1.2.1 第2课时习题课充分条件与必要条件的综合应用-【志鸿优化训练】2025-2026学年高中数学必修第一册(北师大版)

·数学「第一章预备知识 本节要点归纳 (4)充要条件的概念、判断和证明； 1.知识清单： (5)必要条件、充分条件的应用. (1)必要条件、充分条件的概念； 2.方法归纳：反例法，等价转化法」 (2)必要性、充分性的判新： 3.常见误区：必要条件、充分条件不唯一；求 (3)必要条件与性质定理、充分条件与判定定 参数范围能否取到端点值；不能正确理解“倒装” 理的关系； 的命题：充要条件中的条件和结论辨别不清。 学以致用·随堂检测促达标 1.若p是q的充分不必要条件，则q是p的 A.x>1 B.x<1 C.x>3 D.x<3 A.充分不必要条件 4.已知a,b是实数，则“a>0,且b>0”是“a+ B.必要不充分条件 b>0,且ab>0”的 条件 C.既不充分也不必要的条件 5.写出平面内的一个四边形为平行四边形的两个 D.充要条件 充要条件： 2.(2025浙江宁波高一期末)已知a,b为实数，条 充要条件① 件p:a>|b,条件q:a>b,则p是g的() 充要条件② A.充要条件 (写出你认为正确的两个充要条件)》 B.充分不必要条件 6.已知p:x<一2或x>3,q:4x十m<0,若p是 C.必要不充分条件 q的必要不充分条件，则实数m的取值范围是 D.既不充分也不必要的条件 3.设x∈R,则x>2的一个必要不充分条件是 ( 第2课时 习题课 充分条件与必要条件的综合应用 重难探究·能力素养速提升 探究点一充要条件的证明 【例1】求证：关于x的方程ax2+bx十c=0 有一个根为1的充要条件是a十b十c=0. [课堂笔记] 28 S2常用逻辑用语 |变式探究将本例的条件“有一个根为1”改 规律方法充要条件的证明 为“有一个正根和一个负根”，“a十b十c=0”改为 (1)根据充要条件的定义，证明充要条件时要从充 “ac<0”,如何判断？ 分性和必要性两个方面分别证明：一般地，证明“p成 立的充要条件为g”①充分性：把g当作已知条件，结 合命题的前提条件，推出p:②必要性：把p当作已知 条件，结合命题的前提条件，推出q,解题的关键是分 清哪个是条件，哪个是结论，然后确定推出方向，至于 先证明充分性还是先证明必要性则无硬性要求， (2)在证明过程中，若能保证每一步推理都满足 等价性（→），也可以直接证明充要性 标究点二 根据充分条件、必要条件求参数的取值范围 【例2】(1)若“x<a”是“x≥3或x≤-1”的 续表 充分不必要条件，则实数a的取值范围是( 条件类别 集合M与N的关系 A.{ala≥3} B.{aa≤-1} p是q的充要条件 M=N C.{a|-1≤a≤3} D.{ala≤3} p是q的充分条件 MCN (2)若“x>2”是“x>m”的必要不充分条件， p是q的必要条件 M2N 则实数m的取值范围是 (3)根据集合M与N的包含关系建立关于参数 [课堂笔记] 的不等式（组）： (4)解不等式（组）求出参数的取值范围， 1变式训练11（①）一次函数y=-”x十的 n 图象同时经过第一、三、四象限的必要不充分条件 ☒规律方法根据充分条件与必要条件求参数取 是() 值范围的步骤如下： Am>1,且n<1 B.mn<0 (1)记集合M={xp(x)》,N={zxq(x): (2)根据以下表格确定集合M与N的包含关系： C.m>0,且n<0 D.m<0,且n<0 ★(2)（多选题）一元二次方程a.x2十4x十3 条件类别 集合M与N的关系 0有一个正根和一个负根的充分不必要条件是 p是q的充分不必要条件 M车N p是q的必要不充分条件 M昆N A.a<0 B.a<-1 C.a<1 D.-3<a<-2 探究点三 由传递性判断命题间的关系 【例3】已知p,q都是r的必要条件，s是7 的充分条件，g是s的充分条件，那么： (1)s是g的什么条件？ (2)r是q的什么条件？ (3)p是q的什么条件？ [课堂笔记] 29 数学|第一章预备知识 规律方法解决传递性问题的关键是画出推出 本节要点归纳 的结构图，也可以考虑命题之间的关系 1.知识清单： 1变式训练2如果甲是乙的必要条件，丙是 (1)充要条件概念的理解； 乙的充分条件，但不是乙的必要条件，那么() (2)充要条件的证明； A丙是甲的充分条件，但不是甲的必要条件 (3)根据条件求参数范围. B.丙是甲的必要条件，但不是甲的充分条件 2.方法归纳：等价转化法、特例法. C.丙是甲的充要条件 3.常见误区：条件和结论辨别不清 D.丙不是甲的充分条件，也不是甲的必要条件 学以致用·随堂检测促达标 1.(多选题)在下列各选项中，力是q的充要条件 4.在△ABC中，判断∠B=∠C是否为AC=AB 的是() 的充要条件， A.p:A二B,q:A∩B=A B.p:a=b,q:a=b C.p:x|+|y=0,q:x=y=0 D.p:a,b都是偶数，q:a十b是偶数 2.(2025广东高一期中)方程a.x2十5x+4=0 (a≠0)有两个异号实根的一个充要条件是 A.a<0 B.a>0 C.a<2 D.a<-1 3.“有两个角之和为90°的三角形称为直角三角形” 是否可以作为直角三角形的定义？为什么？ 30探究点二必要条件、充分条件、充要条件的探求与应用 【例2】①A由1->0可得<1，解得>1浅x< 0,结合四个选项可得其成立的充分不必要条件是x>1 (2)解因为p是g的必要不充分条件， 所以{x|1一mx≤1十m}军{x|一2≤x≤10}， 1一m≥一2，.1-m>-2, 故有 或 解得m≤3. 1+m<101+m≤10， 又m>0,所以实数m的取值范国为{m0m≤3)： (3)解方程x2+(2k一1)x+是2=0有两个正实数根等价 4=(2k-1)2-4k≥0， 于红十，=-(2-1D>0,解得<，且表≠0，以上过程年 x1x2=k>0, 一步都是等价的，因此所求充要条件为≤，且表0， 【变式调练】DB2A(30,子，-》 (1)求解 不等式1<2x十2<8可得-<3，结合所给的选项可知它 的一个必要不充分条件是一1<x<6. (2)"不等式x2一r+m>0在R上恒成立， 4=1-m<0,解得m>号. 又m>时，4=1-m<0,“m>号”是“不等式 4 x一x十m>0在R上恒成立”的充要条件 (3)令A={xx2+x-6=01={-3,2),B={xmx+1=0}, p是q的必要条件，B二A.B=0,或{一3}，{2. 若B=☑，则m=0: 若B={一3引，则-3m十1=0，解得m=3: 若B=2,则2m+1=0,解得m=一号 综上m的取值集合是-之0，号》 。学以数用·随堂检测促达标 1.B因为p是q的充分不必要条件，所以p→q,9推不出 p,所以q是p的必要不充分条件 2.B因为a+b为实数，所以由a>|b|可得a>b.反之，当 a=1>0,b=-2时，满足a>b,但是a=1<|-2引=2=b,所以 p是q的充分不必要条件.故选B 3.A 4.充要a>0,且b>0→a+b>0,且ab>0:a+b>0,且 ab>0→a>0,且b>0,故为克要条件. 5.两组对边分别平行一组对边平行且相等 6.{mm≥8}设A={x|x<-2或x>3},B={x|4x十 —3 m<0={工x<-四}，因为力是g的必要不克分条件，所以 BA,所以-受<-一2即m≥8，所以实数m的取值范国为 {mm≥8}. 第2课时习题课充分条件与必要 条件的综合应用 ©重难探究·能力素养速提升 探究点一充要条件的证明 【例1】证明充分性：因为a十b十c=0,所以c=一a一b, 代入方程ax2+br十c=0中，得ax2+br-a一b=0,即 (x-1)(ax+a+b)=0, 所以方程有一个根为1，充分性成立 必要性：因为方程ax十bx十c=0有一个根为1， 所以x=1满足方程ax2十bx十c=0, 所以有aX1十bX1十c=0,即a十b十c=0. 必要性成立 综上所述，方程ax2十z十c=0有一个根为1的充要条件 是a+b+c=0. 【变式探究】证明充分性：因为ac<0,所以△=b2一4ac> 0,方程a.x2十bx十c=0中有两个不等实根， 由报与系数关系可知这两个根的积为二<0，所以方程 ax2十bz十c=0有一个正根和一个负根，充分性成立. 必要性：因为方程ax2十bx十c=0有一个正根和一个负 根，由根与系数关系可知这两个根的积为二<0，所以a<0,必 要性成立 综上，方程a.x2十bx十c=0有一个正根和一个负根的充要 条件是ae<0. 探究点二根据充分条件、必要条件求参数的取值范围 【例2】(1)B(2){mm>2)(1)因为“x<a”是“x≥3或 x≤一1”的充分不必要条件，所以a≤一1.故选B. (2)因为“x>2”是“x>m”的必要不充分条件，所以(x|x> m}是{xx>2}的真子集，所以m>2. 【变式调练】1B2)D（D周为y=一丹十的 图象经过第-、三，回象限，故一升>0，司<0，即m>0,m<0, 故其必要不充分条件为mm<0.故选B (2)因为一元二次方程ax2十4x十3=0有一个正根和一个 4=16-12a0, 负极，所以3∠0， 解得a<0,则一元二次方程ax2十 a 4x十3=0有一个正根和一个负根的充分不必要条件对应的集 2 合应为{a|a<0}的真子集，故B,D正确，A,C错误 探究点三由传递性判断命题间的关系 【例3】解(1)q是s的充分条件，g→s.q是r的必 要条件，∴r→g.s是r的充分条件，s今rs→r今q→ 即s是q的充要条件， (2)由r→q,g之s→r,知r是q的充要条件. (3):p是r的必要条件，r→p,g→r→中. “,p是q的必要不充分条件 【变式训练2】A如图所示，“甲是乙 甲 的必要条件，.乙→甲。 "”丙是乙的充分条件，但不是乙的必 要条件，，丙→乙，但乙不能推出丙。 综上，有丙→乙→甲，即丙是甲的充分条件，但不是甲的必 要条件 ○学以致用·随堂检测促达标 1.ACA,C中，p都是g的充要条件：B中，p是q的充分 不必要条件：D中，p是q的充分不必要条件 125-16a>0, 2,A由题知色<0， 解得a<0.故选A. 3.解可以作为贞角三角形的定义 因为“有两个角之和为90°的三角形”曰“有一个内角为90 的三角形”口“直角三角形”，即“有两个角之和为90°的三角形” 是“直角三角形”的充要条件，故“有两个角之和为90°的三角形 称为直角三角形”可以作为直角三角形的定义， 4,解周为“在三角形中，等角对等边”，所以∠B=∠C→ AC=AB,又因为“在三角形中，等边对等角”，所以AC=AB→ ∠B=∠C.因此△ABC中，∠B=∠C是AC=AB的充要条件. 2.2全称量词与存在量词 ©基础落实·必备知识一遍过 知识点1 1.2.所有元素 【思考辨析】 1.提示常见的全称量词还有“任给“凡几是”等」】 2提示是全称量词命题.它的量词是“所有的”(“每一个” 等)，即所有的自然数都是正整数」 【自主诊断】 1.(1)/(2)×(3)/(4)× 2.解Vn∈N,n2≥0. 3.解(1)2是素数，但2不是奇数，所以，全称量词命题“所 有的素数是奇数”是假命题」 (2)Vx∈R,总有x≥0，因而|x|十1≥1，所以，全称量词 3 命题“Vx∈R,x|十1≥1”是真命题 (3)W2是无理数，但（√2）”=2是有理数，所以，全称量词命 题“对每一个无理数x,x2也是无理数”是假命题 知识点2 【思考辨析】 1.提示这些短语在陈述中表示所述事物的个体或部分，称 为存在量词.含有存在量词的命题，叫做存在量词命题」 2.提示常见的存在量词还有“有的”“对某些”等」 【自主诊断】 1.(1)√(2)/(3)√(4)√ 2.解(1)3(x,y)∈(xy)z∈R,y∈R,2x+3y+3<0. (2)3xZ,x既能被2整除，又能被3整除 (3)3x∈{xx是四边形)，x不是平行四边形. 3.解(1)由于△=22一4×3■一8<0，固此一元二次方程 x2+2x十3=0无实根，所以，存在量词命题“有一个实数x,使 x2+2x十3=0”是假命题. (2)由于平面内垂直于同一条直线的两条直线互相平行，因此 平面内不可能存在两条相交直线垂直于同一条直线所以，存在量 词命题“平面内存在两条相交直线垂直于同一条直线”是假命题 (3)由于正方形既是平行四边形又是菱形，所以存在量词命 题“有些平行四边形是菱形”是真命题 知识点3 【思考辨析】 提示①②是全称量词命题，它们的否定是存在量词命题， ③④是存在量词命题，它们的否定是全称量词命题」 【自主诊断】 1.(1)/(2)/(3)/ 2.(1)B(2)D 3.解(1)任意一个平行四边形，它的对角线互相平分： 它的否定：存在一个平行四边形，它的对角线不互相平分」 (2)任意三个连续整数的乘积是6的倍数： 它的否定：存在三个连续整数的乘积不是6的倍数 (3》存在一个三角形不是中心对称图形： 它的否定：所有的三角形都是中心对称图形 (4)存在一个一元二次方程没有实数根： 它的否定：任意一元二次方程都有实数根 ©重难探究·能力素养速提升 探究点一全称量词命题与存在量词命题的辨析 【例1】解因为(1)含有存在量词，所以命题(1)为存在量词 命题：因为“自然数的平方是正数”的实质是“任意一个自然数的 平方都是正数”，所以(2)含有全称量词，故为全称量词命题， 棕上所述，(1)为存在量词命题，(2)为全称量词命题 【变式训练1】①②③④ 33