2.2.1有理数的乘法讲义-2025-2026学年人教版七年级数学上册

❊2.2.1 有理数的乘法 思维导图 题型精析 一．有理数的乘法法则 内容 有理数的乘法法则 两数相乘，同号得正，异号得负，并把绝对值相乘. 多个有理数相乘的法则 ①几个不等于0的数相乘，积的符号由负因数的个数决定，当负因数有奇数个时，积为负；当负因数有偶数个时，积为正．②几个数相乘，有一个因数为0，积就为0． 二．确定乘积符号 内容 若ab > 0 则a，b同号且都不为0 若ab < 0 则a，b异号且都不为0 若ab = 0 则a、b中至少有一个数为0 题型一 有理数乘法的符号问题 列说法中正确的有（　　）例1 ①同号两数相乘，符号不变； ②异号两数相乘，积取负号； ③数a、b互为相反数，它们的积一定为负； ④绝对值等于本身的数是正数． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【解题思路】根据有理数乘法法则和相反数，绝对值的性质进行判断便可． 【解答过程】解：①同号两数相乘，符号为正号，不是符号不变，该小题说法错误； ②异号两数相乘，积取负号，这符合乘法法则，该小题说法正确； ③数a、b互为相反数，它们的积不一定为负，如a、b都为0，它们互为相反数，但它们的积为0，不为负，该小题说法错误； ④绝对值等于本身的数是非负数，包括正数和0，不一定是正数，该小题说法错误； 故选：A． 下列叙述正确的是（　　）变1 A．互为相反数的两数的乘积为1 B．所有的有理数都能用数轴上的点表示 C．绝对值等于本身的数是0 D．n个有理数相乘，负因数的个数为奇数个时，积为负 【解题思路】根据相反数、有理数、绝对值的定义即可判断． 【解答过程】解：A、互为相反数的两个数和为0，故A错误． B、实数和数轴一一对应，故所有的有理数都能用数轴上的点表示．故B正确． C、绝对值等于本身的是0和正数，故C错误． D、n个有理数相乘，负因数的个数为奇数个时，积为负，但0除外，故D错误、 故选：B． a、b是两个有理数，若ab＜0，且a+b＞0，则下列结论正确的是（　　）例2 A．a＞0，b＞0 B．a、b两数异号，且正数的绝对值大 C．a＜0，b＜0 D．a、b两数异号，且负数的绝对值大 【解题思路】根据有理数乘法积的符号判断因数的符号，再根据有理数和的符号判断绝对值的大小，进而得出答案． 【解答过程】解：∵ab＜0， ∴a、b异号， 又∵a+b＞0， ∴正数的绝对值较大， 故选：B． 若ab＜0，a-b＜0，则a、b这两个数（　　）变2 A．a＜0，b＜0 B．a＞0，b＜0 C．a＜0，b＞0 D．a＞0，b＞0 【解题思路】根据ab＜0，得出a、b异号，再根据a﹣b＜0，得出a＜0，b＞0． 【解答过程】解：∵ab＜0， ∴a、b异号， ∵a﹣b＜0， ∴a＜0，b＞0； 故选：C． 题型二 两个有理数的乘法运算 小丽做了四道题目，正确的是（　　）例1 A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了有理数的加法，有理数的乘法，解题关键是熟练掌握运算法则． 根据运算法则，对各选项进行计算判断即可． 【详解】解：A．，此选项的计算错误，故不符合题意； B．，此选项的计算错误，故不符合题意； C．，此选项的计算错误，故不符合题意； D．，此选项的计算正确，故符合题意； 故选：D． 计算的结果是（　　）变1 A． B．1 C． D．2 【答案】C 【分析】本题考查有理数的乘法运算，需注意符号的处理和分数的乘法法则． 【详解】解：． 故选：C． 计算：例2 （1） （2） （3） （4） 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】本题考查有理数乘法，根据两个有理数相乘的法则计算． （1）根据“同号得正，并把绝对值相乘”计算即可； （2）根据“异号得负，并把绝对值相乘”计算即可； （3）根据“异号得负，并把绝对值相乘”计算即可； （4）根据“一个数与0相乘，积为0”计算即可． 【详解】（1） （2） （3） ， （4） ． 计算：变2 （1） （2） （3） （4） 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】本题主要考查了有理数的乘法计算，熟知有理数的乘法计算法则是解题的关键． （1）根据有理数乘法计算法则求解即可； （2）根据有理数乘法计算法则求解即可； （3）根据有理数乘法计算法则求解即可； （4）根据有理数乘法计算法则求解即可． 【详解】（1）解：； （2）解：； （3）解：； （4）解：． 题型三 多个有理数的乘法运算 计算：．例1 【答案】 【分析】本题考查了有理数乘法运算，解决本题的关键是熟练掌握有理数乘法运算法则. 先确定符号，根据负负得正，结果为正，再将小数化成分数，从左向右依次计算. 【详解】解：原式． 计算：．变1 【答案】 【分析】本题考查了有理数乘法运算，解决本题的关键是熟练掌握有理数乘法运算法则. 先确定符号，三个负号，所以结果为负，再从左向右依次运算. 【详解】解：原式． 计算：例2 （1） （2） （3） 【答案】（1）；（2）；（3）100 【详解】（1）解： ． （2） ． （3）解： ． 计算：变2 （1） （2） ． 【答案】（1）；（2）-200 【详解】（1）解： ． （2）解： ． 三．倒数 内容 倒数的定义 乘积是1的两个有理数互为倒数. 【注意】1.0没有倒数；2.倒数等于它本身的数有1和-1. 题型四 倒数 的倒数是（　　）例1 A． B．2025 C． D．-2025 【答案】D 【分析】本题考查的是倒数的定义，乘积为1的两个数互为倒数，根据倒数的定义求解即可. 【详解】解：的倒数是， 故选：D 的倒数是（　　）变1 A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查倒数的概念，掌握乘积是1的两个数互为倒数是解题关键．根据倒数的概念即可求解． 【详解】解：的倒数是． 故选：C． 若a，b互为相反数，c的倒数是4，则的值为（　　）例2 A．-8 B．-5 -5 C．-1 3 D．16 【考点】相反数；倒数 【分析】两数互为相反数，和为0；两数互为倒数，积为1，由此可解出此题． 【解答】解：，互为相反数，的倒数是4， ，， ． 故选：． 已知a与b互为相反数，c与d互为倒数，则代数式2a-cd+2b的值为　 　．变2 【答案】-1 四．有理数的乘法运算律 内容 乘法交换律 乘法结合律 乘法分配律 题型五 有理数的乘法运算律 计算：例1 （1） （2） 【答案】（1）38；（2） 【分析】该题考查了有理数的混合运算，将分数化为小数后，根据乘法分配律解答即可． 【详解】（2）解： ． （2）解： ； 计算：变1 （1） （2） ． 【答案】（1）0；（2） 【分析】该题主要考查了有理数的乘法，解题的关键是掌握有理数的乘法法则． 根据有理数乘法法则计算即可． 【详解】（1）解：原式 ． （2）解： ． 计算：例2 （1） （2） （1）【分析】利用乘法分配律进行计算即可得解． 【解答】解：， ， ， ， ． （2）【分析】根据乘法分配律，可得答案． 【解答】解：原式 ． 用简便方法计算：变2 （1） （2） . 【分析】（1）2；（2）-24 【分析】利用乘法分配律进行计算即可得解． 【解答】（1）解： ． （2）解：原式 （1）可以拆分为______；（2）可以拆分为______.例3 【答案】； （1）可以拆分为______；（2）可以拆分为______.变3 【答案】； 学习了有理数的乘法后，老师给同学们出了这样一道题目：计算：，看谁算的又快又对．例4 小明的解法：原式； 小军的解法：原式． （1）对于以上两种解法，你认为谁的解法较好？ （2）小强认为还有更好的方法：把看作，请把小强的解法写出来． （3）请你用最合适的方法计算：． 【考点】有理数的加减混合运算；有理数的乘法 【分析】（1）小军的方法计算简便； （2）原式，再由乘法分配律进行运算即可； （3）原式，再运算即可． 【解答】解：（1）小军的解法较好； （2） ； （3） ． 用简便方法计算：变4 （1） （2） 【分析】原式各项变形后，利用乘法分配律计算即可得到结果． 【解答】解：（1）原式； （2）原式． 课后强化 1.已知a+b＞0，ab＜0，且a＞b，则a、b的符号是（　　） A．同为正 B．同为负 C．a正b负 D．a负b正 【解题思路】根据ab＜0可得a，b异号，再由a＞b即可判断出答案． 【解答过程】解；∵ab＜0，∴a，b异号 又a+b＞0且a＞b，∴a正b负． 故选：C． 2.如图，数轴上、两点分别对应有理数a，b，则下列结论：①；②；③；④； ⑤； ⑥；其中正确的有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 3 D．4个 【考点】绝对值；有理数的减法；有理数的乘法；有理数的加法；数轴 【分析】根据数轴图知，，再根据有理数加法、减法、乘法法则进行判断即可． 【解答】解：由数轴图知：，， ，，，，，， 故正确的有④⑤两个． 故选：． 3.计算： （1） （2） （3） （4） （5） （6） 【答案】(1)56 (2) (3) (4) (5) (6)6 【分析】此题考查有理数乘法计算，根据有理数乘法运算法则分别计算（1）（2）（3）（4）（5）（6）即可 【详解】（1）解： ； （2） ； （3） ； （4） ； （5） ； （6） ． 4.计算． （1） （2） 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了有理数的加法计算，有理数的乘法计算： （1）先运用加法交换律和加法结合律，再根据有理数的加法计算法则求解即可； （2）去括号，再根据有理数的乘法计算法则求解即可． 【详解】（1）解：原式 ； （2）解：原式 ． 5.计算： （1） （2） 【答案】(1)15 (2) 【分析】本题主要考查了有理数的乘法． （1）按照有理数的乘法运算法则计算即可． （2）按照有理数的乘法运算法则计算即可． 【详解】（1）解： （2）解： 6.的倒数是（　　） A． B． C．2023 D． 【答案】B 【分析】本题主要考查倒数的概念，掌握其概念及计算方法是解题的关键．根据倒数的定义“乘积为的两个数互为倒数”，由此即可求解， 【详解】解：∵， ∴的倒数是． 故选：B． 7.学习有理数的乘法后，老师给同学们这样两道题目： 计算：（1）．（2）． 有两位同学的解法如下： （1）． （2）． 请参考上述解法，计算下列两题： （1）； （2）． 【答案】(1)；(2)2025 【分析】本题考查有理数的乘法运算律： （1）仿照第一位同学的解法解答； （2）仿照第二位同学的解法解答． 【详解】（1）解：原式； （2）原式． 8.计算：． 【考点】有理数的乘法 【分析】根据乘法分配律以及有理数乘法即可求出答案． 【解答】解：原式 ． 9.用简便算法计算下列各题． （1） （2） 【分析】（1）利用乘法的分配律，进行简化计算； （2）利用乘法的分配律，进行简化计算． 【解答】解：（1） （2） ． 10.用简便方法计算： （1） （2） （3） （4） 【分析】（1）先计算两个数，再根据有理数的乘法运算法则进行计算即可得解； （2）利用乘法分配律进行计算即可得解； （3）把写成，然后利用乘法分配律进行计算即可得解； （4）逆运用乘法分配律进行计算即可得解． 【解答】解：（1）， ， ； （2）， ， ， ； （3）， ， ， ， ； （4）， ， ， ． 第 1 页 共 24 页 学科网（北京）股份有限公司 $$第 1 页 共 7 页 ❊2.2.1 有理数的乘法 思维导图 题型精析 一．有理数的乘法法则 内容 有理数的乘法法则 两数相乘，同号得正，异号得负，并把绝对值相乘. 多个有理数相乘的法则 ①几个不等于 0 的数相乘，积的符号由负因数的个数决定，当负因数有 奇数个时，积为负；当负因数有偶数个时，积为正．②几个数相乘，有 一个因数为 0，积就为 0． 二．确定乘积符号 内容 若 ab > 0 则 a，b 同号且都不为 0 若 ab < 0 则 a，b 异号且都不为 0 若 ab = 0 则 a、b 中至少有一个数为 0 题型一 有理数乘法的符号问题 例 1 列说法中正确的有（ ） ①同号两数相乘，符号不变； ②异号两数相乘，积取负号； ③数 a、b 互为相反数，它们的积一定为负； ④绝对值等于本身的数是正数． 第 2 页 共 7 页 A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 变 1 下列叙述正确的是（ ） A．互为相反数的两数的乘积为 1 B．所有的有理数都能用数轴上的点表示 C．绝对值等于本身的数是 0 D．n 个有理数相乘，负因数的个数为奇数个时，积为负 例 2 a、b 是两个有理数，若 ab＜0，且 a+b＞0，则下列结论正确的是（ ） A．a＞0，b＞0 B．a、b 两数异号，且正数的绝对值大 C．a＜0，b＜0 D．a、b 两数异号，且负数的绝对值大 变 2 若 ab＜0，a-b＜0，则 a、b 这两个数（ ） A．a＜0，b＜0 B．a＞0，b＜0 C．a＜0，b＞0 D．a＞0，b＞0 题型二 两个有理数的乘法运算 例 1 小丽做了四道题目，正确的是（ ） A． 4 1 1 3 4 3                B．  2.8 3.1 5.9    C．   17 81 9 9         D． 314 1 20 7         变 1 计算 14 2       的结果是（ ） A． 1 B．1 C． 2 D．2 例 2 计算： （1） ( 13) ( 6)   （2） 1 0.15 3   （3） 2 11 1 3 5              （4） 2288 0 5       第 3 页 共 7 页 变 2 计算： （1）  0.25 4  （2）  2023 0  （3）   13.25 4   （4） 24.5 9  题型三 多个有理数的乘法运算 例 1 计算：   1 11.25 1 3 2         ． 变 1 计算： 11 8 1 4 22 2                      ． 例 2 计算： （1） 1 1 11 2 3 24 2 3 4                       （2）    2 52 0.81 7.2 9 12           第 4 页 共 7 页 （3） 4 125 ( 0.125) ( 4) ( ) ( 8) 1 5 4          变 2 计算： （1）    4 57 9 9 14           （2）        12.5 4 0.3 33 2 3              三．倒数 内容 倒数的定义 乘积是 1的两个有理数互为倒数. 【注意】1.0没有倒数；2.倒数等于它本身的数有 1和-1. 题型四 倒数 例 1 1 2025  的倒数是（ ） A． 1 2025 B．2025 C． 1 2025  D．-2025 变 1 2 5  的倒数是（ ） A． 2 5 B． 5 2 C． 5 2  D． 2 5  例 2 若 a，b 互为相反数，c 的倒数是 4，则 3 3 4a b c  的值为（ ） A．-8 B．-5 -5C．-1 3D．16 变 2 已知 a 与 b 互为相反数，c 与 d 互为倒数，则代数式 2a-cd+2b 的值为 ． 四．有理数的乘法运算律 内容 乘法交换律 ab ba 乘法结合律 ( ) ( )ab c a bc 第 5 页 共 7 页 乘法分配律 ( )a b c ab ac   题型五 有理数的乘法运算律 例 1 计算： （1） 7 43.8 2 3.8 8.3 3 10 5     （2） 2496% 18.8 0.96 9.8 25     变 1 计算： （1） 5 5 5( 3.89) 2.51 6.4 6 6 6                          （2）  33.61 0.75 0.61 0.2 75% 4        ． 例 2 计算： （1） 5 3 124 ( ) 6 8 12      （2） 4 5 7( 36) ( ) 9 6 12      变 2 用简便方法计算： （1） 11 7 3 13( ) ( 48) 12 6 4 24      （2） 5 7 2( ) ( 81) 27 9 3     . 例 3 （1） 4 399 可以拆分为______；（2） 4 399 可以拆分为______. 第 6 页 共 7 页 变 3 （1） 7 629 可以拆分为______；（2） 7 629 可以拆分为______. 例 4 学习了有理数的乘法后，老师给同学们出了这样一道题目：计算： 2449 ( 5) 25   ，看谁算的又快又 对． 小明的解法：原式 1249 1249 45 249 25 5 5        ； 小军的解法：原式 24 24 4(49 ) ( 5) 49 ( 5) ( 5) 249 25 25 5             ． （1）对于以上两种解法，你认为谁的解法较好？ （2）小强认为还有更好的方法：把 2449 25 看作 1(50 ) 25  ，请把小强的解法写出来． （3）请你用最合适的方法计算： 59 ( 3) 6   ． 变 4 用简便方法计算： （1） 1799 ( 9) 18   （2） 539 ( 6) 6    课后强化 1.已知 a+b＞0，ab＜0，且 a＞b，则 a、b 的符号是（ ） A．同为正 B．同为负 C．a 正 b 负 D．a 负 b 正 2.如图，数轴上 A 、 B 两点分别对应有理数 a，b，则下列结论：① 0ab  ；② 0a b  ；③ 0a b  ； ④ | | | | 0a b  ； ⑤ 1 0a   ； ⑥1 0b  ；其中正确的有（ ） A．1个 B．2个 C．3个 3D．4个 3.计算： （1） ( 8) ( 7)   （2）12 ( 5)  （3） 2.9 ( 0.4)  （4） ( 30.5) 0.2  （5）100 ( 0.001)  （6） ( 4.8) ( 1.25)   第 7 页 共 7 页 4.计算． （1） 3 1 3 1 1 4 2 5 2 4                        （2）  2 4 31 2.53 9 25                        5.计算： （1） 7 115 1 8 7               （2） 5 8 1 2 12 15 2 3                       6. 2023 的倒数是（ ） A． 1 2023 B． 1 2023  C．2023 D． 2023 7.学习有理数的乘法后，老师给同学们这样两道题目： 计算：（1）97 11 ．（2） 15 33 16 33    ． 有两位同学的解法如下： （1）  97 11 100 3 11 1100 33 1067       ． （2）  15 33 16 33 15 16 33 33         ． 请参考上述解法，计算下列两题： （1）  98 15  ； （2） 24 1 232025 3 2025 2025 2 25 25 25           ． 8.计算： 3099 31 31  ． 9.用简便算法计算下列各题． （1） 1 1 1 1( ) ( 24) 4 6 8 12       （2） 899 ( 13) 9   10.用简便方法计算： （1） ( 3.7) ( 0.125) ( 8)     （2） 1 1 1( ) ( 12) 3 6 12     （3） 1617 ( 3 ) 17    （4） 11 11 115 ( ) 13 ( ) 3 ( ) 5 5 5          ❊2.2.1 有理数的乘法 思维导图 题型精析 一．有理数的乘法法则 内容 有理数的乘法法则 两数相乘，同号得正，异号得负，并把绝对值相乘. 多个有理数相乘的法则 ①几个不等于0的数相乘，积的符号由负因数的个数决定，当负因数有奇数个时，积为负；当负因数有偶数个时，积为正．②几个数相乘，有一个因数为0，积就为0． 二．确定乘积符号 内容 若ab > 0 则a，b同号且都不为0 若ab < 0 则a，b异号且都不为0 若ab = 0 则a、b中至少有一个数为0 题型一 有理数乘法的符号问题 列说法中正确的有（　　）例1 ①同号两数相乘，符号不变； ②异号两数相乘，积取负号； ③数a、b互为相反数，它们的积一定为负； ④绝对值等于本身的数是正数． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 下列叙述正确的是（　　）变1 A．互为相反数的两数的乘积为1 B．所有的有理数都能用数轴上的点表示 C．绝对值等于本身的数是0 D．n个有理数相乘，负因数的个数为奇数个时，积为负 a、b是两个有理数，若ab＜0，且a+b＞0，则下列结论正确的是（　　）例2 A．a＞0，b＞0 B．a、b两数异号，且正数的绝对值大 C．a＜0，b＜0 D．a、b两数异号，且负数的绝对值大 若ab＜0，a-b＜0，则a、b这两个数（　　）变2 A．a＜0，b＜0 B．a＞0，b＜0 C．a＜0，b＞0 D．a＞0，b＞0 题型二 两个有理数的乘法运算 小丽做了四道题目，正确的是（　　）例1 A． B． C． D． 计算的结果是（　　）变1 A． B．1 C． D．2 计算：例2 （1） （2） （3） （4） 计算：变2 （1） （2） （3） （4） 题型三 多个有理数的乘法运算 计算：．例1 计算：．变1 计算：例2 （1） （2） （3） 计算：变2 （1） （2） 三．倒数 内容 倒数的定义 乘积是1的两个有理数互为倒数. 【注意】1.0没有倒数；2.倒数等于它本身的数有1和-1. 题型四 倒数 的倒数是（　　）例1 A． B．2025 C． D．-2025 的倒数是（　　）变1 A． B． C． D． 若a，b互为相反数，c的倒数是4，则的值为（　　）例2 A．-8 B．-5 -5 C．-1 3 D．16 已知a与b互为相反数，c与d互为倒数，则代数式2a-cd+2b的值为　 　．变2 四．有理数的乘法运算律 内容 乘法交换律 乘法结合律 乘法分配律 题型五 有理数的乘法运算律 计算：例1 （1） （2） 计算：变1 （1） （2） ． 计算：例2 （1） （2） 用简便方法计算：变2 （1） （2） . （1）可以拆分为______；（2）可以拆分为______.例3 （1）可以拆分为______；（2）可以拆分为______.变3 学习了有理数的乘法后，老师给同学们出了这样一道题目：计算：，看谁算的又快又对．例4 小明的解法：原式； 小军的解法：原式． （1）对于以上两种解法，你认为谁的解法较好？ （2）小强认为还有更好的方法：把看作，请把小强的解法写出来． （3）请你用最合适的方法计算：． 用简便方法计算：变4 （1） （2） 课后强化 1.已知a+b＞0，ab＜0，且a＞b，则a、b的符号是（　　） A．同为正 B．同为负 C．a正b负 D．a负b正 2.如图，数轴上、两点分别对应有理数a，b，则下列结论：①；②；③；④； ⑤； ⑥；其中正确的有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 3 D．4个 3.计算： （1） （2） （3） （4） （5） （6） 4.计算． （1） （2） 5.计算： （1） （2） 6.的倒数是（　　） A． B． C．2023 D． 7.学习有理数的乘法后，老师给同学们这样两道题目： 计算：（1）．（2）． 有两位同学的解法如下： （1）． （2）． 请参考上述解法，计算下列两题： （1）； （2）． 8.计算：． 9.用简便算法计算下列各题． （1） （2） 10.用简便方法计算： （1） （2） （3） （4） 第 1 页 共 24 页 学科网（北京）股份有限公司 $$