内容正文:
2025 届暑期摸底考试高三数学试卷
一、单选题:本题共 8 小题,每小题 5 分,共 40 分。在每小题给出的选项中,只有一项是符合题目要求的。
1.已知集合� = �∣� = 3� , � = {�∣� = 1 − �},则�∩ � =( )
A. {�∣0 < � < 1} B. {�|0 < � ≤ 1} C. {�|� ≤ 1} D. {�∣� > 0}
2.已知�:“函数� = �2 + 2�� + 1 在(1, + ∞)上是增函数”,�:“� >− 2”,则�是�的( )
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件
3.已知函数�(�)的图象如图所示,则�(�)的解析式可以是( )
A. �(�) = 1�2 − 1 B. �(�) =
ln|�|
� C. �(�) = � −
1
� D. �(�) =
��
�
4.已知函数� � 是偶函数,当� > 0 时,� � = �3 + 2�,则曲线� = � � 在� =− 1 处的切线方程为( )
A. � =− 5� − 2 B. � =− 5� − 8 C. � = 5� + 2 D. � = 5� + 8
5.若3� − 3� > 5−� − 5−�,则( )
A. 1� >
1
� B. �
2 > �2 C. ln � − � > 0 D. e�−� > 1
6.已知�(�) = ��,若� > 0,� > 0,且�(�) ⋅ �(2�) = �4,则1�+
2
�的最小值为( )
A. 2 B. 3 C. 94 D. 5
7.已知函数�(�)的定义域为�,若�(2� + 1)为偶函数,且�(�) + �(4 − �) = 2,�(1) = 2,则 �=1
22 � (�) =( )
A. 23 B. 22 C. 19 D. 18
8.若函数� � = e
� + �, � < 1
ln�, � ≥ 1 的图象上存在两点关于直线� =− 1 对称,则实数�的取值范围为( )
A. [ − �−3, �3] B. [ − �−3, + ∞) C. −ln3, + ∞ D. − e3, + ∞
二、多选题:本题共 3 小题,共 16 分。在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求。
9.设� = � �2 − 7� + 12 = 0 , � = � �� − 2 = 0 ,若� ∩ � = �,则实数�的值可以为( )
A. 12 B. 0 C.
1
3 D.
2
3
10.下列命题为真命题的是( )
A.若� > �,且1� >
1
�,则�� < 0 B.若� < � < 0,则�
2 < �� < �2
C.若� > � > � > 0,则 ��−� <
�
�−� D.若� > � > � > 0,则
�
� >
�+�
�+�
11.已知定义域为�的函数�(�)满足�( − �) = �(�) + 2�,�(0) = 2,且� = �(� + 1) − 1 为奇函数,则( )
A. �( − 1) =− 3 B.函数� = �(�) + �的一个周期为 4
C. �(2024) =− 2022 D. �=1
19 � (�) =− 150
三、填空题:本题共 3 小题,每小题 5 分,共 15 分。
12.若� � = ln 1 + 2�+� 为奇函数,则� = .
13.已知函数�(�) =
− �2 − 2�� − 5(� ≤ 1)
�
� (� > 1)
在( − ∞, + ∞)上是增函数,则实数�的取值范围是______.
14.若实数�0满足� �0 =− � − �0 ,则称�0为函数� = � � 与� = � � 的“关联数”.若� � = �� � >
0, � ≠ 1 与� � =− �2在实数集�上有且只有 3 个“关联数”,则实数�的取值范围为 .
四、解答题:本题共 5 小题,共 60 分。解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤。
15.(本小题 12 分)
已知函数�(�) = �3 + ��2 + �� + 5,曲线� = �(�)在点�(1, �(1))处的切线方程为� = 3� + 1.
(1)求�,�的值;
(2)求� = �(�)在[ − 2,2]上的最大值和最小值.
16.(本小题 12 分)
已知命题�: ∀� ∈ �,�2 + 4� + � + 1 > 0 为真命题.
(1)求实数�的取值集合�;
(2)设� = � 2� < � < 2 + � 为非空集合,且� ∈ �是� ∈ �的必要不充分条件,求实数�的取值范围.
17.(本小题 12 分)
春运是中国在农历春节前后发生的一种大规模全国性交通运输高峰期、高交通运输压力现象.已知某火车站
候车厅,候车人数与时间�相关,时间�(单位:小时)满足 0 < � ≤ 24,� ∈ �.经测算,当 16 ≤ � ≤ 24 时,候
车人数为候车厅满厅状态,满厅人数 5160 人,当 0 < � < 16 时,候车人数会减少,减少人数与�(16 − �)
成正比,且时间为 6 点时,候车人数为 3960 人,记候车厅候车人数为�(�).
(1)求�(�)的表达式,并求当天中午 12 点时,候车厅候车人数;
18.(本小题 12 分)
设区间�是函数� = �(�)定义域内的一个子集,若存在�0 ∈ �,使得�(�0) = �0成立,则称�0是�(�)的一个“
动点”,也称�(�)在区间�上存在不动点,例如�(�) = 2� − 1 的“不动点”满足�(�0) = 2�0 − 1 = �0,即
�(�)的“不动点”是�0 = 1.设函数�(�) = log2(4� + �·2�−1 − 6),� ∈ [1,2].
(1)若� = 4,求函数�(�)的不动点;
(2)若函数�(�)在[1,2]上不存在不动点,求实数�的取值范围.
19.(本小题 12 分)
已知函数� � = �ln� + 12 �
2 − � + 1 � � > 0 .
(1)讨论函数� � 的单调性;
(2)设函数� � = 3 − � � − � � 有两个极值点�1, �2 �1 < �2 ,证明:� �1 + � �2 < 10 − ln�.
2025 届暑期摸底考试高三数学试卷
一、单选题:本题共 8 小题,每小题 5 分,共 40 分。在每小题给出的选项中,只有一项是符合题目要求的。
1.已知集合� = �∣� = 3� , � = {�∣� = 1 − �},则�∩ � =( )
A. {�∣0 < � < 1} B. {�|0 < � ≤ 1} C. {�|� ≤ 1} D. {�∣� > 0}
2.已知�:“函数� = �2 + 2�� + 1 在(1, + ∞)上是增函数”,�:“� >− 2”,则�是�的( )
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件
3.已知函数�(�)的图象如图所示,则�(�)的解析式可以是( )
A. �(�) = 1�2 − 1 B. �(�) =
ln|�|
� C. �(�) = � −
1
� D. �(�) =
��
�
4.已知函数� � 是偶函数,当� > 0 时,� � = �3 + 2�,则曲线� = � � 在� =− 1 处的切线方程为( )
A. � =− 5� − 2 B. � =− 5� − 8 C. � = 5� + 2 D. � = 5� + 8
5.若3� − 3� > 5−� − 5−�,则( )
A. 1� >
1
� B. �
2 > �2 C. ln � − � > 0 D. e�−� > 1
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对于�,当� = 2, � = 1 时,满足� > �,而1� =
1
2 <
1
� = 1,所以 A 错误,
对于�,当� = 1, � =− 2 时,满足� > �,而�2 = 1 < �2 = 4,所以 B 错误,
对于�,当� = 2, � = 1 时,满足� > �,而 ln � − � = ln1 = 0,所以 C 错误,
对于�,因为� > �,所以� − � > 0,因为� = e�在 R 上单调递增,所以e�−� > e0 = 1,所以 D 正确,
故选:�
6.已知�(�) = ��,若� > 0,� > 0,且�(�) ⋅ �(2�) = �4,则1�+
2
�的最小值为( )
A. 2 B. 3 C. 94 D. 5
【答案】C
【解析】解:∵ �(�) = ��,且�(�) ⋅ �(2�) = �4,
∴ �� ⋅ �2� = �4,
∴ � + 2� = 4,
又∵ � > 0,� > 0,
∴ 1� +
2
� =
1
4 (� + 2�)(
1
� +
2
� ) =
1
4 × (5 +
2�
� +
2�
� ) ≥
1
4 × (5 + 2
2�
� ⋅
2�
� ) =
9
4,当且仅当
2�
� =
2�
�,即� = � =
4
3
时,等号成立,
即
1
�+
2
�的最小值为
9
4.
故选:�.
由�(�) ⋅ �(2�) = �4可得� + 2� = 4,再利用基本不等式求解即可.
本题主要考查了利用基本不等式求最值,属于基础题.
7.已知函数�(�)的定义域为�,若�(2� + 1)为偶函数,且�(�) + �(4 − �) = 2,�(1) = 2,则 �=1
22 � (�) =( )
A. 23 B. 22 C. 19 D. 18
【答案】A
【解析】解:由�(�) + �(4 − �) = 2,令� = 2 得�(2) = 1.
令� = 1,得�(1) + �(3) = 2,
∵ �(1) = 2,∴ �(3) = 0.
因为�(2� + 1)为偶函数,
∴ �(2� + 1) = �( − 2� + 1),即�(1 + �) = �(1 − �),
∴曲线�(�)关于直线� = 1 对称.
又∵ �(�) + �(4 − �) = 2,
第 4页,共 14页
∴ �(�)图像关于点(2,1)中心对称,
�(�) = 2 − �(4 − �) = 2 − �[1 − (� − 3)] = 2 − �[1 + (� − 3)] = 2 − �(� − 2),
可得�(� + 2) = 2 − �(�),即�(�) = 2 − �(� + 2),
又�(� + 4) = �[2 + (� + 2)] = 2 − �(� + 2) = �(�),
∴ �(�)的周期� = 4.
∵ �(1) = 2 ∴ �(4) = �(0) = 2 − �(2) = 1,
∴ �(1) + �(2) + �(3) + �(4) = 4,
∴ �=1
22 � (�) = 5 × 4 + �(1) + �(2) = 23.
故选:�.
由已知条件推导出函数周期为 4,�(1) + �(2) + �(3) + �(4) = 4,可求 �=1
22 � (�).
本题主要考查了函数的奇偶性,对称性及周期性在函数求值中的应用,属于中档题.
8.若函数� � = e
� + �, � < 1
ln�, � ≥ 1 的图象上存在两点关于直线� =− 1 对称,则实数�的取值范围为( )
A. [ − �−3, �3] B. [ − �−3, + ∞) C. −ln3, + ∞ D. − e3, + ∞
【答案】B
【解析】【分析】先判断两点� �1, �1 , � �2, �2 分别在分段函数的两段解析式上,再由对称推得�1 ≤− 3, �2 ≥
1 且e�1 + � = ln�2,构造函数� � = ln� − e−2−� � ≥ 1 ,则� = � � ,利用导数求得� � 的单调性及最值,
从而求得�的取值范围.
解:因为� = e� + �,� = ln�在各自的定义域上单调递增,所以存在的关于直线� =− 1 对称的这两点不可
能都在同一个解析式上,
不妨设这两点为� �1, �1 , � �2, �2 ,且�在� = e� + �上,�在� = ln�上,
则�1 < 1, �2 ≥ 1,�1 = �2,�1 = e�1 + �,�2 = ln�2且
�1+�2
2 =− 1,
所以e�1 + � = ln�2,�1 =− 2 − �2,�2 =− 2 − �1,
由�1 < 1, �2 ≥ 1 得
−2 − �2 < 1
−2 − �1 ≥ 1
,即
�2 >− 3
�1⩽− 3
,故�1 ≤− 3, �2 ≥ 1,
又由e�1 + � = ln�2得� = ln�2 − e�1 = ln�2 − e−2−�2,
令� � = ln� − e−2−� � ≥ 1 ,则�′ � = 1� + e
−2−� > 0,
所以� � 在 1, + ∞ 上单调递增,故� � ≥ � 1 = ln1 − e−2−1 =− e−3,
因为� = � � ,所以� ≥ e−3,即� ∈ − e−3, + ∞ .
故选:�.
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二、多选题:本题共 3 小题,共 16 分。在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求。
9.设� = � �2 − 7� + 12 = 0 , � = � �� − 2 = 0 ,若� ∩ � = �,则实数�的值可以为( )
A. 12 B. 0 C.
1
3 D.
2
3
【答案】ABD
【解析】【分析】
本题考查含参数的交集运算问题,属于基础题.
解一元二次方程可以求出� = {3,4},根据� ∩ � = �即可得出� ⊆ �,从而可分� = ⌀和� ≠ ⌀两种情况讨
论,解之即可.
【解答】
解:由题意得� = {3,4},� = {�|�� = 2},
∵ � ∩ � = �,∴ � ⊆ �,
①� = ⌀时,� = 0,符合题意;
②� ≠ ⌀时,� = 2� ,
则
2
� = 3 或
2
� = 4,
∴ � = 23或
1
2 .
综上可得, � = 23或
1
2或 0.
故选:���.
10.下列命题为真命题的是( )
A.若� > �,且1� >
1
�,则�� < 0 B.若� < � < 0,则�
2 < �� < �2
C.若� > � > � > 0,则 ��−� <
�
�−� D.若� > � > � > 0,则
�
� >
�+�
�+�
【答案】AD
【解析】解:对于�,1�−
1
� =
�−�
�� > 0,又� − � < 0,故�� < 0,A 正确.
对于�,若� < � < 0,则�2 > �2,故 B 错误.
对于�, ��−� −
�
�−� =
��−��−��+��
(�−�)(�−�) =
(�−�)�
(�−�)(�−�),
由� > � > � > 0 可得� − � > 0,� − � > 0,� − � > 0,
∴ (�−�)�(�−�)(�−�) > 0,∴
�
�−� >
�
�−�,C 错误.
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对于�,∵ � > � > � > 0,∴ � − � > 0,� + � > 0
则
�
� −
�+�
�+� =
��+��−��−��
�(�+�) =
(�−�)�
�(�+�) > 0,
∴ �� >
�+�
�+�,D 正确.
故选:��.
由已知结合不等式的性质检验各选项即可判断.
本题主要考查了不等式的性质在不等式大小比较中的应用,属于基础题.
11.已知定义域为�的函数�(�)满足�( − �) = �(�) + 2�,�(0) = 2,且� = �(� + 1) − 1 为奇函数,则( )
A. �( − 1) =− 3 B.函数� = �(�) + �的一个周期为 4
C. �(2024) =− 2022 D. �=1
19 � (�) =− 150
【答案】BC
【解析】【分析】
本题主要考查抽象函数及其应用,属于中档题.
由函数的奇偶性、函数的周期性可得答案.
【解答】
解:因为函数� = �(� + 1) − 1 为奇函数,所以�(1) − 1 = 0,即�(1) = 1.
在�( − �) = �(�) + 2�中,令� = 1,得�( − 1) = �(1) + 2 = 3,故 A 错误;
令�(�) = �(�) + �,因为�( − �) = �(�) + 2�,所以�( − �) − � = �(�) + �,
所以�( − �) = �(�) ①,即�(�)为偶函数.
又� = �(� + 1) − 1 为奇函数,所以�(� + 1) − 1 + �( − � + 1) − 1 = 0,
即�(� + 1) + �( − � + 1) = 2,所以�( − �) + �(� + 2) = 2,
所以�( − �) − � + �(� + 2) + � + 2 = 4,
所以�( − �) + �(� + 2) = 4 ②.
由 ① ②得�(�) + �(� + 2) = 4,所以�(� + 2) + �(� + 4) = 4,
所以�(� + 4) = �(�),所以�(�)是周期为 4 的函数,
所以�(2024) + 2024 = �(2024) = �(0) = �(0) = 2,
所以�(2024) =− 2022,故 B,C 正确;
由�( − �) = �(�) + 2�与�( − �) + �(� + 2) = 2,
得�(�) + 2� + �(� + 2) = 2,所以�(�) + �(� + 2) = 2(1 − �),
所以�(0) + �(2) = 2 × 1,
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�(1) + �(3) = 2 × 0,�(4) + �(6) = 2 × ( − 3),
�(5) + �(7) = 2 × ( − 4),�(8) + �(10) = 2 × ( − 7),
�(9) + �(11) = 2 × ( − 8),�(12) + �(14) = 2 × ( − 11),
�(13) + �(15) = 2 × ( − 12),�(16) + �(18) = 2 × ( − 15),
�(17) + �(19) = 2 × ( − 16),
所以 �=1
19 � (�) =− �(0) + �=0
19 � (�)
=− 2 + 2 × (1 + 0 − 3 − 4 − 7 − 8 − 11 − 12 − 15 − 16)
=− 152,故 D 错误.
故选 BC.
三、填空题:本题共 3 小题,每小题 5 分,共 15 分。
12.若� � = ln 1 + 2�+� 为奇函数,则� = .
【答案】−1
【解析】【分析】
本题考查函数的奇偶性与定义域,属于基础题.
由奇函数定义域关于原点对称求得�即可.
【解答】
解:令 1 + 2�+� > 0,
得� >− �或� <− � − 2,
故� � 定义域为{�|� >− �或� <− � − 2},
由� � 为奇函数,则定义域关于原点对称,
有−� − � − 2 = 0,所以� =− 1,
经检验,� =− 1 满足题意.
故答案为:−1.
13.已知函数�(�) =
− �2 − 2�� − 5(� ≤ 1)
�
� (� > 1)
在( − ∞, + ∞)上是增函数,则实数�的取值范围是______.
【答案】[ − 2, − 1]
【解析】解:依题意函数�(�) =− �2 − 2�� − 5 在( − ∞,1]上单调递增,此二次函数开口向下,
所以对称轴� =− � ≥ 1,解得� ≤− 1;
函数�(�) = ��在(1, + ∞)上单调递增,所以� < 0;
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把� = 1 分别代入两段函数,则−1 − 2� − 5 ≤ �,解得� ≥− 2.
综上,实数�的取值范围是[ − 2, − 1].
故答案为:[ − 2, − 1].
根据函数的单调性,得出每一段函数单调递增,且在� = 1 处,左侧函数值小于等于右侧函数值.
本题主要考查函数的单调性,考查运算求解能力,属于基础题.
14.若实数�0满足� �0 =− � − �0 ,则称�0为函数� = � � 与� = � � 的“关联数”.若� � = �� � >
0, � ≠ 1 与� � =− �2在实数集�上有且只有 3 个“关联数”,则实数�的取值范围为 .
【答案】1 < � < �
2
�或�−
2
� < � < 1
【解析】【分析】
本题考查导数的新定义问题,利用导数判断函数单调性和极值、研究方程根等,属于拔高题.
由题意可得�� = �2仅有 3 个解,即 ln� = ln�
2
� 仅有 3 个解,由此构造函数ℎ(�) =
ln�2
� , (� ≠ 0),利用导数判
断其单调性,结合函数奇偶性,可作出函数图象,进而将方程的解转化为函数图象的交点问题,数形结合,
列出不等式,即可求得答案.
【解答】
解:由题意可知� � = �� � > 0, � ≠ 1 与� � =− �2
在实数集�上有且只有 3 个“关联数”,
即� � =− � −� 仅有 3 个解,即�� = �2仅有 3 个解,
� = 0 显然不是该方程的解,则 ln�� = ln�2,即 ln� = ln�
2
� 仅有 3 个解,
设ℎ(�) = ln�
2
� , (� ≠ 0),定义域关于原点对称,
且满足ℎ( − �) = ln�
2
−� =− ℎ(�),即ℎ(�)为奇函数,
考虑� > 0 时的情况,ℎ(�) = 2ln�� ,ℎ′(�) =
2(1−ln�)
�2 ,
当 0 < � < �时,ℎ′(�) > 0,即ℎ(�)在(0, �)上单调递增,
当� > �时,ℎ′(�) < 0,即ℎ(�)在(�, + ∞)上单调递减,
则函数极大值为ℎ(�) = 2�,且当 0 < � < 1 时,ℎ(�) < 0;当� > 1 时,ℎ(�) > 0;
结合函数ℎ(�)为奇函数,即可作出函数ℎ(�)的图象如图示:
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由于 ln� = ln�
2
� 仅有 3 个解,
故� = ln�与函数ℎ(�) = ln�
2
� 的图象仅有 3 个交点,
结合图象可得 0 < ln� < 2�或−
2
� < ln� < 0,
即 1 < � < �
2
�或�−
2
� < � < 1,
故答案为:1 < � < �
2
�或�−
2
� < � < 1
四、解答题:本题共 5 小题,共 60 分。解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤。
15.(本小题 12 分)
已知函数�(�) = �3 + ��2 + �� + 5,曲线� = �(�)在点�(1, �(1))处的切线方程为� = 3� + 1.
(1)求�,�的值;
(2)求� = �(�)在[ − 2,2]上的最大值和最小值.
【答案】解:(1)依题意可知点�(1, �(1))为切点,
代入切线方程� = 3� + 1 可得,
�(1) = 3 × 1 + 1 = 4,
∴ �(1) = 1 + � + � + 5 = 4,即� + � =− 2,
又�(�) = �3 + ��2 + �� + 5,
∴ �′(�) = 3�2 + 2�� + �,
而由切线� = 3� + 1 的斜率可知�′(1) = 3,
∴ 3 + 2� + � = 3,即 2� + � = 0,
由
� + � =− 2
2� + � = 0,解得
� = 2
� =− 4,
∴ � = 2,� =− 4;
(2)由(1)知�(�) = �3 + 2�2 − 4� + 5,
�′(�) = 3�2 + 4� − 4 = (3� − 2)(� + 2),
令�′(�) > 0,解得� > 23或� <− 2,
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令�′(�) < 0,解得−2 < � < 23,
故�(�)在[ − 2, 23 )递减,在(
2
3 , 2]递增,
而�( − 2) = 13,�(2) = 13,�( 23 ) =
95
27,
故�(�)在[ − 2,2]上的最大值是 13,最小值是9527.
【解析】本题考查了切线方程问题,考查函数的单调性,最值问题,考查导数的应用,是中档题.
(1)根据切线方程以及切线的斜率得到关于�,�的方程组,求出�,�的值即可;
(2)求出函数的导数,解关于导函数的不等式,求出函数的单调区间,求出函数的最值即可.
16.(本小题 12 分)
已知命题�: ∀� ∈ �,�2 + 4� + � + 1 > 0 为真命题.
(1)求实数�的取值集合�;
(2)设� = � 2� < � < 2 + � 为非空集合,且� ∈ �是� ∈ �的必要不充分条件,求实数�的取值范围.
【答案】解:(1)依题意,关于 �的不等式 �2 + 4� + � + 1 > 0 恒成立,
于是得 � = 16 − 4 � + 1 < 0 ,解得 � > 3 ,所以实数 �的取值的集合 � = {�|� > 3}.
(2)因为 � ∈ �是 � ∈ �的必要不充分条件,所以 �为 �的真子集.
又 � = � 2� < � < 2 + � 为非空集合,所以 2� < 2 + �2� ≥ 3 ,得
3
2 ≤ � < 2 ,
所以实数 �的取值范围为 {� 32⩽� < 2}.
【解析】本题考查了集合关系中的参数取值问题,涉及了必要条件、充分条件与充要条件的判断,属于基
础题.
(1)由题意,� = 16 − 4 � + 1 < 0,进而得出实数�的取值集合�;
(2)由集合�为非空集合和� ∈ �是� ∈ �成立的必要不充分条件,列出不等式,可得出实数�的取值范围.
17.(本小题 12 分)
春运是中国在农历春节前后发生的一种大规模全国性交通运输高峰期、高交通运输压力现象.已知某火车站
候车厅,候车人数与时间�相关,时间�(单位:小时)满足 0 < � ≤ 24,� ∈ �.经测算,当 16 ≤ � ≤ 24 时,候
车人数为候车厅满厅状态,满厅人数 5160 人,当 0 < � < 16 时,候车人数会减少,减少人数与�(16 − �)
成正比,且时间为 6 点时,候车人数为 3960 人,记候车厅候车人数为�(�).
(1)求�(�)的表达式,并求当天中午 12 点时,候车厅候车人数;
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(2)若为了照顾群众的安全,每时需要提供的免费矿泉水瓶数为� = �(�)−3160� + 320,则一天中哪个时间需
要提供的矿泉水瓶数最少?
【答案】解:(1)当 0 < � < 16 时,设�(�) = 5160 − ��(16 − �),�(6) = 3960,则� = 20,
∴ � � = 5160 − 20� 16 − � , (0 < � < 16)5160, 16 ≤ � ≤ 24 � ∈ � .
�(12) = 5160 − 20 × 12 × 4 = 4200,
故当天中午 12 点时,候车厅候车人数为 4200 人.
(2)代入(1)中结论计算可得,
� =
20 � +
100
� , (0 < � < 16)
2000
� + 320, 16 ≤ � ≤ 24
� ∈ � ,
①当 0 < � < 16 时,� = 20 � + 100� ≥ 20 × 2 � ×
100
� = 400,当且仅当� = 10 时等号成立;
②当 16 ≤ � ≤ 24 时,� ≥ 200024 + 320 ≈ 403;
又 403 > 400,所以� = 10 时,需要提供的矿泉水瓶数最少.
【解析】本题考查利用分段函数模型解决实际问题,属于中档题.
(1)根据题意,设出函数解析式,代入 6,3960 ,可得解析式,代入� = 12,可得答案;
(2)根据题意,写出函数解析式,由基本不等式和反比例函数的单调性,比较大小,可得答案.
18.(本小题 12 分)
设区间�是函数� = �(�)定义域内的一个子集,若存在�0 ∈ �,使得�(�0) = �0成立,则称�0是�(�)的一个“不
动点”,也称�(�)在区间�上存在不动点,例如�(�) = 2� − 1 的“不动点”满足�(�0) = 2�0 − 1 = �0,即
�(�)的“不动点”是�0 = 1.设函数�(�) = log2(4� + �·2�−1 − 6),� ∈ [1,2].
(1)若� = 4,求函数�(�)的不动点;
(2)若函数�(�)在[1,2]上不存在不动点,求实数�的取值范围.
【答案】解:(1)根据题目给出的“不动点”的定义,可知:
当� = 4 时,�(�) = log2(4� + 4·2�−1 − 6) = �,
得4� + 2�+1 − 6 = 2�,
所以2� = 2,所以� = 1,
所以函数�(�)的不动点为 1;
(2)根据已知,得log2(4� + � ⋅ 2�−1 − 6) = �在区间[1,2]上无解,
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所以4� + � ⋅ 2�−1 − 6 = 2�在[1,2]上无解,
令2� = �,� ∈ [2,4],
所以�2 + �2 � − 6 = �,
即�2 + ( �2 − 1)� − 6 = 0 在区间[2,4]上无解,
所以 1 − �2 = � −
6
�在区间[2,4]上无解,
设�(�) = � − 6�,所以�(�)在区间[2,4]上单调递增,
故�(�) ∈ [ − 1, 52 ],
所以 1 − �2 >
5
2或 1 −
�
2 <− 1,
所以� <− 3 或� > 4,
又因为4� + � ⋅ 2�−1 − 6 > 0 在区间[1,2]上恒成立,
所以− �2 < 2
� − 62�在区间[1,2]上恒成立,
所以− �2 <− 1,则� > 2,
综上,实数�的取值范围是(4, + ∞).
【解析】本题考查“不动点”的定义,考查指数函数与对数函数的综合应用,属于中档题.
(1)利用“不动点”的定义即可求解;
(2)根据已知,得log2(4� + � ⋅ 2�−1 − 6) = �在区间[1,2]上无解,换元,构造函数,利用单调性即可求解.
19.(本小题 12 分)
已知函数� � = �ln� + 12 �
2 − � + 1 � � > 0 .
(1)讨论函数� � 的单调性;
(2)设函数� � = 3 − � � − � � 有两个极值点�1, �2 �1 < �2 ,证明:� �1 + � �2 < 10 − ln�.
【答案】解:(1)�(�)定义域为� ∈ (0, + ∞),且�′(�) = �� + � − (� + 1) =
�2−(�+1)�+�
� =
(�−1)(�−�)
� ,
令�′(�) = 0 得,� = 1 或� = �,
①当 0 < � < 1 时,� ∈ (0, �)与(1, + ∞),�′(�) > 0,�(�)单调递增,� ∈ (�, 1),�′(�) < 0,�(�)单调
递减,
②当� = 1 时,�′(�) ≥ 0,�(�)在(0, + ∞)单调递增,
③当� > 1 时,� ∈ (0,1)与(�, + ∞),�′(�) > 0,�(�)单调递增,� ∈ (1, �),�′(�) < 0,�(�)单调递减,
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综上,当 0 < � < 1 时,�(�)在区间(0, �),(1, + ∞)上单调递增,�(�)在区间(�, 1)上单调递减;
当� = 1 时,�(�)在区间(0, + ∞)上单调递增;
当� > 1 时,�(�)在区间(0,1),(�, + ∞)上单调递增,�(�)在区间(1, �)单调递减;
(2)证明:由已知,�(�) = 4� − ���� − 12�
2,则�′(�) = 4 − �� − � =
4�−�−�2
� =−
�2−4�+�
� ,
函数�(�)有两个极值点�1,�2(�1 < �2),即�2 − 4� + � = 0 在(0, + ∞)上有两个不等实根,
令ℎ(�) = �2 − 4� + �,只需
ℎ(0) = � > 0
ℎ(2) = � − 4 < 0,故 0 < � < 4,
又�1 + �2 = 4,�1�2 = �,
所以�(�1) + �(�2) = (4�1 − ����1 −
1
2�1
2) + (4�2 − ����2 −
1
2 �2
2)
= 4(�1 + �2) − �(���1 + ���2) −
1
2 (�1
2 + �22) = � − ���� + 8,
要证�(�1) + �(�2) < 10 − ���,即证� − ���� + 8 < 10 − ���,
只需证(1 − �)��� + � − 2 < 0,
令�(�) = (1 − �)��� + � − 2,� ∈ (0,4),
则�′(�) =− ��� + 1−�� + 1 =
1
� − ���,
令�(�) = �′(�),则�′(�) =− 1�2 −
1
� < 0 恒成立,
所以�′(�)在� ∈ (0,4)上单调递减,
又�′(1) = 1 > 0,�′(2) = 12− ��2 < 0,
由零点存在性定理得,∃�0 ∈ (1,2)使得�′(�0) = 0,即���0 =
1
�0
,
所以� ∈ (0, �0)时,�′(�) > 0,�(�)单调递增,� ∈ (�0, 4)时,�′(�) < 0,�(�)单调递减,
则�(�)��� = �(�0) = (1 − �0)���0 + �0 − 2 = (1 − �0)
1
�0
+ �0 − 2 = �0 +
1
�0
− 3,
∵由对勾函数知� = �0 +
1
�0
− 3 在�0 ∈ (1,2)上单调递增,
∴ �0 +
1
�0
− 3 < 2 + 12 − 3 =−
1
2 < 0,
∴ �(�) < 0,即�(�1) + �(�2) < 10 − ���,得证.
【解析】(1)先求出定义域,再求导,根据�′(�) = 0 确定� = 1 或� = �,再对�进行分类讨论,讨论求出
函数�(�)的单调性;
(2)对�(�)求导,结合�(�)的极值点个数得到�2 − 4� + � = 0 在(0, + ∞)上有两个不等实根,得到 0 < � < 4,
�1 + �2 = 4,�1�2 = �,表达出�(�1) + �(�2) = � − ���� + 8,只需证� − ���� + 8 < 10 − ���,构造�(�) =
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(1 − �)��� + � − 2,� ∈ (0,4),研究其单调性,求出�(�)��� = �0 +
1
�0
− 3,由对勾函数的单调性证明出结
论.
本题考查利用导数研究函数的单调性,极值及最值,考查不等式的恒成立问题,考查隐零点问题,考查逻
辑推理能力及运算求解能力,属于中档题.