第2章 函数总结提升-【志鸿优化训练】2026-2027学年高中数学必修第一册(北师大版)

3.(2025贵州毕节高一期末)已知函数y= (2m一1)xm十n一2是幂函数，一次函数y 红+b>0,b>0)的图象过点m,n),则套十 石的最小值是 4.函数y=x3在区间[2,4幻上的最小值是 5.为了保证信息的安全传输，有一种密钥密码系 统，其加密、解密原理为：发送方由明文到密文 (加密)，接收方由密文到明文（解密）.现在加密 密钥为y=x“(a为常数)，如“4”通过加密后得 本章 ©知识网络·整合构建 函数 函数概念 函数表示 函数性质 两类函数 变量刻西函数 法 法 性 应 值 刻 的幕函数 ⊙专题突破·素养提升 专题一求函数的定义域、值域 1.定义域：关注解析式中的根号、分母、零次 幂有意义：抽象函数的定义域一般用代入法求解. 2.值域：首先考查函数类型，再确定函数在定义 域上的单调性，最后计算最值解题过程中要灵活应 用换元法、配方法等方法，含字母的要分情况讨论 【例1】(1)函数y=2x十I+√3一4z的定 义域为() A2别 c(-o, 本章总结提升 到密文“2”.若接收方接到密文“3”，则解密后得 到的明文是 6.比较下列各组中两个值的大小： (1)1.5与1.6； (2)0.6.3与0.713； (3)3.5与5.3号； (4)0.1883与0.1503. 总结提升 n(←2ouo,+∞y ★(2)若函数y=f(x)的定义域是[-2,4]， 则函数g(x)=f(一x)的定义域是() A.[-4,4] B.[-4,2] C.[-4,-2] D.[2,4] ③函数y后的值城为 [课堂笔记] 规律方法求函数的定义域，始终记住是求使 函数有意义的自变量x的取值范围：求函数的值域， 别忘了定义城优先的原则，另外，定义城、值城一定要 写成集合或区间的形式。 1变式训练1I(1)函数f(x)= 2x2 1-x (2x一1)°的定义域为( A(,》 B(分 c(》 D.(←o,u分) 95 。数学「第二章函数 ★(2)已知函数y=∫(x一1)的定义域是 [-1,2],则y=f(1-3x)的定义域为() C.[0,1] 专题二分段函数 1.作分段函数的图象、求单调区间、求值域或 最值、求解析式等问题的解决均可用四个字概 括—分段处理 2.掌握基本函数求值运算，会画简单函数的 图象，提升数学运算和直观想象素养 -x2十2x,x≥0， 【例2】已知函数f(x)= 是 x2+mI,I<0 奇函数 (1)求实数m的值： (2)若函数f(x)在区间[一1，a一2]上单调 递增，求实数a的取值范围. [课堂笔记] 缸规律方法已知函数的奇偶性求参数值，可利 用奇偶函数定义求解. 96 1变式训练2I已知函数f(x)= -x2-ax-5,x≤1， 2> 是R上的增函数，则实数a 的取值范围是( A[-3,0) B.(-o∞，-2] C.[-3,-2] D.(-∞，0) 专题三函数的性质及应用 1.函数的性质主要有定义域、值域、单调性和 奇偶性，利用函数的单调性和奇偶性求值、比较大 小、解不等式是重点题型，解不等式时经常结合图 象，要注意勿漏定义域的影响. 2.掌握单调性和奇偶性的判断和证明，会简 单的综合运用，提升数学抽象、逻辑推理和直观想 象素养。 【例3】设f(x)是定义在R上的函数，且满 足f(-x)=f(x),f(x)在(-∞，0)上单调递 增，且f(2a2+a+1)<f(2a2一4a+3),求实数 a的取值范围. [课堂笔记] 规律方法1，解决有关函数性质的综合应用问 题时，可以根据函数的奇偶性解答或作出图象辅助解 答，先证明函数的单调性，再由单调性求最值」 2.研究抽象函数的性质时要紧扣其定义，同时注 意根据解题需要给x灵活赋值 1变式训练31已知函数f)=mt+2是 3x十n 奇函数且f2)-号 (1)求实数m和n的值； (2)求函数f(x)在区间[一2，一1]上的最值 专题四函数图象的作法及应用 1.作函数的图象，可以用描点法，也可以用变 换法，要注意利用函数的单调性、周期性、奇偶性、 对称性简化作图， 2.借助函数的图象可以求函数值域、最值、单 调性、奇偶性等，重点是一次函数、二次函数、反比 例函数及幂函数图象 3.掌握简单的基本函数图象，提升直观想象 和逻辑推理素养 【例4】(1)在平面直角坐标系xOy中，若直 线y=2a与函数y=|x一a|一1的图象只有一个 交点，则实数a的值为 ★(2)已知函数f(x)=x2-2引x|十a,其中 x∈[-3,3]. ①判断函数f(x)的奇偶性； ②若a=一1，试说明函数f(x)的单调性，并 求出函数f(x)的值域： [课堂笔记] 本章总结提升· 44444“4 规律方法函数图象可以使问题变得直观，但 仍要结合代数运算才能获得精确结果】 1变式训练4I(1)对于任意x∈R,函数 fG)表示-x+3,号x+号2-4红+3中的较 3 大者，则f(x)的最小值是 (2)已知f(x)是R上的奇函数，且当x>0 时，f(x)=-x2十2x+2. ①求f(-1): ②求f(x)的解析式； ③画出f(x)的图象，并指出f(x)的单调 区间. 97· 数学「第二章函数 ©易错易混·衔接高考 1.已知f(x)是定义在[0,1]上的函数，那么“函 数f(x)在[0,1]上单调递增”是“函数f(x)在 [0,1]上的最大值为f(1)”的() A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要的条件 2.已知函数f(x)=a.x2-x(a≠0)，若对任意 x1,x2∈[2，十∞)，且x1<x2,都有 [f(x1)-f(x2)](x1一x2)>0,则实数a的取 值范围是( A(哈+ c[}+∞ n.(子+∞) 3.已知函数f(x)是定义在R上的奇函数，当x> 0时，f(x)=ax+十1，若f(-2)=5,则不等式 f(x)>2的解集为( A(-,-2U(o,6) B(-2oU(o,6) c(-∞，-2)U(6+) D.(-2,oU(6,+∞) 4.(多选题)已知函数f(x)=x2一2x一3，则下列 结论正确的是( A.函数f(x)的最小值为一4 B.函数f(x)在(0，十∞)上单调递增 C.函数f(x)为偶函数 D.若方程f(|x一1|)=a在R上有4个不等 实根x1,x2,x3,x4,则x1十x2十x3十x4=4 5.幂函数f(x)满足下列性质：(1)对定义域中任意 的x,有f(x)=f(-x):(2)对(0，十∞)中任意 的x1,x2(x1≠x2),都有(x2-x1)(f(x2) f(x1)<0,请写出满足这两个性质的一个幂 函数的表达式f(x) 98 6已知函数f)=x+号 (1)判断函数f(x)的奇偶性，并用定义法 证明； (2)写出函数f(x)的单调区间，并用定义法证 明某一个区间的单调性； (3)求函数f(x)在[2,9]上的最大值和最 小值5.9由随目可知加密密钥y=x是一个幂蓝数模型，所 以要想求得解密后得到的明文，就必须先求出α的值.由题意， 得2，解得a-分则y=子.由x=3,得x=9,即明文 是9 6.解(1)？茶画数y=工导在区间(0，十∞)上单调递增，且 1.5<1.61.53<1.63 (2):暴函数y一x在区间(0，+∞)上单调递增，且 0.6<0.7,0.63<0.713 (3八幂画数y=x导在区间(0，十∞)上单调递减，且 355.3,3.5>5.3号 (4):暴函数y=xa3在区间(0，十∞)上单调遂减，且 0.18>0.15,.0.18a3<0.15-8 本章总结提升 【专题突破·素养提升】 2x+120, 【例1】(1)B(2)B(3)(-1,1](1)由 解 3-4x≥0， 得-名<<，所以画数y=z币十尽-红的定义越为 [2], (2)由题知-2≤-x≤4，得-4≤x≤2 所以函数g(x)=f(一x)的定义域是[一4,2]. 1-x° @周为y号=-1+子 又函数的定义城为R, 所以x+1≥1，所以01十≤2，则y∈（一1.1 1-x>0, 【变式训练1】(1)D(2)C(1)由题意得 解得 2x-1≠0， x1且x≠号 (2)由一1≤x2,得-2x一1≤1， 所以一2≤1一3x≤1，解得0≤x1 【例2】解(1)设x<0,刚一x>0,∴f(-x)=-(一x)2+ 2(-x)=一x2-2x,又fx)为奇函数，∴f(-x)=一f(x),∴.当 x<0时，f(x)=x2+2x-x2+mx,m-2 (2)要使f(x)在[一1，a一2]上单调 递增，结合∫(x)的图象（如图所示），知 a-2>-1, a-2≤1， .1<a≤3，故实数a的取值范图是(1,3] -x2-ar-5x≤1， 【变式调练2】C图为函数f(x)= 是> 是R 上的增函数，则每一段函数都单调递增，则实数口满足 a<0, a<0, 号≥1，中a<-2,所以-3a≤-2 一6一a≤a, a≥-3， 【例3】解：f(x)是定义在R上的函数，且f(一x)=f(x), f(x)为偶函数.又f(x)在（一6∞，0）上单调递增， f(x)在(0，十∞)上单调递减. 又2a+a+1=2(e+)+话>0.2a-+8= 2(a-1)2+1>0,由f(2a2+a+1)<f(2a2-4a+3)知，2a2+ a+1>2a-如+3得6>2a>号， 实数a的取值范调是（号，+）， 【变式训练3】解(1)f(x)是奇函数，f(一x)■一f(x), 异者-号 又1@=音-号解得m=2 .实数m和n的值分别是2和0. 南a如)2法2号+是号+》 任取x1,x∈[-2，-1]，且x1<x2,则f(x1)-f(x2)= 号4-）-号 -2≤x1<x2≤-1，∴x1-x<0,x1x2>1,x1x%-10, ∴f(x1)-f(x)<0,即f(x1)<f(x). .函数f(x)在[-2，-1门上单调递增.f(x)的最大值为 f(-1)=-子f)的最小值为f(-2)=-吾 【例1①-号画数y=z-a-1 的图象如图所示，因为直线y=2a与函 数y=|x一a|一1的图象只有一个交 点，故2a=-1,将得a=子 (2)解①图为定义战[-3,3]关于原点对称，∫（一x)= (-x)2-2-x|+a=x2-2|x|+a=f(x),即f(-x)= f(x),所以f(x)是偶函数. ②当0≤x≤3时，f(x)=x2-2x-1=(x-1)2-2: 当-3≤x<0时，f(x)=x2+2x-1=(x+1)2-2. (x-1)2-2,0≤x≤3， 故f(x)= (x+1)2-2,-3≤x<0. 作出函数的图象，如图所示 所以函数(x)在区间[一3， -1门，[0,1门上单调递减，在(-1， 0),(1,3]上单调递增。 当0≤x3时，函数f(x) (x-1)2一2的最小值为f(1)=一2，最大值为f(3)=2: 当一3x<0时，函数f(x)=(x十1)2一2的最小值为 f(-1D=一2，最大值为f(-3)=2 故函数f(x)的值域为[一2,2]. 【变式训练4】(1)2首先应理解题意，“函数了(x)表 示一工十3，号：十号2-红十3中的酸大者”是指对来个区间而 吉，画数了)滚示-十3，号十号2-红十3中最大的一个 如图，分别画出三个函数 yx2-4x+3 的图象，得到三个交点A(0, /y=- 3),B(1,2),C(5,8).从图象 规察可得函数f(x)的表达式 为f(x)= x2-4x+3(x≤0)， 一x+3(0<x≤1)， +≤ 3 01、2345.2 1 =-x+3 x2-4x+3(x>5). (x)的图象是图中的实线部分，图象的最低点是点 B(1,2),所以f(x)的最小值是2. (2)解①由于盛数f(x)是R上的奇盛数，所以对任意的x 都有f(一x)=一f(x), 所以f(-1)=-f(1)=-(-1+2+2)=-3. ②设x<0,则-x>0,于是∫(-x)=-(-x)2-2x十 2=-x3-2x十2.又因为fx)为奇函数，所以f(-x)=-f(x), 因此f(x)=x2+2x一2.又因为f(0)=0, x2+2x-2,x<0, 所以f(x)=0,x=0, -x2+2x+2,x>0. ③先画出y=f(x)(x>0)的图象， y 利用奇函数的对称性可得到相应y f(x)(x<0)的图象，其图象如图所示. 由图可知，其单调递增区间为[一1,1门， 单调递减区间为（一o,一1]和[1，十∞）. 【易错易混·衔接高考】 1.A若函数f(x)在[0,1]上单调递增，由单调性的定义 可知，此时函数f(x)在[0,1]上的最大值为f(1),即充分性成 立：若函数f(x)在[0,1]上的最大值为f(1),则函数f(x)在 4 [0,1止不-定单调遂增，比如画数)=（红一号）广，故必要 性不成立.综上，“函数f(x)在[0,1]上单调递增”是“函数 f(x)在[0,1]上的最大值为f(1)”的充分不必要条件. 2.C因为f(x)=ax2-x对任意x1,x:∈[2，十∞)，且 x1<x2,都有[f(x1)一f(x:)](x1一x2)>0,所以f(x1) f(x2)<0,即f(x1)<f(x),所以f(x)在[2，+∞)上单调递 a>0, 嘴品2 解得e> 3.A因为函数∫(x)是定义在R上的奇函数，所以 f(-2)=-f(2)=5,则f(2)=-5,则2a+1=-5,所以 a■-3，则当x>0时，f(x)=一x+1:当x<0时，-x>0,则 f(x)=-f(-x)=-[-3×(-x)+1]=-3x-1.别当x>0 时，不等式fx)>号，即为-3红+1>，解得0<x<名：当 <0时，不等式f)>即为-3红-1>日解得红<- 故不等式的解集为(-∞，-号)U(0,日)】 4.ACD二次菡数 f(x)在x=1处取得最小 2 值，且最小值∫(1)=一4， 故A正确：二次函数f(x) =4=3-12345 10 的图象的对称轴为直线 x■1，其在(0，十o)上不具 有单调性，故B错误：由 fx)得，f(x)=x2一2引x|-3,显然fx)为偶函数，故C正 确：令h(x)=f(x-1)=|x一12一2x-1|一3，方程 f(x-ll)=a的零点转化为y=h(x)与y=a的交点，作出 h(x)图象如图所示，图象关于x=1对称，当y=h(x)与y=@ 有四个交点时，两两分别关于工■1对称，所以x1十xg十x十 x4=4,故D正确.故进ACD. 5.x(答案不唯一）由题意知暴西数f(x)满足性质：对定 义城中任意的x,有f(x)=f(一x),则函数为偶函数，又函数满足 对(0，十∞)中任意的x1,x(x1≠x),都有(x2一x1)(∫(x) f(x1)<0,可知画数在(0，十∞)上单调递减，故f(x)=x 满足題目中要求 6.解(Dfx)=x+9为奇画数，证明如下： x 因为f)=x+是的定义线为红r≠01，且f(-) -王-9=一fx),所以f(x)为奇函数 (2)f(x)=x+9的单调道增区间为(3，十o),(-0, 08 一3)，单调递减区问为(0,3)，（一3,0）. 下证f(x)在(0,3)上单调递减，在(0,3)上任取工1，xt,且 湖)-=+县-是=-计 (层）--) 因为0<x1<x2<3, 所以x1x<9,x1一x2<0, 所以f(x1)一f(x2)>0,则f(x)在(0,3)上单调递减， (3)由(2)知，f(x)在[2,3)上单调遁减，在(3,9]上单调递增. f0)=10,fe)-2+号-f3=3+号-6， 故f(x)在[2,9]上的最大值为10，最小值为6. 第三章指数运算与指数函数 §1指数幂的拓展 §2指数幂的运算性质 O基础落实·必备知识一遍过 知识点1 【思考辨析】 1.提示不正确，因为在指数幂的概念中，总有a>0. 2.提示不-定.当a≥0时，a-a,当a<0时，两者不 相等，知4=-4时，a子=(-4)子=一0=6=2，而 4子=（一4），无意义 3提示(a)”表示对于实数a先求n次方根，再对其进行 n次方运算，当n为任意正整数时，都有(a)”=a(n≠0). a表示对实数a先求n次方，再对结果进行n次方根运 「aa≥0，n≠0， 算，a=al= -a,a<0,n≠0 【自主诊断】 1.(1)×(2)×(3)√(4)× a 1D Ja.a -a a .a =a号= a解1-a.@-.8a手=}元 知识点2 【思考辨析】 提示指数暴的运算法则均要在所给式子有意义的条件下 才能成立，否则不一定成立，如(a')产就不一定等于(a).这 是周为当a<0时a2无意义. 【自主诊断】 1(1D×(2)√(3)√(4)× 2.Daa-a片-a票≠a,所以A错误a÷a- 。子=a≠a,所以B错误0。号=a+(号)=a=1≠ 0,所以C辑误：a)=a”=a,所以D正确.故选D ○重难探究·能力素养速提升 探究点一利用分数指数幂的定义求值 【例1】D由x=(2y)(y>0),则x=(2y)= 4y y2=1 度式调练】A由上于-4>0.得疗 探究点二根式的化简（求值） 【例2】解(1)原式=a一b十b-a=0. (2)原式=√x-1)-√x+3)=|x-1-x+3L. .当-3<x<1时，原式=-(x-1)-(x十3)=-2z-2 当1≤x<3时，原式=(x一1)-(x十3)=一4. |-2x-2,-3<x<1, 原式= -4,1≤x<3. 【变式探究】解由例题解析可知原式可化为x一1川一{x十3引， (1)若x<一3，则x一1<0，x十3<0， 故原式=-(x-1)-[-(x十3)]=4. (2)若x>3,则x-1>0,x十3>0， 故原式=(x-1)-(x十3)=一4 探究点三指数幂的化简与求值 【例3】解(1)原式=1+×（台）-()-1+ 1116 61015 ②-（停）++(》-3+器-+10+ 品-3+器-10 )原或=041-1+2+2+0,1-9-1++日 品湖 0原式-9-8×1)1-[3+（侵）门-10× 8-9}1-3-1