1.2.1 第1课时必要条件与充分条件-【志鸿优化训练】2025-2026学年高中数学必修第一册(北师大版)

§2常用逻辑用语 学以致用·随堂检测促达标 1.(2025安徽蚌埠高一期末)已知集合A={一2， 0,4,7,8 0,2,5},B={x|-2<x<5},则A∩CRB= U () A.{0) B.{-2,5} 4.已知全集U=R,A={x|1≤x<b},A={x C.{-2,0,2} D.{-2,0,2,5} x<1,或x≥2}，则实数b= 2.(多选题)已知全集U=R,集合A={x|1≤x≤ 5.已知全集U=R,A={x|一4≤x<2},B= 3,或4<x<6},集合B={x|2≤x<5},下列 集合运算正确的是() a-1≤3，P=<0,或≥引，求 A.CA={xlx<1,或3<x<4,或x>6 AnB,(B)UP,(A∩B)∩(CuP). B.CB={xx<2,或x≥5} C.A∩(CB)={x|1≤x<2,或5≤x<6} D.(CA)UB={xx<1,或2≤x<5,或 x>6} 3.已知全集U和集合A,B如图所示，则 (CA)∩B= §2常用逻辑用语 2.1必要条件与充分条件 第1课时必要条件与充分条件 1.理解必要条件的意义，理解性质定理与必要条件的关系. 2,理解充分条件的意义，理解判定定理与充分条件的关系。 学习目标 3.理解充要条件的意义，理解数学定义与充要条件的关系 4.掌握充分条件、必要条件的判断方法 基础落实·必备知识一遍过 知识点1必要条件与性质定理 时，称q是p的必要条件.也就是说，一旦q不成 1.当命题表示为“若p,则q”时，p是命题 立，p一定也不成立，即q对于p的成立是必要的. 的条件，g是命题的结论.当命题“若p,则g”是 名师点睛】 真命题时，就说由p推出q,记作p→q, 说条件是必要的，就是说该条件必须要有，是必 “爱p,则g”为根命题时，得不出q是p的必要秦件 不可少的.简单地说，就是“有它不一定能成立，但没 2.一般地，当命题“若力，则g”是真命题 它一定不成立” 23· 数学「第一章预备知识 思考辨析 (1)若四边形为平行四边形，则这个四边形的两组 对角分别相等： “若p,则g”与“p→g”一样吗？ (2)若两个三角形相似，则这两个三角形的三边成 比例： (3)若四边形的对角线互相垂直，则这个四边形是 菱形： 自主诊断 (4)若x=1,则x2=1: (5)若ac=bc,则a=b: 1.判断正误.（正确的画√，错误的画×） (6)若xy为无理数，则x,y为无理数 (1)“x=3”是“x2=9”的必要条件 (2)“两角不相等”是“两角不是对顶角”的必要条件 (3)g不是p的必要条件时，“p推不出q”成立. ( 2.(人教A版教材例题)下列“若p,则q”形式的命题 中，哪些命题中的q是p的必要条件？ 知识点2充分条件与判定定理 2.(人教A版教材习题)下列“若p,则g”形式的命题 中，哪些命题中的p是q的充分条件？ “若p,则g”为根命题时，得不出p是q的充分条件 (1)若平面内点P在线段AB的垂直平分线上，则 一般地，当命题“若p,则g”是真命题 PA=PB; 时，称p是q的充分条件. (2)若两个三角形的两边及一边所对的角分别相 综上，对于真命题“若，则q”,即p→q时， 等，则这两个三角形全等； 称q是p的必要条件，也称p是q的充分条件 (3)若两个三角形相似，则这两个三角形的面积比 名师点睛 等于周长比的平方. 1.说条件是充分的，也就是说这个条件足以保证 结论成立，即要使结论成立，只要有它就可以了. 2.可以把充分条件理解为“有之即可，无之也行” 思考辨析 我们知道，当“x>1”成立时，能推出“x>0”.那 3.(人教A版教材习题)如图， 么“x>0”的充分条件是否只能是“x>1"? 直线a与b被直线l所截， a 分别得到了∠1，∠2，∠3和 ∠4.请根据这些信息，写出b 几个“a∥%”的充分条件和 自主诊断 必要条件 1,判断正误.（正确的画、√，错误的画×） 44444 (1)q是p的必要条件时，p是q的充分条件. ( (2)如果p是q的充分条件，则p是唯一的. (3)“x>一1”是“x>1”的充分条件 24 §2常用逻辑用语 知识点3充要条件 思考辨析 1.一般地，如果p→g,且q→p,那么称p是 1.判断p是q的什么条件时，有哪些可能情况？ q的充分且必要条件，简称p是q的充要条件， 记作p台q. 2.若p是g的充分条件，p是唯一的吗？q是唯 2.p是q的充要条件也常常说成“p成立当 一的吗？ 且仅当g成立”，或“p与g等价” 3.当p是q的充要条件时，9也是p的充要 条件 名师点睛 自主诊断 设集合A={xlp(x)},B={x|q(x)》,若x具 1.判断正误.（正确的画、/，错误的画×） 有性质p,则x∈A;若x具有性质q,则x∈B. (1)“x=0”是“(2x一1)x=0”的充分不必要条件. p是q的p是q的p与q互p是q的既 () 结论充分不必必要不充为充要条不充分也不 (2)若p是q的充要条件，则条件p和g是两个相 要条件 分条件 件 必要的条件 互等价的条件 () p,q p不能推出 2.已知A,B,C是△ABC的三个内角，则“A十C 的关 p→q,且qq→p,且p p台g 9,且q不能推 2B”是“B=60”的( 茶 不能推出p不能推出q 出p A.必要不充分条件 A不包含于 B.充分不必要条件 AB B年A A=B B且B不包 C.充要条件 集合 含于A D.既不充分也不必要的条件 3.(人教A版教材习题)分别写出“两个三角形全等” ④B A(B) 或 和“两个三角形相似”的几个充要条件 ④(B “若p,则 “若p “若p,则 则g”是 q”是真命 “若p,则g” g”是真命 命题 假命题， 是假命题， 题，且“若 题，且“若 真假 且“若q,则 q,则p” 且“若q, 则力”是 q,则p” p”是假命题 是假命题 是真命题 真命题 了重难探究·能力素养速提升 探究点一必要条件与充分条件的判断 角度1必要条件的判断 (3)p:-2≤x≤5，q:-1≤x≤5. 【例1一1】指出下列哪些命题中q是p的必 [课堂笔记] 要条件？ (1)p:一个四边形是矩形，q:四边形的对角 线相等； (2)p:ACB,g:A∩B=A; 25 ·数学「第一章预备知识 规律方法必要条件的两种判断方法 (1)定义法： 第一步 确定谁是条件，谁是结论 第二步 尝试由条件推结论 第三 若条件能推出结论，则结论为条件的必要 条件，否则结论就不是条件的必要条件 (2)命题判断方法： ☒规律方法充分条件的两种判断方法 如果命题：“若p,则g”是真命题，则q是p的必 (1)定义法： 要条件； 第一步 确定谁是条件，谁是结论 如果命题：“若p,则q”是假命题，则q不是p的 第二步 尝试由条件推结论 必要条件」 第三步 若条件能推出结论，则条件为结论的充分 条件，否则条件就不是结论的充分条件 1变式训练1下列“若p,则g”形式的命题 (2)命题判断方法： 中，哪些命题中的q是p的必要条件？ 如果命题：“若p,则g”是真命题，则p是q的充 (1)若|x|=y|,则x=y: 分条件： (2)若△ABC是直角三角形，则△ABC是等 如果命题：“若p,则g”是假命题，则p不是q的 腰三角形： 充分条件」 (3)p:三角形是等边三角形，q:三角形是等 1变式训练2下列命题中，p是g的充分条 腰三角形 件的是 (填序号) ①p:(x-2)(x-3)=0,q:x-2=0; ②p:a是自然数，q:a是正整数； ③p:m<-2,q:方程x2-x-m=0无 实根 角度3充要条件的判断 【例1一3】指出p是g的什么条件（充分不必 要条件，必要不充分条件，充要条件，既不充分也 不必要的条件)， (1)p:数a能被6整除，g:数a能被3整除： 角度2充分条件的判断 (2)p:x>1,9:x2>1; 【例1一2】下列“若p,则q”形式的命题中， (3)p:△ABC有两个角相等，q:△ABC是 哪些命题中的p是q的充分条件？ 正三角形： (1)若a∈Q,则a∈R; (4)p:labl=ab,q:ab>0. (2)在△ABC中，若∠A>∠B,则BC>AC; [课堂笔记] (3)已知a,b∈R,若a2+b2=0,则a=b=0. [课堂笔记] 26 S2常用逻辑用语 规律方法判断充分条件、必要条件及充要条 (2)p:x十2≠y,q:(x十2)2≠y2; 件的三种方法 (3)a是自然数：q:a是正数. (1)定义法：直接判断命题“若p,则g”以及“若 q,则p”的真假 (2)集合法：即利用集合之间的包含关系判断. (3)传递法：充分条件和必要条件具有传递性，例 如由p1→p2→→p。,可得p1→pn:充要条件也有 传递性。 I变式训练3指出下列各组命题中，p是q 的什么条件(“充分不必要条件”“必要不充分条 件”“充要条件”“既不充分也不必要的条件”). (1)p:-1≤x≤5，q:x≥-1且x5; 探究点二必要条件、充分条件、充要条件的探求与应用 【例2】1)不等式1-1>0成立的充分不必 规律方法1，探究一个命题成立的充分不必要 条件以及必要不充分条件时，往往可以先找到其成立 要条件是( 的充要条件，然后通过对充要条件的范围放大或缩 A.x>1 小，得到相应的充分不必要条件或必要不充分条件 B.x>-1 2.充分条件与必要条件的应用技巧 C.x<-1或0<x<1 (1)应用：可利用充分性与必要性进行相关问题 D.-1<x<0或x>0 的求解，特别是求参数的值或取值范国问题 (2)已知p:-2≤x≤10，q:1-m≤x≤1十m (2)方法：先等价转化，再利用充分条件、必要条 (m>0),若p是q的必要不充分条件，求实数m 件，充要条件与集合间的关系，建立关于参数的不等 的取值范围。 式（组）进行求解 (3)已知方程x2十(2k-1)x十k2=0,求使 I变式训练4(1)1<2x+2<8的一个必要 方程有两个正实数根的充要条件， 不充分条件是( [课堂笔记] A-<3 B.-1<x<6 1 c.- D-3<号 ★(2)“不等式x2-x十m>0在R上恒成 立”的充要条件是( 4444444044444444444444444444 4444444444444444044 Am>号 Bm<号 C.m<1 D.m>1 ★(3)已知条件：x2十x-6=0,条件q: mx十1=0，且p是q的必要条件，则实数m的取 值集合是 27 ·数学「第一章预备知识 本节要点归纳 (4)充要条件的概念、判断和证明； 1.知识清单： (5)必要条件、充分条件的应用. (1)必要条件、充分条件的概念； 2.方法归纳：反例法，等价转化法」 (2)必要性、充分性的判新： 3.常见误区：必要条件、充分条件不唯一；求 (3)必要条件与性质定理、充分条件与判定定 参数范围能否取到端点值；不能正确理解“倒装” 理的关系； 的命题：充要条件中的条件和结论辨别不清。 学以致用·随堂检测促达标 1.若p是q的充分不必要条件，则q是p的 A.x>1 B.x<1 C.x>3 D.x<3 A.充分不必要条件 4.已知a,b是实数，则“a>0,且b>0”是“a+ B.必要不充分条件 b>0,且ab>0”的 条件 C.既不充分也不必要的条件 5.写出平面内的一个四边形为平行四边形的两个 D.充要条件 充要条件： 2.(2025浙江宁波高一期末)已知a,b为实数，条 充要条件① 件p:a>|b,条件q:a>b,则p是g的() 充要条件② A.充要条件 (写出你认为正确的两个充要条件)》 B.充分不必要条件 6.已知p:x<一2或x>3,q:4x十m<0,若p是 C.必要不充分条件 q的必要不充分条件，则实数m的取值范围是 D.既不充分也不必要的条件 3.设x∈R,则x>2的一个必要不充分条件是 ( 第2课时 习题课 充分条件与必要条件的综合应用 重难探究·能力素养速提升 探究点一充要条件的证明 【例1】求证：关于x的方程ax2+bx十c=0 有一个根为1的充要条件是a十b十c=0. [课堂笔记] 28探究点二交集、并集与补集的混合运算 【例2】(1)C全集U={x∈Z0<x<8}=(1,2,3,4,5, 6,7),M={2,3,5,N={xx2-8x+12=0}={2,6h..M∩ (wN)=3,5},Cu(MnN)=1,3,4,5,6,7),Cu(MUN)= (1,4,7},(M)∩N={6.故选C (2)解将集合U,A,B分别表 示在数轴上，如图所示， 则uA={x|-1≤x≤3}， B={x|-5≤x<-1,或1≤x≤3}， 所以(CA)n(B)={xl1≤x≤3. 【变式训练2】(1)C因为全集U={一1,0,2,3,4}，集合 M={-1,0,1},N={-2,0,2}, 所以M∩N={0},所以Cu(M∩N)=(-1,2,3,4}. 故达C, (2)解把集合A,B在数轴上表示 B 如图」 23 10 由图知，AUB=(x2<x<10}, .CR(AUB)=(xx≤2，或x≥10}. CwA=(xz<3,或x≥7}， .(CRA)∩B=(x2<x<3,或7≤x<10. 探究点三补集性质的应用 【例3】[2，+∞)：B={x 1<x<2}, A0 .CwB={xx≤1，或x≥2. 012a 又A={x|x<a},且AU(C.B)=R,利用如图所示的数 物可得a≥2. 【变式训练3】解B∩(CA)={2),.2∈B,但2任A. ,'A∩(uB)={4},4∈A,但4B. 142+4a+12b=0, 解得 2-2a+b=0, =号 ab的维分别为号，-号 探究点四补集思想的应用 【例4】解(1)A=(x0≤x≤2}，.C.A=xx<0,或 x>2.假设(CA)UB=R,如图所示. CA B 2a+3 a≤0，且a十32，即a≤0，且a≥-1，∴满足(CmA)U B中R的实数a的取值范围是{aa<一1，或a>0}. (2)假设A∩B=A,则A二B,又A≠☑， a0, 得一1≤a0,∴，满足A∩B≠A的实数a的 a+32, 3 取值范围为{aa<-1,或a>0. 【变式训练4】解由已知可得B=(xk≤x≤k十1， k≥-6， 假设A∩B=0,别 解得一6≤k≤2 k+1≤3， 令P={k一6≤k≤2}，则P={k<一6，或k>2}, 所以满足A门B中心的是的取值范固是{便k<一6，或k>2. ○学以致用·随堂检测促达标 1.BCwB={xx≤-2戏x≥5)，则A∩CmB=(-2,5, 故选B 2.BC在数轴上表示出集合A, B,如图，CA={xlx<1,或3<x≤ 4,或x≥6}，故A错误，B={x 01234563 x2,或x≥5}，故B正确：A∩(CB)={x|1≤x<2,或5≤x< 6},故C正确：(C,A)UB={xr<1,或2≤x<5,或x≥6}，故 D错误，故选BC 3.{5,6}由题中的Vemn图知(CA)∩B={5,6}. 42:CA={xz<1,或x≥2}， .A={x|1≤x<2}..b=2. 5解符集合A,B,P分别 表示在数轴上，如图所示。 :A=(x|-4≤x<2}, B={x-1x≤3}， .A∩B={x|-1<x<2, B=(xlx≤-1，成x>3. 又P={女x≤0，成x≥}∴(BUp-{x≤0， 线x≥}，tP-o<r<}(AnB)n(6P) x-1<x<2n{xo<x<8}=xlo<x<2. §2常用逻辑用语 2.1必要条件与充分条件 第1课时必要条件与充分条件 ⊙基础落实·必备知识一遍过 知识点1 【思考辨析】 提示不一样，只有“若p,则q”为真命题时，才有“p→g”。 【自主诊断】 1(1)×(2)×(3)√ 2.解(1)这是平行四边形的一条性质定理，p→q,所以，q 是p的必要条件， (2)这是三角形相似的一条性质定理，p→q,所以，q是p 的必要条件， (3)如图，四边形ABCD的对角线互相 垂直，但它不是菱形，p中q,所以，9不是p 的必要条件」 (4)显然，p→Q,所以，q是力的必要 条件 (5)由于（一1）×0=1×0，但-1≠1，p中g,所以，9不是p 的必要条件。 (6)由于1X2√2为无理数，但1,2不全是无理数，p中 q,所以，q不是p的必要条件 知识点2 【思考辨析】 提示不是.使结论“x>0”成立的条件并不唯一，如“x> 1.2”,“3<x≤4”等，有无数个 【自主诊断】 1.(1)/(2)×(3)× 2.解(1)由线段垂直平分线的性质，p→q,p是q的充分 条件。 (2)两边及一边所对的角分别相等的两个三角形不一定全 等，p中g,p不是q的充分条件， (3)由相似三角形的性质，p→q,p是q的充分条件. 3.解“ab"的充分条件：∠1=∠2或∠1=∠4或∠11 ∠3=180°：“a仍”的必要条件：∠1=∠2或∠1=∠4或∠1+ ∠3=180° 知识点3 【思考辨析】 1提示(1)知果p→q,且q不能推出p,则称p是q的充 分不必要条件： (2)如果p不能推出g,且g→p,则称p是g的必要不充分 条件： (3)如果→q,且q→p,则称p是g的充要条件： (4)如果p不能推出q,且q不能推出p,则称p是q的既 不充分也不必要的条件 2.提示不一定唯一，凡是能使结论9成立的条件都是它的 充分条件，如“x>2“x>5”“x>10”等都是x>1的充分条件：凡 是能由条件力推出的结论都是它的必要条件，如“同位角相等” “内错角相等”“同旁同角互补”等都是“两直线平行”的必要条件 【自主诊断】 1.(1)W/(2)/ 2.C 3解“两个三角形全等”的充要条件如下： ①三边对应相等：②两边及其夹角对应相等：③两角及其 夹边对应相等：④两角及一角的对边对应相等， 3 “两个三角形相似”的充要条件如下： ①三个内角对应相等（或两个内角对应相等）：②三边对应 成比例：③两边对应成比例且夹角相等】 ○重难探究·能力素养速提升 探究点一必要条件与充分条件的判断 【例1一1】解(1)因为矩形的对角线相等，即p→q,所以9 是p的必要条件 (2)因为→q,所以q是p的必要条件。 (3)因为力推不出q,所以q不是p的必要条件. 【变式训练1】解(1)若|x=|yl,则x=y或x=一y,因 此p推不出，所以q不是p的必要条件 (2)直角三角形不一定是等腰三角形，固此p推不出q,所 以g不是p的必要条件 (3)等边三角形一定是等腰三角形，所以p→q,所以g是p 的必要条件， 【例1一2】解(1)由于Q二R,所以p→q,所以p是g的充 分条件 (2)由三角形中大角对大边可知，若∠A>∠B,则BC> AC,因此p→q,所以p是q的充分条件. (3)因为a,b∈R,所以a≥0，b≥0，由a2+b2=0,可推出 a=b=0,即p→q,所以p是q的充分条件 【变式训练2】③①，(x-2)(x一3)=0，.x=2或x 3,不能推出x一2=0..p不是q的充分条件 ②0是自然数，但是0不是正整数， p推不出g,,p不是q的充分条件 ③m<-2,1十4m<0,方程x2-x一m=0无实根， …p是q的充分条件. 【例1一3】解(1)：p→gq不能推出p,…p是g的充分不 必要条件。 (2)p→q,9不能推出p,p是q的充分不必要条件. (3)p不能狼出q,q→p,p是q的必要不充分条件. (4)",当ab=0时，ab|=ab,.“1ab|=ab”不能出 “ab>0”,即p不能推出g.又当ab>0时，有|ab|=ab,即g→ p,…p是g的必要不充分条件， 【变式训练3】解(1)，一1≤x≤5白x≥一1且x5, ,p是g的充要条件. (2)由q:(x十2)≠y2,得x十2≠y,且x+2≠一y,故q→p 又当x十2=一y≠y时，(x十2)2=y2,故p不能推出q, 故卫是q的必要不充分条件 (3)0是自然数，但0不是正数，故p不能推出9：又2是正 数，但2不是自然数，故9不能推出力，故力是4的既不充分也 不必要的条件 探究点二必要条件、充分条件、充要条件的探求与应用 【例2】①A由1->0可得<1，解得>1浅x< 0,结合四个选项可得其成立的充分不必要条件是x>1 (2)解因为p是g的必要不充分条件， 所以{x|1一mx≤1十m}军{x|一2≤x≤10}， 1一m≥一2，.1-m>-2, 故有 或 解得m≤3. 1+m<101+m≤10， 又m>0,所以实数m的取值范国为{m0m≤3)： (3)解方程x2+(2k一1)x+是2=0有两个正实数根等价 4=(2k-1)2-4k≥0， 于红十，=-(2-1D>0,解得<，且表≠0，以上过程年 x1x2=k>0, 一步都是等价的，因此所求充要条件为≤，且表0， 【变式调练】DB2A(30,子，-》 (1)求解 不等式1<2x十2<8可得-<3，结合所给的选项可知它 的一个必要不充分条件是一1<x<6. (2)"不等式x2一r+m>0在R上恒成立， 4=1-m<0,解得m>号. 又m>时，4=1-m<0,“m>号”是“不等式 4 x一x十m>0在R上恒成立”的充要条件 (3)令A={xx2+x-6=01={-3,2),B={xmx+1=0}, p是q的必要条件，B二A.B=0,或{一3}，{2. 若B=☑，则m=0: 若B={一3引，则-3m十1=0，解得m=3: 若B=2,则2m+1=0,解得m=一号 综上m的取值集合是-之0，号》 。学以数用·随堂检测促达标 1.B因为p是q的充分不必要条件，所以p→q,9推不出 p,所以q是p的必要不充分条件 2.B因为a+b为实数，所以由a>|b|可得a>b.反之，当 a=1>0,b=-2时，满足a>b,但是a=1<|-2引=2=b,所以 p是q的充分不必要条件.故选B 3.A 4.充要a>0,且b>0→a+b>0,且ab>0:a+b>0,且 ab>0→a>0,且b>0,故为克要条件. 5.两组对边分别平行一组对边平行且相等 6.{mm≥8}设A={x|x<-2或x>3},B={x|4x十 —3 m<0={工x<-四}，因为力是g的必要不克分条件，所以 BA,所以-受<-一2即m≥8，所以实数m的取值范国为 {mm≥8}. 第2课时习题课充分条件与必要 条件的综合应用 ©重难探究·能力素养速提升 探究点一充要条件的证明 【例1】证明充分性：因为a十b十c=0,所以c=一a一b, 代入方程ax2+br十c=0中，得ax2+br-a一b=0,即 (x-1)(ax+a+b)=0, 所以方程有一个根为1，充分性成立 必要性：因为方程ax十bx十c=0有一个根为1， 所以x=1满足方程ax2十bx十c=0, 所以有aX1十bX1十c=0,即a十b十c=0. 必要性成立 综上所述，方程ax2十z十c=0有一个根为1的充要条件 是a+b+c=0. 【变式探究】证明充分性：因为ac<0,所以△=b2一4ac> 0,方程a.x2十bx十c=0中有两个不等实根， 由报与系数关系可知这两个根的积为二<0，所以方程 ax2十bz十c=0有一个正根和一个负根，充分性成立. 必要性：因为方程ax2十bx十c=0有一个正根和一个负 根，由根与系数关系可知这两个根的积为二<0，所以a<0,必 要性成立 综上，方程a.x2十bx十c=0有一个正根和一个负根的充要 条件是ae<0. 探究点二根据充分条件、必要条件求参数的取值范围 【例2】(1)B(2){mm>2)(1)因为“x<a”是“x≥3或 x≤一1”的充分不必要条件，所以a≤一1.故选B. (2)因为“x>2”是“x>m”的必要不充分条件，所以(x|x> m}是{xx>2}的真子集，所以m>2. 【变式调练】1B2)D（D周为y=一丹十的 图象经过第-、三，回象限，故一升>0，司<0，即m>0,m<0, 故其必要不充分条件为mm<0.故选B (2)因为一元二次方程ax2十4x十3=0有一个正根和一个 4=16-12a0, 负极，所以3∠0， 解得a<0,则一元二次方程ax2十 a 4x十3=0有一个正根和一个负根的充分不必要条件对应的集 2