2.1.2有理数的减法讲义-2025-2026学年人教版七年级数学上册

2.1.2 有理数的减法 思维导图 题型精析 一.有理数的减法法则 内容 有理数的减法法则 减去一个数等于加上这个数的_,即.减法转化为加法时,减数一定要改变符号. 题型一 有理数减法的符号问题 下列四种说法:①减去一个数,等于加上这个数的相反数;②两个互为相反数的数和为0;③例1 两数相减,差一定小于被减数;④如果两个数的绝对值相等,那么这两个数的和或差等于零.其中正确的 说法有( ) A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 【分析】①③根据有理数的减法法则判断即可;②根据相反数的定义判断即可;④根据绝对值的定义以及有理数的加减法法则判断即可. 【解答】解:①减去一个数,等于加上这个数的相反数,说法正确; ②两个互为相反数的数和为0,说法正确; ③两数相减,差一定小于被减数,说法错误,如1﹣(﹣2)=1+2=3,3>1; ④如果两个数的绝对值相等,则这两个数相等或互为相反数,所以这两个数的和或差等于零,故④说法正确. 所以正确的说法有①②④. 故选:C. 【点评】本题考查了有理数的减法、有理数的加法,熟记运算法则是解题的关键. 关于有理数的减法,下列说法正确的是( )变1 A.两个有理数相减,差一定小于被减数 B.两个负数的差一定小于0 C.两个负数相减,等于他们的绝对值相减 D.两个有理数的差是正数,则被减数一定大于减数 【分析】根据有理数的减法法则逐一判断即可.有理数的减法法:减去一个数,等于加上这个数的相反数. 【解答】解:A、两个有理数相减,差不一定小于被减数,如2﹣(﹣1)=3,故本选项不合题意; B、两个负数的差不一定小于0,如﹣1﹣(﹣4)=3,故本选项不合题意; C、两个负数相减,根据减去一个数,等于加上这个数的相反数,而不是它们的绝对值相减,故本选项不合题意; D、两个有理数的差是正数,则被减数一定大于减数,说法正确. 故选:D. 计算:例2 (1)( ) ; (2) ; (3) . 【答案】 4 12 12 【分析】该题考查了有理数的减法,有理数的加法,根据有理数减法法则:减去一个数,等于加这个数的相反数. 把有理数的减法利用相反数变成加法进行运算,熟练掌握其运算规则是解题的关键. (1)根据有理数减法法则:减去一个数,等于加这个数的相反数. 把有理数的减法利用相反数变成加法进行运算即可. (2)根据有理数减法法则:减去一个数,等于加这个数的相反数. 把有理数的减法利用相反数变成加法进行运算即可. (3)根据有理数减法法则:减去一个数,等于加这个数的相反数. 把有理数的减法利用相反数变成加法进行运算即可. 【详解】解:(1); 故答案为:,; (2); 故答案为:4,; (3); 故答案为:12,12. 将写成和的形式,正确的是( )变2 A. B. C. D. 【答案】D 【分析】本题主要考查了有理数的减法,根据减去一个数等于加上这个数的相反数,把减法转化为加法即可. 【详解】解:. 故选:D. 题型二 有理数的减法运算 计算:例1 (1) (2) 【答案】(1);(2) 【解析】 【分析】 根据减法法则,把减法转化为加法,能简算的简算即可完成. 【详解】 (1)原式; (2)原式; 计算:变1 (1) (2) 【答案】(1)168;(2) 【解析】 【分析】 根据减法法则,把减法转化为加法,能简算的简算即可完成. 【详解】 (1)原式; (2)原式. 计算下列各题:例2 (1)0.47-4-(-1.53)-1 (2) (3) (1)【分析】先根据减去一个数等于加上这个数的相反数化简,再利用加法交换结合律进行计算即可得解. 【解答】解:0.47﹣4(﹣1.53)﹣1 =0.47﹣41.53﹣1 =0.47+1.53﹣41 =2﹣6 =﹣4. (2)【分析】先计算绝对值,再按从左往右的顺序计算即可. 【解答】解:, 122.75, =﹣1.1﹣2.25+2.75, =﹣3.35+2.75, =﹣0.6. (3)【分析】根据有理数的减法法则进行求解即可,先算小括号,再算中括号,能用简便方法的用简便方法. 【解答】解:原式=4.73﹣[2(﹣0.83)] =4.73﹣(0.83) =4.730.83 =0.9. 计算:变2 (1) (2) (3) (4) 【答案】(1);(2)0;(3);(4) 【解析】 【分析】 根据有理数减法运算法则:减去一个数等于加上这个数的相反数,计算即可. 【详解】 解:(1)原式=; (2)原式=; (3)原式 . (4)原式 . 阅读:因为一个非负数的绝对值等于它本身,负数的绝对值等于它的相反数,所以当时,当时,根据以上阅读完成:例3 (1)_; (2)计算:. 【答案】(1);(2). 【解析】 【分析】 (1)根据绝对值的意义可直接进行求解; (2)利用绝对值的意义及有理数加减混合运算可直接进行求解. 【详解】 解:(1)∵, ∴; 故答案为; (2)原式. 先阅读材料,再回答问题:变3 因为一个非负数的绝对值等于它本身,负数的绝对值等于它的相反数,所以,当时,如,;当时,,如,.根据以上信息完成下列问题: (1)_;_; (2)_; (3)计算:. 【答案】(1)3,3.(2) ﹣3.14.(3). 【解析】 【分析】 (1)根据材料中给出的绝对值的意义求解即可. (2)根据材料中给出的绝对值的意义求解即可. (3)根据材料中给出的绝对值的意义先化简绝对值,再算加减即可. 【详解】 解:(1)|5﹣2|=|3|=3,|3﹣6|=|﹣3|=3. 故答案为:3,3. (2)∵ ﹣3.14>0, ∴| ﹣3.14|= ﹣3.14. 故答案为: ﹣3.14. (3) =1﹣++…++ =1﹣ =. 二.有理数的加减混合运算的一般步骤 方法一 减法转化成加法 方法二 省略括号法 (1)减法变加法:; (2)运用加法交换律和结合律将同号的数分别相加; (3)按有理数加法法则计算. (1)省略括号; (2)同号的数相结合; (3)进行加减运算. 题型三 有理数的加减混合运算 计算:例1 (1) (2) (3) 【答案】(1)0.3 (2)-2 (3) 【分析】本题主要考查了有理数的加减混合运算,熟练掌握运算法则是解答本题的关键. (1)先根据去括号法则去掉式子中的括号,然后从左到右计算即可; (2)先根据去括号法则去掉式子中的括号,然后将转化为,将与结合在一起,由此计算即可; (3)先根据去括号法则去掉式子中的括号,然后将与结合在一起,将与结合在一起,计算即可. 【详解】解:(1)原式 . (2)原式 . (3)原式 . 用简便方法进行运算例2 (1) (2) (3) (4) 【答案】(1)0 (2) (3) (4) 【分析】本题主要考查了有理数的加减混合运算,注意明确有理数混合运算法则. (1)利用符号相同的两个数分别结合进行求解; (2)将和为零的两个数,和为整数的两个数分别结合为一组进行求解; (3)将分母相同的两个数分别结合为一组进行求解; (4)将分母相同的三个数,和为整数的两个数分别结合为一组进行求解. 【详解】(1)(1)解: (符号相同的两个数分别结合为一组) (互为相反数的和为0) ; (2)解: (将和为零的两个数,和为整数的两个数分别结合为一组) ; (3)解: (将分母相同的两个数分别结合为一组) ; (4)解: (将分母相同的三个数,和为整数的两个数分别结合为一组) . 计算:变1 (1) (2) (3) (4) 【答案】(1); (2); (3); (4). 【分析】本题考查了有理数的运算,运算律,化简绝对值,熟练掌握运算法则是解题的关键. ()根据有理数加法法则进行求解即可; ()先算绝对值,然后通过有理数减法法则进行求解即可; ()先算绝对值,然后通过有理数加法运算律进行简便运算即可; ()通过有理数加法运算律进行简便运算即可. 【详解】(1)解: ; (2)解: ; (3)解: ; (4)解: . 计算:变2 (1) (2) (3) (4) 【答案】(1) (2)2 (3) (4) 【分析】本题考查有理数的加减,绝对值,掌握知识点是解题的关键. (1)根据有理数的加法运算律计算,即可求解; (2)先去绝对值,再根据有理数的加法运算律计算,即可求解; (3)先去绝对值,再根据有理数的加法运算律计算,即可求解; (4)根据有理数的加法运算律计算,即可求解. 【详解】(1)解:原式 (2)原式 (3)原式 (4)原式 题型四 有理数的加减法(含绝对值) 若,且,求的值.例1 【答案】或 【分析】本题考查了绝对值,有理数的减法运算,解题的关键是注意分类讨论. 先根据得,再由确定a只能取,再分类讨论求解即可. 【详解】解:由得 因为,所以a只能取. 当时, 当时, 故:的值等于或. 若,且,则的值是( )变1 A.或 B.或8 C.或2 D.8或 【答案】A 【分析】本题考查了绝对值定义,有理数的加减法法则,根据绝对值的定义确定a和b的取值是解题的关键.根据绝对值的定义求出的值,结合的条件筛选出符合条件的的值,最后计算的值. 【详解】解:,, , , , 当时,; 当时,. 的值为−8或−2, 故选:A. ,,,那么的值是( )变2 A. B.或 C.3或7 D.7 【答案】C 【分析】本题考查了绝对值的概念以及有理数的减法运算,熟练掌握绝对值的概念是解决本题的关键. 先由a与b的大小,可得到a与b的值,再计算即可. 【详解】解:∵, ∴, ∵,, ∴,或,, 当,,, 当,,, 的值是3或7 . 故选:C . 课后强化 1.下说法正确的是( ) A.0减任何数的差都是负数 B.减去一个正数,差一定大于被减数 C.减去一个正数,差一定小于被减数 D.两个数之差一定小于被减数 【分析】可通过举反例说明不正确的,通过分类讨论说明正确的. 【解答】解:0减去负数的差就是正数,正数大于被减数0,故A、D都是不正确的; 负数减去正数,差一定小于被减数,故选项B不正确; 减去一个正数,差一定小于被减数,此选项正确. 故选:C. 2.下列结论不正确的是( ) A.若a>0,b<0,则a-b>0 B.若a<0,b>0,则a-b<0 C.若a<0,b<0,则a-(-b)>0 D.若a<0,b<0,且|b|>|a|,则a-b>0 【分析】根据各项中a与b的正负,利用有理数的减法法则判断即可得到结果. 【解答】解:A、若a>0,b<0,则a﹣b>0,正确; B、若a<0,b>0,则a﹣b<0,正确; C、若a<0,b<0,则a﹣(﹣b)=a+b<0,不正确; D、若a<0,b<0,且|b|>|a|,则a﹣b>0,正确, 故选:C. 3.计算: (1) (2) (1) (2) 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】本题考查了有理数的加减混合运算,熟练掌握运算法则是解题的关键. (1)根据有理数的加法则求解即可; (2)根据有理数的减法则求解即可; (3)根据有理数的加减混合运算法则求解即可; (4)根据有理数的加减混合运算法则求解即可. 【详解】(1)解: ; (2)解: ; (3)解: ; (4)解: . 4.计算: (1) (2) (3) 【答案】(1)8; (2)0; (3). 【分析】本题考查了有理数的减法运算,熟练掌握运算法则是解题的关键. (1)根据有理数的减法运算法则计算; (2)根据有理数的减法运算法则计算; (3)根据有理数的减法运算法则计算. 【详解】(1)解: ; (2)解: ; (3)解: . 5.计算: (1) (2) (3) (4) 【答案】(1)14 (2) (3) (4) 【分析】本题考查了有理数的加减混合运算,熟练掌握有理数的加减运算法则是解题的关键. (1)根据有理数的加减运算法则计算即可; (2)根据有理数的加减运算法则计算即可; (3)根据有理数的加减运算法则计算即可; (4)根据有理数的加减运算法则计算即可. 【详解】(1)解: ; (2)解: ; (3)解: ; (4)解: . 6.计算: (1) (2) (3) (4) 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】本题主要考查了有理数的加减混合运算,熟练掌握运算法则是解题的关键. (1)根据有理数加减混合运算法则计算即可; (2)根据有理数加减混合运算法则计算即可; (3)根据有理数加减混合运算法则计算即可; (4)先化简绝对值可得原式化为,再计算即可. 【详解】(1)解: ; (2)解: (3)解: ; (4)解: . 7.若且,求的值. 【分析】本题考查绝对值的意义,有理数的减法运算,根据绝对值的意义,结合,求出的值,再根据有理数的减法法则进行计算即可. 【详解】解:∵且, ∴, ∴或; 第 1 页 共 28 页 学科网(北京)股份有限公司 $$ ❊2.1.2 有理数的减法 思维导图 题型精析 一．有理数的减法法则 内容 有理数的减法法则 减去一个数等于加上这个数的_______，即.减法转化为加法时，减数一定要改变符号． 题型一 有理数减法的符号问题 下列四种说法：①减去一个数，等于加上这个数的相反数；②两个互为相反数的数和为0；③例1 两数相减，差一定小于被减数；④如果两个数的绝对值相等，那么这两个数的和或差等于零．其中正确的 说法有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 关于有理数的减法，下列说法正确的是（　　）变1 A．两个有理数相减，差一定小于被减数 B．两个负数的差一定小于0 C．两个负数相减，等于他们的绝对值相减 D．两个有理数的差是正数，则被减数一定大于减数 计算：例2 （1）（ ） ； （2） ； （3） ． 将写成和的形式，正确的是（   ）变2 A． B． C． D． 题型二 有理数的减法运算 计算：例1 （1） （2） 计算：变1 （1） （2） 计算下列各题：例2 （1）0.47-4-（-1.53）-1 （2） （3） 计算：变2 （1） （2） （3） （4） 阅读：因为一个非负数的绝对值等于它本身，负数的绝对值等于它的相反数，所以当时，当时，根据以上阅读完成：例3 （1）______； （2）计算：． 先阅读材料，再回答问题：变3 因为一个非负数的绝对值等于它本身，负数的绝对值等于它的相反数，所以，当时，如，；当时，，如，．根据以上信息完成下列问题： （1）______；______； （2）______； （3）计算：. 二．有理数的加减混合运算的一般步骤 方法一 减法转化成加法 方法二 省略括号法 （1）减法变加法:； （2）运用加法交换律和结合律将同号的数分别相加； （3）按有理数加法法则计算. （1）省略括号； （2）同号的数相结合； （3）进行加减运算. 题型三 有理数的加减混合运算 计算：例1 （1） （2） （3） 用简便方法进行运算例2 （1） （2） （3） （4） 计算：变1 （1） （2） （3） （4） 计算：变2 （1） （2） （3） （4） 题型四 有理数的加减法（含绝对值） 若，且，求的值．例1 若，且，则的值是（   ）变1 A．或 B．或8 C．或2 D．8或 ，，，那么的值是（    ）变2 A． B．或 C．3或7 D．7 课后强化 1.下说法正确的是（　　） A．0减任何数的差都是负数 B．减去一个正数，差一定大于被减数 C．减去一个正数，差一定小于被减数 D．两个数之差一定小于被减数 2.下列结论不正确的是（　　） A．若a>0，b<0，则a-b>0 B．若a<0，b>0，则a-b<0 C．若a<0，b<0，则a-（-b）>0 D．若a<0，b<0，且|b|>|a|，则a-b>0 3.计算： （1） （2） （1） （2） 4.计算： （1） （2） （3） 5.计算： （1） （2） （3） （4） 6.计算： （1） （2） （3） （4） 7.若且，求的值. 第 1 页 共 28 页 学科网（北京）股份有限公司 $$第 1 页 共 7 页 ❊2.1.2 有理数的减法 思维导图 题型精析 一．有理数的减法法则 内容 有理数的减法法则 减去一个数等于加上这个数的_______，即 )( baba  .减法转化为加法时， 减数一定要改变符号． 题型一 有理数减法的符号问题 例 1 下列四种说法：①减去一个数，等于加上这个数的相反数；②两个互为相反数的数和为 0；③ 两数相减，差一定小于被减数；④如果两个数的绝对值相等，那么这两个数的和或差等于零．其中正确的 说法有（ ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 变 1 关于有理数的减法，下列说法正确的是（ ） A．两个有理数相减，差一定小于被减数 B．两个负数的差一定小于 0 C．两个负数相减，等于他们的绝对值相减 D．两个有理数的差是正数，则被减数一定大于减数 例 2 计算： （1）      3 10 3     （ ）  ； （2）      7 4 7       ； （3）  0 12 0     ． 第 2 页 共 7 页 变 2 将 2 3 5 7   写成和的形式，正确的是（ ） A． 2 3 5 7   B．2 3 ( 5) ( 7)     C．2 3 ( 5) ( 7)     D． 2 3 ( 5) ( 7)     题型二 有理数的减法运算 例 1 计算： （1） 17)22()37()72(  （2） )18(24)12()16(  变 1 计算： （1） )105(36)76(23  （2） 87)72()27()32(  例 2 计算下列各题： （1）0.47-4 6 5 -（-1.53）-1 6 1 （2） )75.2()4 12( 2 11 5 2  （3） 3 1)]63.2 5 41( 3 22[73.4  变 2 计算： （1） 7 7 15 10              （2） 1 1 1 2 3 6                      （3）   1 3 10.25 3 5 8 4 4                        （4） 5 17.7 6 3.3 1 6 6                 第 3 页 共 7 页 例 3 阅读：因为一个非负数的绝对值等于它本身，负数的绝对值等于它的相反数，所以当 0a  时 a a ， 当 0a 时 a a  ，根据以上阅读完成： （1） 3.14   ______； （2）计算： 1 1 1 1 1 1 1 1 11 5 6 5 7 6 19 18 20 19             ． 变 3 先阅读材料，再回答问题： 因为一个非负数的绝对值等于它本身，负数的绝对值等于它的相反数，所以，当 0a  时 | |a a ，如 22  ， | 2 1| 2 1 1    ；当 0a 时， a a  ，如 | 2 | 2  ， |1 2 | (1 2) 2 1 1       ．根据以上信息完成下列问题： （1） | 5 2 | ______； | 3 6 |  ______； （2） | 3.14 |  ______； （3）计算： 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 11 2 3 2 4 3 2019 2018 2020 2019 2021 2020             . 二．有理数的加减混合运算的一般步骤 方法一 减法转化成加法 方法二 省略括号法 （1）减法变加法:a+b−c=a+b+(−c)； （2）运用加法交换律和结合律将同号的数分别相加； （3）按有理数加法法则计算. （1）省略括号； （2）同号的数相结合； （3）进行加减运算. 题型三 有理数的加减混合运算 例 1 计算： （1）      1.2 2.3 3.2     （2）  1 3 25 1 8.25 3 4 3                 第 4 页 共 7 页 （3）    3 1 20.125 3 3 10 1.25 4 8 3                          例 2 用简便方法进行运算 （1）    7 11 13 9     （2）      3.45 12.5 19.9 3.45 7.5       （3） 2 1 1 14 6 3 2 3 2 3 4                       （4）   1 1 24.5 2.5 9 2 15 3 3 3           变 1 计算： （1） 3 15 2 7 7        （2） 3 6   （3）   4 3 1 50.75 3 5 2 9 4 2 9             （4）  5 16.47 4 1.53 1 6 6     变 2 计算： （1）23 ( 67) 47 ( 23)     （2） 2 | 3 | ( 6) | 7 |       第 5 页 共 7 页 （3） 1 2( 7.4) 9 6 ( 4) | 3 | 5 5              （4）( 3.14) ( 4.96) ( 2.14) ( 7.96) ( 0.4)         题型四 有理数的加减法（含绝对值） 例 1 若 8, 5a b  ，且 a b ，求 a b 的值． 变 1 若 5, 3a b  ，且 0a b  ，则 a b 的值是（ ） A． 8 或 2 B． 2 或 8 C． 8 或 2 D．8或 2 变 2 2a ， 5b  ， 0a b > ，那么 a b 的值是（ ） A． 1 B． 3 或 7 C．3或 7 D．7 课后强化 1.下说法正确的是（ ） A．0减任何数的差都是负数 B．减去一个正数，差一定大于被减数 C．减去一个正数，差一定小于被减数 D．两个数之差一定小于被减数 2.下列结论不正确的是（ ） A．若 a>0，b<0，则 a-b>0 B．若 a<0，b>0，则 a-b<0 C．若 a<0，b<0，则 a-（-b）>0 D．若 a<0，b<0，且|b|>|a|，则 a-b>0 3.计算： （1）    72 63   （2）    25 13   第 6 页 共 7 页 （1）        20 5 5 12       （2）    0.5 3 2.75 7      4.计算： （1）          17 8 9 6 14         （2） 2 1 5 1 3 2 6 3                              （3）     1 112 6.5 6.3 6 2 5                 5.计算： （1）    15 7 8    （2） 5 8 31 3 3 5    （3）          5.2 3.8 1.2 0.5 0.7         （4）    3 1 12 0.8 3 2.85 8 8                           6.计算： （1）12 ( 18) ( 7)    （2） 14 ( 1.25) ( 1 ) ( 3) 4        第 7 页 共 7 页 （3） 5 8 1( 2 ) ( 15.5) ( 7 ) ( 5 ) 13 13 2        （4） 1 1 1 1 1 1 11 2 3 2 4 3 100 99         7.若 5, 3a b  且 a b ，求 a b 的值.