1.2.4绝对值讲义-2025-2026学年人教版七年级数学上册

第 1 页 共 8 页 ❊1.2.4 绝对值 思维导图 题型精析 一．绝对值的定义 内容 绝对值的定义 一般地，数轴上表示数 a 的点与 的距离叫做数 a 的绝对值，记作 . 绝对值的几何意义 0 aa 的几何意义是到原点的距离； ba  的几何意义是 a 到 b 的距离. 【示例】 5 的几何意义表示 5 到原点的距离； 5x 的几何意义表示 x 到 5的距离； 5x 的几何意 义表示 x 到 5 的距离. 题型一 绝对值的定义 例 1 下列说法： ①互为相反数的两个数绝对值相等；②绝对值等于本身的数只有正数；③不相等的两个数 绝对值不相等；④绝对值相等的两数一定相等；⑤只有负数的绝对值是它的相反数；⑥任何一 个有理数的绝对值都不是负数． 其中正确的有（ ） A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 第 2 页 共 8 页 变 1 下列说法中，正确的有（ ） ①负数没有绝对值；②绝对值最小的有理数是 0；③ 任何数的绝对值都是非负数；④互为相反数的两 个数的绝对值相等. A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 例 2 （1）数轴上表示 2和 5的两点之间的距离是_____， | 2 5 | _____； （2）数轴上表示 2 和 5 的两点之间的距离是_____， | ( 2) ( 5) |   _____. 变 2 （1）数轴上表示 1和 3 的两点之间的距离是_____， |1 ( 3) |   _____； （2）根据以上规律，数轴上表示 a 和 b 的两点之间的距离=_____． 二．绝对值的性质 内容 绝对值的性质 正数的绝对值是 ，负数的绝对值是 ，0的绝对值是 . 去绝对值          0 00 0 aa a aa a ， ， ， 【注意】去绝对值的关键在于判断绝对值内的正负性. 题型二 求一个数的绝对值 例 1 化简下列各数： | 3.5 |  ， 5 6   ， | 11|  ， | ( 15) |  ， | ( 7) |  ， | ( 9) |  ． 变 1 化简： （1） 1 2       ；（2） 11 3   ． 例 2 1 2024  的相反数是（ ） A．2024 B． 2024 C． 1 2024 D． 1 2024  第 3 页 共 8 页 变 2 2025  的相反数是（ ） A．-2025 B． 1 2025 C． 1 2025  D．2025 题型三 绝对值的性质 例 1 如果 aa 33  ，则 a 一定是（ ） A．非正数 B．负数 C．非负数 D．正数 例 2 若 xx  22 ，则说明________. 变 1 若|a|=-a，则 a 的值不可以是（ ） A．2 B．-5 C．0 D．-0.5 变 2 若 5252  mm ，则说明_____________. 题型四 化简绝对值 【方法点睛】1.绝对值的化简主要是看绝对值内的正负性，若为正则直接去绝对值，若为负则加上负号. 2.在数轴上，右-左>0，左-右<0. 例 1 去绝对值： 3 _______；  32 _______；  12 _______.（参考数据 732.13  ， 414.12  ） 变 1 去绝对值：  14.3 _______；  35 _______；  22 _______.（参考数据 236.25  ， 414.12  ） 例 2 有理数 a、b、c 在数轴上位置如图，则 a c a b b c     的值为（ ） A．2a B．2a+2b-2c C．0 D．-2c 例 3 表示 a，b，c 三个数的点在数轴上的位置如图所示，则代数式 a b a c b c     的值等于（ ） A．2a-2b-2c B．-2a C．2a-2b D．-2b 第 4 页 共 8 页 变 2 有理数 a、b、c 在数轴上对应点的位置如图所示，化简 c b a c b a     的结果是 ． 变 3 有理数 a，b，c 在数轴上的位置如图所示： 化简：|a+b|-|b-1|-|a-c|-|1-c|=_______. 三．绝对值的非负性 内容 绝对值的非负性 非负数+非负数=0，那么它们分别都等于 0. 绝对值的非负性 的应用 1.由于 0x ，所以 mx _____， mx  有最_____值，此时 x _____； 2.由于 0x ，所以 x _____0， mx  有最_____值，此时 x _____； 3.同理， max  有最_____值，此时 x _____； max  有最_____值， 此时 x _____. 题型五 绝对值的非负性 例 1 若 1| 2 | 0 2 a b    ，则 a  ，b  ． 例 2 已知 3 yx 与 2x 互为相反数，则   yx yx 2 _____. 变 1 已知 2 2 1 0a b    ，求3 5a b 的值． 变 2  21 3 0a b    ，则 a 和 b 各为（ ） A． 1 ， 3 B．1，3 C．1， 3 D． 1 ，3 题型六 绝对值的非负性的应用 例 1 根据 x 是非负数，且非负数中最小的数是 0，解答下列问题： （1）当 x  _____时， 2025x  有最小值，这个最小值是_____． （2）当 x  _____时， 2025 1x  有最大值，这个最大值是_____． 变 1 若 x 为有理数，则式子 4 2024x   的最小值为_____． 第 5 页 共 8 页 变 2 如果 x 为有理数，式子2025 2025x  存在最大值，这个最大值是（ ） A．2025 B．4050 C．20 D．0 题型七 绝对值的几何意义 例 1 阅读材料 点 A、B 在数轴上分别表示有理数 a 、b ，A、B 两点之间的距离表示为 AB，在数轴上 A、B 两点之间的距 离 AB a b  ．也就是说，  4 3  表示 4与 3 之差的绝对值，实际上也可理解为 4与 3 两数在数轴上所对 的两点之间的距离． 比如 3x  可以写成 ( 3)x   ，它的几何意义是数轴上表示数 x 的点与表示数 3 的点之间的距离． 再举个例子：等式 1 1x   的几何意义可表示为：在数轴上表示数 x 的点与表示数1的点的距离等于1，这样 的数 x 可以是0或 2． 解决问题： （1） 4 ( 2)   ． （2）若 3 7x   ，则 x  ；若 3 1x x   ，则 x  ． （3） 3 1x x   表示数轴上有理数 x 所对的点到 3 和1所对的两点距离之和．请你利用数轴，找出所有 符合条件的整数 x ，使得 3 1 4x x    ． 例 2 观察下列几组数在数轴上体现的距离，并回答问题： （1）探究： 你能发现：3与 5在数轴上的对应点间的距离可以表示为：5 3 2  ；4与 2 在数轴上的对应点间的距离可 以表示为：  4 2 6   ；根据以上规律填空． ①数轴上表示 6和 3的两点之间的距离是 ； ②数轴上表示 2 和 4 的两点之间的距离是 ； ③数轴上表示 5 和 2的两点之间的距离是 ． （2）归纳： 一般的，数轴上表示数 a 和数 b 的两点之间的距离等于 a b ． （3）应用： 第 6 页 共 8 页 ①如果数 m 和 4两点之间的距离是 6，则可记为： 4 6m  ，求 m 的值． ②若数轴上表示数 m 的点位于 3 与 4之间，求 3 4m m   的值． ③当 m 取何值时， 4 1 3m m m     的值最小，最小值是多少？请说明理由． 变 1 我们知道， a 可以理解为 0a  ， 它表示：数轴上表示数 a 的点到原点的距离，这是绝对值的 几何意义，进一步地，数轴上的两个点 A，B，分别用数 a，b 表示，那么 A，B 两点之间的距离为 AB a b= - ， 反过来，式子 a b 的几何意义是：数轴上表示数 a 的点和表示数 b 的点之间的距离，利用此结论，回答以 下问题： （1）数轴上表示数 5 的点和表示数 3的点之间的距离是 ； （2）数轴上点 A 用数 a 表示，若 5a  ，那么 a 的值为 ； （3）数轴上点 A 用数 a 表示，且满足 2 3 5a a    的整数 a 有 个； 3 2022a a   有最小值， 则最小值是： ． 变 2 阅读材料： 数轴上点 A，B 分别表示有理数 a，b， AB 表示 A，B 两点之间的距离，则 AB a b  ．如：4与 2 两 数在数轴上对应的两点之间的距离为  4 2 6   ；又如： 2x  可以写成  2x   ，它的几何意义是数轴上 表示数 x 的点与表示数 2 的点之间的距离． 解决问题： （1）若 2 6x   ，则 x  ，若 2 3x x   ，则 x  ． （2） 2 3x x   表示数轴上有理数 x 对应的点到 2 和 3对应的两点距离之和．请你利用数轴，写出所 有符合条件的整数 x，使得： ① 2 3 5x x    ； 第 7 页 共 8 页 ② 2 3 7x x    ． 猜想： （3）对于任何有理数 x， 5 3 2x x x     是否有最小值？如果有，写出最小值；如果没有，说明理由． 课后强化 1. 1 2  的值是（ ） A． 1 2  B． 2 1 C． 2 D．2 2.下列各式不成立的是（ ） A． 2 2  B． 2 2   C． 3 3    D． 2 2   3.若 a 是有理数，则下列说法正确的是（ ） A． a 一定是负数 B． a 一定是正数 C． a  一定是负数 D． 1a  一定是正数 4.已知数 a 满足 1 1a a   ，则 a 不可能为（ ） A． 1 B．0 C．1 D．2 5.如图，化简代数式 |b-a|-|a-1|+|b+2|的结果是_______. 6.有理数 a ，b ， c在数轴上的位置如图所示，则 b a a c b c     的值为（ ） A． 2c B．2a C．0 D． 2 2 2a b c  7.若 | 2 | | 2 6 | 0a b    ，则 a b  ． 8.已知  22 1 0x y    ，则 x y 的相反数为 ． 9.当 a  时， 2025 1a  会取得最小值，且最小值是 ． 10.如果 x 为有理数，式子 2025 4x  存在最大值，这个最大值是（ ） A． 2025 B．2024 C．2023 D． 2022 第 8 页 共 8 页 11.我们知道数形结合是解决数学问题的重要思想方法，例如|3-1|可表示为数轴上 3和 1这两点的距离，而 3 1 即  | 3 1 |  则表示 3和-1这两点的距离．式子 1x  的几何意义是数轴上 x 所对应的点与 1所对应的点 之间的距离，而  2 2x x    ，所以 2x  的几何意义就是数轴上 x 所对应的点与-2 所对应的点之间的距 离．根据以上发现，试探索： （1）直接写出 | 8 ( 2) |   ______； （2）结合数轴，找出所有符合条件的整数 x， 2 3 5x x    的所有整数的和； （3）由以上探索猜想，对于任何有理数 x， 4 6x x   是否有最小值？如果有，请写出最小值并说明理 由；如果没有，请说明理由． ❊1.2.4 绝对值 思维导图 题型精析 一．绝对值的定义 内容 绝对值的定义 一般地，数轴上表示数a的点与 的距离叫做数a的绝对值，记作 . 绝对值的几何意义 的几何意义是到原点的距离；的几何意义是a到b的距离. 【示例】的几何意义表示到原点的距离；的几何意义表示x到5的距离；的几何意义表示x到的距离. 题型一 绝对值的定义 下列说法：例1 ①互为相反数的两个数绝对值相等；②绝对值等于本身的数只有正数；③不相等的两个数绝对值不相等；④绝对值相等的两数一定相等；⑤只有负数的绝对值是它的相反数；⑥任何一个有理数的绝对值都不是负数． 其中正确的有（ ） A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 【答案】C 【分析】根据绝对值的性质进行判断即可． 【解答】解：①互为相反数的两个数的绝对值相等，故①正确； ②绝对值等于它本身的数是非负数，故②错误； ③不相等的两个数绝对值可能相等，如2与-2，故③错误； ④绝对值相等的两个数相等或互为相反数，故④错误； ⑤负数和0的绝对值是它的相反数，故⑤错误； ⑥任何一个有理数的绝对值都不是负数，故⑥正确； 综上所述，①⑥正确，正确的个数为2， 故选：C． 下列说法中，正确的有（ ）变1 ①负数没有绝对值；②绝对值最小的有理数是0；③ 任何数的绝对值都是非负数；④互为相反数的两个数的绝对值相等. A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】根据绝对值的意义对各选项进行判断． 【解答】解：负数的绝对值等于它的相反数，所以（1）错误；绝对值最小的有理数是0，所以（2）正确；任何数的绝对值都是非负数，所以（3）正确；互为相反数的两个数的绝对值相等，所以（4）正确． （1）数轴上表示2和5的两点之间的距离是_____，_____；例2 （2）数轴上表示和的两点之间的距离是_____，_____. 【答案】（1）3，3；（2）3，3；（3）4，4；（4） 【分析】（1）根据数轴上两点之间距离的计算方法进行计算即可． （2）根据数轴上两点之间距离的计算方法进行计算即可． （3）根据数轴上两点之间距离的计算方法进行计算即可． （4）根据上面计算的结果，发现规律即可解决问题． 本题主要考查了数轴及绝对值，熟知数轴上两点之间距离的计算方法是解题的关键． 【详解】解：（1）由题知， 数轴上表示2和5的两点之间的距离是：， 故答案为：3，3 （2）由题知， 数轴上表示和的两点之间的距离是：， 故答案为：3，3 （3）由题知， 数轴上表示1和的两点之间的距离是：，． 故答案为：4，4 （4）根据以上规律可知， 数轴上表示a和b的两点之间的距离 故答案为： （1）数轴上表示1和的两点之间的距离是_____，_____；变2 （2）根据以上规律，数轴上表示a和b的两点之间的距离=_____． 【答案】（1）4，4；（2） 【分析】（1）根据数轴上两点之间距离的计算方法进行计算即可． （2）根据上面计算的结果，发现规律即可解决问题． （1）由题知， 数轴上表示1和的两点之间的距离是：，． 故答案为：4，4 （2）根据以上规律可知， 数轴上表示a和b的两点之间的距离 故答案为： 二．绝对值的性质 内容 绝对值的性质 正数的绝对值是 ，负数的绝对值是 ，0的绝对值是 . 去绝对值 【注意】去绝对值的关键在于判断绝对值内的正负性. 题型二 求一个数的绝对值 化简下列各数：例1 ，，，，，． 【答案】；；；15；7；9 【分析】本题主要考查了化简绝对值．解题的关键是熟练掌握绝对值的性质．正数的绝对值是它本身，负数的绝对值是它的相反数，0的绝对值是0． 根据化简多重符号的方法和步骤，负数的绝对值是它的相反数逐个化简即可解答； 【详解】解： ． 化简：变1 （1）；（2）． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了化简绝对值．解题的关键是熟练掌握绝对值的性质．正数的绝对值是它本身，负数的绝对值是它的相反数，0的绝对值是0． （1）根据化简多重符号的方法和步骤，负数的绝对值是它的相反数化简即可解答； （2）根据负数的绝对值是它的相反数化简即可． 【详解】（1）解： ； （2）解：． 的相反数是（ ）例2 A．2024 B． C． D． 【答案】D 【分析】本题绝对值和相反数，根据负数的绝对值为它的相反数，以及只有符号不同的两个数互为相反数，即可得出结果． 【详解】解：的相反数是； 故选D． 的相反数是（    ）变2 A．-2025 B． C． D．2025 【答案】D 【分析】本题考查了相反数与绝对值，掌握绝对值与相反数的意义是解题的关键；选求出绝对值，再求出相反数即可． 【详解】解：，而的相反数为2025， 故选：D． 题型三 绝对值的性质 如果，则a一定是（ ）例1 A．非正数 B．负数 C．非负数 D．正数 【答案】A 【分析】直接利用绝对值的性质分别分析得出答案． 【解答】解：∵|3a|=-3a， ∴-3a≥0， ∴a≤0， 即a一定是非正数． 故选：A． 若，则说明________.例2 【答案】是非正数 若|a|=-a，则a的值不可以是（ ）变1 A．2 B．-5 C．0 D．-0.5 【答案】A 【分析】根据绝对值的性质进行判断． 【解答】解：因为|a|≥0， 所以|a|的值是非负数． |a|=-a，-a是非负数，所以a是负数或零． 故选：A． 若，则说明_____________.变2 题型四 化简绝对值 【方法点睛】1.绝对值的化简主要是看绝对值内的正负性，若为正则直接去绝对值，若为负则加上负号. 2.在数轴上，右-左>0，左-右<0. 去绝对值：_______；_______；_______.（参考数据，）例1 【答案】；； 去绝对值：_______；_______；_______.（参考数据，）变1 【答案】；； 有理数a、b、c在数轴上位置如图，则的值为（ ）例2 A．2a B．2a+2b-2c C．0 D．-2c 【答案】A 【解析】 【分析】 根据数轴，确定每个数的属性，每个代数式的属性，后化简即可． 【详解】 根据数轴上点的位置得：，且， 则，，， 则． 故选A． 表示a，b，c三个数的点在数轴上的位置如图所示，则代数式的值等于（ ）例3 A．2a-2b-2c B．-2a C．2a-2b D．-2b 【答案】B 【解析】 【分析】 判断，是负数，是正数，根据正数的绝对值等于它本身，负数的绝对值等于它的相反数，0的绝对值是0，进行化简； 【详解】 解：原式=， ， =． 有理数a、b、c在数轴上对应点的位置如图所示，化简的结果是 ．变2 【答案】0 有理数a，b，c在数轴上的位置如图所示：变3 化简：|a+b|-|b-1|-|a-c|-|1-c|=_______. 【答案】见试题解答内容 【分析】根据数轴上点的位置判断出绝对值里边式子的正负，利用绝对值的代数意义化简，去括号合并即可得到结果． 【解答】解：根据数轴上点的位置得：b＜a＜0＜c＜1， ∴a+b＜0，b-1＜0，a-c＜0，1-c＞0， 则原式=-a-b+b-1+a-c-1+c=-2． 三．绝对值的非负性 内容 绝对值的非负性 非负数+非负数=0，那么它们分别都等于0. 绝对值的非负性 的应用 1.由于，所以_____，有最_____值，此时_____； 2.由于，所以_____0，有最_____值，此时_____； 3.同理，有最_____值，此时_____；有最_____值，此时_____. 题型五 绝对值的非负性 若，则 ， ．例1 【答案】 / 【分析】本题考查了绝对值的非负性，熟记绝对值的非负性是解题的关键． 根据绝对值的非负性可得，求出的值即可． 【详解】解：， ， ． 故答案为：； 已知与互为相反数，则_____.例2 【答案】4 已知，求的值．变1 【答案】 【分析】本题考查了绝对值，熟练掌握绝对值的非负性是解题的关键．先求出a、b的值，再代入代数式求值即可． 【详解】解：， 又， ， ， ∴． 则． ，则a和b各为（    ）变2 A．， B．1，3 C．1， D．，3 【答案】D 【分析】本题考查了绝对值的非负性，先根据，得，则，即可作答． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴， 故选：D． 题型六 绝对值的非负性的应用 根据是非负数，且非负数中最小的数是0，解答下列问题：例1 （1）当_____时，有最小值，这个最小值是_____． （2）当_____时，有最大值，这个最大值是_____． 【答案】(1)，0 (2)1， 【分析】（1）仅当时，有最小值； （2）,要使得有最大值，则只需满足即可. 【详解】（1）解：根据题意得：， 仅当时， 即,. 当时，有最小值，这个最小值为0. （2）解：， ， 仅当时，即， ， 当时，有最大值，这个最大值为2025. 若x为有理数，则式子的最小值为_____．变1 【答案】2024 【分析】此题主要考查了非负数的性质．直接利用绝对值的性质得出的最小值为0．进而得出答案． 【详解】解：∵， ∴时，取最小值，最小值为2024． 故答案为：2024． 如果为有理数，式子存在最大值，这个最大值是（   ）变2 A．2025 B．4050 C．20 D．0 【答案】A 【分析】本题考查了绝对值的非负性，掌握绝对值的非负性是解题的关键．本题考查绝对值的非负性，可知，得出式子存在最大值，即可选出正确答案． 【详解】解：因为绝对值具有非负性， 所以， 有最大值， 所以当时，式子有最大值，最大值为2025． 故选A． 题型七 绝对值的几何意义 阅读材料例1 点A、B在数轴上分别表示有理数、，A、B两点之间的距离表示为AB，在数轴上A、B两点之间的距离AB．也就是说，表示与之差的绝对值，实际上也可理解为与两数在数轴上所对的两点之间的距离． 比如可以写成，它的几何意义是数轴上表示数的点与表示数的点之间的距离． 再举个例子：等式的几何意义可表示为：在数轴上表示数的点与表示数的点的距离等于，这样的数可以是或． 解决问题： （1） ． （2）若，则 ；若，则 ． （3）表示数轴上有理数所对的点到和所对的两点距离之和．请你利用数轴，找出所有符合条件的整数，使得． 【答案】(1) (2)或；； (3)、、、、 【分析】本题考查了数轴，绝对值的性质，读懂题目信息，理解数轴上两点间的距离的表示是解题的关键． （1）根据数轴上表示的点与表示的点之间的距离为，即可得到结论； （2）根据数轴上与表示的点相距个单位的点表示的数为或，数轴上与表示的点和表示的点距离相等的点所表示的数为，即可得到结论； （3）根据表示数轴上有理数所对的点到和所对的两点距离之和，即可得到使得成立的所有符合条件的整数为，，，，； 【详解】（1）解：数轴上表示的点与表示的点之间的距离为， ． 故答案为：； （2）∵， ∴， 解得：或； ， ， 解得：； 故答案为：或；；． （3）∵表示数轴上有理数所对应的点到和所对应的点的距离之和，， 这样的整数有、、、、 观察下列几组数在数轴上体现的距离，并回答问题：例2 （1）探究： 你能发现：3与5在数轴上的对应点间的距离可以表示为：；4与在数轴上的对应点间的距离可以表示为：；根据以上规律填空． ①数轴上表示6和3的两点之间的距离是 ； ②数轴上表示和的两点之间的距离是 ； ③数轴上表示和2的两点之间的距离是 ． （2）归纳： 一般的，数轴上表示数a和数b的两点之间的距离等于． （3）应用： ①如果数m和4两点之间的距离是6，则可记为：，求m的值． ②若数轴上表示数m的点位于与4之间，求的值． ③当m取何值时，的值最小，最小值是多少？请说明理由． 【答案】（1）①；②；③；（3）①；②；③当时，的值最小，最小值为． 【分析】本题考查了绝对值，数轴上两点间的距离，掌握相关知识是解题的关键． （1）①根据两点间的距离公式即可求解； ②根据两点间的距离公式即可求解； ③根据两点间的距离公式即可求解； （3）①根据两点间的距离公式和绝对值的意义即可求解； ②根据两点间的距离公式和绝对值的意义即可求解； ③根据线段上的点到线段两端点的距离和最小即可求解． 【详解】解：（1）①数轴上表示6和3的两点之间的距离是， 故答案为：； ②数轴上表示和的两点之间的距离是， 故答案为：； ③数轴上表示和2的两点之间的距离是， 故答案为：； （3）①， 解得：； ②∵数轴上表示数m的点位于与4之间， ∴， ∴ ； ③，表示点到三点的距离和， ∴当时，点到三点的距离和最小，即的值最小， ∴， ∴当时，的值最小，最小值为． 我们知道，可以理解为， 它表示：数轴上表示数a的点到原点的距离，这是绝对值的几何意义，进一步地，数轴上的两个点A，B，分别用数a，b表示，那么A，B两点之间的距离为，反过来，式子的几何意义是：数轴上表示数a的点和表示数b的点之间的距离，利用此结论，回答以下问题：变1 （1）数轴上表示数的点和表示数3的点之间的距离是 ； （2）数轴上点A用数a表示，若，那么a的值为 ； （3）数轴上点A用数a表示，且满足的整数a有 个；有最小值，则最小值是： ． 【答案】(1)8 (2)5或 (3)6，2025 【分析】本题主要考查的是绝对值的定义的应用，数轴上两点之间的距离，理解并应用绝对值的定义及两点间的距离公式是解题的关键． （1）根据两点间的距离公式求解可得； （2）根据绝对值的定义可得； （3）由的意义是表示数轴上到表示和表示3的点的距离之和是5的点的坐标，据此可得；由表示数轴到表示3与表示的点距离之和，根据两点之间线段最短可得． 【详解】（1）解：数轴上表示数的点和表示数3的点之间的距离是； （2）解：若，那么的值为5或； （3）解：的意义是表示数轴上到表示和表示3的点的距离之和是5的点的坐标， ，其中整数有，，0，1，2，3，共6个； 表示数轴到表示3与表示的点距离之和， 由两点之间线段最短可知： 当时，有最小值，最小值为． 阅读材料：变2 数轴上点A，B分别表示有理数a，b，表示A，B两点之间的距离，则．如：4与两数在数轴上对应的两点之间的距离为；又如：可以写成，它的几何意义是数轴上表示数x的点与表示数的点之间的距离． 解决问题： （1）若，则 ，若，则 ． （2）表示数轴上有理数x对应的点到和3对应的两点距离之和．请你利用数轴，写出所有符合条件的整数x，使得： ①； ②． 猜想： （3）对于任何有理数x，是否有最小值？如果有，写出最小值；如果没有，说明理由． 【答案】（1）或；；（2）①；②；（3） 【分析】本题主要考查了数轴上两点的距离以及绝对值的几何意义，熟练掌握数轴上两点的距离公式和绝对值的几何意义，运用数形结合的思想分析问题是解题的关键． （1）根据绝对值的意义即可求解； （2）①由绝对值的定义求解即可；②由绝对值的定义求解即可； （3）根据题意，表示到这三点的距离和最小值，则当时，取得最小值，即可求解． 【详解】解：（1）∵， ∴或， ∴或； ∵， 则表示到和的距离相等， ∴； （2）①表示数轴上有理数x对应的点到和3对应的两点距离之和为5， 如图， ∵， ∴的整数符合题意， ∴使得成立的所有符合条件的整数x为：； ②表示数轴上有理数x对应的点到和3对应的两点距离之和为7， 如图， ∵， ∴表示x的数在的左侧或在的右侧一个单位时成立， ∴或的整数符合题意， ∴使得成立的所有符合条件的整数x为：； （3）∵表示数的点到表示的点的距离之和， 当时，代数式的最小值为：． 课后强化 1.的值是（    ） A． B． C． D．2 【答案】B 【分析】本题考查了绝对值的性质．解题的关键是掌握一个正数的绝对值是它本身；一个负数的绝对值是它的相反数；0的绝对值是 根据绝对值的性质直接求解． 【详解】解：根据负数的绝对值是它的相反数，得 故选：B． 2.下列各式不成立的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了绝对值的定义，注意“正数的绝对值等于它本身，负数的绝对值等于它的相反数，0的绝对值等于0”．先化简各数，然后再逐一判断即可． 【详解】解：A、，故本选项不符合题意； B、∵，， ∴，故本选项不符合题意； C、，故本选项不符合题意； D、∵，， ∴，故本选项符合题意； 故选：D． 3.若是有理数，则下列说法正确的是（   ） A．一定是负数 B．一定是正数 C．一定是负数 D．一定是正数 【答案】D 【分析】本题考查有理数的相关概念，绝对值的性质，关键是要牢记正负数的定义和绝对值的性质．根据正负数的概念及绝对值的性质即可得出答案． 【详解】解：A．若是有理数，当时，，0既不是正数，也不是负数，故本选项不合题意； B．若是有理数，则，故本选项不合题意； C．若是有理数，则，故本选项不合题意； D．因为，所以，即一定是正数，故本选项符合题意． 故选：D． 4.已知数满足，则不可能为（   ） A． B．0 C．1 D．2 【答案】D 【分析】本题考查了绝对值的意义，根据非负数的绝对值等于其本身，负数的绝对值等于其相反数，即可解答，掌握绝对值的意义是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴， 由选项可知A，B，C符合，D不符合， 故选：D． 5.如图，化简代数式|b-a|-|a-1|+|b+2|的结果是_______. 【答案】3． 【分析】根据有理数a、b在数轴上的位置，可以得出b-a，a-1、b+2的符号，进而化简即可． 【解答】解：由有理数a、b、c在数轴上的位置，可得，-1＜b＜0，1＜a＜2， 所以有b-a＜0，a-1＞0，b+2＞0， 因此|b-a|-|a-1|+|b+2|=a-b-（a-1）+（b+2）=a-b-a+1+b+2=3， 故答案为：3． 6.有理数，，在数轴上的位置如图所示，则的值为（   ） A． B． C．0 D． 【答案】B． 7.若，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了非负数的性质，根据非负数的性质列出方程求出未知数的值，再代入所求代数式计算即可，掌握几个非负数的和为0，则这几个非负数分别等于0，并正确得出未知数的值是解题的关键． 【详解】解：， ，， ，， ． 故答案为：． 8.已知，则的相反数为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查非负性，相反数的定义，根据非负数的性质，可求出的值，相加后取相反数即可，理解非负性，相反数的定义是解题的关键． 【详解】解：根据题意得：， 解得：， ∴， ∴的相反数为， 故答案为：． 9.当 时，会取得最小值，且最小值是 ． 【答案】 2025 1 【分析】本题主要考查绝对值函数的最小值问题，需要理解绝对值函数的基本性质及其最小值出现的条件．解题核心思路：绝对值表达式的最小值为0，当且仅当时取得．因此，对于形如的表达式，当求得最小值0时，整个表达式的最小值即为，对应的值为． 【详解】∵， ∴取最小值0时，会取得最小值， 此时． 故答案为：2025；1． 10.如果x为有理数，式子存在最大值，这个最大值是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查的是绝对值的非负性的含义，理解是解本题的关键． 根据的最小值是即可求解． 【详解】解： x为有理数，式子存在最大值， 当时，式子最大值为， 故选：A． 11.我们知道数形结合是解决数学问题的重要思想方法，例如|3-1|可表示为数轴上3和1这两点的距离，而即则表示3和-1这两点的距离．式子的几何意义是数轴上x所对应的点与1所对应的点之间的距离，而，所以的几何意义就是数轴上x所对应的点与-2所对应的点之间的距离．根据以上发现，试探索： （1）直接写出______； （2）结合数轴，找出所有符合条件的整数x，的所有整数的和； （3）由以上探索猜想，对于任何有理数x，是否有最小值？如果有，请写出最小值并说明理由；如果没有，请说明理由． 【答案】(1)10 (2)-3，-2，-1，0，1，2，和为-3 (3)有，10 【解析】 【分析】 （1）根据有理数减法法则计算； （2）分析得到表示x与2的距离，表示x与-3的距离，由，确定，进而解答； （3）设-4表示点A，6表示点B，x表示点P，则，分三种情况：当P在点A左侧时，当P在点B右侧时，当P在A、B之间时，分别求出最小值解答． (1) 10， 故答案为10； (2) 表示x与2的距离，表示x与-3的距离， ∵， ∴， ∴整数x=-3，-2，-1，0，1，2， 和为-3-2-1+0+1+2=-3； (3) 有最小值10，理由如下： 设-4表示点A，6表示点B，x表示点P，则， 当P在点A左侧时，， 当P在点B右侧时，， 当P在A、B之间时，， ∴的最小值为10． 第 1 页 共 21 页 学科网（北京）股份有限公司 $$ ❊1.2.4 绝对值 思维导图 题型精析 一．绝对值的定义 内容 绝对值的定义 一般地，数轴上表示数a的点与 的距离叫做数a的绝对值，记作 . 绝对值的几何意义 的几何意义是到原点的距离；的几何意义是a到b的距离. 【示例】的几何意义表示到原点的距离；的几何意义表示x到5的距离；的几何意义表示x到的距离. 题型一 绝对值的定义 下列说法：例1 ①互为相反数的两个数绝对值相等；②绝对值等于本身的数只有正数；③不相等的两个数绝对值不相等；④绝对值相等的两数一定相等；⑤只有负数的绝对值是它的相反数；⑥任何一个有理数的绝对值都不是负数． 其中正确的有（ ） A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 下列说法中，正确的有（ ）变1 ①负数没有绝对值；②绝对值最小的有理数是0；③ 任何数的绝对值都是非负数；④互为相反数的两个数的绝对值相等. A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 （1）数轴上表示2和5的两点之间的距离是_____，_____；例2 （2）数轴上表示和的两点之间的距离是_____，_____. （1）数轴上表示1和的两点之间的距离是_____，_____；变2 （2）根据以上规律，数轴上表示a和b的两点之间的距离=_____． 二．绝对值的性质 内容 绝对值的性质 正数的绝对值是 ，负数的绝对值是 ，0的绝对值是 . 去绝对值 【注意】去绝对值的关键在于判断绝对值内的正负性. 题型二 求一个数的绝对值 化简下列各数：例1 ，，，，，． 化简：变1 （1）；（2）． 的相反数是（ ）例2 A．2024 B． C． D． 的相反数是（    ）变2 A．-2025 B． C． D．2025 题型三 绝对值的性质 如果，则a一定是（ ）例1 A．非正数 B．负数 C．非负数 D．正数 若，则说明________.例2 若|a|=-a，则a的值不可以是（ ）变1 A．2 B．-5 C．0 D．-0.5 若，则说明_____________.变2 题型四 化简绝对值 【方法点睛】1.绝对值的化简主要是看绝对值内的正负性，若为正则直接去绝对值，若为负则加上负号. 2.在数轴上，右-左>0，左-右<0. 去绝对值：_______；_______；_______.（参考数据，）例1 去绝对值：_______；_______；_______.（参考数据，）变1 有理数a、b、c在数轴上位置如图，则的值为（ ）例2 A．2a B．2a+2b-2c C．0 D．-2c 表示a，b，c三个数的点在数轴上的位置如图所示，则代数式的值等于（ ）例3 A．2a-2b-2c B．-2a C．2a-2b D．-2b 有理数a、b、c在数轴上对应点的位置如图所示，化简的结果是 ．变2 有理数a，b，c在数轴上的位置如图所示：变3 化简：|a+b|-|b-1|-|a-c|-|1-c|=_______. 三．绝对值的非负性 内容 绝对值的非负性 非负数+非负数=0，那么它们分别都等于0. 绝对值的非负性 的应用 1.由于，所以_____，有最_____值，此时_____； 2.由于，所以_____0，有最_____值，此时_____； 3.同理，有最_____值，此时_____；有最_____值，此时_____. 题型五 绝对值的非负性 若，则 ， ．例1 已知与互为相反数，则_____.例2 已知，求的值．变1 ，则a和b各为（    ）变2 A．， B．1，3 C．1， D．，3 题型六 绝对值的非负性的应用 根据是非负数，且非负数中最小的数是0，解答下列问题：例1 （1）当_____时，有最小值，这个最小值是_____． （2）当_____时，有最大值，这个最大值是_____． 若x为有理数，则式子的最小值为_____．变1 如果为有理数，式子存在最大值，这个最大值是（   ）变2 A．2025 B．4050 C．20 D．0 题型七 绝对值的几何意义 阅读材料例1 点A、B在数轴上分别表示有理数、，A、B两点之间的距离表示为AB，在数轴上A、B两点之间的距离AB．也就是说，表示与之差的绝对值，实际上也可理解为与两数在数轴上所对的两点之间的距离． 比如可以写成，它的几何意义是数轴上表示数的点与表示数的点之间的距离． 再举个例子：等式的几何意义可表示为：在数轴上表示数的点与表示数的点的距离等于，这样的数可以是或． 解决问题： （1） ． （2）若，则 ；若，则 ． （3）表示数轴上有理数所对的点到和所对的两点距离之和．请你利用数轴，找出所有符合条件的整数，使得． 观察下列几组数在数轴上体现的距离，并回答问题：例2 （1）探究： 你能发现：3与5在数轴上的对应点间的距离可以表示为：；4与在数轴上的对应点间的距离可以表示为：；根据以上规律填空． ①数轴上表示6和3的两点之间的距离是 ； ②数轴上表示和的两点之间的距离是 ； ③数轴上表示和2的两点之间的距离是 ． （2）归纳： 一般的，数轴上表示数a和数b的两点之间的距离等于． （3）应用： ①如果数m和4两点之间的距离是6，则可记为：，求m的值． ②若数轴上表示数m的点位于与4之间，求的值． ③当m取何值时，的值最小，最小值是多少？请说明理由． 我们知道，可以理解为， 它表示：数轴上表示数a的点到原点的距离，这是绝对值的几何意义，进一步地，数轴上的两个点A，B，分别用数a，b表示，那么A，B两点之间的距离为，反过来，式子的几何意义是：数轴上表示数a的点和表示数b的点之间的距离，利用此结论，回答以下问题：变1 （1）数轴上表示数的点和表示数3的点之间的距离是 ； （2）数轴上点A用数a表示，若，那么a的值为 ； （3）数轴上点A用数a表示，且满足的整数a有 个；有最小值，则最小值是： ． 阅读材料：变2 数轴上点A，B分别表示有理数a，b，表示A，B两点之间的距离，则．如：4与两数在数轴上对应的两点之间的距离为；又如：可以写成，它的几何意义是数轴上表示数x的点与表示数的点之间的距离． 解决问题： （1）若，则 ，若，则 ． （2）表示数轴上有理数x对应的点到和3对应的两点距离之和．请你利用数轴，写出所有符合条件的整数x，使得： ①； ②． 猜想： （3）对于任何有理数x，是否有最小值？如果有，写出最小值；如果没有，说明理由． 课后强化 1.的值是（    ） A． B． C． D．2 2.下列各式不成立的是（   ） A． B． C． D． 3.若是有理数，则下列说法正确的是（   ） A．一定是负数 B．一定是正数 C．一定是负数 D．一定是正数 4.已知数满足，则不可能为（   ） A． B．0 C．1 D．2 5.如图，化简代数式|b-a|-|a-1|+|b+2|的结果是_______. 6.有理数，，在数轴上的位置如图所示，则的值为（   ） A． B． C．0 D． 7.若，则 ． 8.已知，则的相反数为 ． 9.当 时，会取得最小值，且最小值是 ． 10.如果x为有理数，式子存在最大值，这个最大值是（   ） A． B． C． D． 11.我们知道数形结合是解决数学问题的重要思想方法，例如|3-1|可表示为数轴上3和1这两点的距离，而即则表示3和-1这两点的距离．式子的几何意义是数轴上x所对应的点与1所对应的点之间的距离，而，所以的几何意义就是数轴上x所对应的点与-2所对应的点之间的距离．根据以上发现，试探索： （1）直接写出______； （2）结合数轴，找出所有符合条件的整数x，的所有整数的和； （3）由以上探索猜想，对于任何有理数x，是否有最小值？如果有，请写出最小值并说明理由；如果没有，请说明理由． 第 1 页 共 21 页 学科网（北京）股份有限公司 $$