3.1列代数式表示数量关系讲义-2025-2026学年人教版七年级数学上册

第三章 代数式 ❊3.1 列代数式表示数量关系 思维导图 题型精析 一.代数式的概念 内容 代数式的概念 用运算符号和括号把数或表示数的字母连接而成的式子叫做代数式.(单独的一个数或者一个字母也是代数式) 二.代数式的书写规范 内容 代数式的书写规范 1.数和字母相乘，可省略乘号，并把数字写在字母的前面； 2.字母和字母相乘，乘号可以省略不写或用“ · ” 表示. 一般情况下，按26个字母的顺序从左到右来写； 3.后面带单位的相加或相减的式子要用括号括起来； 4.除法运算写成分数形式，即除号改为分数线； 5.带分数与字母相乘时，带分数要写成假分数的形式； 6.当“1”与任何字母相乘时,“1”省略不写；当“-1”乘以字母时，只要在那个字母前加上“-”号. 题型一 代数式的书写规范 下列代数式书写规范的是（ ）例1 A． B． C． D． 下列各式中符合代数式书写要求的有（ ）例2 ①；②；③；④；⑤；⑥ A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 下列代数式中，书写规范的是（ ）变1 A． B． C． D． 将下列各式按照列代数式的规范要求重新书写：变2 （1）a×5，应写成_______；     （2）S÷t应写成_______； （3），应写成_______； （4）, 应写成_______. 题型二 代数式 有下列式子：①；②；③；④；⑤；⑥；⑦．其中代数式有（ ）例1 A．7个 B．6个 C．5个 D．4个 下列各式中，代数式的个数是（ ）变1 ①；②；③；④a；⑤0；⑥． A．3个 B．4个 C．5个 D．6个 有下列各式：①，②，③，④，⑤，⑥，⑦，⑧，⑨.其中，代数式的个数为（ ）变2 A．9 B．7 C．6 D．5 题型三 代数式表示的实际意义 下列选项用文字叙述代数式的意义，表述正确的是（ ）例1 A．的倒数与1的和 B．1除以的商与1的和 C．比的倒数小1的数 D．比的倒数大1的数 代数式的意义是（ ）变1 A．，两数的平方差 B．与的差的平方 C．与的平方的差 D．，两数的平方差 “腹有诗书气自华，最是书香能放远．”为鼓励和推广全民阅读活动，某书店开展促销活动，促销方法是将原价为元的一批图书以元的价格出售，下列说法中能正确表达这批图书的促销方法的是（ ）例2 A．在原价的基础上打折后再减去元 B．在原价的基础上打折后再减去元 C．在原价的基础上减去元后再打折 D．在原价的基础上减去元后再打折 下列关于“代数式”的意义的叙述：①的2倍与的3倍的和为；②猕猴桃每千克元，褚橙每千克元，小明妈妈买3千克猕猴桃和2千克褚橙一共花费元；③小云以米/分钟的速度跑了2分钟，再以米/分钟的速度步行3分钟，小云一共走了米．其中正确的有（ ）变2 A．3个 B．2个 C．1个 D．0个 题型四 列代数式 用代数式表示下列各小题．例1 （1）边长为的正方形的周长； （2）若n表示任意一个整数，用含n的代数式表示能被5整除的整数； （3）一个两位数的个位上的数字为m，十位上的数字为n，用含m，n的代数式表示这个两位数． 汽车上坡时每小时走28千米，下坡时每小时走35千米，已知下坡路程比上坡路程的2倍少14千米．设上坡路程为x千米，则汽车下坡共用了（ ）小时．例2 A． B． C． D． 如图是某住宅的平面结构图（单位：米），房的主人计划将卧室以外的地面都铺上地砖．如果他选用地砖的价格为a元/米2，则买砖至少需用（ ）元．例3 A． B． C． D． 已知a是一个两位数，b是一位数，把b放在a的左边组成一个三位数，这个三位数可表示为（ ）变1 A． B． C． D． 如图1，将一个长为，宽为的长方形，用剪刀沿虚线裁开，把它分成四块形状大小一样的小长方形，然后按图2的方式拼成一个正方形，则中间空白部分的面积是（ ）变2 A． B． C． D． 某公司今年2月份的利润为万元，3月份比2月份减少7%，4月份比3月份增加了，则该公司4月份的利润为（ ）（单位：万元）变3 A． B． C． D． 三.正比例与反比例 内容 正比例关系 1.两个相关联的量，一个量变化，另一个量也随着变化，且这两个量的比值一定,，这两个量就叫作成正比例的量，它们之间的关系叫作正比例关系； 2.如果用字母x和y表示两个相关联的量，用k表示它们的比值（k是一个确定的值，且k≠0），正比例关系可以用来表示，其中k叫作比例系数． 反比例关系 1.两个相关联的量，一个量变化，另一个量也随着变化，且这两个量的乘积一定，这两个量就叫作成反比例的量，它们之间的关系叫作反比例关系； 2.如果用字母x和y表示两个相关联的量，用k表示它们的积（k是一个确定的值，且k≠0)，反比例关系可以用或来表示，其中k叫作比例系数． 题型五 正比例与反比例 如果，x和y成 比例；如果，x和y成 比例．例1 下面说法正确的是（ ）例2 A．正方形的面积与边长成正比例关系 B．从沈阳到大连的路程一定，行驶的时间与平均速度成反比例关系 C．完成一项工作，已完成的工作量与未完成的工作量成反比例关系 D．钢笔的单价一定时，购买的总价与钢笔数量成反比例关系 和是两个相关联的量，（均不为0），则和（ ）变1 A．成正比例 B．成反比例 C．不成比例 D．无法确定 判断反比例关系：下列各组的两个变量间成反比例关系的是 （填序号）．变2 ①销售单价一定时，销售总价与销售数量的关系； ②等腰三角形的周长一定时，它的底边与腰长； ③三角形的面积一定时，它的一边长与该边上的高； ④圆的周长与它的半径． 科学课实验需要一种铁丝，它的质量和长度的关系如下图，请根据该图像回答以下问题．变3 （1）这种铁丝有4米，它的质量是____克； （2）这种铁丝的长度与质量成____比例；（填“正”或“反”） （3）聪聪通过称质量来确定铁丝的长度，测得这样的一捆铁丝质量是克，这捆铁丝的长度是多少米？ 四.代数式规律探究的方法 方法 分数数列 分子分母分开找规律 正负交替数列 在答案前加上 负正交替数列 在答案前加上 图形题 若每次图形增加的数量相等，例如增加3，规律则为3n+a，再带入n=1求出a即可. 选择题 用代值法，再利用排除法选出正确答案即可 题型六 数字类规律探究 按一定规律排列的代数式：，第个代数式是（ ）例1 A． B． C． D． 以下是一组按一定规律排列的多项式：，，，，，…，则第个多项式是（ ）例2 A． B． C． D． 观察下面一列数：，，，，⋯，按照这个规律，第12个数应该是______．变1 按一定规律排列的式子：，，，，……第n个式子是______．变2 按一定规律排列的代数式：，第n个代数式是（ ）变3 A． B． C． D． 题型七 宝塔类规律探究 观察下图三行数：例1 ，4，，16，，64，...；① 0，6，，18，，66，...；② ，2，，8，，32，...；③ 取每行数的第9个数，这三个数的和为______． 观察下列整数：例2 在上述“整数宝塔”中，第4层第2个数是17，则第10层第4个数是（ ） A． B． C． D． 已知一列数：1，-2，3，-4，5，-6，7，……将这列数如下排列，第10行从左边数第5个数等于______．变1 第1行    1 第2行   -2   3 第3行   -4   5   -6 第4行    7  -8    9   -10 第5行    11  12    13  -14   15 把正整数1，2，3，4，5，……，按如下规律排列：根据排列规律，回答下列问题．变2 （1）第7行第1个数是 　　，第20行第1个数是 　　； （2）数“180”是第几行第几个数？ 题型八 等式类规律探究 观察下列等式：例1 第1个等式：， 第2个等式：， 第3个等式：， 第4个等式：… （1）按上述规律填空，第5个等式：______=______； （2）用含的代数式表示第个等式：______=______（为正整数）； （3）求的值． 观察下列各式：例2 ， …… 回答下面的问题： （1）直接写出的值是______；猜想：______． （2）根据（1）中的结论，求的值． （3）思维拓展：求的值． 观察以下一系列等式∶变1 ①； ②； ③； …… （1）请按照这个顺序仿照前面的等式写出第④个等式∶_______； （2）若字母n代表第n个等式，请用字母 n 表示上面所发现的规律∶_______； （3）请利用上述规律计算的值．（ 结果用幂的形式表示） 观察下列各式的计算结果：变2 ； ； ； … （1）用你发现的规律填写下列式子的结果：1﹣=　　×　　；1﹣=　　×　　； （2）用你发现的规律计算： （1-）×（1-）×（1-）×…×（1-）×（1-）×. 题型九 图形类规律探究 图书馆的书桌按如图这样的方式排列，一张桌子最多坐6个人，两张桌子最多坐10人，三张桌子最多坐14人，照这样的规律摆下去，15张桌子最多可以坐（ ）人.例1 A．60 B．61 C．62 D．63 将形状、大小完全相同的“·”按照一定规律摆成下列图形，第①幅图形中“·”的个数为5，第②幅图形中“·”的个数为10，第③幅图形中“·”的个数为17，第④幅图形中“·”的个数为26，……按照这种摆法，第n幅图形中“·”的个数为（ ）例2 A． B． C． D． 如图所示的图形都是由同样大小的“星星”按一定的规律组成的，其中第一个图形有4个“星星”，第二个图形有7个“星星”，第三个图形有10个“星星”，……，从不同的角度观察图形的排列规律，可以得到不同的代数式表示形式，下列不能表示第n个图形中“星星”的个数的是（ ）变1 A． B． C． D． 莫高窟坐落于河西走廊西部的尽头——敦煌，是我国古代文明的璀璨艺术宝库，莫高窟保存壁画4.5万多平方米，具有独特的形式美感和艺术魅力．如图，为莫高窟壁画纹样，小明发现，壁画纹样中还蕴藏着数学知识，其中第①个图案中有5个花朵图案，第2个图案中有8个花朵图案，第③个图案中有11个花朵图案，……，按此规律排列下去，则第100个图案中花朵图案的个数为（ ）变2 A．302 B．301 C．303 D．300 如图，将形状、大小完全相同的“．”按照一定规律摆放，第1个图形中“●”的个数是3，第2个图形中“●”的个数是8，第3个图形中“●”的个数是15，…，以此类推，则第n（n是正整数）个图形中“●”的个数是（ ）变3 A． B． C． D． 课后强化 1.下列各式符合整式书写规范的是（ ） A． B． C．个 D． 2.下列各式：（1）；（2）；（3）；（4）；（5）；（6）吨，其中符合书写要求的有（ ） A．5个 B．4个 C．3个 D．2个 3.下列各式：，，，，，，，中，代数式有（ ） A．1个 B．2个 C．3个 D．5个 4.代数式用文字语言表示为 ． 5.下列关于代数式的说法，正确的是（ ） A．表示4个相减 B．表示4与相加 C．该代数式的值比4小 D．该代数式的值比大 6.某商店举办促销活动，促销的方法是将原价为元的衣服以元出售，则下列关于代数式的含义描述正确的是（ ） A．原价加上4元后再打7折 B．原价打7折后再加上4元 C．原价加上4元后再打3折 D．原价打3折后再加上4元 7.列式表示： （1）棱长为的正方体的表面积； （2）每件元的上衣，降价后的售价； （3）一辆汽车的行驶速度是行驶的路程． 8.一个三位数，个位上的数字是a，十位上的数字是0，百位上的数字是c，这个三位数是 ． 9.某工厂现有工人名，若现有工人数比两年前减少，则该工厂两年前有工人（ ） A．名 B．名 C．名 D．名 10.下面各题中的两个量成反比例关系的有 ． ①三角形的面积一定，它的底和高；②全班的人数一定，男生人数与女生人数；③完成一项工程，每天的工作效率与所需的天数． 11.公元前3世纪，古希腊科学家阿基米德发现“杠杆原理”，通俗地说，即“阻力×阻力臂＝动力×动力臂”．小明同学用撬棍撬动一块大石头，已知阻力和阻力臂分别是和，则动力（单位：N）与动力臂（单位：m）的关系正确的是（ ） A．成反比例关系， B．成反比例关系， C．成正比例关系， D．成正比例关系， 12.小慧要把一篇社会调查报告录入电脑．完成录入的时间（分）与录入文字的速度（字/分）之间的关系如下表： 完成录入的时间t（分） 75 60 50 30 … 录入文字的速度v（字/分） 40 50 60 100 … （1）这篇社会调查报告共有多少字？ （2）完成录入的时间是怎样随着录入文字的速度的变化而变化的？ （3）用t表示完成录入的时间，用v表示录入文字的速度，用代数式表示t与v之间的关系，t与v成什么比例关系？ 13.已知一串有规律的数：，，，，那么这串数中第8个数是______． 14.有一组数依次为，，，，…按此规律，第个数为______．（用含的代数式表示） 15.按照一定规律排列的多项式：．则第个多项式是（ ） A． B． C． D． 16.按一定规律排列的一组数：，，，…，，，…，则的值是（ ） A．172 B．182 C．200 D．242 17.观察下列式子：，，，，…根据其中的规律，第个式子是______． 18.观察下面两行数，并按规律填空： ①，… ②，… （1）请你分别写出第①②行的第7个数； （2）取每行数的第9个数，计算这两个数的和． 19.观察下面的数： 按着上述的规律排下去，那么第12行从左边数第4个数是（ ） A．-121 B．-123 C．-125 D．-127 20.研究下列算式，你会发现什么规律？ ；；；． （1）请写出第9个式子______； （2）请用含n的式子表示第n个式子：______； （3）计算的值时可以这样做： 解：原式 ． 请你用发现的规律解决下面的问题： 计算： 21.观察下列式子： （1）用含n（其中n为正整数）的代数式表达上式规律为：______． （2）利用规律计算：． （3）探究并计算：． 22.如图是一组有规律的图案．第1个图案中有7个六边形，第2个图案中有13个六边形，第3个图案中有19个六边形，…，按此规律，第31个图案中六边形的个数为（ ） A．186 B．187 C．188 D．189 23.下列图形都是由圆和几个黑色围棋子按一定规律组成，图（1）中有4个黑色棋子，图（2）中有7个黑色棋子，图（3）中有10个黑色棋子，…，依次规律，图（2022）中黑色棋子的个数是（ ） A．6067 B．6066 C．6065 D．6064 24.将若干枚黑白棋子按照一定规律摆放成三角形阵，前5次摆放的情况如下图所示．如果按照此规律继续摆放三角形阵，第个图案中，黑棋子的个数为 ．（用含的式子表示） 第 1 页 共 14 页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第三章 代数式 ❊3.1 列代数式表示数量关系 思维导图 题型精析 一.代数式的概念 内容 代数式的概念 用运算符号和括号把数或表示数的字母连接而成的式子叫做代数式.(单独的一个数或者一个字母也是代数式) 二.代数式的书写规范 内容 代数式的书写规范 1.数和字母相乘，可省略乘号，并把数字写在字母的前面； 2.字母和字母相乘，乘号可以省略不写或用“ · ” 表示. 一般情况下，按26个字母的顺序从左到右来写； 3.后面带单位的相加或相减的式子要用括号括起来； 4.除法运算写成分数形式，即除号改为分数线； 5.带分数与字母相乘时，带分数要写成假分数的形式； 6.当“1”与任何字母相乘时,“1”省略不写；当“-1”乘以字母时，只要在那个字母前加上“-”号. 题型一 代数式的书写规范 下列代数式书写规范的是（ ）例1 A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查代数式的书写规则．解题的关键是掌握代数式的书写规则：（1）在代数式中出现的乘号，通常简写成“⋅”或者省略不写；（2）数字与字母相乘时，数字要写在字母的前面；（3）在代数式中出现的除法运算，一般按照分数的写法来写．带分数要写成假分数的形式．根据代数式的书写要求判断各项． 【详解】解：．通常写成的形式，故该选项不符合题意； ．通常写成的形式，故该选项不符合题意； ．通常写成的形式，故该选项不符合题意； ．符合代数式书写规范，故该选项符合题意； 故选D． 下列各式中符合代数式书写要求的有（ ）例2 ①；②；③；④；⑤；⑥ A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【分析】本题考查了代数式，代数式的书写要求：在代数式中出现的乘号，通常简写成“”或者省略不写；数字与字母相乘时，数字要写在字母的前面；在代数式中出现的除法运算，一般按照分数的写法来写，带分数要写成假分数的形式；根据代数式的书写要求逐项判断即可得解，熟练掌握代数式的书写要求是解此题的关键． 【详解】解：①应写成，故错误； ②应写成，故错误； ③符合书写要求，故正确； ④符合书写要求，故正确； ⑤应写成，故错误； ⑥应写成，故错误； 综上所述，书写正确的有③④，共个， 故选：B． 下列代数式中，书写规范的是（ ）变1 A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了代数式的书写要求，解题的关键是熟练掌握代数式的书写规范：“（1）在代数式中出现的乘号，通常简写成“”或者省略不写；（2）数字与字母相乘时，数字要写在字母的前面；（3）在代数式中出现的除法运算，一般按照分数的写法来写．带分数要写成假分数的形式”． 【详解】解：A．应该写为，故A错误； B．应该写为，故B错误； C．应该写为，故C错误； D．书写正确，故D正确． 故选：D． 将下列各式按照列代数式的规范要求重新书写：变2 （1）a×5，应写成_______；     （2）S÷t应写成_______； （3），应写成_______； （4）, 应写成_______. 【答案】     5a               【分析】（1）根据代数式书写规范将数字因数写在代数式前省略乘号即可得到结果． （2）根据代数式书写规范将除法算式写成分数形式即可得到结果． （3）根据代数式书写规范将数字因数写在代数式前省略乘号，同时将相同字母的乘积写成乘方形式即可得到结果． （4）根据代数式书写规范将数字因数的带分数化为假分数即可得到结果． 【详解】解：（1）a×5=5a， 故答案为∶5a； （2）S÷t=， 故答案为∶； （3）， 故答案为∶； （4） 故答案为∶． 题型二 代数式 有下列式子：①；②；③；④；⑤；⑥；⑦．其中代数式有（ ）例1 A．7个 B．6个 C．5个 D．4个 【答案】C 【分析】本题考查代数式，掌握用运算符号连接数或字母的式子叫代数式，单独的数或字母也是代数式．根据代数式的定义排除含有等号或不等号的式子，再统计即可． 【详解】解：①是代数式； ②是代数式； ③是代数式； ④是代数式； ⑤不是代数式； ⑥不是代数式； ⑦是代数式． 综上，代数式有①②③④⑦，共5个． 故选：C． 下列各式中，代数式的个数是（ ）变1 ①；②；③；④a；⑤0；⑥． A．3个 B．4个 C．5个 D．6个 【答案】B 【分析】本题考查了代数式的定义．根据代数式的定义判断各项即可． 【详解】解：①；②；③；④a；⑤0；⑥中代数式是：①；④a；⑤0；⑥，共4个． 故选：B． 有下列各式：①，②，③，④，⑤，⑥，⑦，⑧，⑨.其中，代数式的个数为（ ）变2 A．9 B．7 C．6 D．5 【答案】D 【分析】本题考查了代数式的概念及识别，掌握代数式的概念是解题的关键． 代数式：由数和表示数的字母经有限次加、减、乘、除、乘方和开方等代数运算所得的式子，或含有字母的数学表达式称为代数式，注意，单独的一个数或字母也是代数式，由此即可求解． 【详解】解：①，是代数式， ②，不是代数式， ③，是代数式， ④，是代数式， ⑤，不是代数式， ⑥，是代数式， ⑦，是代数式， ⑧，不是代数式， ⑨，不是代数式， ∴代数式的有①③④⑥⑦，共5个， 故选：D ． 题型三 代数式表示的实际意义 下列选项用文字叙述代数式的意义，表述正确的是（ ）例1 A．的倒数与1的和 B．1除以的商与1的和 C．比的倒数小1的数 D．比的倒数大1的数 【答案】C 【分析】本题考查代数式的意义，根据四个选项的文字描述写出相应代数式，并与题目验证即可得到答案，熟记代数式的表示方法是解决问题的关键． 【详解】解：A、由的倒数与1的和可得代数式，与题目代数式不符，原选项不符合题意； B、由1除以的商与1的和可得代数式，与题目代数式不符，原选项不符合题意； C、由比的倒数小1的数可得代数式，与题目代数式符合，原选项符合题意； D、由的倒数与1的和可得代数式，与题目代数式不符，原选项不符合题意； 故选：C． 代数式的意义是（ ）变1 A．，两数的平方差 B．与的差的平方 C．与的平方的差 D．，两数的平方差 【答案】B 【分析】主要考查了用数学语言叙述代数式，要根据代数式的顺序用语言叙述出来． 【详解】解：用语言叙述为与的差的平方． 故选：B． “腹有诗书气自华，最是书香能放远．”为鼓励和推广全民阅读活动，某书店开展促销活动，促销方法是将原价为元的一批图书以元的价格出售，下列说法中能正确表达这批图书的促销方法的是（ ）例2 A．在原价的基础上打折后再减去元 B．在原价的基础上打折后再减去元 C．在原价的基础上减去元后再打折 D．在原价的基础上减去元后再打折 【答案】C 【分析】本题考查代数式的意义，熟练掌握其实际意义是解题的关键．根据代数式的实际意义即可求得答案． 【详解】解：由题意可得将原价为元的一批图书以元的价格出售表示的意义为在原价的基础上减去元后再打折， 故选：C． 下列关于“代数式”的意义的叙述：①的2倍与的3倍的和为；②猕猴桃每千克元，褚橙每千克元，小明妈妈买3千克猕猴桃和2千克褚橙一共花费元；③小云以米/分钟的速度跑了2分钟，再以米/分钟的速度步行3分钟，小云一共走了米．其中正确的有（ ）变2 A．3个 B．2个 C．1个 D．0个 【答案】B 【分析】本题考查代数式实际意义的理解，需逐一分析每个情境是否符合代数式的结构． 【详解】解：①：的2倍为，的3倍为，两者相加为，与代数式一致，正确． ②：猕猴桃3千克的费用为元，褚橙2千克的费用为元，总费用应为元，但题目中写为元，错误． ③：跑步路程为米，步行路程为米，总路程为米，与代数式一致，正确． 综上，正确的有①和③，共2个， 故选：B． 题型四 列代数式 用代数式表示下列各小题．例1 （1）边长为的正方形的周长； （2）若n表示任意一个整数，用含n的代数式表示能被5整除的整数； （3）一个两位数的个位上的数字为m，十位上的数字为n，用含m，n的代数式表示这个两位数． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题主要考查了列代数式，正确理解题意是解题的关键． （1）根据正方形的周长公式即可列代数式； （2）根据能被5整除的整数特征即可列代数式； （3）根据十位上的数字乘以10，个位上数字乘以1，然后把得到的数加起来，即为所表示的是两位数． 【详解】（1）解：由题意得，边长为的正方形的周长为：； （2）解：由题意得，能被5整除的整数为：； （3）解：由题意得，这个两位数为：． 汽车上坡时每小时走28千米，下坡时每小时走35千米，已知下坡路程比上坡路程的2倍少14千米．设上坡路程为x千米，则汽车下坡共用了（ ）小时．例2 A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了列代数式，找准数量关系是解题关键．先求出下坡路程为千米，再根据时间路程速度求解即可得． 【详解】解：由题意得：下坡路程为千米， ∵下坡时每小时走35千米， ∴汽车下坡共用时间为小时， 故选：D． 如图是某住宅的平面结构图（单位：米），房的主人计划将卧室以外的地面都铺上地砖．如果他选用地砖的价格为a元/米2，则买砖至少需用（ ）元．例3 A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查列代数式；分别计算出卫生间，厨房，客厅的面积，再求出总面积，再乘以单价即可求出． 【详解】解：根据住宅的平面结构示意图，可知： 卫生间的面积为：； 厨房的面积为：； 客厅的面积为：； 因此需要地砖的面积应该是； ∵选用地砖的价格为a元/平方米， ∴买砖需要元． 故选：A． 已知a是一个两位数，b是一位数，把b放在a的左边组成一个三位数，这个三位数可表示为（ ）变1 A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了数位表示的数学原理，解题的关键是理解“将一位数放在两位数左边组成三位数时，一位数的数位会提升到百位，需乘，两位数的数位不变”． 先明确数位意义：两位数a表示几个十和几个一，一位数b放在a左边后，b处于百位，代表b个百（即；再结合a本身的数值，得出三位数的表达式为，最后与选项对比确定答案． 【详解】解：∵a是两位数，代表其本身的数值（如即；b是一位数，将b放在a左边时，b处于百位，需表示为 （如，放在左边组成，即． ∴组成的三位数为． 故选：C． 如图1，将一个长为，宽为的长方形，用剪刀沿虚线裁开，把它分成四块形状大小一样的小长方形，然后按图2的方式拼成一个正方形，则中间空白部分的面积是（ ）变2 A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了列代数式，由题意可得，图2中空白部分是一个边长为的正方形，再由正方形的面积公式计算即可，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． 【详解】解：由题意可得，图2中空白部分是一个边长为的正方形， ∴中间空白部分的面积是， 故选：C． 某公司今年2月份的利润为万元，3月份比2月份减少7%，4月份比3月份增加了，则该公司4月份的利润为（ ）（单位：万元）变3 A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了列代数式，正确理解增长率以及下降率的定义是关键，首先利用下降率的意义表示出3月份的利润，然后利用增长率的意义表示出4月份的利润． 【详解】解：由题意得，3月份的利润为， 则4月份的利润为， 故选：D． 三.正比例与反比例 内容 正比例关系 1.两个相关联的量，一个量变化，另一个量也随着变化，且这两个量的比值一定,，这两个量就叫作成正比例的量，它们之间的关系叫作正比例关系； 2.如果用字母x和y表示两个相关联的量，用k表示它们的比值（k是一个确定的值，且k≠0），正比例关系可以用来表示，其中k叫作比例系数． 反比例关系 1.两个相关联的量，一个量变化，另一个量也随着变化，且这两个量的乘积一定，这两个量就叫作成反比例的量，它们之间的关系叫作反比例关系； 2.如果用字母x和y表示两个相关联的量，用k表示它们的积（k是一个确定的值，且k≠0)，反比例关系可以用或来表示，其中k叫作比例系数． 题型五 正比例与反比例 如果，x和y成 比例；如果，x和y成 比例．例1 【答案】 反 正 【分析】本题考查了正（反）比例关系，根据积一定成反比例关系，商一定成正比例关系，由此得解即可，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． 【详解】解：如果，则（一定），则x和y成反比例； 如果，则（一定），x和y成正比例． 故答案为：反，正． 下面说法正确的是（ ）例2 A．正方形的面积与边长成正比例关系 B．从沈阳到大连的路程一定，行驶的时间与平均速度成反比例关系 C．完成一项工作，已完成的工作量与未完成的工作量成反比例关系 D．钢笔的单价一定时，购买的总价与钢笔数量成反比例关系 【答案】B 【分析】本题考查了辨识正、反比例的量，判断两个相关联的量之间成什么比例，就看这两个量是对应的比值一定，还是对应的乘积一定．如果比值一定，就成正比例；如果乘积一定，就成反比例．由此逐项判断即可． 【详解】解：A、 正方形的面积÷正方形的边长=正方形的边长，没有定值，故正方形的边长和面积不成比例，不符合题意； B、时间×速度=路程（定值），是乘积为定值，符合反比例的意义，则从沈阳到大连的路程一定，行驶的时间与平均速度是成反比例，故该选项正确，符合题意； C、 完成一项工作，已完成的工作量与未完成的工作量的乘积不是定值，不符合反比例的意义，故该选项不正确，不符合题意； D、 钢笔的单价一定，购买的总价与数量，根据总价÷数量=单价（定值），符合正比例的意义，故该选项不正确，不符合题意； 故选：B． 和是两个相关联的量，（均不为0），则和（ ）变1 A．成正比例 B．成反比例 C．不成比例 D．无法确定 【答案】B 【分析】本题考查成正比例和反比例的定义：判断和之间成什么比例，就看这两个量是对应的比值一定，还是对应的乘积一定；如果是比值一定，就成正比例；如果是乘积一定，则成反比例，熟练掌握相关知识点是解答本题的关键． 根据正比例和反比例的意义判断，即可得到答案． 【详解】解：由（均不为0）， 得， 所以和成反比例， 故选：B． 判断反比例关系：下列各组的两个变量间成反比例关系的是 （填序号）．变2 ①销售单价一定时，销售总价与销售数量的关系； ②等腰三角形的周长一定时，它的底边与腰长； ③三角形的面积一定时，它的一边长与该边上的高； ④圆的周长与它的半径． 【答案】③ 【分析】本题考查反比例关系，解题的关键是掌握两个变量的乘积一定时，这两个变量成反比例关系； 根据成反比关系的定义逐项判断即可． 【详解】解：销售单价一定时，销售总价与销售数量成正比例关系，故①不符合题意; 等腰三角形的周长一定时，它的底边与腰长不成反比例关系，故②不符合题意； 三角形的面积一定时，它的一边长与该边上的高成反比例关系，故③符合题意； 圆的周长与它的半径成正比例关系，故④不符合题意； 故答案为：③. 科学课实验需要一种铁丝，它的质量和长度的关系如下图，请根据该图像回答以下问题．变3 （1）这种铁丝有4米，它的质量是____克； （2）这种铁丝的长度与质量成____比例；（填“正”或“反”） （3）聪聪通过称质量来确定铁丝的长度，测得这样的一捆铁丝质量是克，这捆铁丝的长度是多少米？ 【答案】(1) (2)正 (3)这捆铁丝的长度是米 【分析】本题考查了正比例的意义和根据正比例知识解决实际问题的能力． （1）根据比例的图像，提取长度4米的铁丝质量即可； （2）这种铁丝的质量与长度的比值是一定的，所以这种铁丝的长度与质量成正比例； （3）设这捆铁丝的长度是x米， 列出比例再解比例得解． 【详解】（1）解：由图可知，长度4米的铁丝质量是克． 故答案为：． （2），，，，，． 这种铁丝的质量与长度的比值是一定的，所以这种铁丝的长度与质量成正比例． 故答案为：正． （3）解∶设这捆铁丝的长度是x米．依题意得 答∶这捆铁丝的长度是米． 四.代数式规律探究的方法 方法 分数数列 分子分母分开找规律 正负交替数列 在答案前加上 负正交替数列 在答案前加上 图形题 若每次图形增加的数量相等，例如增加3，规律则为3n+a，再带入n=1求出a即可. 选择题 用代值法，再利用排除法选出正确答案即可 题型六 数字类规律探究 按一定规律排列的代数式：，第个代数式是（ ）例1 A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了数字变化的规律，找到代数式的系数和指数规律是解题的关键．观察代数式的系数和指数，找到变化的规律即可解答． 【详解】解：第1个代数式是， 第2个代数式是， 第3个代数式是， 第4个代数式是， 第5个代数式是， …… 依此类推，第个代数式是． 故选：A． 以下是一组按一定规律排列的多项式：，，，，，…，则第个多项式是（ ）例2 A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查寻找规律问题，观察多项式，将每个多项式拆分为关于的项和常数项，分别分析各自的规律：符号规律：负、正交替出现，即；指数规律：的指数依次为1，2，3，4，5，…，即；从而确定规律，即可得到答案，根据已知多项式找准规律是解决问题的关键． 【详解】解： 第1个：， 第2个：， 第3个：， 第4个：， 第5个：， …， 第个：， 故选：B． 观察下面一列数：，，，，⋯，按照这个规律，第12个数应该是______．变1 【答案】 【分析】本题考查了规律型：数字的变化类，根据已知一列数得出第n个数为，将代入即可得． 【详解】解：观察一列数：，，，，⋯， 按照这个规律， 第n个数为， 所以第12个数应该是． 故答案为：． 按一定规律排列的式子：，，，，……第n个式子是______．变2 【答案】 【分析】本题主要考查了代数式的数字规律变化， 根据分母中a的指数变化规律，及分子中b的系数变化规律，即可得出答案． 【详解】第一个式子； 第二个式子； 第三个式子； 第四个式子， 第n个式子． 故答案为：． 按一定规律排列的代数式：，第n个代数式是（ ）变3 A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查数字的变化规律，通过观察所给的多项式中各单项式的特点，探索出一般规律是解题的关键． 通过观察各单项式的系数和次数，可得规律第个多项式为． 【详解】解：∵， ∴第个多项式为， 故选：B． 题型七 宝塔类规律探究 观察下图三行数：例1 ，4，，16，，64，...；① 0，6，，18，，66，...；② ，2，，8，，32，...；③ 取每行数的第9个数，这三个数的和为______． 【答案】 【分析】本题考查数字的变化类，根据题目中的数据，可以发现第一行数字的变化特点，从而可以写出第n个数的式子，同理可以发现第二行的数字就是第一行对应的数字加上2，第三行数字的特点就是第一行对应的数字除以2，然后即可得到每行的第9个数字，再作和即可解答本题． 【详解】解：由题目中的数据可得， 第一行数据的第n个数是， 第二行数据的第n个数是， 第三行数据的第n个数是， 故第一行的第9个数是，第二行数据的第9个数是，第三行数据的第9个数是， ， 故答案为：． 观察下列整数：例2 在上述“整数宝塔”中，第4层第2个数是17，则第10层第4个数是（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查数字的变化类，根据题目中的数字，可以发现数字的变化规律，从而可以求得第10层第4个数，本题得以解决．解答本题的关键是明确题意，发现题目中数字的变化规律，求出相应的数字． 【详解】解：由题目中的数字可知， 第1层有2个数，第一个数字是， 第2层有3个数，第一个数字是， 第3层有4个数，第一个数字是， 第4层有5个数，第一个数字是， 第5层有6个数，第一个数字是， …， 故第10层有11个数，第一个数字是， 由每一行数的绝对值是连续整数，第奇数个整数是负数，第偶数个整数是正数， 故第10层的数是：，，，，，…… 故第10层第4个数是， 故选：A． 已知一列数：1，-2，3，-4，5，-6，7，……将这列数如下排列，第10行从左边数第5个数等于______．变1 第1行    1 第2行   -2   3 第3行   -4   5   -6 第4行    7  -8    9   -10 第5行    11  12    13  -14   15 【答案】-50 【分析】通过观察求出第9行最后一个数是=45，则可知第10行第1个数是-46，从而即可求解． 【详解】解：第1行有1个数， 第2行有2个数， 第3行有3个数， ， 前九行数的总个数为：1+2+3+…+9==45， ∴第9行最后一个数是=45， ∵原数列的数为1，-2，3，-4，5，-6，7，…， ∴奇数为正，偶数为负， ∴第10行第1个数是-46， ∴第10行从左边数第5个数-50， 故答案为：-50． 把正整数1，2，3，4，5，……，按如下规律排列：根据排列规律，回答下列问题．变2 （1）第7行第1个数是 　　，第20行第1个数是 　　； （2）数“180”是第几行第几个数？ 【答案】(1)28，210 (2)180是第18行第10个数 【分析】（1）通过观察可知第n行（n+1）个数，再分别求解即可； （2）由（1）可知，第n行第一个数是，再求解即可． （1） 由图可知，第1行2个数，第2行3个数，第3行4个数，…，第n行（n+1）个数， ∴第6行7个数， ∴第1行到第6行共有2+3+4+5+6+7=27个数， ∴第7行第1个数是28， 第1行到第19行共有2+3+4+…+20=209个数， ∴第20行第1个数是210， 故答案为：28，210； （2） 由（1）可知，第n行第一个数是， 当n=18时，=171， ∴第18行第1个数是171， ∴180是第18行第10个数． 题型八 等式类规律探究 观察下列等式：例1 第1个等式：， 第2个等式：， 第3个等式：， 第4个等式：… （1）按上述规律填空，第5个等式：______=______； （2）用含的代数式表示第个等式：______=______（为正整数）； （3）求的值． 【答案】(1)， (2)， (3) 【分析】（1）观察发现，第一个等号后面的式子规律是分子不变，为1；分母是两个连续奇数的乘积，它们与式子序号之间的关系为序号的2倍减1和序号的2倍加1．进而可写出第二个等号后面的式子． （2）把（1）中发现的规律用含的代数式表示出来即可； （3）运用变化规律计算即可． 本题考查了用代数式表示规律，并运用规律进行简便计算．找到规律是解题的关键． 【详解】（1）解：按上述规律填空，第5个等式为：， 故答案为：，． （2）解：用含的代数式表示第个等式为：， 故答案为：，． （3）解： ． 观察下列各式：例2 ， …… 回答下面的问题： （1）直接写出的值是______；猜想：______． （2）根据（1）中的结论，求的值． （3）思维拓展：求的值． 【答案】(1)225； (2)41075 (3)19900 【分析】（1）根据给出的等式寻找规律，得出答案即可； （2）根据例题得到原式等于，再根据规律计算即可； （3）将原式变形为，再对进行计算，最后仿照例题解答即可． 【详解】（1）解：∵， ， ， ， ∴，； （2）解： ； （3）解： ． 观察以下一系列等式∶变1 ①； ②； ③； …… （1）请按照这个顺序仿照前面的等式写出第④个等式∶_______； （2）若字母n代表第n个等式，请用字母 n 表示上面所发现的规律∶_______； （3）请利用上述规律计算的值．（ 结果用幂的形式表示） 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题主要考查数字的变化类，解题的关键是理解题意，得出一般规律． （1）根据已知等式的指数与序数的关系即可得； （2）观察各等式得到2的相邻两个正整数幂的差等于2的较小的正整数次幂，即（n为正整数）； （3）将原式变形为，然后求解即可． 【详解】（1）解：∵①； ②； ③； ∴第④个等式为：； （2）解：由（1）知，第n个等式为：； （3）解：                                                             ． 观察下列各式的计算结果：变2 ； ； ； … （1）用你发现的规律填写下列式子的结果：1﹣=　　×　　；1﹣=　　×　　； （2）用你发现的规律计算： （1-）×（1-）×（1-）×…×（1-）×（1-）×. 【答案】(1)，，，； (2) 【分析】（1）按照已有等式的书写方式书写即可； （2）先利用（1）的方法得到原式，然后约分即可． （1） 解：1﹣=1﹣=， ． 故答案为：，，，． （2） 解：（1﹣）×（1﹣）×（1﹣）×…×（1﹣）×（1﹣）× = =× =． 题型九 图形类规律探究 图书馆的书桌按如图这样的方式排列，一张桌子最多坐6个人，两张桌子最多坐10人，三张桌子最多坐14人，照这样的规律摆下去，15张桌子最多可以坐（ ）人.例1 A．60 B．61 C．62 D．63 【答案】C 【分析】本题考查了规律型：图形的变化类，根据各图形的变化，找出“n张桌子最多可坐（n为正整数）人”是解题的关键．根据一张、二张、三张、桌子最多可坐的人数，可得出n张桌子最多可坐（n为正整数）人，再代入，即可求出结论． 【详解】解：∵一张桌子最多坐（人）， 两张桌子最多坐（人）， 三张桌子最多坐（人）， ∴n张桌子最多可坐（n为正整数）人， 当时，（人）， ∴15张桌子最多可以坐62人． 故选：C． 将形状、大小完全相同的“·”按照一定规律摆成下列图形，第①幅图形中“·”的个数为5，第②幅图形中“·”的个数为10，第③幅图形中“·”的个数为17，第④幅图形中“·”的个数为26，……按照这种摆法，第n幅图形中“·”的个数为（ ）例2 A． B． C． D． 【答案】B 【分析】 本题主要考查了图形类的规律探索，数字类的规律探索，观察图形求解即可． 【详解】解：第①幅图中“·”的个数为， 第②幅图中“·”的个数为， 第③幅图中“·”的个数为， ……， 以此类推，第幅图中“·”的个数为， 故选：B 如图所示的图形都是由同样大小的“星星”按一定的规律组成的，其中第一个图形有4个“星星”，第二个图形有7个“星星”，第三个图形有10个“星星”，……，从不同的角度观察图形的排列规律，可以得到不同的代数式表示形式，下列不能表示第n个图形中“星星”的个数的是（ ）变1 A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查图形类规律探究，观察图形可知，后一个图形比前一个图形多3个“星星”，进而列出代数式即可． 【详解】解：观察图形可知，后一个图形比前一个图形多3个“星星”， ∴第n个图形中“星星”的个数的是， ∵，， 故选A． 莫高窟坐落于河西走廊西部的尽头——敦煌，是我国古代文明的璀璨艺术宝库，莫高窟保存壁画4.5万多平方米，具有独特的形式美感和艺术魅力．如图，为莫高窟壁画纹样，小明发现，壁画纹样中还蕴藏着数学知识，其中第①个图案中有5个花朵图案，第2个图案中有8个花朵图案，第③个图案中有11个花朵图案，……，按此规律排列下去，则第100个图案中花朵图案的个数为（ ）变2 A．302 B．301 C．303 D．300 【答案】A 【分析】本题考查了图形的变化规律，根据图形的变化得出第个图形中有个花朵图案是解题的关键． 根据图形变化的规律得出第个图形中有个花朵图案即可解答． 【详解】由题知，第①个图案中有个花朵图案，第②个图案中有个花朵图案， 第③个图案中有个花朵图案，…，第个图案中有个花朵图案， 当时，， 故第100个图案中花朵图案的个数为302． 故选：A． 如图，将形状、大小完全相同的“．”按照一定规律摆放，第1个图形中“●”的个数是3，第2个图形中“●”的个数是8，第3个图形中“●”的个数是15，…，以此类推，则第n（n是正整数）个图形中“●”的个数是（ ）变3 A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了图形变化的规律，能够根据所给图形用含的代数式表示规律是解题的关键． 依次求出各图形中“●”的个数，发现规律即可求解． 【详解】解：第1幅图中“●”的个数为， 第2幅图中“●”的个数为， 第3幅图中“●”的个数为， 第4幅图中“●”的个数为， ， 第幅图中“●”的个数为， 故选：A． 课后强化 1.下列各式符合整式书写规范的是（ ） A． B． C．个 D． 【答案】B 【分析】本题考查整式的书写规范，熟练掌握整式的书写规范是解题的关键．根据代数式的书写规则逐一判断各选项是否符合要求即可． 【详解】解：A、 选项中，数字与字母相乘时，系数为1或时应省略1，正确写法为，故选项A错误，不符合题意； B、选项符合数字在前、字母在后的规范，且省略乘号，书写正确，故选项B正确，符合题意； C、选项个中，代数式后接单位时需用括号括起，应写作个，故选项C错误，不符合题意； D、选项中，带分数应化为假分数，正确写法为，故选项D错误，不符合题意． 故选：B． 2.下列各式：（1）；（2）；（3）；（4）；（5）；（6）吨，其中符合书写要求的有（ ） A．5个 B．4个 C．3个 D．2个 【答案】D 【分析】本题考查了代数式的书写．注意代数式的书写要求：（1）在代数式中出现的乘号，通常简写成“”或者省略不写；（2）数字与字母相乘时，数字要写在字母的前面；（3）带分数要写成假分数的形式．根据代数式的书写规则，对各小题的代数式进行判断，即可求出答案． 【详解】解：（1）中分数不能为带分数，故原式书写错误； （2）数与字母相乘要数在前，字母在后并省略乘号，故原式书写错误； （3）书写正确； （4）除号应用分数线，故原式书写错误； （5）书写正确； （6）吨应加括号，故原式书写错误； 符合代数式书写要求的有2个． 故选：D． 3.下列各式：，，，，，，，中，代数式有（ ） A．1个 B．2个 C．3个 D．5个 【答案】D 【分析】本题考查了代数式的定义，熟练掌握代数式的定义是解题的关键． 根据代数式的定义进行判断即可得出答案． 【详解】解：，，，，，，，中，代数式有：，，，，，共个， 故选：D． 4.代数式用文字语言表示为 ． 【答案】的平方与的倒数的差 【分析】本题考查了代数式的文字语言，熟练掌握以上知识点是解答本题的关键． 根据表示的平方和表示的倒数即可解答． 【详解】解：表示的平方，表示的倒数， 代数式用文字语言表示为的平方与的倒数的差， 故答案为：的平方与的倒数的差． 5.下列关于代数式的说法，正确的是（ ） A．表示4个相减 B．表示4与相加 C．该代数式的值比4小 D．该代数式的值比大 【答案】D 【分析】本题考查了代数式的意义．熟练掌握代数式中的运算关系是解题的关键． 逐一分析各选项是否符合代数式的含义和性质，即得． 【详解】A. 错误．表示4减去，而非“4个相减”，若为后者，应写作，结果为，与原式不同． B. 错误．表示4与相减，而非相加． C. 错误．当时，为负数，，结果大于4（如时，值为6）． D. 正确．可看作，无论取何值，总比大4，因此其值一定比大． 6.某商店举办促销活动，促销的方法是将原价为元的衣服以元出售，则下列关于代数式的含义描述正确的是（ ） A．原价加上4元后再打7折 B．原价打7折后再加上4元 C．原价加上4元后再打3折 D．原价打3折后再加上4元 【答案】B 【分析】本题考查代数式表示的意义，表示原价，得到表示在原价打7折的基础上加4元，进行判断即可． 【详解】解：由题意，代数式的含义为原价打7折后再加上4元； 故选B． 7.列式表示： （1）棱长为的正方体的表面积； （2）每件元的上衣，降价后的售价； （3）一辆汽车的行驶速度是行驶的路程． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查了列代数式：把问题中与数量有关的词语，用含有数字、字母和运算符号的式子表示出来，就是列代数式． （1）先表示一个正方形的面积，然后乘以6即可得到正方体的表面积； （2）降价即为原来的，则利用原价乘以即可得到售价； （3）利用路程速度时间求解即可． 【详解】（1）解：棱长为的正方体的表面积为平方厘米； （2）解：每件元的上衣，降价后的售价为（元）； （3）解：一辆汽车的行驶速度是行驶的路程为千米． 8.一个三位数，个位上的数字是a，十位上的数字是0，百位上的数字是c，这个三位数是 ． 【答案】 【分析】本题考查了列代数式，正确理解题意是解题的关键． 根据三位数的写法即可求解． 【详解】解： 则这个三位数为， 故答案为：． 9.某工厂现有工人名，若现有工人数比两年前减少，则该工厂两年前有工人（ ） A．名 B．名 C．名 D．名 【答案】C 【分析】本题考查列代数式，列代数式的关键是正确理解题意，找到其中的数量关系列出式子．根据题意列出式子即可. 【详解】解：根据题意得，该工厂两年前有工人名， 故选：C． 10.下面各题中的两个量成反比例关系的有 ． ①三角形的面积一定，它的底和高；②全班的人数一定，男生人数与女生人数；③完成一项工程，每天的工作效率与所需的天数． 【答案】①③ 【分析】根据反比例关系的定义即两个量的乘积是一个常数，解答即可． 本题考查了反比例关系，熟练掌握定义是解题的关键． 【详解】解：根据题意，得①三角形的面积一定，它的底和高是反比例关系； ②全班的人数一定，男生人数与女生人数的和是一个常数，它们不是反比例关系； ③完成一项工程，每天的工作效率与所需的天数是反比例关系． 故答案为：①③． 11.公元前3世纪，古希腊科学家阿基米德发现“杠杆原理”，通俗地说，即“阻力×阻力臂＝动力×动力臂”．小明同学用撬棍撬动一块大石头，已知阻力和阻力臂分别是和，则动力（单位：N）与动力臂（单位：m）的关系正确的是（ ） A．成反比例关系， B．成反比例关系， C．成正比例关系， D．成正比例关系， 【答案】B 【分析】本题考查反比例，指的是两种相关联的变量，一种量变化，另一种量也随着变化，如果这两种量中相对应的两个数的乘积一定，那么他们就叫做成反比例的量，他们的关系叫做反比例关系，据此即可求得答案． 【详解】解：由题意可得， 则动力F（单位：N）与动力臂l（单位：m）的成反比例关系， 故选：B． 12.小慧要把一篇社会调查报告录入电脑．完成录入的时间（分）与录入文字的速度（字/分）之间的关系如下表： 完成录入的时间t（分） 75 60 50 30 … 录入文字的速度v（字/分） 40 50 60 100 … （1）这篇社会调查报告共有多少字？ （2）完成录入的时间是怎样随着录入文字的速度的变化而变化的？ （3）用t表示完成录入的时间，用v表示录入文字的速度，用代数式表示t与v之间的关系，t与v成什么比例关系？ 【答案】(1)3000字 (2)完成录入的时间随着录入文字的速度变大而变小 (3)，t与v成反比例关系 【分析】本题考查成反比例关系的量，熟练掌握成反比例关系的量的特征是解题的关键． （1）用录入文字的速度乘完成录入的时间即可得到答案； （2）根据表格中的数据即可得到完成录入的时间是怎样随着录入文字的速度的变化而变化的； （3）由于总字数一定，则完成录入的时间t与录入文字的速度v的乘积一定，为3000，则可知t与v成反比例关系． 【详解】（1）解：， 即这篇社会调查报告共有3000字； （2）解：由表可知完成录入的时间随着录入文字的速度变大而变小； （3）解：∵总字数一定，为， ∴， ∴t与v成反比例关系． 13.已知一串有规律的数：，，，，那么这串数中第8个数是______． 【答案】 【分析】解答此题的关键是根据给出的数列，找出规律，再根据规律，即可得出答案． 观察给出的数列，可得出规律：前一个分数的分子和分母的和做后一个分数的分子，前一个分数的分母和后一个分数的分子的和做后一个分数的分母；据此规律即可求出答案． 【详解】解：根据分析， 可得：，，，，，，， 所以这串数中第8个数是． 故答案为：． 14.有一组数依次为，，，，…按此规律，第个数为______．（用含的代数式表示） 【答案】 【分析】本题主要考查了数字的变化规律，解答的关键是由所给的数总结出存在的规律． 不难看出，分子部分为从1开始的自然数，分母部分为，据此可求解． 【详解】解：， ， ， ， ， 第个数为：， 故答案为：． 15.按照一定规律排列的多项式：．则第个多项式是（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了多项式规律探究，理解题意、发现相关规律是解题的关键． 根据所给的多项式的项数、次数即可找到规律，然后运用规律求解即可． 【详解】解：由题意可知：所给的多项式为二项式，第一项a的系数都为连续奇数，指数为1；第二项b的系数为1，b的指数为连续正整数， 故在第个多项式中：a的为，指数为1，b的系数为1，指数为，即． 故选：A． 16.按一定规律排列的一组数：，，，…，，，…，则的值是（ ） A．172 B．182 C．200 D．242 【答案】B 【分析】本题考查找数式规律问题，观察各数据得到，，，，即每个分数的分母可以分解为两个连续正整数的积，由于，所以，，即可得到a与b的值．数字的变化类：通过从一些特殊的数字变化中发现不变的因素或按规律变化的因素，然后推广到一般情况是解决问题的关键． 【详解】解：∵，，，，…，， ∴，， ∴，， ∴． 故选：B． 17.观察下列式子：，，，，…根据其中的规律，第个式子是______． 【答案】 【分析】本题考查了式子的规律探究，有理数的乘方等知识．根据题意推导一般性规律是解题的关键．先把前几项的形式化为一致，进而推导一般性规律即可． 【详解】解：由题意知，， ， ， ， …， ∴第n个式子为， 故答案为：． 18.观察下面两行数，并按规律填空： ①，… ②，… （1）请你分别写出第①②行的第7个数； （2）取每行数的第9个数，计算这两个数的和． 【答案】(1)； (2) 【分析】本题考查规律类型题目，解题的关键在于理解题意找出题中规律． （1）根据第一行的第n个数用表示，第二行的第n个数用表示，然后分别求出第7个数即可； （2）根据（1）中的规律求得每行数的第9个数，计算这两个数的和即可． 【详解】（1）解：∵第①行中，第1个数， 第2个数， 第3个数，…， 故第n个数． 第②行数等于第①行相应的数加2； ∴第①行第7个数为：， 第②行第7个数为：； （2）解：第①行第9个数为：， 第②行第9个数为：， ∴每行数的第9个数和为： ． 19.观察下面的数： 按着上述的规律排下去，那么第12行从左边数第4个数是（ ） A．-121 B．-123 C．-125 D．-127 【答案】C 【分析】先根据行数确定出最后一个数的变化规律，再根据得出的规律确定出第11行的数，然后用11行的最后一个数的绝对值与4相加即可． 【详解】解：因为行数是偶数时，它的最后一个数是每行数的平方， 当行数是奇数时，它的最后一个数是每行数的平方的相反数， 所以第11行最后一个数字是：-11×11=-121， 它的绝对值是121， 第12行从左边第4个数的绝对值是：121+4=125． 故第12行从左边第4个数是-125． 故选：C． 20.研究下列算式，你会发现什么规律？ ；；；． （1）请写出第9个式子______； （2）请用含n的式子表示第n个式子：______； （3）计算的值时可以这样做： 解：原式 ． 请你用发现的规律解决下面的问题： 计算： 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）观察可知，式子的第一个数字是连续的正整数，第二个数字比第一个数字大2，它们的积加1等于这两个数之间的数的平方，由此可得第9个式子； （2）根据（1）中所得规律可得结论； （3）参照题目中的计算方法，先将括号内式子通分，再利用（1）（2）问中所得规律求解． （1） 解：由题意， 第1个式子为：， 第2个式子为：， 第3个式子为：， 第4个式子为：， …… 因此第9个式子为：， 故答案为：； （2） 解：根据（1）中所得规律可知，第n个式子为：， 故答案为：； （3） 解： ． 21.观察下列式子： （1）用含n（其中n为正整数）的代数式表达上式规律为：______． （2）利用规律计算：． （3）探究并计算：． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题主要考查有理数的混合运算规律的探究与应用，解答的关键是由所给的算式总结出规律． （1）根据式子规律即可求解； （2）按照（1）中规律拆成两个分数的差的形式，再相加即可； （3）每项拆成的形式，即可相加． 【详解】（1）解：∵ ； ∴， 故答案为：； （2）解： ； （3）解： ． 22.如图是一组有规律的图案．第1个图案中有7个六边形，第2个图案中有13个六边形，第3个图案中有19个六边形，…，按此规律，第31个图案中六边形的个数为（ ） A．186 B．187 C．188 D．189 【答案】B 【分析】本题考查了图形类规律探索，用代数式表示图形的规律，能正确找到图形的规律是解答本题的关键．分别找出每个图形中六边形的个数，得到规律，即可得解． 【详解】解：第1个图案中有个六边形； 第2个图案中有个六边形； 第3个图案中有个六边形； ……， 所以第个图案中有个六边形； 所以第31个图案中六边形的个数为：， 故选：B． 23.下列图形都是由圆和几个黑色围棋子按一定规律组成，图（1）中有4个黑色棋子，图（2）中有7个黑色棋子，图（3）中有10个黑色棋子，…，依次规律，图（2022）中黑色棋子的个数是（ ） A．6067 B．6066 C．6065 D．6064 【答案】A 【分析】由题意可知：图（1）中有3+1=4个黑色棋子，图（2）中有3×2+1=7个黑色棋子，图（3）中有3×3+1=10个黑色棋子，…，依此规律，图（n）中黑色棋子的个数是3n+1，由此进一步求得答案即可． 【详解】解：∵图（1）中有3+1=4个黑色棋子， 图（2）中有3×2+1=7个黑色棋子， 图（3）中有3×3+1=10个黑色棋子， … 图（n）中黑色棋子的个数是3n+1， ∴图（2022）中黑色棋子的个数是3×2022+1=6067． 故选：A． 24.将若干枚黑白棋子按照一定规律摆放成三角形阵，前5次摆放的情况如下图所示．如果按照此规律继续摆放三角形阵，第个图案中，黑棋子的个数为 ．（用含的式子表示） 【答案】 【分析】本题主要考查图形变化类的规律问题，解题关键在于求出黑白棋子各自的变化规律． 根据图形分别表示各个图案中黑白棋子的变化规律，可得第n个图案的规律． 【详解】解：由图可知， 黑棋子的变化为： 时，0个； 时，个； 时，个； 时，个； ……； 故第n个图案中黑棋子个数为； 故答案为：． 第 1 页 共 14 页 学科网（北京）股份有限公司 $$第 1 页 共 13 页 第三章 代数式 ❊3.1 列代数式表示数量关系 思维导图 题型精析 一.代数式的概念 内容 代数式的概念 用运算符号和括号把数或表示数的字母连接而成的式子叫做代数式.(单独的一个数或 者一个字母也是代数式) 二.代数式的书写规范 内容 代数式的书写 规范 1.数和字母相乘，可省略乘号，并把数字写在字母的前面； 2.字母和字母相乘，乘号可以省略不写或用“ · ” 表示. 一般情况下，按 26个字母的顺 序从左到右来写； 第 2 页 共 13 页 3.后面带单位的相加或相减的式子要用括号括起来； 4.除法运算写成分数形式，即除号改为分数线； 5.带分数与字母相乘时，带分数要写成假分数的形式； 6.当“1”与任何字母相乘时,“1”省略不写；当“-1”乘以字母时，只要在那个字母前加上“-” 号. 题型一 代数式的书写规范 例 1 下列代数式书写规范的是（ ） A． 3a B． 13 2 a C． cba  )( D．  3 1a x  例 2 下列各式中符合代数式书写要求的有（ ） ① 261 7 x y；② 4m n ；③ m n ；④ 2 2 5 a b ；⑤  2 a b  ；⑥ 2ah  A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 变 1 下列代数式中，书写规范的是（ ） A． 11 2 a B．a b C． 1ab D． 3 a 变 2 将下列各式按照列代数式的规范要求重新书写： （1）a×5，应写成_______； （2）S÷t应写成_______； （3） 12 3 a a b    ，应写成_______； （4） 41 3 x , 应写成_______. 题型二 代数式 例 1 有下列式子：① a；② 2a；③3 1x ；④ 3 9s t  ；⑤ 2 abS  ；⑥ 4x y  ；⑦ 2x ．其中代数式有（ ） A．7个 B．6个 C．5个 D．4个 变 1 下列各式中，代数式的个数是（ ） ① 1 2 ab；② 0a b  ；③ 3m n+ > ；④a；⑤0；⑥ 1 x ． A．3个 B．4个 C．5个 D．6个 变 2 有下列各式：①2 1x  ，② 3 4 3 v r ，③ a，④ 1 m m ，⑤ 1 0y   ，⑥ 2 2a b ，⑦15，⑧ 2 0x  ， ⑨ s vt .其中，代数式的个数为（ ） 第 3 页 共 13 页 A．9 B．7 C．6 D．5 题型三 代数式表示的实际意义 例 1 下列选项用文字叙述代数式 1 1 x  的意义，表述正确的是（ ） A． x的倒数与 1的和 B．1除以 x的商与 1的和 C．比 x的倒数小 1的数 D．比 x的倒数大 1的数 变 1 代数式  2a b 的意义是（ ） A． a，b两数的平方差 B． a与b的差的平方 C． a与b的平方的差 D．b， a两数的平方差 例 2 “腹有诗书气自华，最是书香能放远．”为鼓励和推广全民阅读活动，某书店开展促销活动，促销 方法是将原价为 x元的一批图书以  0.8 12x  元的价格出售，下列说法中能正确表达这批图书的促销方法的 是（ ） A．在原价的基础上打8折后再减去12元 B．在原价的基础上打0.8折后再减去12元 C．在原价的基础上减去12元后再打8折 D．在原价的基础上减去12元后再打0.8折 变 2 下列关于“代数式 2 3a b ”的意义的叙述：① a的 2倍与b的 3倍的和为 (2 3 )a b ；②猕猴桃每千 克 a元，褚橙每千克b元，小明妈妈买 3千克猕猴桃和 2千克褚橙一共花费 (2 3 )a b 元；③小云以 a米/分钟 的速度跑了 2分钟，再以b米/分钟的速度步行 3分钟，小云一共走了 (2 3 )a b 米．其中正确的有（ ） A．3个 B．2个 C．1个 D．0个 题型四 列代数式 例 1 用代数式表示下列各小题． （1）边长为 4n  的正方形的周长； （2）若 n表示任意一个整数，用含 n的代数式表示能被 5整除的整数； （3）一个两位数的个位上的数字为 m，十位上的数字为 n，用含 m，n的代数式表示这个两位数． 例 2 汽车上坡时每小时走 28千米，下坡时每小时走 35千米，已知下坡路程比上坡路程的 2倍少 14 千米．设上坡路程为 x千米，则汽车下坡共用了（ ）小时． A． 2 14 28 35 x x   B． 2 14 28 x  C． 28 x D． 2 14 35 x  第 4 页 共 13 页 例 3 如图是某住宅的平面结构图（单位：米），房的主人计划将卧室以外的地面都铺上地砖．如果他 选用地砖的价格为 a元/米 2，则买砖至少需用（ ）元． A．11axy B． axy13 C． axy14 D． axy15 变 1 已知 a是一个两位数，b是一位数，把 b放在 a的左边组成一个三位数，这个三位数可表示为（ ） A．10b a B．b a C．100b a D． 100b a 变 2 如图 1，将一个长为 2n，宽为  2m n m 的长方形，用剪刀沿虚线裁开，把它分成四块形状大小 一样的小长方形，然后按图 2的方式拼成一个正方形，则中间空白部分的面积是（ ） A． 2mn B．    2 2n m n m  C．  2n m D． 2 2n m 变 3 某公司今年 2月份的利润为 x万元，3月份比 2月份减少 7%，4月份比 3月份增加了8%，则该 公司 4月份的利润为（ ）（单位：万元） A． ( 7%)( 8%)x x  B． ( 7% 8%)x   C． (1 7% 8%) x  D． (1 7%)(1 8%)x  三.正比例与反比例 内容 正比例关系 1.两个相关联的量，一个量变化，另一个量也随着变化，且这两个量的比值一定,，这 两个量就叫作成正比例的量，它们之间的关系叫作正比例关系； 2.如果用字母 x和 y表示两个相关联的量，用 k表示它们的比值（k是一个确定的值， 且 k≠0），正比例关系可以用 k x y  来表示，其中 k叫作比例系数． 反比例关系 1.两个相关联的量，一个量变化，另一个量也随着变化，且这两个量的乘积一定，这两 个量就叫作成反比例的量，它们之间的关系叫作反比例关系； 2.如果用字母 x和 y表示两个相关联的量，用 k表示它们的积（k是一个确定的值，且 k≠0)，反比例关系可以用 kxy  或 x ky  来表示，其中 k叫作比例系数． 题型五 正比例与反比例 第 5 页 共 13 页 例 1 如果 3 2 x y  ，x和 y成 比例；如果7x y ，x和 y成 比例． 例 2 下面说法正确的是（ ） A．正方形的面积与边长成正比例关系 B．从沈阳到大连的路程一定，行驶的时间与平均速度成反比例关系 C．完成一项工作，已完成的工作量与未完成的工作量成反比例关系 D．钢笔的单价一定时，购买的总价与钢笔数量成反比例关系 变 1 x和 y是两个相关联的量， 1 7 y x  （ x y， 均不为 0），则 x和 y（ ） A．成正比例 B．成反比例 C．不成比例 D．无法确定 变 2 判断反比例关系：下列各组的两个变量间成反比例关系的是 （填序号）． ①销售单价一定时，销售总价与销售数量的关系； ②等腰三角形的周长一定时，它的底边与腰长； ③三角形的面积一定时，它的一边长与该边上的高； ④圆的周长与它的半径． 变 3 科学课实验需要一种铁丝，它的质量和长度的关系如下图，请根据该图像回答以下问题． （1）这种铁丝有 4米，它的质量是____克； （2）这种铁丝的长度与质量成____比例；（填“正”或“反”） （3）聪聪通过称质量来确定铁丝的长度，测得这样的一捆铁丝质量是1680克，这捆铁丝的长度是多少米？ 四.代数式规律探究的方法 方法 分数数列 分子分母分开找规律 正负交替数列 在答案前加上 n)1( 负正交替数列 在答案前加上 1)1(  n 图形题 若每次图形增加的数量相等，例如增加 3，规律则为 3n+a，再带入 n=1求出 a即可. 选择题 用代值法，再利用排除法选出正确答案即可 第 6 页 共 13 页 题型六 数字类规律探究 例 1 按一定规律排列的代数式： 2 4 6 8 10 1 1 1 1, , , , , 3 5 7 9 a a a a a ，第 n个代数式是（ ） A． 2 1 2 1 na n  B． 2 1 2 1 na n  C． 1 2 1 na n  D． 1 2 1 na n  例 2 以下是一组按一定规律排列的多项式： 1a  ， 2 2a ， 3 3a  ， 4 4a  ， 5 5a  ，…，则第 n个 多项式是（ ） A．   1na n  B．  na n  C． 1na n  D． na n  变 1 观察下面一列数： 3 4  ， 8 9 ， 15 16  ， 24 25 ，⋯ ，按照这个规律，第 12个数应该是______． 变 2 按一定规律排列的式子： 3b a ， 2 5b a ， 3 7b a ， 4 9b a ，……第 n个式子是______． 变 3 按一定规律排列的代数式： 3 5 7 9 122 , 4 , 6 , 8 , 10 , 12 ,x y x y x y x y x y x y          ，第 n个代数式 是（ ） A．   2 11 2n nx ny  B．   2 11 2n nx ny  C．   1 2 11 n nx ny   D．   1 2 11 n nx ny   题型七 宝塔类规律探究 例 1 观察下图三行数： 2 ，4， 8 ，16， 32 ，64，...；① 0，6， 6 ，18， 30 ，66，...；② 1 ，2， 4 ，8， 16 ，32，...；③ 取每行数的第 9个数，这三个数的和为______． 例 2 观察下列整数： 在上述“整数宝塔”中，第 4层第 2个数是 17，则第 10层第 4个数是（ ） A．103 B． 103 C．104 D． 104 第 7 页 共 13 页 变 1 已知一列数：1，-2，3，-4，5，-6，7，……将这列数如下排列，第 10行从左边数第 5个数等于 ______． 第 1行 1 第 2行 -2 3 第 3行 -4 5 -6 第 4行 7 -8 9 -10 第 5行 11 12 13 -14 15 变 2 把正整数 1，2，3，4，5，……，按如下规律排列：根据排列规律，回答下列问题． （1）第 7行第 1个数是 ，第 20行第 1个数是 ； （2）数“180”是第几行第几个数？ 题型八 等式类规律探究 例 1 观察下列等式： 第 1个等式： 1 1 1 11 1 3 2 3 a         ， 第 2个等式： 2 1 1 1 1 3 5 2 3 5 a         ， 第 3个等式： 3 1 1 1 1 5 7 2 5 7 a         ， 第 4个等式： 4 1 1 1 1 7 9 2 7 9 a         … （1）按上述规律填空，第 5个等式： 5a  ______=______； （2）用含 n的代数式表示第 n个等式： na  ______=______（ n为正整数）； （3）求 1 2 3 25a a a a       的值． 第 8 页 共 13 页 例 2 观察下列各式： 3 2 211 1 1 2 4     ， 3 3 2 211 2 9 2 3 4      3 3 3 2 211 2 3 36 3 4 4       3 3 3 3 2 211 2 3 4 100 4 5 4        …… 回答下面的问题： （1）直接写出 3 3 3 3 31 2 3 4 5    的值是______；猜想： 3 3 3 3 31 2 3 ( 1)n n            ______． （2）根据（1）中的结论，求 3 3 3 3 311 12 13 19 20           的值． （3）思维拓展：求 3 3 3 3 31 3 5 17 19           的值． 变 1 观察以下一系列等式∶ ① 2 1 12 2 4 2 2    ； ② 3 2 22 2 8 4 2    ； ③ 4 3 32 2 16 8 2    ； …… （1）请按照这个顺序仿照前面的等式写出第④个等式∶_______； （2）若字母 n代表第 n个等式，请用字母 n 表示上面所发现的规律∶_______； （3）请利用上述规律计算 1 2 3 4 24 2 2 2 2 2 2     的值．（ 结果用幂的形式表示） 变 2 观察下列各式的计算结果： 2 1 1 3 1 31 1 2 4 4 2 2       ； 2 1 1 8 2 41 1 3 9 9 3 3       ； 2 1 1 15 3 51 1 4 16 16 4 4       ； 2 1 1 24 4 61 1 5 25 25 5 5       … （1）用你发现的规律填写下列式子的结果：1﹣ 2 1 6 = × ；1﹣ 2 1 10 = × ； 第 9 页 共 13 页 （2）用你发现的规律计算： （1- 2 1 2 ）×（1- 2 1 3 ）×（1- 2 1 4 ）×…×（1- 2 1 2020 ）×（1- 2 1 2021 ）× 2 1(1 ) 2022  . 题型九 图形类规律探究 例 1 图书馆的书桌按如图这样的方式排列，一张桌子最多坐 6个人，两张桌子最多坐 10人，三张桌 子最多坐 14人，照这样的规律摆下去，15张桌子最多可以坐（ ）人. A．60 B．61 C．62 D．63 例 2 将形状、大小完全相同的“·”按照一定规律摆成下列图形，第①幅图形中“·”的个数为 5，第②幅图 形中“·”的个数为 10，第③幅图形中“·”的个数为 17，第④幅图形中“·”的个数为 26，……按照这种摆法，第 n幅图形中“·”的个数为（ ） A．  21 1n   B．  21 1n   C．  21 1n   D．  21 1n   变 1 如图所示的图形都是由同样大小的“星星”按一定的规律组成的，其中第一个图形有 4个“星星”， 第二个图形有 7个“星星”，第三个图形有 10个“星星”，……，从不同的角度观察图形的排列规律，可以得 到不同的代数式表示形式，下列不能．．表示第 n个图形中“星星”的个数的是（ ） A．  3 1n B．3 1n C．  3 1 2n  D．  3 1 4n  变 2 莫高窟坐落于河西走廊西部的尽头——敦煌，是我国古代文明的璀璨艺术宝库，莫高窟保存壁画 4.5万多平方米，具有独特的形式美感和艺术魅力．如图，为莫高窟壁画纹样，小明发现，壁画纹样中还蕴 藏着数学知识，其中第①个图案中有 5个花朵图案，第 2个图案中有 8个花朵图案，第③个图案中有 11个 花朵图案，……，按此规律排列下去，则第 100个图案中花朵图案的个数为（ ） 第 10 页 共 13 页 A．302 B．301 C．303 D．300 变 3 如图，将形状、大小完全相同的“．”按照一定规律摆放，第 1个图形中“●”的个数是 3，第 2个图 形中“●”的个数是 8，第 3个图形中“●”的个数是 15，…，以此类推，则第 n（n是正整数）个图形中“●”的 个数是（ ） A． 2 2n n B． 2n n C． 2n n D． 2 2n n 课后强化 1.下列各式符合整式书写规范的是（ ） A． 1a B．2n C．2 1m 个 D． 13 5 xy 2.下列各式：（1） 2 31 4 a b；（2） 3a ；（3）3.5x；（4） b c  ；（5） 2 22 5 a b ；（6）3a b 吨，其中符 合书写要求的有（ ） A．5个 B．4个 C．3个 D．2个 3.下列各式：3 1x ， 4a  ， 100 5s t  ，5 3xy  ，4mn，2 6b  ， 2 ，7 8 1x y  中，代数式有（ ） A．1个 B．2个 C．3个 D．5个 4.代数式 2 1a b  用文字语言表示为 ． 5.下列关于代数式 4 2a 的说法，正确的是（ ） A．表示 4个 2a相减 B．表示 4与2a相加 C．该代数式的值比 4小 D．该代数式的值比 2a 大 6.某商店举办促销活动，促销的方法是将原价为 x元的衣服以 7 4 10 x     元出售，则下列关于代数式 7 4 10 x     的含义描述正确的是（ ） A．原价加上 4元后再打 7折 B．原价打 7折后再加上 4元 C．原价加上 4元后再打 3折 D．原价打 3折后再加上 4元 7.列式表示： （1）棱长为 cma 的正方体的表面积； （2）每件 a元的上衣，降价20%后的售价； （3）一辆汽车的行驶速度是 km / h hv t， 行驶的路程． 第 11 页 共 13 页 8.一个三位数，个位上的数字是 a，十位上的数字是 0，百位上的数字是 c，这个三位数是 ． 9.某工厂现有工人 a名，若现有工人数比两年前减少35%，则该工厂两年前有工人（ ） A． 1 35% a  名 B．  1 35% a 名 C． 1 35% a  名 D．  1 35% a 名 10.下面各题中的两个量成反比例关系的有 ． ①三角形的面积一定，它的底和高；②全班的人数一定，男生人数与女生人数；③完成一项工程，每天 的工作效率与所需的天数． 11.公元前 3世纪，古希腊科学家阿基米德发现“杠杆原理”，通俗地说，即“阻力×阻力臂＝动力×动力臂”．小 明同学用撬棍撬动一块大石头，已知阻力和阻力臂分别是500N和0.5m，则动力 F（单位：N）与动力臂 l（单 位：m）的关系正确的是（ ） A．成反比例关系， 500F l  B．成反比例关系， 250F l  C．成正比例关系， 500F l  D．成正比例关系， 250F l  12.小慧要把一篇社会调查报告录入电脑．完成录入的时间（分）与录入文字的速度（字/分）之间的关系如 下表： 完成录入的时间 t（分） 75 60 50 30 … 录入文字的速度 v（字/分） 40 50 60 100 … （1）这篇社会调查报告共有多少字？ （2）完成录入的时间是怎样随着录入文字的速度的变化而变化的？ （3）用 t表示完成录入的时间，用 v表示录入文字的速度，用代数式表示 t与 v之间的关系，t与 v成什 么比例关系？ 13.已知一串有规律的数：1， 2 3 ， 5 8 ， 13 21 ， 34 55 那么这串数中第 8个数是______． 14.有一组数依次为 12 ， 2 5 ， 3 10 ， 4 17 ，…按此规律，第 n个数为______．（用含 n的代数式表示） 15.按照一定规律排列的多项式： 2 3 43 5 7a b a b a b a b    , , , , ．则第 n个多项式是（ ） A．  2 1 nn a b  B． nna b C．  2 1 nn a b  D．  2 1 nn a b  16.按一定规律排列的一组数： 2 1 ， 1 6 ， 1 12 ， 1 20 …， 1 a ， 1 90 ， 1 b …，则 a b＋ 的值是（ ） A．172 B．182 C．200 D．242 第 12 页 共 13 页 17.观察下列式子： 1 2a  ， 3 4a ， 5 8a  ， 7 16a ， 9 32a  …根据其中的规律，第 n个式子是______． 18.观察下面两行数，并按规律填空： ① 2 4 816 32 64  ，， ，， ， ，… ②0 6 618 30 66 ，， ，， ， ，… （1）请你分别写出第①②行的第 7个数； （2）取每行数的第 9个数，计算这两个数的和． 19.观察下面的数： 按着上述的规律排下去，那么第 12行从左边数第 4个数是（ ） A．-121 B．-123 C．-125 D．-127 20.研究下列算式，你会发现什么规律？ 21 3 1 2   ； 22 4 1 3   ； 23 5 1 4   ； 24 6 1 5   ． （1）请写出第 9个式子______； （2）请用含 n的式子表示第 n个式子：______； （3）计算 1 1 1 1 11 1 1 1 1 1 3 2 4 3 5 4 6 10 12                                         的值时可以这样做： 解：原式 1 3 1 2 4 1 3 5 1 4 6 1 10 12 1 1 3 2 4 3 5 4 6 10 12                     2 2 2 2 22 3 4 5 11 1 3 2 4 3 5 4 6 10 12           2 2 3 3 4 4 5 5 11 11 1 3 2 4 3 5 4 6 10 12           2 11 1 12   11 6  ． 请你用发现的规律解决下面的问题： 计算： 1 1 1 1 11 1 1 1 1 11 13 12 14 13 15 14 16 21 23                                         第 13 页 共 13 页 21.观察下列式子： 1 11 1 2 2    ； 1 1 1 2 3 2 3    ； 1 1 1 3 4 3 4    ； 1 1 1 4 5 4 5     ； （1）用含 n（其中 n为正整数）的代数式表达上式规律为： 1 ( 1)n n   ______． （2）利用规律计算： 1 1 1 1 1 1 2 2 3 3 4 2023 2024 2024 2025          ． （3）探究并计算： 1 1 1 1 1 5 10 10 15 15 20 90 95 95 100          ． 22.如图是一组有规律的图案．第 1个图案中有 7个六边形，第 2个图案中有 13个六边形，第 3个图案中有 19个六边形，…，按此规律，第 31个图案中六边形的个数为（ ） A．186 B．187 C．188 D．189 23.下列图形都是由圆和几个黑色围棋子按一定规律组成，图（1）中有 4个黑色棋子，图（2）中有 7个黑 色棋子，图（3）中有 10个黑色棋子，…，依次规律，图（2022）中黑色棋子的个数是（ ） A．6067 B．6066 C．6065 D．6064 24.将若干枚黑白棋子按照一定规律摆放成三角形阵，前 5次摆放的情况如下图所示．如果按照此规律继续 摆放三角形阵，第 n个图案中，黑棋子的个数为 ．（用含 n的式子表示）