1.2.2 全称量词与存在量词-【志鸿优化训练】2025-2026学年高中数学必修第一册(北师大版)

合应为{a|a<0}的真子集，故B,D正确，A,C错误 探究点三由传递性判断命题间的关系 【例3】解(1)q是s的充分条件，g→s.q是r的必 要条件，∴r→g.s是r的充分条件，s今rs→r今q→ 即s是q的充要条件， (2)由r→q,g之s→r,知r是q的充要条件. (3):p是r的必要条件，r→p,g→r→中. “,p是q的必要不充分条件 【变式训练2】A如图所示，“甲是乙 甲 的必要条件，.乙→甲。 "”丙是乙的充分条件，但不是乙的必 要条件，，丙→乙，但乙不能推出丙。 综上，有丙→乙→甲，即丙是甲的充分条件，但不是甲的必 要条件 ○学以致用·随堂检测促达标 1.ACA,C中，p都是g的充要条件：B中，p是q的充分 不必要条件：D中，p是q的充分不必要条件 125-16a>0, 2,A由题知色<0， 解得a<0.故选A. 3.解可以作为贞角三角形的定义 因为“有两个角之和为90°的三角形”曰“有一个内角为90 的三角形”口“直角三角形”，即“有两个角之和为90°的三角形” 是“直角三角形”的充要条件，故“有两个角之和为90°的三角形 称为直角三角形”可以作为直角三角形的定义， 4,解周为“在三角形中，等角对等边”，所以∠B=∠C→ AC=AB,又因为“在三角形中，等边对等角”，所以AC=AB→ ∠B=∠C.因此△ABC中，∠B=∠C是AC=AB的充要条件. 2.2全称量词与存在量词 ©基础落实·必备知识一遍过 知识点1 1.2.所有元素 【思考辨析】 1.提示常见的全称量词还有“任给“凡几是”等」】 2提示是全称量词命题.它的量词是“所有的”(“每一个” 等)，即所有的自然数都是正整数」 【自主诊断】 1.(1)/(2)×(3)/(4)× 2.解Vn∈N,n2≥0. 3.解(1)2是素数，但2不是奇数，所以，全称量词命题“所 有的素数是奇数”是假命题」 (2)Vx∈R,总有x≥0，因而|x|十1≥1，所以，全称量词 3 命题“Vx∈R,x|十1≥1”是真命题 (3)W2是无理数，但（√2）”=2是有理数，所以，全称量词命 题“对每一个无理数x,x2也是无理数”是假命题 知识点2 【思考辨析】 1.提示这些短语在陈述中表示所述事物的个体或部分，称 为存在量词.含有存在量词的命题，叫做存在量词命题」 2.提示常见的存在量词还有“有的”“对某些”等」 【自主诊断】 1.(1)√(2)/(3)√(4)√ 2.解(1)3(x,y)∈(xy)z∈R,y∈R,2x+3y+3<0. (2)3xZ,x既能被2整除，又能被3整除 (3)3x∈{xx是四边形)，x不是平行四边形. 3.解(1)由于△=22一4×3■一8<0，固此一元二次方程 x2+2x十3=0无实根，所以，存在量词命题“有一个实数x,使 x2+2x十3=0”是假命题. (2)由于平面内垂直于同一条直线的两条直线互相平行，因此 平面内不可能存在两条相交直线垂直于同一条直线所以，存在量 词命题“平面内存在两条相交直线垂直于同一条直线”是假命题 (3)由于正方形既是平行四边形又是菱形，所以存在量词命 题“有些平行四边形是菱形”是真命题 知识点3 【思考辨析】 提示①②是全称量词命题，它们的否定是存在量词命题， ③④是存在量词命题，它们的否定是全称量词命题」 【自主诊断】 1.(1)/(2)/(3)/ 2.(1)B(2)D 3.解(1)任意一个平行四边形，它的对角线互相平分： 它的否定：存在一个平行四边形，它的对角线不互相平分」 (2)任意三个连续整数的乘积是6的倍数： 它的否定：存在三个连续整数的乘积不是6的倍数 (3》存在一个三角形不是中心对称图形： 它的否定：所有的三角形都是中心对称图形 (4)存在一个一元二次方程没有实数根： 它的否定：任意一元二次方程都有实数根 ©重难探究·能力素养速提升 探究点一全称量词命题与存在量词命题的辨析 【例1】解因为(1)含有存在量词，所以命题(1)为存在量词 命题：因为“自然数的平方是正数”的实质是“任意一个自然数的 平方都是正数”，所以(2)含有全称量词，故为全称量词命题， 棕上所述，(1)为存在量词命题，(2)为全称量词命题 【变式训练1】①②③④ 33 探究点二全称量词命题与存在量词命题的真假判断 【例2】解(1)这是存在量词命题，因为-1∈Z,且（一1）3 一1<1，它是真命题 (2)这是存在量词命题，是真命题.如梯形是四边形，不是平 行四边形， (③)这是全称量词命题.由有序实数对与平面直角坐标系中 的点的对应关系知，它是真命题 (4)这是全称量词命题.图为0∈N,0=0,所以命题“Vx∈ N,x2>0”是假命题. 【变式训练2】解(2)是全称量词命题，(1)(3)是存在量词命题. (1)真命题.存在一个实敏0，它的绝对值不是正数 (2)假命题，如边长为1的正方形，其对角线的长度为√2， √2就不能用正有理数表示」 (3)假命题，方程x2十x十8■0的判别式△=一31<0，故 方程无实数解 探究点三全称量词命题与存在量词命题的否定 【例3】解(1)命题p的否定“存在正数x,使√x≤x一1” (2)命题《的否定“存在一个三角形有两个或两个以上的 外接圆或没有外接圆” (3)命题r的否定“所有三角形的内角和都小于或等于180” (4)命题5的否定“所有的素数都不是奇数” 【变式训练3】解(1)命题p的否定“3x∈，x2一x十 }<0,是假◆题：Vx∈Rr2-x+}=(-2)≥0恒 成主，∴命题p的否定是假命题 (2)命题q的否定“至少存在一个正方形不是矩形”，是假 命题」 (3)命题r的否定“Vx∈R,x2+3x十7>0，是真命题 :VxER2+3x+7=(+)'+9>0恤减立， 命题r的否定是真命题 (4)命题s的否定“对任意实数x,使x3十1≠0”，是假 命题.：当x=一1时，x3十1=0，.命题s的否定是假命题 探究点四根据命题的真假求参数的取值范围 【例4】{aa>-1}若“3x∈R,x2+2x-a<0"”是真命 题，则△>0，即4十4a>0,解得a>一1，故实数a的取值范图为 {aa>-1. 【变式训练4】解不等式m一(x-2xa十5)>0可化为 m>x8-2x。十5=(x。一1)2+4，若存在一个实数x0,使不等式 m>x。一2x0十5成立，只需m>4, 故所求实教m的取值范图是{mm>4} ○学以致用·随堂检测促达标 1.C 3 2.AB选项A中，存在x=一1<0，使x2一2x一3=0，故 正确：选项B中，对于一切实数x<0,都有x>x饭成立，故 正确：选项C中，3x=一2∈R,√=2，则√公≠x,故错误： 选项D中，3n■2∈N,,2m2+5m十2=20能被2整除，为真命 题，故错误.故选AB 3.B因为当x■0时，x|■一x成立，故命题p为真命 题，门p为假命题： 当x=1时，x3一1=0，故命题g为假命题，一g为真命题. 故选B 4{kk≤5}设y=x2+1,-2≤x≤2，则1≤y≤5因为 “]x∈[-2,2]，使≤x2+1成立”是真命题，所以≤5，故k 的取值范国为{快k≤5》. 5.解(1)该命题中含有“有一些”，是存在量词命题.如等腰 三角形中就存在两个内角相等，故该命题是真命题， (2)该命题是存在量词命题， 因为x2+2x十4=(x十1)2+323， 所以不存在x∈R,使x2十2x十40，故该命题是假命题 (3)孩命题是全称量词命题.当x∈Z时，因为2x一1是整 数，且不能被2整除，所以2x一1是奇数，故该命题是真命题. §3不等式 3.1不等式的性质 ©基础落实·必备知识一遍过 知识点1 【思考辨析】 提示通常是通过判断它们的差(a一b)的符号来比较它们 的大小，当4与b同号且都不为0时，也可通过它们的商与1的 大小关系来比较它们的大小 【自主诊断】 1.(1)×(2)√(3)√/ 2.解因为(x+2)(x+3)一(x+1)(x十4)=(x2+5x+ 6)-(x2+5x+4)=20,所以(x+20(x+3)>(x+1)(x+4. 知识点2 【自主诊断】 1.(1)/(2)×(3)×(4)/ 2.B对于A,当a■一1>b■一3时，la<lb,故A错误：对 c(a-b) 于B,国为a>b>c≥0，可得.十6十at060入0 所以Q 故B正确；对于C,由a<<0,可得品>0，则 a十cb+c 时，c2(a一b)=0,故D错误，故选B§2常用逻辑用语 2.2全称量词与存在量词 1,通过已知的数学实例，理解全称量词与存在量词的定义. 学习目标 2.掌握判断全称量词命题与存在量词命题. 3.能正确使用存在量词对全称量词命题进行否定；能正确使用全称量词对存在量词命题进行否定. 基础落实·必备知识一遍过 知识点1全称量词与全称量词命题 2.命题“自然数是正整数”是全称量词命题吗？ 它的量词是什么？ 1全称量词： 在命题中，诸如“所有”“每一个”“任意”“任 何”“一切”这样的词叫作全称量词，用符号 自主诊断 ”表示，读作“对任意的” 1.判断正误.（正确的画/，错误的画×） 2.全称量词命题： (1)全称量词命题是陈述某集合中所有元素都具有 在给定集合中，断言 都具有同一 某种性质的命题 () 种性质的命题叫作全称量词命题.全称量词命题 (2)全称量词命题一定含有全称量词. ( “对M中任意的x,有p(x)成立”可用符号简记 (3)“所有的素数都是奇数”是全称量词命题.() 为“Vx∈M,p(x)”.其中M是给定的集合， (4)“至少有一个三角形没有外接圆”是全称量词 p(x)是一个关于x的语句. 命题 () 2.用符号“V”表示命题：自然数的平方大于或等 名师点睛 于零 1.全称量词命题表示的数量可能是无限的，也可 能是有限的，由题目而定 2.一个全称量词命题可以包含多个变量，如 “Vx,y∈R,x2+y2≥0” 3.(人教A版教材例题)判断下列全称量词命题的真假： 3.有时全称量词是省略的，理解时需要把它补充 (1)所有的素数都是奇数： 出来.如：“正方形是矩形”应理解为“所有的正方形是 (2)Hx∈R,x|+1≥1： 矩形” (3)对任意一个无理数x,x2也是无理数 思考辨析 1.常见的全称量词还有哪些？ 知识点2存在量词与存在量词命题 “了x∈M,p(x)”.其中M是给定的集合，p(x) 1.存在量词 是一个关于x的语句. 在命题中，诸如有些”“有一个“存在”这样的 名师点睛 词叫作存在量词，用符号“了”表示，读作“存在” 1.含有存在量词的命题，不管包含的程度多大， 2.存在量词命题 “至少有一个元素 都是存在量词命题. 在给定集合中，断言某些元素具有一种性质 2.一个存在量词命题可以包含多个变量，如 的命题叫作存在量词命题.存在量词命题“存在 “3a,b∈R,(a十b)2=(a-b)2” M中的一个x,使p(x)成立”可用符号简记为 3.有些命题中虽然没有写出存在量词，但其意义具 备“存在”“有一个”等特征的命题都是存在量词命题 31 数学「第一章预备知识 思考辨析 (3)全称量词的含义是“任意性”，存在量词的含义 是“存在性” 1,给出下列命题：①有些矩形不是平行四边形： (4)“一元二次方程ax2+2x十1=0有实数解”是 ②存在一个x∈R,使得x2≤0；③至少有一个菱形的 存在量词命题. ( 对角线不垂直；④有的自然数不是正整数 2.用符号“3”表示下列命题： 上述命题中的“有些”“存在一个”“至少有一个” (1)存在一个实数对(x,y),使2x十3y+3<0成立； “有的”都表示什么含义？如何定义这类命题？ (2)有些整数既能被2整除，又能被3整除； (3)某个四边形不是平行四边形 2.常见的存在量词还有哪些？ 3.(人教A版教材例题)判断下列存在量词命题的 真假： 自主诊断 (1)有一个实数x,使x2+2x十3=0： 1.判断正误.（正确的画√，错误的画×） (2)平面内存在两条相交直线垂直于同一条直线： (1)存在量词命题是陈述某集合中存在一个或部分 (3)有些平行四边形是菱形. 元素具有某种性质的命题 () (2)“在实数集内，有些一元二次方程无解”是存在 量词命题 () 知识点3 全称量词命题与存在量词命 p(x)的同时，改变量词的属性，即将全称量词改为存 题的否定 在量词，将存在量词改为全称量词。 3.常见词语的否定 1.命题的否定 所有的 通常，对命题p进行否定，就得到一个新的 原词语 存在 任意的 是 命题，用符号“一p”表示，读作“非p”或“p的 否定 存在有 所有的 某些个 不是 原词语 都是 等于 大于 否定” 否定 不都是 不等于 不大于 2.全称量词命题的否定 全称量词命题的否定是存在量词命题！ 思考辨析 对于全称量词命题“Vx∈M,p(x)”的否 已知命题：①所有的矩形都是平行四边形；②每 定，通常表示为“3x∈M,一p(x)” 一个自然数都是正整数；③存在一个x∈R,使得 3.存在量词命题的否定 x2≤0：④至少有一个菱形的对角线不垂直 存在量词命题的否定是全称量词命题， 这四个命题分别是什么命题？它的否定又是什 对于存在量词命题“3x∈M,p(x)”的否 么命题？ 定，通常表示为“Vx∈M,p(x)”. 名师点睛 1,含有一个量词的命题与它的否定真假相反.所 以当其中一个命题的真假不易判断时，可通过判断另 一个命题的真假来得到. 2.含有一个量词的命题的否定，是在否定结论 32 §2常用逻辑用语 自主诊断 3.(人教A版教材习题)将下列命题改写成含有一个 量词的全称量词命题或存在量词命题的形式，并写 1.判断正误.（正确的画/，错误的画×） 出它们的否定： (1)3x∈M,x具有性质p(x)与Hx∈M,x不具 (1)平行四边形的对角线互相平分： 有性质p(x)的真假性相反. () (2)三个连续整数的乘积是6的倍数： (2)“Vx∈R,x2≥0”的否定为“3x∈R,x2<0.” (3)三角形不都是中心对称图形： ( (4)一元二次方程不总有实数根 (3)全称量词命题与它的否定真假性相反.( 2.(1)(2025海南高一开学考试)设命题p:x∈ {x|一1<x<1},x1,则命题p的否定为( A.3x∈{x|-1<x<1},lx|<1 B.3x∈(x|-1<x<1},x≥1 C.Hx∈{x|-1<x<1),lxl≥1 D.xt(x|-1<x<1},lx|≥1 (2)命题“Vx>0,x2>0”的否定是( ) A.x>0,x2<0 B.Vx>0,x2≤0 C.3x>0,x2<0 D.3x>0,x2≤0 了重难探究·能力素养速提升 探究点一全称量词命题与存在量词命题的辨析 【例1】判断下列语句是否为全称量词命题或 缸规律方法判断一个语句是全称量词命题还是 存在量词命题. 存在量词命题的思路 (1)有些素数的和仍是素数： (2)自然数的平方是正数 判命题 判断该语句是否为命题 [课堂笔记] 看命题中是否含有量词或隐含量诃】 看量词 判断量词成隐含量词是全称量词还 是存在量词 会有全称量词的命题称为全称量词 下结论 命题，含有存在量词的命题称为存 在量词命题 1变式训练1下列命题中，是全称量词命题 的是 ,是存在量词命题的是 (填序号) ①正方形的四条边相等； ②有两个角是45°的三角形是等腰直角三 角形； ③正数的平方根不等于0： ④至少有一个正整数是偶数： 33 数学「第一章预备知识 探究点二全称量词命题与存在量词命题的真假判断 【例2】判断下列命题的真假， 「变式训练2指出下列命题中，哪些是全称 (1)3x∈Z,x3<1; 量词命题，哪些是存在量词命题，并判断真假 (2)存在一个四边形不是平行四边形； (1)存在一个实数，它的绝对值不是正数： (3)在平面直角坐标系中，任意有序实数对 (2)每一条线段的长度都能用正有理数来 (x,y)都对应一点P; 表示； (4)Hx∈N,x2>0. (3)存在一个实数x,使得等式x2十x十8=0 [课堂笔记] 成立 规律方法判断全称量词命题和存在量词命题 真假的方法 (1)要判断一个全称量词命题为真，必须对在给 定集合的每一个元素x,使命题p(x)为真：但要判断 一个全称量词命题为假时，只需在给定的集合中找到 一个元素x,使命题p(x)为假 (2)要判断一个存在量词命题为真，只要在给定 的集合中找到一个元素x,使命题(x)为真；要判断 一个存在量词命题为假，必须对在给定集合的每一个 元素x,使命题p(x)为假， 探究点三 全称量词命题与存在量词命题的否定 【例3】写出下列各命题的否定 (1)p:对任意的正数x,√x>x一1； (2)q:三角形有且仅有一个外接圆： (3)r:存在一个三角形，它的内角和大于180°； (4)s:有些素数是奇数 [课堂笔记] 缸规律方法1.一般地，写含有一个量词的命题 的否定，首先要明确这个命题是全称量词命题还是存 在量词命题，并找到量词及相应结论，然后把命题中 的全称量词改成存在量词，存在量词改成全称量词， 同时否定结论，即得其否定 2.对于省略量词的命题，应先挖掘命题中隐含的 量词，改写成含量词的完整形式，再写出命题的否定 34 §2常用逻辑用语 1变式训练3写出下列命题的否定，并判断 (4)s:至少有一个实数x,使x3十1=0. 其真假， Dp:Yx∈R,x2-x+}>0: (2)q:所有的正方形都是矩形； (3)r:3x∈R,x2+3x+7≤0； 探究点四八 根据命题的真假求参数的取值范围 【例4】若“3x∈R,x2+2x-a<0”是真命 变式训练4若“存在一个实数xo,使不 题，则实数a的取值范围是 等式m一(x8-2x。十5)>0”是真命题，求实数m [课堂笔记] 的取值范围。 本节要点归纳 1.知识清单： 规律方法求解含有量词的命题中参数范围的 (1)全称量词命题、存在量词命题的概念； 策略 (2)含量词的命题的真假判断； (1)对于全称量词命题“Hx∈M,a>y(或a< (3)全称量词命题，存在量词命题的否定及其 y)”为真的问题，实质就是不等式恒成立问题，通常 命题真假的判断； 转化为求函数y的最大值（或最小值），即a>ym (4)通过含量词的命题的真假求参数的取值 (或a<ym). 范围. (2)对于存在量词命题“3x∈M,a>y(或a< 2.方法归纳：定义法、转化法、特例法， y)”为真的问题，实质就是不等式能成立问题，通常 3.常见误区：有些命题省略了量词，全称量词 转化为求函数y的最小值（或最大值），即a>y 命题强调“整体、全部”，存在量词命题强调“个别、 (或a<ymms). 部分”；否定不唯一，命题与其否定的真假性相反 35 数学「第一章预备知识 学以致用·随堂检测促达标 1.已知命题p:Hx∈R,x>a2+b2,则命题p的 4.若“3x∈[-2,2]，使k≤x2+1成立”是真命 否定是() 题，则实数k的取值范围是 A.3x∈R,x<a2+b2 5.判断下列命题的真假. B.Hx∈R,x≤a2+b2 (1)有一些三角形的两个内角相等； C.3x∈R,x≤a2+b2 (2)3x∈R,x2+2x+4<0; D.Hx∈R,x<a3+b2 (3)Vx∈Z,2x-1是奇数. 2.(多选题)下列说法正确的是() A.存在x<0,x2-2x-3=0 B.对于一切实数x<0,都有|x|>x C,对于任意x∈R,-x D.“3n∈N4,2n2+5m+2能被2整除”是假命题 3.(2025安徽高一开学考试)已知命题p:3x≥0， |x=-x命题g:x>0,x2-1>0,则() A.p和g均为真命题 B.p和一g均为真命题 C.一p和g均为真命题 D.7p和一g均为真命题 §3不等式 3.1不等式的性质 1.能够用作差法比较两个数或式的大小 学习目标 2.理解不等式的概念，掌握不等式的性质. 3.会用不等式的性质证明不等式或解决相关问题。 基础落实·必备知识一遍过 知识点1 实数的大小比较 思考辨析 比较实数a,b大小的依据 如果给定实数a与b,那么如何比较它们的大 a>ha-b>0 依据：Q=b一a-b=0 小呢？ a<b台a-b<0 比较实数a, b的大小 结论：确定任意两个实数a,b 的大小关系，只需确定a-b与 0的大小关系 36