3.2代数式的值讲义-2025-2026学年人教版七年级数学上册

❊3.3 代数式的值 思维导图 题型精析 题型一 求代数式的值 已知，且，则的值为_____．例1 已知，则_____．例2 十八世纪伟大的数学家欧拉最先用记号的形式来表示关于x的多项式，把x等于某数n时的多项式的值用来表示．例如时，多项式的值可以记为，即．如果定义，下列说法中错误的是（ ）变1 A． B． C． D． 已知，，，那么_____．变2 已知，c和d互为倒数，m和n的绝对值相等，且，y为最大的负整数．求的值．变3 题型二 整体法求代数式的值 已知，则的值为（ ）例1 A．1 B．5 C．6 D．7 若2x-y＝5，则7＋4x-2y的值是_____．例2 已知，则多项式_____．变1 如果的值为7，则的值为_____．变2 当时，代数式的值是2021，则当时，其值是（ ）例3 A．2019 B． C． D．2020 当时，代数式的值为3，则当时，代数式的值为（ ）变3 A． B．1 C．2 D．3 已知当时，代数式的值是5，则当时，这个代数式的值是（　　）变4 A． B． C．3 D． 题型三 新定义问题 定义一种新运算：，如，则_____．例1 定义新运算如下：当时，；当时，，则当时，的值是_____．变1 若定义一种新运算“”，规定．变2 （1）计算的值； （2）计算的值． 题型四 程序流程图求值 按下列图示的程序计算，若开始输入的值为，则最后输出的结果是（ ）例1 A．6 B．21 C．156 D．231 我国古代数学名著《九章算术》里记载了程序框图的算法思路，如图所示，如果第一次输入的值是，这样下去第次计算输出的结果是（ ）例2 A． B． C． D． 按如图所示的程序计算，当输入数据x，y的值满足时，m的值为_____．变1 如图所示的运算程序中，若开始输入的值为3，则第2025次输出的结果是（ ）变2 A． B． C． D． 课后强化 1.运算能力  当，时，求各代数式的值． （1）； （2） 2.若，则_____． 3.若，，且，则的值为（ ） A． B． C． D．11 4.若a与b互为相反数，c与d互为倒数，数轴上表示数m的点到原点的距离是1，则的值是（ ） A．2021 B．2021或 C．2027或 D． 5.已知，，则的值为_____． 6.如图，在一个长方形小广场上，有两块大小相同的正方形空地供人们休息（有关线段的长如图所示），留下一个“T”型的图形（阴影部分）．（单位：米） （1）用含x，y的代数式表示“T”型图形的周长并化简： （2）若，，要给“T”型区域围上价格为30元/米的围栏，请计算围栏的造价． 7.若代数式的值为2，则代数式的值为_____． 8.已知，则代数式的值是_____． 9.已知当时，代数式的值为，则当时，代数式的值是_____． 10.若定义一种新的运算：，则_____． 11.在有理数的原有运算法则中我们定义一个新运算“※”如下：时，；时，．则当时，代数式的值为_____． 12.定义：对于“☆”运算，若，则称“☆”运算满足“反换律”．例如：，故乘法运算满足“反换律”． （1）下列运算满足“反换律”的是_____；（填序号） ①加法，②减法，③除法． （2）规定“”运算：； ①若，，则______； ②请你判断“”运算是否满足“反换律”，并说明理由． 13.按照如图所示的程序计算，当输入n的值为时，则输出的结果是_____． 14.按如图所示的运算程序，能使输出y值为1的是（ ） A．， B．， C．， D．， 第 1 页 共 14 页 学科网（北京）股份有限公司 $$第 1 页 共 5 页 ❊3.3 代数式的值 思维导图 题型精析 题型一 求代数式的值 例 1 已知 2, 3x y  ，且 0 x y  ，则 x y 的值为_____． 例 2 已知  23 2 0a a b    ，则 4a b _____． 变 1 十八世纪伟大的数学家欧拉最先用记号  f x 的形式来表示关于 x的多项式，把 x等于某数 n时的 多项式的值用  f n 来表示．例如 1x  时，多项式   22 3f x x x   的值可以记为  1f ，即   21 2 1 1 3 4f      ．如果定义   23 2 5f x x x   ，下列说法中错误的是（ ） A．  2 3f  B．  2 3f    C．  3 28f   D．  3 16f  变 2 已知 2 9x  ， 2y  ， 0xy  ，那么 x y  _____． 变 3 已知  23 2 0a b    ，c和 d互为倒数，m和 n的绝对值相等，且 0mn  ，y为最大的负整数．求    2 2y b m a cd nb    的值． 第 2 页 共 5 页 题型二 整体法求代数式的值 例 1 已知 2 2 2 0a a   ，则 22 4 3a a  的值为（ ） A．1 B．5 C．6 D．7 例 2 若 2x-y＝5，则 7＋4x-2y的值是_____． 变 1 已知 2 3 5 0x x   ，则多项式 22 6 3x x   _____． 变 2 如果 2 2x x  的值为 7，则 2 1 1 5 2 2 x x   的值为_____． 例 3 当 2x  时，代数式 3 3 1ax bx  的值是 2021，则当 2x   时，其值是（ ） A．2019 B． 2020 C． 2019 D．2020 变 3 当 1x   时，代数式 3 1ax bx  的值为 3，则当 1x  时，代数式 3 1ax bx  的值为（ ） A． 1 B．1 C．2 D．3 变 4 已知当 1x  时，代数式 2019 2021 1ax bx  的值是 5，则当 1x   时，这个代数式 2019 2021 1ax bx  的 值是（ ） A． 10 B． 7 C．3 D． 6 题型三 新定义问题 例 1 定义一种新运算：  2*a b a b b a    ，如  22*3 2 3 3 2 11     ，则8*2  _____． 变 1 定义新运算如下：当a b 时， 2a b b  ；当 a b 时，a b a  ，则当 2x  时，   1 3x x x   的值是_____． 变 2 若定义一种新运算“ ”，规定 2 1a b ab a    ． （1）计算  3 4  的值； （2）计算    2 3 6   的值． 第 3 页 共 5 页 题型四 程序流程图求值 例 1 按下列图示的程序计算，若开始输入的值为 3x  ，则最后输出的结果是（ ） A．6 B．21 C．156 D．231 例 2 我国古代数学名著《九章算术》里记载了程序框图的算法思路，如图所示，如果第一次输入 x的 值是 3 ，这样下去第 2024次计算输出的结果是（ ） A． 1 B． 3 C． 5 D． 8 变 1 按如图所示的程序计算，当输入数据 x，y的值满足  22 3 0x y    时，m的值为_____． 变 2 如图所示的运算程序中，若开始输入 x的值为 3，则第 2025次输出的结果是（ ） A． 1 B． 2 C． 3 D． 6 课后强化 1.运算能力 当 2a   ， 3b   时，求各代数式的值． （1） 2 24 4a ab b  ； （2） 2( 2 )a b 第 4 页 共 5 页 2.若 2 1( 3) 0 3 x y    ，则 xy _____． 3.若 2 36a  ， 2 25b  ，且 0ab  ，则 a b 的值为（ ） A． 1 B． 1 C． 11 D．11 4.若 a与 b互为相反数，c与 d互为倒数，数轴上表示数 m的点到原点的距离是 1，则  2 3 2024a b cd m   的值是（ ） A．2021 B．2021或 2027 C．2027或 2021 D． 2027 5.已知  4 4 3 24 3 2 1 02023 3     x a x a x a x a x a ，   4 4 3 2 4 3 2 1 02022 2     x b x b x b x b x b ，则 0 0a b 的值为 _____． 6.如图，在一个长方形小广场上，有两块大小相同的正方形空地供人们休息（有关线段的长如图所示），留 下一个“T”型的图形（阴影部分）．（单位：米） （1）用含 x，y的代数式表示“T”型图形的周长并化简： （2）若 5x  ， 10y  ，要给“T”型区域围上价格为 30元/米的围栏，请计算围栏的造价． 7.若代数式 2 2a a 的值为 2，则代数式 21010 2020 2a a  的值为_____． 8.已知 2 4x y  ，则代数式1 5 10x y  的值是_____． 9.已知当 3x 时，代数式 53  bxax 的值为 20，则当 3x 时，代数式 53  bxax 的值是_____． 10.若定义一种新的运算： 2a bM a b b  ，则 17M   _____． 11.在有理数的原有运算法则中我们定义一个新运算“※”如下： a b 时， 2a b a※ ； a b 时， a b b※ ．则 当 4c   时，代数式 ( 3 ) ( 5 )c c  ※ ※ 的值为_____． 12.定义：对于“☆”运算，若    a b b a  ☆ ☆ ，则称“☆”运算满足“反换律”．例如：    a b b a     ，故 乘法运算满足“反换律”． （1）下列运算满足“反换律”的是_____；（填序号） ①加法，②减法，③除法． （2）规定“ ”运算： 2 2 3a b a b ab    ； ①若 1a  ， 2b   ，则 a b  ______； ②请你判断“ ”运算是否满足“反换律”，并说明理由． 第 5 页 共 5 页 13.按照如图所示的程序计算，当输入 n的值为 2 时，则输出的结果是_____． 14.按如图所示的运算程序，能使输出 y值为 1的是（ ） A． 1m   ， 1n  B． 1m  ， 0n  C． 1m  ， 2n  D． 2m  ， 1n  ❊3.3 代数式的值 思维导图 题型精析 题型一 求代数式的值 已知，且，则的值为_____．例1 【答案】或1 【分析】本题考查求一个数的绝对值及有理数除法法则，熟练掌握运算法则是关键．先根据，得到，，再根据，得到x、y同号，代入计算即可得到答案． 【详解】解：由条件可知， 由条件可知或，， 或， 故答案为：或1． 已知，则_____．例2 【答案】9 【分析】本题考查了绝对值的非负性，已知字母的值求代数式的值，根据，解得，再分别代入进行计算，即可作答． 【详解】解：∵，且 解得 ∴ 故答案为：9． 十八世纪伟大的数学家欧拉最先用记号的形式来表示关于x的多项式，把x等于某数n时的多项式的值用来表示．例如时，多项式的值可以记为，即．如果定义，下列说法中错误的是（ ）变1 A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了已知字母的值 ，求代数式的值，将各选项中的值代入多项式，逐一计算对应的值，判断是否与选项中的结果一致，即可求解； 【详解】解：A：，正确； B：，错误； C：，正确； D：计算，正确； 故选：B 已知，，，那么_____．变2 【答案】 【分析】本题考查了有理数的绝对值、乘方和有理数的减法运算，属于常考题型，熟练掌握基本知识是解题的关键． 先根据有理数的绝对值和乘方的意义求出x、y，然后根据即可确定x、y的值，再代入所求式子计算即可． 【详解】解：因为， 所以， 因为， 所以， 因为， 所以，或，； 当，时，； 当，时，． 故答案为：． 已知，c和d互为倒数，m和n的绝对值相等，且，y为最大的负整数．求的值．变3 【答案】1 【分析】本题考查非负数的性质、倒数、绝对值、代数式求值，熟练掌握非负数的性质、倒数、绝对值的定义是解题的关键． 根据非负数的性质求出a和b，倒数的定义可得，根据m和n的绝对值相等，且可得，由最大的负整数是，可得y的值，再代入计算即可求解． 【详解】解：∵， ∴，， 解得，， ∵c和d互为倒数，m和n的绝对值相等，且，y为最大的负整数， ∴，，， ∴ ． 题型二 整体法求代数式的值 已知，则的值为（ ）例1 A．1 B．5 C．6 D．7 【答案】D 【分析】先将化为，化为，再将代入，求出算式的值即可得出答案． 【详解】解： 故选D． 若2x-y＝5，则7＋4x-2y的值是_____．例2 【答案】17 【分析】将化为，然后将代入即可求解． 【详解】解：∵， ∴==7+10=17． 故答案为：17． 已知，则多项式_____．变1 【答案】7 【分析】将代数式适当变形，利用整体代入的方法解答即可． 【详解】解：∵， ∴ ∴ = =2×5-3 =10-3 ． 故答案为：． 如果的值为7，则的值为_____．变2 【答案】 【分析】由已知可得，代入即可求解． 【详解】解：∵， ∴， ∴， 故答案为：． 当时，代数式的值是2021，则当时，其值是（ ）例3 A．2019 B． C． D．2020 【答案】C 【分析】本题考查代数式求值，由当时，代数式的值是2021，得到是正确解答的关键． 由当时，代数式的值是2021，可得到，再把代入得到，整体代入计算即可． 【详解】解：∵当时，代数式的值是2021， ∴， ∴， 当时，代数式 ， 故选：C． 当时，代数式的值为3，则当时，代数式的值为（ ）变3 A． B．1 C．2 D．3 【答案】A 【分析】本题考查了代数式求值中的整体代入思想，解题的关键是根据时代数式的值求出的值，再将其变形后整体代入时的代数式进行计算． 当时，将其代入代数式，得到含、的等式，化简求出的值；再将代入代数式，得到，观察到与互为相反数，利用之前求出的的值求出，最后代入计算即可． 【详解】解：当时，代入得：， 化简得：， 移项得：，即． 当时，代入得： ， 将代入上式得：． 故选：A． 已知当时，代数式的值是5，则当时，这个代数式的值是（　　）变4 A． B． C．3 D． 【答案】B 【分析】本题考查了求代数式的值，把所给字母代入代数式时，要补上必要的括号和运算符号，然后按照有理数的运算顺序计算即可，熟练掌握有理数的运算法则是解答本题的关键. 直接把x的值代入得出，进而得出答案． 【详解】解：∵当时，代数式的值是5， ∴， 则， 当时， ． 故选：B． 题型三 新定义问题 定义一种新运算：，如，则_____．例1 【答案】134 【分析】本题主要考查了代数式求值，解题的关键是熟练掌握有理数混合运算法则，准确计算． 【详解】解： ． 故答案为：134． 定义新运算如下：当时，；当时，，则当时，的值是_____．变1 【答案】 【分析】本题考查了求代数式的值；把x的值代入，按照规定的运算进行计算即可． 【详解】解：当时， 原式 ； 故答案为：． 若定义一种新运算“”，规定．变2 （1）计算的值； （2）计算的值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了定义新运算、求代数式的值，理解新定义是解题的关键． （1）根据新定义运算法则计算即可； （2）根据新定义运算法则计算即可． 【详解】（1）解： ； （2）解：， ． 题型四 程序流程图求值 按下列图示的程序计算，若开始输入的值为，则最后输出的结果是（ ）例1 A．6 B．21 C．156 D．231 【答案】D 【分析】本题考查的知识点是代数式求值，解答本题的关键就是弄清楚题图给出的计算程序．观察图示我们可以得出关系式为：，因此将的值代入就可以计算出结果．如果计算的结果则需要把结果再次代入关系式求值，直到算出的值为止，即可得出输出结果． 【详解】解：依据题中的计算程序列出算式：由于， ， 应该按照计算程序继续计算， ， 应该按照计算程序继续计算， ， 输出结果为． 故选：D． 我国古代数学名著《九章算术》里记载了程序框图的算法思路，如图所示，如果第一次输入的值是，这样下去第次计算输出的结果是（ ）例2 A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了程序流程图与代数式的值，由程序流程图可得每次输出的结果，，循环出现，据此解答即可求解，掌握变化规律是解题的关键． 【详解】解：第一次输入的值是，输出的结果为； 第二次输入的值是时，输出的结果为； 第三次输入的值是时，输出的结果为； ， ∴每次输出的结果，，循环出现， ∵， ∴第次计算输出的结果是， 故选：． 按如图所示的程序计算，当输入数据x，y的值满足时，m的值为_____．变1 【答案】7 【分析】本题主要考查绝对值及平方的非负性，求代数式的值．先利用绝对值及平方的非负性得出，，然后根据程序计算即可． 【详解】解：∵， ∴，， ∴，， ∴， ∴， 故答案为：7． 如图所示的运算程序中，若开始输入的值为3，则第2025次输出的结果是（ ）变2 A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了代数式求值及有理数的混合运算，弄清题中的运算程序是解题的关键．首先将代入运算程序输出结果，再将输出的结果代入运算程序，依次类推，找出其中的规律即可． 【详解】解：开始输入x的值为3，3为奇数，输出， 输入，为偶数，输出， 输入，为奇数，输出， 输入，为偶数，输出， 输入，为奇数，输出， 输入，为偶数，输出， 输入，为偶数，输出， 输入，为偶数，输出， …． 依次类推，输出分别以，，，，，循环， ， 第2025次输出的结果是， 故选：D． 课后强化 1.运算能力  当，时，求各代数式的值． （1）； （2） 【答案】(1)64 (2)64 【分析】（1）把，代入，然后按照有理数混合运算法则进行计算即可； （2）把，代入，然后按照有理数混合运算法则进行计算即可； 本题考查了代数式的求值，熟练掌握有理数混合运算法则是解题的关键． 【详解】（1）解：当，时，． （2）解：当，时，． 2.若，则_____． 【答案】 【分析】本题考查了非负数的性质，代数式求值，求得，的值是解题的关键．根据绝对值与平方的非负性，求得，的值，进而代入代数式即可求解． 【详解】解：∵， ∴，， 解得，， ∴， 故答案为：． 3.若，，且，则的值为（ ） A． B． C． D．11 【答案】C 【分析】本题考查了有理数的乘法，减法，乘方，先求出，的值，根据，，异号，分两种情况：，或，分别计算即可． 【详解】解：∵，， ∴，， ∵， ∴，异号， 当，时，； 当，时，； 故选：C． 4.若a与b互为相反数，c与d互为倒数，数轴上表示数m的点到原点的距离是1，则的值是（ ） A．2021 B．2021或 C．2027或 D． 【答案】B 【分析】本题考查了相反数、倒数的性质以及绝对值的意义，解题的关键是根据定义得出、和m的值，再代入式子计算． 由a与b互为相反数得；由c与d互为倒数得；由m到原点距离是1得；分别将和代入式子计算结果． 【详解】解：∵a与b互为相反数， ∴． ∵c与d互为倒数， ∴． ∵数轴上表示数m的点到原点的距离是1， ∴． 当时, 当时, ． 因此式子的值为或． 故选：B． 5.已知，，则的值为_____． 【答案】65 【分析】本题主要考查了求代数式的值．当时，可得，然后再代入计算即可． 【详解】解：当时，， 即， ∴． 故答案为：65． 6.如图，在一个长方形小广场上，有两块大小相同的正方形空地供人们休息（有关线段的长如图所示），留下一个“T”型的图形（阴影部分）．（单位：米） （1）用含x，y的代数式表示“T”型图形的周长并化简： （2）若，，要给“T”型区域围上价格为30元/米的围栏，请计算围栏的造价． 【答案】(1)米 (2)3000元 【分析】本题考查了列代数式，整式的混合运算，正确运用运算法则计算是解题的关键． （1）结合长方形的周长计算方法即可求解； （2）将、的值代入即可． 【详解】（1）解：由图形可得阴影部分的周长为 （米）． （2）当，时， （米）， （元）． 答：围栏的造价是3000元． 7.若代数式的值为2，则代数式的值为_____． 【答案】2022 【分析】先求得，然后依据等式的性质求得，然后再整体代入即可． 【详解】∵代数式的值为2， ∴． ∴． ∴． 故答案为：2022． 8.已知，则代数式的值是_____． 【答案】 【分析】将已知等式进行变形得，然后对所求代数式变形为，最后整体代入计算即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴ ． 故答案为：． 9.已知当时，代数式的值为，则当时，代数式的值是_____． 【答案】根据规律，可直接算出答案为-30 当时，代数式的值为10，则当时，求这个代数式的值． 【答案】-24 【分析】把x＝1代入代数式得：a+b+c﹣7＝10，则得到：a+b+c＝17，由x＝﹣1时，，即可得到的值． 【详解】解：把x＝1代入代数式得：a+b+c﹣7＝10，则得到：a+b+c＝17， ∵x＝﹣1时，， ∴＝﹣a－b－c－7＝﹣（a+b+c）－7＝﹣24． 即当x＝﹣1时，这个代数式的值为﹣24． 10.若定义一种新的运算：，则_____． 【答案】 【分析】本题考查代数式的代入求值，有理数的运算，解决问题的关键是理解定义新运算．根据新运算定义将转化为有理数的运算，求解即可． 【详解】解：∵， ∴． 故答案为：． 11.在有理数的原有运算法则中我们定义一个新运算“※”如下：时，；时，．则当时，代数式的值为_____． 【答案】 【分析】本题主要考查了代数式求值，解题关键是理解新定义的含义，正确列出算式． 先根据已知条件中的新定义，分别求出和的值，再进行计算即可． 【详解】解：∵时，，时，， ∴ ， 故答案为：． 12.定义：对于“☆”运算，若，则称“☆”运算满足“反换律”．例如：，故乘法运算满足“反换律”． （1）下列运算满足“反换律”的是_____；（填序号） ①加法，②减法，③除法． （2）规定“”运算：； ①若，，则______； ②请你判断“”运算是否满足“反换律”，并说明理由． 【答案】(1)② (2)①11；②满足，理由见解析 【分析】本题考查了定义新运算、有理数的混合运算、代数式的求值，根据新定义进行计算是解题的关键． （1）根据“反换律”的定义，对题目的运算逐个分析判断即可； （2）①根据“”运算的定义，代入，计算即可；②分别计算和，比较计算结果即可得出答案． 【详解】（1）解：与不一定相等，故①不满足“反换律”； ，故②满足“反换律”； 与不一定相等，故③不满足“反换律”； 满足“反换律”的是②． 故答案为：②． （2）解：①当，时， ； 故答案为：11． ②满足，理由如下： ，， ， “”运算满足“反换律”． 13.按照如图所示的程序计算，当输入n的值为时，则输出的结果是_____． 【答案】 【分析】此题考查了代数式的求值．根据程序代入进行计算即可． 【详解】解：当输入的值为时，则，返回继续运算；，输出结果． 故答案为： 14.按如图所示的运算程序，能使输出y值为1的是（ ） A．， B．， C．， D．， 【答案】D 【分析】本题考查了根据条件求代数式值问题，解答的关键在于根据条件正确地代入代数式及代入的值．根据所给程序运算，逐个判断即可． 【详解】解：A．当，时，，不合题意； B．当，时，，不合题意； C．当，时，，不合题意； D．当，时，，符合题意； 故选：D． 第 1 页 共 14 页 学科网（北京）股份有限公司 $$