专题17 对数10种常见考法归类讲义（55题）-【考点通关】2025-2026学年高一数学高频考点与解题策略(人教A版2019必修第一册)

【考点通关】2025-2026学年高一数学高频考点与解题策略(人教A版2019必修第一册) 专题17 对数10种常见考法归类（55题） 学科网（北京）股份有限公司1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 考点一 对数的定义理解 考点二 指数式与对数式的互化 考点三 解对数方程 考点四 利用对数求值 考点五 有附加条件的对数求值问题 考点六 对数的运算 考点七 换底公式的应用 考点八 用已知对数表示其他对数 考点九 对数运算性质的综合应用 考点十 对数的实际运用 知识点1：对数概念 1、对数的概念：一般地,如果(,且),那么数叫做以为底的对数,记作,其中叫做对数的底数,叫做真数. 特别的：规定,且的原因： ①当时，取某些值时，的值不存在，如：是不存在的. ②当时，当时，的值不存在，如：是不成立的；当时，则的取值时任意的，不是唯一的. ③当时，当，则的值不存在；当时，则的取值时任意的，不是唯一的. 2、常用对数与自然对数 ①常用对数：将以10为底的对数叫做常用对数,并把记为 ②自然对数：是一个重要的常数,是无理数,它的近似值为2.718 28.把以为底的对数称为自然对数,并把记作 说明：“”同+、-、×等符号一样,表示一种运算,即已知一个底数和它的幂求指数的运算,这种运算叫对数运算,不过对数运算的符号写在数的前面. 知识点2：指数式与对数式的相互转化 一般地，有对数与指数的关系： (1)若a>0，且a≠1，则ax＝N⇒logaN＝x. 注：不是任何一个指数式都可以化为对数式，只有底数大于零且不等于1时才可互化． 知识点3：对数的性质 ①负数和零没有对数. ②对于任意的且,都有，，； ③对数恒等式: （且） 知识点4：对数的运算性质 当且，, ① ② ③（） ④（） ⑤（） 知识点5：换底公式 （1）logab＝(a>0，且a≠1；c>0，且c≠1；b>0)． （2）对数换底公式的重要推论 ①logaN＝(N>0，且N≠1；a>0，且a≠1)． ②＝logab(a>0，且a≠1，b>0)． ③logab·logbc·logcd＝logad(a>0，b>0，c>0，d>0，且a≠1，b≠1，c≠1)． 注：换底公式中底数c是是大于0且不等于1的任意数． （3）可用换底公式证明以下结论： ①； ②； ③； ④； ⑤. 策略方法 1、指数式与对数式互化的思路 (1)指数式化为对数式：将指数式的幂作为真数，指数作为对数，底数不变，写出对数式． (2)对数式化为指数式：将对数式的真数作为幂，对数作为指数，底数不变，写出指数式． 2、对数式中求值的基本思想和方法 (1)基本思想 在一定条件下求对数的值，或求对数式中参数字母的值，要注意利用方程思想求解． (2)基本方法 ①将对数式化为指数式，构建方程转化为指数问题． ②利用幂的运算性质和指数的性质计算． 3、利用对数的性质求值的方法 (1)求解此类问题时，应根据对数的两个结论loga1＝0和logaa＝1(a>0且a≠1)，进行变形求解，若已知对数值求真数，则可将其化为指数式运算． (2)已知多重对数式的值，求变量值，应从外到内求，逐步脱去“log ”后再求解． 4、对数式化简与求值的基本原则和方法 (1)基本原则：对数的化简求值一般是正用或逆用公式，对真数进行处理，选哪种策略化简，取决于问题的实际情况，一般本着便于真数化简的原则进行． (2)两种常用的方法：①“收”，将同底的两对数的和(差)收成积(商)的对数； ②“拆”，将积(商)的对数拆成同底的两对数的和(差)． 5、对数混合运算的一般原则 （1）将真数和底数化成指数幂形式，使真数和底数最简，用公式化简合并； （2）利用换底公式将不同底的对数式转化为同底的对数式； （3）将同底对数的和、差、倍运算转化为同底对数真数的积、商、幂； （4）如果对数的真数可以写成几个因数或因式的相乘除的形式，一般改写成几个对数相加减的形式，然后进行化简合并； （5）对数真数中的小数一般要化成分数，分数一般写成对数相减的形式。 6、对数运算中的几个运算技巧 （1）的应用技巧：在对数运算中如果出现和，则一般利用提公因式、平方差公式、完全平方公式等使之出现，再应用公式进行化简； （2）的应用技巧：对数运算过程中如果出现两个对数相乘且两个对数的底数与真数位置颠倒，则可用公式化简； （3）指对互化的转化技巧：对于将指数恒等式作为已知条件，求函数的值的问题，通常设，则，，，将值带入函数求解。 7、利用换底公式进行化简求值的原则和技巧 8、利用对数式与指数式互化求值的方法 (1)在对数式、指数式的互化运算中，要注意灵活运用定义、性质和运算法则，尤其要注意条件和结论之间的关系，进行正确的相互转化． (2)对于连等式可令其等于k(k>0)，然后将指数式用对数式表示，再由换底公式可将指数的倒数化为同底的对数，从而使问题得解． 考点一 对数的定义理解 1．（2025高一·全国·课堂例题）为什么零与负数没有对数？ 【答案】答案见解析 【解析】因为（，且）（，且），而且时，恒大于0，即，故0和负数没有对数． 2．（2025高一·全国·课堂例题）在对数概念中，为什么规定，且呢？ 【答案】答案见解析 【解析】若，则N取某些值时，b的值可能不存在，如不存在； 若，则当N不为0时，b的值不存在，如不存在，当N为0时，b的值可以为任何正数，不是唯一的，即有无数个值； 若，N不为1时，b的值不存在，如不存在，N为1时，b的值可以为任何数，不是唯一的，即有无数个值． 因此，我们规定：，且． 3．（2025高一·全国·课后作业）有下列说法： ①以10为底的对数叫作常用对数； ②任何一个指数式都可以化成对数式； ③以e为底的对数叫作自然对数； ④零和负数没有对数. 其中正确的个数为（  　） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【分析】根据对数的相关概念和性质，一一判断每个选项，可得答案. 【解析】根据常用对数以及自然对数的概念可知①③正确，根据对数的性质可知④正确， 只有当且时，指数式才可以化成对数式，②错误， 故选：C 4．（25-26高一·全国·课前预习）使式子有意义的的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据对数的底大于零且不等于1，真数大于零列出不等式组，解不等式组即可. 【解析】由对数的概念得，解得或， 故的取值范围是. 故选：D. 5．【多选】（2025高一·湖北武汉·开学考试）下列选项中，使有意义的a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】BC 【分析】利用对数函数的定义列出关于a的不等式组，求解即可. 【解析】要使有意义，则，解得或， 所以a的取值范围是. 故选：BC. 6．（2025高一·全国·课后作业）若代数式有意义，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由对数的真数大于0列式即可求. 【解析】由题可得，解得或， 故实数的取值范围为． 故选：D 考点二 指数式与对数式的互化 7．（2025高一·全国·课前预习）将下列指数式与对数式互化： (1)； (2)； (3)； (4). 【答案】(1)； (2)； (3)； (4). 【分析】（1）（2）（3）（4）利用指数式和对数式的互化关系式求解即可. 【解析】（1）首先，我们给出指数式和对数式的互化关系式， 对于，可化为. （2）对于，可化为. （3）对于，可化为. （4）对于，可化为. 8．（2025高一·全国·课后作业）将下列指数式化为对数式： (1)； (2)； (3)． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】直接利用指数和对数的关系实现指对互化. 【解析】（1）由，得. （2）由，得. （3）由，得. 9．（2025高一·全国·课堂例题）将下列指数式与对数式进行转换： (1)； (2)； (3)； (4). 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】根据指数式与对数式的互化可依次将其转化. 【解析】（1）根据指数式与对数式的互化，可知可化为. （2）根据指数式与对数式的互化，可知可化为. （3）根据指数式和对数式的关系，可化为 （4）根据指数式和对数式的关系，可化为 10．（2025高一·全国·课堂例题）将下列指数式与对数式互化： (1)； (2)； (3)； (4)； (5)； (6)． 【答案】(1) (2) (3) (4) (5) (6) 【分析】运用指数对数互化规则“底不变，其他换”，可转化. 【解析】（1），运用指数对数互化规则“底不变，其他换”，可转化为. （2），运用指数对数互化规则“底不变，其他换”，可转化为. （3），运用指数对数互化规则“底不变，其他换”，可转化为. （4），运用指数对数互化规则“底不变，其他换”，可转化为. （5），运用指数对数互化规则“底不变，其他换”，可转化为. （6），运用指数对数互化规则“底不变，其他换”，可转化为. 11．（2025高一·上海·随堂练习）将下列指数式与对数式互化． (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】根据指数式和对数式的互换公式直接得出答案： 【解析】（1）； （2）； （3）； （4）. 考点三 解对数方程 12．（2025高一·上海·课堂例题）求下列各式中x的值： (1)； (2). 【答案】(1)16 (2)2 【分析】（1）将对数式化成指数式计算即得； （2）将对数式化成指数式后，结合的范围即可解得. 【解析】（1）由可得，； （2）由可得，，因且，故. 13．（2025高一·江苏·专题练习）已知，求x的值． 【答案】625 【分析】根据题意结合对数的定义运算求解. 【解析】因为，即， 则，可得，所以. 14．（2025高一·上海·课堂例题）求下列各式中的值： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1)； (2)； (3)； (4)1000. 【分析】根据指数式和对数式的互化解答（1）（2）；根据对数的性质解答（3）（4）. 【解析】（1）∵，∴，即，∴，解得． （2）∵，∴，∴． （3）∵，∴，∴． （4）∵，∴，∴． 15．（2025高一·全国·课后作业）求下列各式中的值． (1)； (2)； (3)． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）根据和以及指数与对数的互化求值即可； （2）根据和以及指数与对数的互化求值即可； （3）根据指数与对数的互化求值即可. 【解析】（1）因为，所以， 所以，解得； （2）因为，所以， 所以，解得； （3）因为，所以， 所以，解得. 考点四 利用对数求值 16．（2025高一·江苏南通·阶段练习）计算（    ） A．7 B．9 C．10 D．20 【答案】D 【分析】利用指数运算及对数的定义计算得解. 【解析】. 故选：D 17．（2025高二·浙江嘉兴·期中）已知函数，则（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】C 【分析】根据解析式，直接代入求的值. 【解析】根据函数解析式可知. 故选：C 18．（2025高一·江苏盐城·期末）如果函数满足，那么等于（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】令，求出，再代入计算可得. 【解析】因为，令，则， 所以. 故选：A 19．（2025高一·贵州黔西·期末）已知函数则（    ） A． B．4 C． D．e 【答案】B 【分析】根据分段函数解析式计算可得. 【解析】因为 所以，所以. 故选：B 20．（2025高三·安徽马鞍山·阶段练习）设函数，则（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】D 【分析】先求出的值，再求即可. 【解析】因为， 所以． 故选：D． 考点五 有附加条件的对数求值问题 21．（25-26高三·浙江·开学考试）已知，，则（   ） A．0 B．2 C．-1 D．1 【答案】B 【分析】根据指对数转化，再应用指数运算律计算求解. 【解析】因为，所以，又因为， 所以，所以， 则. 故选：B. 22．（25-26高一·全国·课前预习）若（，且），则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】化对数式为指数式，然后利用有理指数幂的运算性质化简求值. 【解析】由对数的概念知，故，即. 故选：A. 23．（2025·四川乐山模拟预测）已知，，则的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据指数式与对数式的互化以及指数幂的运算性质计算即可. 【解析】由可得，又因为， 所以， 故选：B. 24．（2025·山东临沂模拟预测）已知实数满足，则（    ） A．11 B．12 C．16 D．17 【答案】D 【分析】由指对互化公式即可求解. 【解析】因为，所以. 故选：D. 25．（2025高一·河南郑州·开学考试）已知，则（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先指数对数互化，再根据指数幂运算法则将进行变形，再结合已知条件进行计算. 【解析】根据指数幂运算法则，可得. 再根据指数幂运算法则，对进行变形可得，所以. 已知，根据对数与指数的关系，可得. 同理，因为，所以. 将和代入中计算结果 把，代入可得：. 故选：D. 考点六 对数运算性质的应用 26．（2025高一·新疆和田·期末）计算： (1). (2) 【答案】(1)121 (2)7 【分析】（1）根据指数式运算法则对式子进行化简求解即可. （2）根据对数的运算法则进行化简求解. 【解析】（1）. （2）. 27．（2025高一·天津·阶段练习）计算： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】（1）（2）根据指数幂，对数的运算性质进行计算. 【解析】（1） . （2） . 28．（2025高一·全国·课前预习）计算： (1)； (2). 【答案】(1)2； (2). 【分析】利用对数的运算法则结合对数的性质，计算求解. 【解析】（1）原式. （2）原式. 29．（2025高三·全国·专题练习）化简： (1)； (2)； (3)； 【答案】(1)125 (2) (3) 【分析】（1）（2）利用对数的运算性质可解即可. （3）利用指数幂的运算法则和对数的运算性质求解即可. 【解析】（1）； （2）原式； （3） . 30．（2025高一·广东湛江·开学考试）计算下列各题. (1)； (2). 【答案】(1) (2)6 【分析】（1）用指对数的运算性质化简求值； （2）利用指数的运算性质化简求值； 【解析】（1） . （2）. 考点七 换底公式的应用 31．（25-26高三·四川广元·阶段练习）若，，则（   ） A．3 B．6 C．9 D．10 【答案】C 【分析】由换底公式可得与互为倒数，则可以换元解一元二次方程得到，再代入第二个方程进一步求解即可. 【解析】设，由换底公式可得， 所以，解得或， 由于题干中a、b地位等价，不妨设 ， 则，代入可得， 由于a在对数的底数上，所以且， 由单调可得，解得， 则， 故选：C. 32．（25-26高三·四川广安·开学考试）已知，，，则（   ） A．5 B． C．6 D． 【答案】B 【分析】根据换底公式和对数运算公式即可求解. 【解析】由可得，由可得， 所以. 故选：B 33．（25-26高一·全国·课前预习）已知，若，则（   ） A． B．3 C．6 D．9 【答案】A 【分析】将指数式化为对数式，利用换底公式代入运算得解. 【解析】由题知，所以，， 故，解得． 故选：A. 34．（2025高一·江苏连云港·阶段练习）若实数、满足，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用指数式与对数式的互化可得出、，再利用换底公式以及对数的运算性质化简可得结果. 【解析】因为，则，， 所以. 故选：D. 35．（2025高二·山东青岛·期末）已知，若，则的最小值为（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】D 【分析】利用对数运算，结合因式分解，通过分析可得，然后再利用基本不等式可求得最小值. 【解析】由题意得：， 所以或，即或， 因为，所以， 即， 取等号条件为，此时， 故选: D 36．（2025高一·全国·课后作业）设a，b，c均为不等于1的正实数，则下列等式中恒成立的是（    ） A．logab·logcb＝logca B．logab·logca＝logcb C．loga(bc)＝logab·logac D．loga(b＋c)＝logab＋logac 【答案】B 【分析】根据换底公式可判断A、B的正误，根据对数的运算性质可判断C、D的正误． 【解析】由logab·logcb＝·≠logca，故A错； 由logab·logca＝·＝＝logcb，故B正确； 对选项C，D，由对数的运算法则，容易知，其显然不成立. 故选：B. 37．（2025高三·福建福州·期中）设a，b，c都是正数，且，那么下列关系正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】首先根据指对互化，利用对数表示，再结合对数运算判断选项. 【解析】由，得，，， ，，，则， 根据可知，. 故选：C 38．（2025高一·上海·课堂例题）设a、b是两个不等于1的正数，求证：. 【答案】证明见解析 【分析】利用换底公式转化、化简即得证. 【解析】因a、b是两个不等于1的正数，则， 即. 39．（2025高一·辽宁丹东·期末）已知. (1)求的值； (2)设，求证：. 【答案】(1) (2)证明见解析 【分析】（1）将两边取对数化简即可得解； （2）由(1)解得，代入计算即可得解. 【解析】解：（1）将两边同取对数得，，则，所以. （2）由，得，. 所以，， 则，故. 考点八 用已知对数表示其他对数 40．（2025高一·全国·课后作业）已知，，试用m，n表示． 【答案】 【分析】应用对数运算及已知化简表示即可. 【解析】∵，， ∴ ． 41．（2025高一·全国·课后作业）已知，，试用、表示的值． 【答案】 【分析】方法一：将对数化为指数，根据指数运算结合对数概念分析运算；方法二：将指数化为对数，结合对数运算求解. 【解析】方法一：由，得到．设，则． 因为，所以，即． 方法二：因为，则， 所以. 42．（2025高一·上海杨浦·期中）已知，，请用，表示下列各数的值： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据对数的运算法则计算可得； （2）利用换底公式及对数的运算性质计算可得. 【解析】（1）因为，， 所以. （2）. 43．（25-26高一·全国·单元测试）（1）已知，试用表示； （2）已知，求的值． 【答案】（1）；（2） 【分析】（1）由对数的运算性质结合换底公式计算即可； （2）先根据所给条件求得的值，再代入计算即可. 【解析】（1）； （2） 即， ，即． ，即， 或． 符合题意，舍去， ． 44．（2025高一·江苏·课后作业）（1）已知，试用表示； （2）已知，试用表示． 【答案】（1）；（2）． 【解析】（1）根据对数的运算性质，化简，即可求解. （2）由，求得，化简，即可求解. 【解析】（1）由，可得. （2）由，则，可得， 所以. 45．（25-26高一·全国·单元测试）求解下列问题： (1)在①，②中任选一个求值； (2)已知，，试用a，b表示． 【答案】(1)答案见解析 (2) 【分析】（1）根据对数的运算性质求解即可； （2）结合换底公式及对数的运算性质求解即可. 【解析】（1）选①，原式 ． 选②，原式 ． （2）因为， 所以． 46．（2025高一·江苏南通·期中）（1）计算：； （2）已知，求的值. （3）已知，，试用，表示. 【答案】（1）1；（2）4；（3） 【分析】（1）根据对数的运算性质及换底公式计算可得； （2）首先求出、，再由立方和公式计算可得； （3）依题意可得，，再根据对数的运算性质及换底公式计算可得. 【解析】（1） . （2）因为，则， 则， 所以； （3）因为，，所以，， 所以 . 47．（2025高一·上海·专题练习）（1）设，试用含有的代数式表示； （2）设，，试用、表示； （3）设，，试用、表示. 【答案】（1）；（2）；（3）. 【分析】根据对数的运算法则及换底公式即可求解. 【解析】（1）因为，所以， 所以，即. （2）因为， 所以. （3）因为， 所以. 考点九 对数运算性质的综合应用 48．（2025高三·全国·专题练习）若，求的最小值，并求x，y的值． 【答案】， 【分析】由基本不等式求解. 【解析】因为，所以且， 所以，当且仅当时等号成立， 所以时取得最小值. 49．【多选】（2025高三·重庆荣昌·阶段练习）若正实数满足，则（    ） A． B． C． D． 【答案】BCD 【分析】根据指数函数的单调性，可以用中间值求出和的范围，验证选项A不正确，再通过指数对数互化，，，结合换底公式，得到，，再考虑与的范围可以验证BCD选项正确. 【解析】由可得，由可得，则，可知选项A错误； 由指对数互化可得，，则，即可知选项B正确； 又，由，可知等号不成立，即，可知选项C正确； 由得， 令，由，，则在上单调递增，故，选项D正确． 故选：BCD 50．【多选】（25-26高一·全国·单元测试）已知，且，则（    ） A． B． C． D． 【答案】ABD 【分析】利用基本不等式判断A、B，利用对数恒等式化简即可判断C；利用基本不等式结合对数的运算法则计算即可判断D. 【解析】因为，所以，即． 对于A，因为，所以，则，当且仅当，即时，等号成立．故A正确； 对于B，因为，所以，当且仅当，即时，等号成立．故B正确； 对于C，， 若，又， 则，又，故，矛盾， 所以，所以，即，故C错误； 对于D，由，得， 又由，得，， 所以，∴ 所以， 则， 当且仅当，故时，等号成立．故D正确. 故选：ABD. 51．【多选】（25-26高一·全国·单元测试）已知，若，则下列说法正确的是（    ） A．若，则 B． C．若，则 D．若，则 【答案】ABC 【分析】对于A，利用换底公式得到，故；对于B，C，即可判断；对于D，，解方程即可判断. 【解析】列表解析  直观解疑惑 选项 正误 原因 A √ 时，， 故，所以， 即． B √ 同A中分析，可得， 则． 若，则． C √ D × 由B中分析知，若， 则，则或． 一题多解  多方法解题 利用换底公式的一个推论：，可得若， 则，． A（√）若，则． B（√）． C（√）若，则． D（×）若，则，则或． 故选:ABC. 考点十 对数的实际运用 52．（25-26高一·全国·课后作业）通过科学研究发现：地震时释放的能量（单位：焦耳）与地震里氏震级之间的关系为.已知2011年甲地发生里氏9级地震，2019年乙地发生里氏7级地震，若甲、乙两地地震释放能量分别为，，则 【答案】1000 【分析】由题意可得，作差计算即可. 【解析】由题知：. 故答案为：1000 53．（2025高三·全国·专题练习）在天文学中，恒星的视星等 是衡量其亮度的重要指标.根据标准定义，视星等 与到达地球的光通量满足关系：，其中 为常数.现观测一个双星系统，两颗相邻且无法分辨的恒星单颗视星等均为 5.0.若它们的总光通量为单颗光通量之和，则它们的视星等约为（   ）.（已知：） A．4.25 B．5.00 C．2.50 D．3.75 【答案】A 【分析】视星等 与到达地球的光通量满足关系：.总光通量为各恒星光通量之和，运用对数运算性质进行化简求值. 【解析】设单颗光通量为，单颗视星等 ， 则由题意可得：① 总光通量为单颗光通量之和，总视星等满足： 即② 由①解得：代入②得： 故选：A. 54．（25-26高一·全国·单元测试）17世纪初，约翰·纳皮尔为了简化计算而发明了对数．对数的发明是数学史上的重大事件，恩格斯曾经把笛卡尔的坐标系、纳皮尔的对数、牛顿和莱布尼兹的微积分共同称为17世纪的三大数学发明．我们知道，任何一个正实数N可以表示成（，）的形式，这便是科学记数法，若两边取常用对数，则有，现给出部分常用对数值（如下表），则可以估计3²⁰²⁶的最高位的数值为（    ） 真数x 2 3 4 5 6 7 8 9 0.30103 0.47712 0.60206 0.69897 0.77815 0.84510 0.90309 0.95424 A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】B 【分析】通过对数的运算性质和查表得到的近似值，由数的小数部分通过查表得知最高位a的范围，从而得解． 【解析】依题意，设，则， 因为， 所以， 由表格可知，，且, 所以，所以的最高位的数值为4． 故选：B. 55．（2025高二·北京·期末）荀子《劝学》：“不积跬步，无以至千里；不积小流，无以成江海.”这告诉我们中学生要不断学习才能有巨大的进步.假设学生甲和学生乙刚开始的“日学习能力值”相同、学生甲的“日学习能力值”都在前一天的基础上提高1%.而学生乙的“日学习能力值”与前一天相同，那么从学生甲的“日学习能力值”是学生乙的2倍到3倍，大约经过了（    ） （参考数据：，，） A．41天 B．70天 C．111天 D．181天 【答案】A 【分析】设学生甲和学生乙刚开始的“日学习能力值”为，根据题意结合增长率列出相应方程，利用对数近似计算，即得答案. 【解析】设学生甲和学生乙刚开始的“日学习能力值”为，当学生甲的“日学习能力值”是学生乙的2倍时，大约经过了天，当学生甲的“日学习能力值”是学生乙的3倍时，大约经过了天， 由题意得，即， 取对数得， 由于，所以， 所以，解得， 所以当学生甲的“日学习能力值”是学生乙的2倍时，大约经过了天， 当学生甲的“日学习能力值”是学生乙的3倍时，大约经过了天， 所以从学生甲的“日学习能力值”是学生乙的2倍到3倍至少经过了天， 故选：A $$【考点通关】2025-2026学年高一数学高频考点与解题策略(人教A版2019必修第一册) 专题17 对数10种常见考法归类（55题） 学科网（北京）股份有限公司1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 考点一 对数的定义理解 考点二 指数式与对数式的互化 考点三 解对数方程 考点四 利用对数求值 考点五 有附加条件的对数求值问题 考点六 对数的运算 考点七 换底公式的应用 考点八 用已知对数表示其他对数 考点九 对数运算性质的综合应用 考点十 对数的实际运用 知识点1：对数概念 1、对数的概念：一般地,如果(,且),那么数叫做以为底的对数,记作,其中叫做对数的底数,叫做真数. 特别的：规定,且的原因： ①当时，取某些值时，的值不存在，如：是不存在的. ②当时，当时，的值不存在，如：是不成立的；当时，则的取值时任意的，不是唯一的. ③当时，当，则的值不存在；当时，则的取值时任意的，不是唯一的. 2、常用对数与自然对数 ①常用对数：将以10为底的对数叫做常用对数,并把记为 ②自然对数：是一个重要的常数,是无理数,它的近似值为2.718 28.把以为底的对数称为自然对数,并把记作 说明：“”同+、-、×等符号一样,表示一种运算,即已知一个底数和它的幂求指数的运算,这种运算叫对数运算,不过对数运算的符号写在数的前面. 知识点2：指数式与对数式的相互转化 一般地，有对数与指数的关系： (1)若a>0，且a≠1，则ax＝N⇒logaN＝x. 注：不是任何一个指数式都可以化为对数式，只有底数大于零且不等于1时才可互化． 知识点3：对数的性质 ①负数和零没有对数. ②对于任意的且,都有，，； ③对数恒等式: （且） 知识点4：对数的运算性质 当且，, ① ② ③（） ④（） ⑤（） 知识点5：换底公式 （1）logab＝(a>0，且a≠1；c>0，且c≠1；b>0)． （2）对数换底公式的重要推论 ①logaN＝(N>0，且N≠1；a>0，且a≠1)． ②＝logab(a>0，且a≠1，b>0)． ③logab·logbc·logcd＝logad(a>0，b>0，c>0，d>0，且a≠1，b≠1，c≠1)． 注：换底公式中底数c是是大于0且不等于1的任意数． （3）可用换底公式证明以下结论： ①； ②； ③； ④； ⑤. 策略方法 1、指数式与对数式互化的思路 (1)指数式化为对数式：将指数式的幂作为真数，指数作为对数，底数不变，写出对数式． (2)对数式化为指数式：将对数式的真数作为幂，对数作为指数，底数不变，写出指数式． 2、对数式中求值的基本思想和方法 (1)基本思想 在一定条件下求对数的值，或求对数式中参数字母的值，要注意利用方程思想求解． (2)基本方法 ①将对数式化为指数式，构建方程转化为指数问题． ②利用幂的运算性质和指数的性质计算． 3、利用对数的性质求值的方法 (1)求解此类问题时，应根据对数的两个结论loga1＝0和logaa＝1(a>0且a≠1)，进行变形求解，若已知对数值求真数，则可将其化为指数式运算． (2)已知多重对数式的值，求变量值，应从外到内求，逐步脱去“log ”后再求解． 4、对数式化简与求值的基本原则和方法 (1)基本原则：对数的化简求值一般是正用或逆用公式，对真数进行处理，选哪种策略化简，取决于问题的实际情况，一般本着便于真数化简的原则进行． (2)两种常用的方法：①“收”，将同底的两对数的和(差)收成积(商)的对数； ②“拆”，将积(商)的对数拆成同底的两对数的和(差)． 5、对数混合运算的一般原则 （1）将真数和底数化成指数幂形式，使真数和底数最简，用公式化简合并； （2）利用换底公式将不同底的对数式转化为同底的对数式； （3）将同底对数的和、差、倍运算转化为同底对数真数的积、商、幂； （4）如果对数的真数可以写成几个因数或因式的相乘除的形式，一般改写成几个对数相加减的形式，然后进行化简合并； （5）对数真数中的小数一般要化成分数，分数一般写成对数相减的形式。 6、对数运算中的几个运算技巧 （1）的应用技巧：在对数运算中如果出现和，则一般利用提公因式、平方差公式、完全平方公式等使之出现，再应用公式进行化简； （2）的应用技巧：对数运算过程中如果出现两个对数相乘且两个对数的底数与真数位置颠倒，则可用公式化简； （3）指对互化的转化技巧：对于将指数恒等式作为已知条件，求函数的值的问题，通常设，则，，，将值带入函数求解。 7、利用换底公式进行化简求值的原则和技巧 8、利用对数式与指数式互化求值的方法 (1)在对数式、指数式的互化运算中，要注意灵活运用定义、性质和运算法则，尤其要注意条件和结论之间的关系，进行正确的相互转化． (2)对于连等式可令其等于k(k>0)，然后将指数式用对数式表示，再由换底公式可将指数的倒数化为同底的对数，从而使问题得解． 考点一 对数的定义理解 1．（2025高一·全国·课堂例题）为什么零与负数没有对数？ 2．（2025高一·全国·课堂例题）在对数概念中，为什么规定，且呢？ 3．（2025高一·全国·课后作业）有下列说法： ①以10为底的对数叫作常用对数； ②任何一个指数式都可以化成对数式； ③以e为底的对数叫作自然对数； ④零和负数没有对数. 其中正确的个数为（  　） A．1 B．2 C．3 D．4 4．（25-26高一·全国·课前预习）使式子有意义的的取值范围是（   ） A． B． C． D． 5．【多选】（2025高一·湖北武汉·开学考试）下列选项中，使有意义的a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 6．（2025高一·全国·课后作业）若代数式有意义，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 考点二 指数式与对数式的互化 7．（2025高一·全国·课前预习）将下列指数式与对数式互化： (1)； (2)； (3)； (4). 8．（2025高一·全国·课后作业）将下列指数式化为对数式： (1)； (2)； (3)． 9．（2025高一·全国·课堂例题）将下列指数式与对数式进行转换： (1)； (2)； (3)； (4). 10．（2025高一·全国·课堂例题）将下列指数式与对数式互化： (1)； (2)； (3)； (4)； (5)； (6)． 11．（2025高一·上海·随堂练习）将下列指数式与对数式互化． (1)； (2)； (3)； (4)． 考点三 解对数方程 12．（2025高一·上海·课堂例题）求下列各式中x的值： (1)； (2). 13．（2025高一·江苏·专题练习）已知，求x的值． 14．（2025高一·上海·课堂例题）求下列各式中的值： (1)； (2)； (3)； (4)． 15．（2025高一·全国·课后作业）求下列各式中的值． (1)； (2)； (3)． 考点四 利用对数求值 16．（2025高一·江苏南通·阶段练习）计算（    ） A．7 B．9 C．10 D．20 17．（2025高二·浙江嘉兴·期中）已知函数，则（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 18．（2025高一·江苏盐城·期末）如果函数满足，那么等于（    ） A． B． C． D． 19．（2025高一·贵州黔西·期末）已知函数则（    ） A． B．4 C． D．e 20．（2025高三·安徽马鞍山·阶段练习）设函数，则（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 考点五 有附加条件的对数求值问题 21．（25-26高三·浙江·开学考试）已知，，则（   ） A．0 B．2 C．-1 D．1 22．（25-26高一·全国·课前预习）若（，且），则（   ） A． B． C． D． 23．（2025·四川乐山模拟预测）已知，，则的值为（   ） A． B． C． D． 24．（2025·山东临沂模拟预测）已知实数满足，则（    ） A．11 B．12 C．16 D．17 25．（2025高一·河南郑州·开学考试）已知，则（ ） A． B． C． D． 考点六 对数运算性质的应用 26．（2025高一·新疆和田·期末）计算： (1). (2) 27．（2025高一·天津·阶段练习）计算： (1) (2) 28．（2025高一·全国·课前预习）计算： (1)； (2). 29．（2025高三·全国·专题练习）化简： (1)； (2)； (3)； 30．（2025高一·广东湛江·开学考试）计算下列各题. (1)； (2). 考点七 换底公式的应用 31．（25-26高三·四川广元·阶段练习）若，，则（   ） A．3 B．6 C．9 D．10 32．（25-26高三·四川广安·开学考试）已知，，，则（   ） A．5 B． C．6 D． 33．（25-26高一·全国·课前预习）已知，若，则（   ） A． B．3 C．6 D．9 34．（2025高一·江苏连云港·阶段练习）若实数、满足，则（    ） A． B． C． D． 35．（2025高二·山东青岛·期末）已知，若，则的最小值为（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 36．（2025高一·全国·课后作业）设a，b，c均为不等于1的正实数，则下列等式中恒成立的是（    ） A．logab·logcb＝logca B．logab·logca＝logcb C．loga(bc)＝logab·logac D．loga(b＋c)＝logab＋logac 37．（2025高三·福建福州·期中）设a，b，c都是正数，且，那么下列关系正确的是（    ） A． B． C． D． 38．（2025高一·上海·课堂例题）设a、b是两个不等于1的正数，求证：. 39．（2025高一·辽宁丹东·期末）已知. (1)求的值； (2)设，求证：. 考点八 用已知对数表示其他对数 40．（2025高一·全国·课后作业）已知，，试用m，n表示． 41．（2025高一·全国·课后作业）已知，，试用、表示的值． 42．（2025高一·上海杨浦·期中）已知，，请用，表示下列各数的值： (1) (2) 43．（25-26高一·全国·单元测试）（1）已知，试用表示； （2）已知，求的值． 44．（2025高一·江苏·课后作业）（1）已知，试用表示； （2）已知，试用表示． 45．（25-26高一·全国·单元测试）求解下列问题： (1)在①，②中任选一个求值； (2)已知，，试用a，b表示． 46．（2025高一·江苏南通·期中）（1）计算：； （2）已知，求的值. （3）已知，，试用，表示. 47．（2025高一·上海·专题练习）（1）设，试用含有的代数式表示； （2）设，，试用、表示； （3）设，，试用、表示. 考点九 对数运算性质的综合应用 48．（2025高三·全国·专题练习）若，求的最小值，并求x，y的值． 49．【多选】（2025高三·重庆荣昌·阶段练习）若正实数满足，则（    ） A． B． C． D． 50．【多选】（25-26高一·全国·单元测试）已知，且，则（    ） A． B． C． D． 51．【多选】（25-26高一·全国·单元测试）已知，若，则下列说法正确的是（    ） A．若，则 B． C．若，则 D．若，则 考点十 对数的实际运用 52．（25-26高一·全国·课后作业）通过科学研究发现：地震时释放的能量（单位：焦耳）与地震里氏震级之间的关系为.已知2011年甲地发生里氏9级地震，2019年乙地发生里氏7级地震，若甲、乙两地地震释放能量分别为，，则 53．（2025高三·全国·专题练习）在天文学中，恒星的视星等 是衡量其亮度的重要指标.根据标准定义，视星等 与到达地球的光通量满足关系：，其中 为常数.现观测一个双星系统，两颗相邻且无法分辨的恒星单颗视星等均为 5.0.若它们的总光通量为单颗光通量之和，则它们的视星等约为（   ）.（已知：） A．4.25 B．5.00 C．2.50 D．3.75 54．（25-26高一·全国·单元测试）17世纪初，约翰·纳皮尔为了简化计算而发明了对数．对数的发明是数学史上的重大事件，恩格斯曾经把笛卡尔的坐标系、纳皮尔的对数、牛顿和莱布尼兹的微积分共同称为17世纪的三大数学发明．我们知道，任何一个正实数N可以表示成（，）的形式，这便是科学记数法，若两边取常用对数，则有，现给出部分常用对数值（如下表），则可以估计3²⁰²⁶的最高位的数值为（    ） 真数x 2 3 4 5 6 7 8 9 0.30103 0.47712 0.60206 0.69897 0.77815 0.84510 0.90309 0.95424 A．3 B．4 C．5 D．6 55．（2025高二·北京·期末）荀子《劝学》：“不积跬步，无以至千里；不积小流，无以成江海.”这告诉我们中学生要不断学习才能有巨大的进步.假设学生甲和学生乙刚开始的“日学习能力值”相同、学生甲的“日学习能力值”都在前一天的基础上提高1%.而学生乙的“日学习能力值”与前一天相同，那么从学生甲的“日学习能力值”是学生乙的2倍到3倍，大约经过了（    ） （参考数据：，，） A．41天 B．70天 C．111天 D．181天 $$