2.2基本不等式公式推导和简单应用讲义（基础篇）-2025-2026学年高一上学期数学人教A版必修第一册

第十讲：基本不等式题公式推导和简单应用（基础篇） 知识储备： 1.两个不等式 如果，那么，当且仅当时，等号成立. 其中叫做正数a，b的算术平均数，叫做正数a，b的几何平均数． 几何意义：所有周长一定的矩形中，正方形的面积最大. 2.基本不等式的证明 ①法一：几何面积法 如图，在正方形中有四个全等的直角三角形. 设直角三角形的两条直角边长为、，那么正方形的边长为. 则4个直角三角形的面积的和是，正方形的面积为. 由于4个直角三角形的面积小于正方形的面积，所以：. 当直角三角形变为等腰直角三角形，即时，正方形缩为一个点， 这时有. 得到结论：如果，那么（当且仅当时取等号“=”） 特别的，如果，,我们用、分别代替、，可得： 如果，,则，即（当且仅当时取等号“=”）. ②法二：代数法 ∵，当时，； 当时，. 所以，（当且仅当时取等号“=”）. 题型一 ：对基本不等式的理解 例1．（多选）给出下列选项对基本不等式的理解错误的是（    ） A.对任意，、均成立． B.若，则的最小值为. C.当时，函数，所以函数y的最小值是. D.若，则. 例2：（多选）给出下列命题中，其中为真命题的是（    ） A.已知，则成立； B.已知且，则成立； C.已知，则的最小值为2； D.已知，，则成立． 例3.（多选）已知，，给出下列四个不等式，其中正确的不等式有（ ） A． B． C． D． 例4.（多选）下列各不等式，其中正确的是（ ） A． B． C． D． 例5.（多选）下列结论中正确的是（ ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 题型二：利用基本不等式求最值 已知都是正数， (1)如果积等于定值，那么当时，和有最小值； (2)如果和等于定值，那么当时，积有最大值. 例6.下列结论正确的是（    ） A．当时， B．当时， C．当时，的最小值是 D．当时，的最小值为1 例7：下列命题中正确的是（    ） A．函数的最小值为2. B．函数的最小值为2. C．函数的最小值为 D．函数的最大值为 例8.（1）已知，且，则的最大值为________． （2）已知，则取得最大值时的值为________． （3）已知，则的最大值为________． （4）已知实数满足，则的最小值为________． （5）若实数m，n满足，则的最大值为________． （6）设x，y是正实数，且x+y=1，则的最小值是________ ． 题型三：证明不等式 例9.已知a，b，c均为正实数. （1）求证：. （2）若，求证：. 例10.设a，b，c均为正数，且，证明： （1）； （2）． 第 1 页 共 4 页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第十讲：基本不等式题公式推导和简单应用（基础篇） 知识储备： 1.两个不等式 如果，那么，当且仅当时，等号成立. 其中叫做正数a，b的算术平均数，叫做正数a，b的几何平均数． 几何意义：所有周长一定的矩形中，正方形的面积最大. 2.基本不等式的证明 ①法一：几何面积法 如图，在正方形中有四个全等的直角三角形. 设直角三角形的两条直角边长为、，那么正方形的边长为. 则4个直角三角形的面积的和是，正方形的面积为. 由于4个直角三角形的面积小于正方形的面积，所以：. 当直角三角形变为等腰直角三角形，即时，正方形缩为一个点， 这时有. 得到结论：如果，那么（当且仅当时取等号“=”） 特别的，如果，,我们用、分别代替、，可得： 如果，,则，即（当且仅当时取等号“=”）. ②法二：代数法 ∵，当时，； 当时，. 所以，（当且仅当时取等号“=”）. 题型一 ：对基本不等式的理解 例1．（多选）给出下列选项对基本不等式的理解错误的是（    ） A.对任意，、均成立． B.若，则的最小值为. C.当时，函数，所以函数y的最小值是. D.若，则. 解析：A.对任意都成立，而对任意都成B.,不能满足.B错. C. 不为定值，C错。 D.,当且仅当时“=”成立，显然不满足.D错. 故选: ABCD 例2：（多选）给出下列命题中，其中为真命题的是（    ） A.已知，则成立； B.已知且，则成立； C.已知，则的最小值为2； D.已知，，则成立． 解析：当时，A中的不等式是错误的，A错； 因为与同号，所以是正确的，且，即时等号成立，所以B中的基本不等式计算是正确的，B对； （当时，无解，等号不成立），故C错； 因为，所以且，且，即时等号成立，所以D中的基本不等式运算是正确的，D对．故选: BD． 例3.（多选）已知，，给出下列四个不等式，其中正确的不等式有（ ） A． B． C． D． 解析：对A：因为，，且，所以，A错误； 对B：因为，，所以， 当且仅当时等号成立，故选项B正确； 对C：因为，当且仅当， 即时等号成立，但，所以，故选项C正确； 对D：因为，，所以，所以， 所以，当且仅当时等号成立，故选项D错误.故选：BC. 例4.（多选）下列各不等式，其中正确的是（ ） A． B． C． D． 解析：对A，当时，，故A错误； 对B，，当且仅当，即时等号成立，故B正确； 对C，当时，，故C错误； 对D，由，故， 当且仅当时等号成立，即时等号成立，故D正确.故选：BD 例5.（多选）下列结论中正确的是（ ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 解析：当时，，故A错误； 当时，，则，故B错误； 当，时，，， 相加可得，故C正确；当，时，，故D正确. 故选：CD. 题型二：利用基本不等式求最值 已知都是正数， (1)如果积等于定值，那么当时，和有最小值； (2)如果和等于定值，那么当时，积有最大值. 例6.下列结论正确的是（    ） A．当时， B．当时， C．当时，的最小值是 D．当时，的最小值为1 解析：当时，，当且仅当，即时等号成立，但已知条件中，故A错误； 当时，，当且仅当，即时等号成立，故B正确； 当时，，当且仅当，即时等号成立，但已知条件中，等号不成立，故C错误； 当时，，当且仅当，即时等号成立，但已知条件中，等号不成立，故D错误． 故选：B. 例7：下列命题中正确的是（    ） A．函数的最小值为2. B．函数的最小值为2. C．函数的最小值为 D．函数的最大值为 解析：对于A，时为负值，故A错误 对于B，，而无解，无法取等，故B错误 对于，当且仅当即时等号成立， 故，D正确，C错误 故选：D 例8.（1）已知，且，则的最大值为________． （2）已知，则取得最大值时的值为________． （3）已知，则的最大值为________． （4）已知实数满足，则的最小值为________． （5）若实数m，n满足，则的最大值为________． （6）设x，y是正实数，且x+y=1，则的最小值是________ ． 解析：（1），当且仅当时取等号． ，当且仅当，即时，取等号． （3）因为，所以， 则, 当且仅当，即时，取等号．故的最大值为1. （4）由题设，，所以， 当且仅当时等号成立，所以的最小值为. （5)由可得：，所以即， ， 当且仅当即时取等，答案:4 （6）设x=2=s，y+1=t，则s+t=x+y+3=4， 因为所以。 题型三：证明不等式 例9.已知a，b，c均为正实数. （1）求证：. （2）若，求证：. 解析：（1）∵a，b，c均为正实数，∴，当且仅当时，等号成立， ，当且仅当时，等号成立， ，当且仅当时，等号成立， 三式相加得， 当且仅当时，等号成立，∴. （2）. ∵，，，∴（当且仅当时，等号成立），即.所以，即证. 例10.设a，b，c均为正数，且，证明： （1）； （2）． 解析：（1）因为，当且仅当时，等号成立， ，当且仅当时，等号成立， ，当且仅当时，等号成立， 所以， 即， 即，当且仅当时，等号成立. （2）因为, 所以，当且仅当时，等号成立， 即，即， 所以，当且仅当时，等号成立. 第 1 页 共 4 页 学科网（北京）股份有限公司 $$