 92644607 20213920 77663817 32561840 58587766 317005002593054553707814 [课堂笔记] 4+4 444 4 规律方法抽样方法的选取 (1)若总体由差异明显的几个层次组成，则选用 分层随机抽样： (2)若总体没有差异明显的层次，则考虑采用简 单随机抽样.当总体中个体数较小时宜用抽签法；当 总体中个体数较大，样本容量较小时宜用随机数法. 171 数学|第六章统计 本节要点归纳 (3)分层随机抽样的设计与应用， 1.知识清单： 2.方法归纳：方程思想. 3.常见误区：计算错误导致各层抽样数量错误 (1)分层随机抽样的概念及适用情形； (2)分层随机抽样中的计算问题； 式学以致用·随堂检测促达标 1.某次娱乐节目中有A,B,C三个方阵，其人数 4.(2025安徽宿州高一期末)某校高中部高一、高 之比为3：3：4，现用分层随机抽样方法抽出 二、高三学生人数之比为5：4：3，其中女生有 一个容量为n的样本，方阵A被抽出人数为 600人，现准备从该校所有高中学生中抽取容 12人，则此样本容量n为() 量为120的样本.若根据年级采用按比例分配 A.20 B.25 的分层随机抽样，抽取的高三学生人数为；若 C.30 D.40 根据性别采用按比例分配的分层随机抽样，抽 2.某学校的教师配置及比例如图所示，为了调查 取的女生人数为m,且m一n=10,则该校高中 各类教师的薪资状况，现采用分层随机抽样的 部学生人数为 方法抽取部分教师进行调查.在抽取的样本中， 5.某企业共有3200名职工，其中青、中、老年职 青年教师有30人，则该样本中的老年教师人数 工的比例为3：5：2.若从所有职工中抽取一 为() 个容量为400的样本，则采用哪种抽样方法更 合理？青、中、老年职工应分别抽取多少人？ 中年教师 30% 老年教师 20% 青年教师 50% A.10 B.12 C.18 D.20 3.①教育局督学组到校检查工作，临时需在高三 20个班中抽两个班听课；②某班一次数学测试 中有14人在120分以上，35人在90~119分， 7人在90分以下，现从中抽出8人研讨，进一 步改进教与学：③某班春节聚会，要产生两位 “幸运者”.上述三种情况，合适的抽样方法分别 为() A.分层随机抽样，分层随机抽样，简单随机抽样 B.分层随机抽样，简单随机抽样，分层随机抽样 C.简单随机抽样，简单随机抽样，分层随机抽样 D.简单随机抽样，分层随机抽样，简单随机抽样 172抽样要求是不放回袖样.(4)是简单随机抽样，因为总体中的个 体数是有限的，并且是从总体中逐个进行抽取的，是不放回，等 可能的抽样.(5)不是简单随机抽样.因为指定了数学成绩较好 的6名同学参加竟赛，不存在随机性，不是等可能抽样 【变式调练1】DA中平面直角坐标系中有无数个点，这 与要求总体中的个体数有限不相符，故错误；B中一次性抽取不 符合简单随机抽样逐个抽取的特点，故错误，C中挑选50名优 秀的战士，不符合简单随机袖样的等可能性，故错误， 探究点二简单随机抽样的应用 【例2】解第一步，将30架钢琴编号，号码是01,02，…，30. 第二步，将号码分别写在外规、质地等无差别的小纸片上 作为号签. 第三步，将小纸片放入一个不透明的盒里，充分搅匀 第四步，从金中不放回地逐个抽取5个号签，与号签上编号 相同的钢琴进入样本。 【变式训练2】解(1)将20名志愿者编号，号码分别是1， 2,…,201 (2)将号码分别写在20张大小、形状、质地都相同的纸条 上，揉成团，制成号签： (3)将所有号签放在一个不透明的袋子中，并搅拌均匀： (4)从象子中依次不放回地抽取5个号签，并记录下上面的编号： (5)所得号码对应的志愿者就是志愿小组的成员 【例3】227,665,650,267从随机数表第3行第6列的数2 开始向右读第一个小于850的数字是227，第二个数字是665， 第三个数字是650，第四个数字是267. 【变式探究】(1)668,273,105,037 (2)解可将1110粒种子依次编号为0001,0002，…，1110. ©学以致用·随堂检测促达标 1.ABC简单随机抽样，除具有A,B,C三个特，点外，还具 有等可能性，每个个休被抽取的机会相等，与先后顺序无美， 2.D据题意，总体是指800名新入学同学的中考数学成 绩，样本是指抽取的100名同学的中考数学成绩，个体是指每名 同季的中考数学成绩，样本容量是100，故只有D正确 3.785,567,199,507,175 4,解由于总体中的个体数和样本客量都较小，因此可采用 抽签法抽取样本，抽样过程如下： 第一步，将30辆汽车进行编号，号码是1,2,3，“，30： 第二步，将号码分别写在大小、形秋、质地都相同的纸条上 揉成团，制成号签： 第三步，将全部号签放入一个不透明的袋子中，并搅拌均匀： 第四步，从袋子中依次物取3个号签，并记录上面的编号， 第五步，所得号码对应的3龋汽车就是要抽取的对象， 2.2分层随机抽样 ○基础落实·必备知识一遍过 知识点1 【思考辨析】 提示不能，因为不同年龄阶段的学生的近视情况可能存在 明显差异，为了使样本具有较好的代袁性，应该分高中、初中、小 学三个层次按人数比例进行分层随机抽样， 【自主诊断】 1.1)×(2)/(3)×(4)×(5) 490 2解n-490+510×100-49, 510 n*-490+510X100=51. 估计高二年级全体学生的平均身高为 170.2X490+160.8X510=165.406(cm. 490+510 知识点2 【思考辨析】 提示设总体的个体数为N,样本量为n,第(：=1,2，…， )层的个休量为N,各层袖取的样本量为，测则是一是这四 者中，已知其中三个可以求出另外一个 【自主诊断】 1B设样本客量为N,由题老得总品： 解得N=30. 2120由题多可得品-10+120+云解得x= 300 360,放在15~16岁学生中抽取的问卷份数为30×0=120， 3.解用分层袖样】 设样木中具有高纸取称的人款为，器高得工 20,即要袖取具有高级职称的科研人员20人 类似地，可以算得要抽歌具有中级职称的科研人员40人， 具有初级职称的科研人员30人，无职称的科研人员10人 ○重难探究·能力素养速提升 探究点一分层随机抽样的概念 【例1】(1)B(2)C(1)A中总体的每个个体无明显差异 且个数较少，适合用简单随机抽样，C和D中总体个体无明显 差异且个数较多，不适合用分层随机抽样：B中总体个体差异明 显，适合用分层随机抽样 (2)保证每个个体等可能的被袖取是简单髓机抽样与分层 随机抽样的共同特征，为了保证这一点，分层随机抽样时必须在 所有层都按同一抽样比例等可能物取 【变式训练1】D在分层随机袖样中，每个个体被抽到的 可能性相等，故每名学生被抽到的可能性相等，故选D. 探究点二分层随机抽样的方案设计 【例2】解因为职工年龄与这项指标有关，故采用分层随机 袖样 步骤如下： (1)分层.按年龄将职工分成三层：不到35岁的职工：35岁 至49岁的职工：50岁及50岁以上的职工. (②)确定每层抽取个体的个数.抽样比倒为00=1， 500=5,则在 不到35岁的职工中热125×号-25（人）：在35岁至9岁的职 工中抽280×号=56（人）：在50岁及50岁以上的职工中抽 95x号=19人)。 (3)在各层分别按抽签法或随机数法抽取样本。 (4)综合每层抽样，组成样本 【变式训练2】(1)C因为总体由差异明显的三部分组成， 所以考虑用分层随机抽样.固为总人数为28十54十81=163，样 本家量为36，按需的比例抽样，无法得到整数，所以考意先制 除1人，#抽样北变为隐一号若从老年人中随机地制除】 人，则老年人应抽取27×号=6（人），中年人应物取54×号 12(人)，青年人应抽取81X号-18（人），从而组减容量为36的 样本。 (2)解因机构改革关系到每个人的利益，故采用分层随机 袖样方法较合适】 -5-29-14-4 ∴，从副处级以上千部中抽取2人，从一般千部中抽取4人， 从工人中抽取14人， 副处级以上干部与一般干部人数都较少，把他们分别按 1一10编号和1~20编号，然后采用抽签法分别抽取2人和 4人 对工人70人进行00,01，·，69编号，然后用随机数法抽取 14人.这样便得到了一个容量为20的样本」 探究点三抽样方法的综合应用 【例3】解(1)总体个数较小，用简单随机抽样中的抽签法 ①将30个篮球编号，编号为00,01，…，29： ②将以上30个编号分别写在完全一样的小纸条上，揉成小 球，制成号荟： ③把号签放入一个不透明的袋子中，充分搅拌： 4 ④从袋子中逐个抽取3个号签，并记录上面的号码： ⑤找出和所得号码对应的篮球即可得到样本 (2)总体由差异明显的两个层次组成，需选用分层随机抽样 ①境定热取个数因为品-言·所以甲厂生产的应尚取 2分=（个），乙厂生产的应抽取号=3（个月 ②用抽签法分别抽取甲厂生产的篮球7个，乙厂生产的篮 球3个，这些篮球便组成了我们要抽取的样本。 (3)总体个数较大，样本客量较小，宜用简单随机抽样中的 随机数法 ①将300个篮球用随机方式编号，编号为001,002，·， 300: ②在随机数表中随机地确定一个数作为开始.如从第8行 第1列的数“2”开始，向右读： ③从数“2”向右读，每次读三位，凡不在001一300中的数跳 过不读，通到读到的也跳过不读.依次得到：274,164,207,011， 116,297,076,269,068,072,这就是所抽取的10个样本个体的 号码 【变式训练3】解(1)抽签法，总体中个体数较小，宜用抽签 法，(2)分层随机抽样，由于学校各类人黄对这一问题的看法可 能差异校大，用分层随机抽样 ©学以致用·随堂检测促达标 1.D因为A,B,C三个方阵，其人数之比为3·34，现 用分层随机抽样方法抽出一个容量为n的样本，则A方阵抽取 的人数占样本容量的3+3十410 33 又方阵A被抽出人数为12， 所以此样本容量n为 为1=40.故选D. 10 2.B设该样本中的老年教师人数为x,由分层随机抽样的 特点得婴-碧器影解泽=2故法B 3.D①20个班抽两个班用简单随机抽样.②由于学生分 成了差异比较大的几层，应用分层随机抽样.③由于总体与样本 容量较小，应用简单随机抽样.故选D. 4.1800设该校高中部高一、高二、高三人数分别为5的， k,3k,依题意得器×120瓷×120=10，解得6=150，所以 12k=1800,所以城校高中事人数为1800. 5.解因为总体由差异明显的三部分（青、中、老年）组成，所 以采用分层随机袖样的方法更合理 因为青、中、老年职工的比例是3：512，所以应分别抽取 青年职工400×品-120（人）： 中年职工40×5=200（人）： 10 老年取工400X品-80（人）. §3用样本估计总体的分布 3.1从频数到频率 3.2频率分布直方图 ©基础落实·必备知识一遍过 知识点1 【思考辨析】 1,提示不分组很难看出样本中的数据所包含的信息，分组 后，计算出频率，从而估计慈体的分布特征 2.提示频数分布表能使战们清楚地知道数据分布在各个 小组的个数，而频率分布直方图则是从各个小组数据在样本客 量中所占比例大小的角度来表示数据分布的规律 【自主诊断】 1.(1)/(2)×(3)× 2.解(1)因为频率分布直方图所有矩形的面积之和为1， 所以(0.12+0.22+0.36+a十0.12)×1=1， 解得a=0.18. (2)抽取的样本中，月均用水量不低于3t的家庭所占比例 为(a十0.12)×1=0.3=30%， 周此估计全市月均用水量不低于3t的家庭所占比例也为 30%,所求家庭数为100000×30%=30000. (3)因为0.12×0.5+0.22×1.5+0.36×2.5+0.18× 3.5+0.12×4.5=2.46 所以估计全市家庭月均用水量的平均数为2.46t 知识点2 【自主诊断】 (1)/(2)× ○重难探究·能力素养速提升 探究点一频数与频率的有关计算 频数 【例】40.】因为频率一祥本客量所以频数一频率× 样本容量，因为第五组的频率是0.2，所以频数是0.2X40=8, 第六组的频数是40一(5十6十7十10十8)=4，所以第六组的频 丰是0=0.1 探究点二画频率分布直方图、须率折线图 【例2】解在100个数据中，最大值为135，最小值为80，极 差为135-80-5，取组距为5，则组教为曾-11 (1)频率分布表如下： 分组 频数 频率 频率 组距 [80,85) 1 0.01 0.002 [85,90) 2 0.02 0.004 [90,95) 0.04 0.008 [95,100) 14 0.14 0.028 [100,105) 24 0.24 0.048 [105,110) 15 0.15 0.030 [110,115) 12 0.12 0.024 [115,120) 9 0.09 0.018 [120,125) 11 0.11 0.022 [125,130) 6 0.06 0.012 [130,135] 2 0.02 0.004 合计 100 1.00 0.200 (2)根据频率分布表中的有关信息画出领单分布直方图及 领率折线图，如图所示 4频率 组距 7580859095100105110115120125130135140 成绩分 (3)从频率分布表中可知，这100名考生的数学成绩在 [100,120)分之间的频率为0.24十0.15十0.12十0.09=0.60， 据此估计该省考生数学成绩在[100,120)分之问的比例为 60%. 【变式训练1】解(1)频率分布表如下： 质量分组/g 频数 频率 [10.75,10.85) 3 0.03 [10.85,10.95) 9 0.09 [10.95,11.05) 13 0.13 [11.05,11.15) 16 0.16 [11.15,11.25) 26 0.26 [1125,11.35) 20 0.20 [11.35,11.45) 7 0.07 [11.45,11.55) 4 0.04 [11.55,11.65] 2 0.02 合计 100 1.00 (2)频率分布克方图及频率分布折线图如图： 频率 (3)由上述图表可知数据落在[10.95,11.35)范围内的频率 为0.13+0.16十0.26+0.20=0.75=75%，即数据落在 [10.95,11.35)范围内的可能性是75%.