专题07三角形易错必刷题型专训（84题21个考点）-2025-2026学年浙教版八年级数学上册重难点专题提升精讲精练

专题07三角形易错必刷题型专训（84题21个考点） 【易错必刷一 三角形的识别与有关概念】 1．（25-26七年级上·江苏盐城·开学考试）同学们已经学过平面图形的面积公式，根据这些公式的推导过程进行整理（如图），①②③所对应的图形分别是（   ）． A．平行四边形、长方形、三角形 B．三角形、平行四边形、长方形 C．长方形、平行四边形、三角形 D．长方形、三角形、平行四边形 2．（23-24七年级下·广东揭阳·期末）如图，，垂足分别为C，E，则下列说法不正确的是（　　）    A．是的高 B．是的高 C．是的高 D．是的高 3．（25-26八年级上·全国·课后作业）如图，图中共有 个三角形，其中以为一边的三角形有 ，以为一个内角的三角形有 ． 4．（25-26八年级上·全国·课后作业）如图所示， (1)图中有几个三角形？ (2)说出的边和角． (3)是哪些三角形的边？.是哪些三角形的角？ 【易错必刷二 三角形的个数问题】 5．（25-26八年级上·全国·课后作业）如图，以D为顶点的三角形的个数为（   ） A．3 B．4 C．5 D．6 6．（23-24八年级上·辽宁盘锦·阶段练习）如图，图中三角形的个数为（　　） A．3个 B．4个 C．5个 D．6个 7．（23-24七年级上·陕西西安·开学考试）图中共有 个三角形． 8．（25-26八年级上·全国·课后作业）图中共有多少个三角形？把它们表示出来． 【易错必刷三 三角形的分类】 9．（25-26八年级上·全国·单元测试）已知一个等腰三角形的一边长等于，一边长等于，那么它的周长为（　　） A． B． C．或 D． 10．（25-26八年级上·全国·课后作业）用A表示等边三角形，B表示等腰三角形，C表示三边都不相等的三角形．下列四个分类图中，能正确表示它们之间关系的是（   ） A．   B．   C．   D．   11．（25-26八年级上·全国·课后作业）现有若干个三角形，在它们所有的内角中，有5个直角、3个钝角、28个锐角，那么在这些三角形中，共有 个锐角三角形． 12．（25-26八年级上·全国·课后作业）如图，在中，，垂足为D， 是钝角，E是上一点，且是锐角． (1)图中有几个三角形？用符号表示这些三角形． (2)找出图中的锐角三角形、直角三角形和钝角三角形． 【易错必刷四 构成三角形的条件】 13．（24-25七年级下·广东佛山·阶段练习）小敏同学想用三根木棍做一个置物架支架，现有以下长度的木棍（单位：），她能成功拼成三角形支架的是（   ） A．2，3，6 B．6，7，13 C．2，2，3 D．1，1，3 14．（24-25七年级下·河北保定·期末）如图，在中，点在上，点在上，观察图形发现：与的关系（   ） A． B． C． D．不能确定 15．（24-25八年级上·全国·期末）已知等腰三角形的一边长等于4，一边长为9，则这个三角形的底边为 ． 16．（22-23八年级上·全国·课后作业）等腰三角形一腰上的中线将这个等腰三角形的周长分成和两部分．求等腰三角形的底边长． 【易错必刷五 重心的概念】 17．（23-24七年级下·河北邢台·期末）已知点F是的重心，连接并延长交于G点，过点F作直线分别交于D点、E点，则下列说法正确的是（    ） A． B． C． D． 18．（23-24七年级下·全国·单元测试）三角形的三条高、三条角平分线、三条中线都分别相交于一点，且交点一定在三角形内部的是（     ） A．角平分线、高 B．中线、高 C．角平分线、中线 D．以上都不对 19．（23-24·重庆·模拟预测）下列命题是真命题的是（    ） A．三角形的外心到这个三角形三边的距离相等 B．三角形的重心是这个三角形的三条角平分线的交点 C．三角形的三条高线所在的直线一定相交于三角形的内部 D．三角形的任意两边之和大于第三边 20．（24-25七年级下·四川成都·期中）如图，，，分别为，，的中点，点为的重心．已知的面积为1，则的面积为 ． 【易错必刷六 三角形角平分线的定义】 21．（24-25七年级下·宁夏银川·期末）如图，在中，是高，是中线，是角平分线，交于点，交于点，下面结论：①；②；③；④．其中结论正确的是（　　） A．①③ B．①②④ C．①②③ D．①③④ 22．（23-24八年级上·浙江·周测）如图，在中，，是的角平分线，则（    ）    A． B． C． D． 23．（23-24九年级上·山东济南·阶段练习）如图，已知△ABC中，CD平分∠ACB交AB于D，又DE∥BC，交AC于E，若DE＝4cm，AE＝5cm，则AC等于 ． 24．（23-24七年级下·江西赣州·期中）已知△ABC中，CD平分∠ACB，∠2=∠3，∠B=70°  求∠1的度数． 【易错必刷七 画三角形的高】 25．（24-25八年级上·福建厦门·期末）如图，在中，点D，E是边上两点，，，则是下列哪个三角形的高（    ） A． B． C． D． 26．（24-25八年级上·安徽亳州·阶段练习）在下列各图形中，线段是的边上高的是（    ） A． B． C． D． 27．（23-24七年级下·黑龙江哈尔滨·期中）已知是的高，，，分别平分和，则 ． 28．（2024八年级上·浙江·专题练习）如图，中， 画出 边上的高 【易错必刷八 判断是否是命题】 29．（25-26八年级上·全国·单元测试）下列语句中，属于定义的是（   ） A．两个锐角的和一定大于 B．两直线平行，内错角相等 C．两点之间线段最短 D．直线外一点到直线的垂线段的长度叫做点到直线的距离 30．（24-25八年级上·江西吉安·期末）下列语句中不是命题的是（  ） A．对顶角不相等 B．过A、B 两点作直线 C．两点之间线段最短 D．内错角相等 31．（25-26八年级上·全国·课前预习）下列语句中，属于定义的是 ，是命题的是 ．（请填写序号） ①三角形的内角和等于；②无限不循环小数称为无理数；③你的作业做完了吗？④天空真蓝啊！⑤对顶角不相等；⑥连接两点的线段的长度，叫作这两点间的距离． 32．（22-23八年级上·全国·课后作业）给下列各题中的图形命名，并给出名称的定义． (1) (2) (3) 【易错必刷九 写出命题的题设与结论】 33．（24-25七年级下·广东东莞·期末）对命题“同位角相等”的描述正确的是（  ） A．是真命题 B．题设：两个角是同位角 C．是定理 D．结论：是同位角 34．（23-24七年级下·山东临沂·期中）命题“直角三角形的两个锐角互余”的条件是（    ） A．一个三角形是直角三角形 B．两个锐角 C．互余的两个锐角 D．两个锐角互余 35．（23-24七年级下·山东临沂·期中）把命题“两直线平行，内错角相等”改成“如果……，那么……”的形式： ． 36．（23-24八年级上·宁夏银川·期末）如图，现有以下三个条件：①，②，③．请你以其中两个作为题设，另一个作为结论构造命题．    (1)你构造的是哪几个命题？ (2)你构造的命题有真命题吗？若有真命题，请给予证明． 【易错必刷十 判断命题真假】 37．（24-25七年级下·湖南株洲·期末）下列说法中，正确的是（　　） A．相等的角是对顶角 B．过一点有且只有一条直线与已知直线垂直 C．内错角相等，两直线平行 D．直线外一点到这条直线的垂线段叫做点到直线的距离 38．（24-25七年级上·全国·期末）下列判断正确的是（　　） A．平角是一条直线 B．凡是直角都相等 C．两个锐角的和一定是锐角 D．钝角与锐角的差小于直角 39．（24-25七年级下·江西宜春·期末）如果，则是 命题． 40．（24-25七年级下·江苏泰州·期末）已知：如图，直线被直线所截，①，②，③；请从①②③中选两个作为条件，一个作为结论，使其构成一个真命题，并写出证明过程． (1)条件： ，结论： ；（填序号） (2)证明： 【易错必刷十一 举反例】 41．（2025·浙江·模拟预测）能说明“若，则”是假命题的反例是（   ） A． B． C． D． 42．（24-25七年级下·甘肃平凉·期末）能说明命题“两个锐角的和一定是钝角”是假命题的反例是（   ） A．， B．， C．， D．， 43．（24-25七年级下·北京密云·期末）用一个的值说明命题“若，则”是假命题，这个值可以是 ． 44．（24-25七年级下·陕西榆林·阶段练习）命题：互补的两个角一定是一个锐角，一个钝角． (1)将该命题改写成“如果……，那么……”的形式； (2)该命题是真命题还是假命题？如果是假命题，请举一个反例． 【易错必刷十二 图形的全等】 45．（25-26八年级上·全国·课后作业）下列选项中，两个图案不属于全等形的是（   ） A． B． C． D． 46．（24-25七年级下·重庆万州·期末）如图，四边形中，．若四边形四边形，则的长为（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 47．（23-24七年级下·湖南衡阳·期末）如图所示的是两个全等的五边形，，，，，，，，点B与点H、点D与点J分别是对应顶点，则图中标的 ， °． 48．（22-23八年级上·全国·课后作业）如图，画在透明纸上的和是全等图形吗？你是怎么判新的？ 【易错必刷十三 全等三角形的性质】 49．（25-26八年级上·全国·单元测试）如图，已知，则的度数是（   ） A． B． C． D． 50．（25-26八年级上·全国·阶段练习）图中的两个三角形全等，则（    ） A． B． C． D． 51．（24-25八年级上·湖南邵阳·期末）已知，的周长为，如果，， ． 52．（24-25七年级下·陕西西安·期末）如图，，若，，求的度数． 【易错必刷十四 尺规作图 —— 作三角形】 53．（23-24八年级上·江苏苏州·期中）根据下列已知条件，能画出唯一的的是（    ） A．， B．，， C．，， D．，， 54．（2024广东深圳·一模）如图，在中， ，按如下步骤操作；①以点A为圆心，任意长为半径作弧，分别交、于D、E两点；②以点C为圆心，长为半径作弧，交的延长线于点F；③以点F为圆心，长为半径作弧，两弧交于点G；④作射线，若，则为（     ） A． B． C． D． 55．（24-25七年级下·上海闵行·期末）如图，给定一个，用直尺和圆规作，有人的作法是： ①作；②以点为圆心，以长为半径作弧，交于点； ③以点为圆心，以长为半径作弧，交于点；④连接． 就是求作三角形．在此作法中，判定的依据是 ．（填简记） 56．（24-25七年级下·陕西西安·阶段练习）如图，已知与线段，尺规作图（保留作图痕迹，不写作法）：作，使得，，； 【易错必刷十五 用 SSS 证明三角形全等】 57．（22-23八年级上·全国·期中）请仔细观察用直尺和圆规作一个角等于已知角的示意图，要说明，需要证明，则这两个三角形全等的依据是（　　） A．边边边 B．边角边 C．角边角 D．角角边 58．（24-25七年级下·陕西咸阳·期末）如图，的三个顶点分别在正方形网格的3个格点上．若在网格图中的格点上有一点（不与点，，重合），使得与全等，则这样的三角形有（   ） A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 59．（23-24八年级上·江苏泰州·期中）三个顶点分别在小正方形的顶点（格点）上的三角形叫格点三角形．除格点外，在网格中可画出与全等的格点三角形共有 个． 60．（25-26七年级上·全国·课后作业）如图，全等吗？为什么？ 【易错必刷十六 用 SAS 证明三角形全等】 61．（24-25七年级下·四川成都·期末）如图，在和中，点E、F在上，，，添加下列一个条件后能用“”判定的是（ ） A． B． C． D． 62．（23-24八年级上·江苏徐州·阶段练习）如图，将两根钢条 、的中点O连在一起，使 、可以绕着点O自由转动，就做成了一个测量工件，则的长等于内槽宽；那么判定的理由是（   ） A．边角边 B．角边角 C．边边边 D．角角边 63．（23-24八年级上·江苏镇江·阶段练习）如图所示，，．可利用 来判定． 64．（24-25七年级下·北京·期末）如图，点F，C在线段上，，．与全等吗？为什么？ 【易错必刷十七 用 ASA（AAS）证明三角形全等】 65．（2024七年级下·广东梅州·竞赛）如图，小飞在设计的“风筝”图案中，已知，，，那么与相等．小飞直接证明，他的证明依据是（　　） A． B． C． D． 66．（24-25七年级下·辽宁丹东·期末）小明不小心把一块三角形的玻璃摔碎成如图所示的四块（即图中标有1、2、3、4的四块），为了能配一块与原来完全一样的三角形，小明应该带（    ）去玻璃商店． A．第1块 B．第2块 C．第3块 D．第4块 67．（24-25八年级上·吉林通化·阶段练习）如图，一块三角形玻璃板，不小心摔成三块，小亮要想得到一块与原来一样的三角形玻璃板，需要带着第 块去商店． 68．（24-25八年级上·全国·期末）已知：如图，点A，B，C，D在同一直线上，，，． 求证：． 【易错必刷十八 线段垂直平分线的性质】 69．（23-24八年级上·山东菏泽·期中）如图，中，边的垂直平分线分别交于点，，的周长为，则的周长为（    ） A． B． C． D． 70．（25-26八年级上·全国·单元测试）如图，在中，是的垂直平分线，交于点D，交于点E，，，，则周长为（　　） A． B． C． D． 71．（22-23八年级上·全国·期中）如图所示，在中，直线是边的垂直平分线且交于D，若，，则的周长为 ． 72．（24-25八年级下·宁夏银川·阶段练习）如图，在中，的垂直平分线分别交于点，的垂直平分线分别交于点，连接，，若周长为10，求线段的长． 【易错必刷十九 角平分线的性质定理】 73．（24-25八年级下·陕西榆林·阶段练习）如图，在中，，以顶点为圆心，适当长为半径画弧，分别交于点，再分别以点为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点，作射线交边于点，若，则的面积是（　　） A．24 B．28 C．32 D．36 74．（22-23八年级上·全国·期中）如图，的三边，，的长分别为20，30，40，O是三条角平分线的交点，则等于（　　） A． B． C． D． 75．（24-25八年级下·湖南永州·阶段练习）如图，分别平分，且于点的周长为，则的面积为 ． 76．（25-26八年级上·全国·单元测试）如图，中，，平分，于E，，．求的长． 【易错必刷二十 作已知线段的垂直平分线】 77．（24-25七年级下·江苏南京·期中）如图，在中，分别以点和点为圆心，大于长为半径画弧，两弧交于点，，作直线，交于点，交于点，连接，若，，．则的周长为（   ） A．14 B．15 C．17 D．23 78．（24-25七年级下·江苏扬州·期中）如图，在中，分别以、为圆心，大于的长为半径在两侧作弧，两弧相交于点、，作直线分别交于边，于点、，连接，若的长为，则的长为（   ） A． B． C． D． 79．（24-25八年级上·湖北武汉·期中）如图，已知，，分别以A，B两点为圆心，大于的长为半径作弧，两弧相交于点M，N，直线与相交于点D，的周长是 ．    80．（24-25八年级下·陕西西安·阶段练习）已知公路l的两侧有两个村庄A，B，要在公路旁边建一个公交车上落站，使上落站到两个村庄的距离相等，请确定上落站的位置． 【易错必刷二十一 作角平分线（尺规作图）】 81．（2025·河南开封·一模）如图，下列四个图形中，根据尺规作图的痕迹，能判断射线是的平分线的为（   ） A．①② B．①③ C．①④ D．①②③ 82．（23-24八年级·吉林长春·阶段练习）用尺规作已知角的角平分线，其根据是构造两个三角形全等，它所用到识别全等三角形的方法是（   ） A． B． C． D． 83．（24-25八年级上·全国·期末）如图，在中，，首先以顶点B为圆心，适当长为半径作弧，在边上截取；然后分别以点D、E为圆心，大于长为半径作弧，两弧在内交于点F；作射线交于点G．若，P为边上一动点，则的最小值为 ． 84．（25-26八年级上·浙江·阶段练习）如图，，． (1)延长到E，使，延长到F，使，连接，求证：． (2)在（1）的条件下，作的平分线（尺规作图，保留痕迹），交于点H． 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题07三角形易错必刷题型专训（84题21个考点） 【易错必刷一 三角形的识别与有关概念】 1．（25-26七年级上·江苏盐城·开学考试）同学们已经学过平面图形的面积公式，根据这些公式的推导过程进行整理（如图），①②③所对应的图形分别是（   ）． A．平行四边形、长方形、三角形 B．三角形、平行四边形、长方形 C．长方形、平行四边形、三角形 D．长方形、三角形、平行四边形 【答案】C 【分析】题目主要考查基本图形的面积推导，理解基本图形的面积求解过程是解题关键． 根据图形之间的面积推导过程求解即可． 【详解】解：∵正方形和长方形的面积是通过画面积相等的小正方形，然后再数小正方形的个数推导出来的；圆的面积是把圆切割成若干面积相等的三角形，然后再拼成长方形，由长方形的面积推导出来的， ∴①是长方形； ∵平行四边形的面积是通过割补的方法，将其割补成长方形，由长方形的面积推导出来的； ∴②是平行四边形； ∵三角形与梯形的面积是由两个相同的图形拼成平行四边形，由平行四边形的面积推导出来的； ∴③是三角形； 故选：C． 2．（23-24七年级下·广东揭阳·期末）如图，，垂足分别为C，E，则下列说法不正确的是（　　）    A．是的高 B．是的高 C．是的高 D．是的高 【答案】D 【分析】本题考查三角形高的定义，根据三角形的高的定义判断即可，记住从三角形的一个顶点向底边作垂线，垂足与顶点之间的线段叫做三角形的高是解决问题的关键． 【详解】解：根据题意，观察图象可知：是的高，是的高，是的高， ∴符合题意是D选项， 故选：D． 3．（25-26八年级上·全国·课后作业）如图，图中共有 个三角形，其中以为一边的三角形有 ，以为一个内角的三角形有 ． 【答案】 5 【分析】本题考查了三角形，主要利用了三角形的定义，三角形的角的对边，边的对角，熟记概念并准确识图是解题的关键．根据三角形的定义分别解答即可． 【详解】解：图中有：共5个； 以为一边的三角形有：， 以为一内角的三角形是：． 故答案为：． 4．（25-26八年级上·全国·课后作业）如图所示， (1)图中有几个三角形？ (2)说出的边和角． (3)是哪些三角形的边？.是哪些三角形的角？ 【答案】(1)5个 (2)的边：，角： (3)是的边，是的角 【分析】本题主要考查了三角形，关键是掌握三角形的相关定义． （1）根据三角形的定义，观察图形可得； （2）根据三角形的边、角的定义，即可求解； （3）根据三角形的边、角的定义，即可求解． 【详解】（1）解：图中有：，共5个； （2）解：的边：，角：； （3）解：是的边， 是的角． 【易错必刷二 三角形的个数问题】 5．（25-26八年级上·全国·课后作业）如图，以D为顶点的三角形的个数为（   ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】B 【分析】本题考查了三角形，根据三角形的定义即可得到结论． 【详解】解：以D为顶点的三角形有共4个三角形， 故选：B． 6．（23-24八年级上·辽宁盘锦·阶段练习）如图，图中三角形的个数为（　　） A．3个 B．4个 C．5个 D．6个 【答案】C 【分析】本题考查三角形的个数． 找出图中所有的三角形，即可得三角形的个数． 【详解】解：图中的三角形有：，，，，， ∴图中共有个三角形， 故选：． 7．（23-24七年级上·陕西西安·开学考试）图中共有 个三角形． 【答案】8 【分析】此题考查的是对三角形的认识问题，三角形是由同一平面内不在同一直线上的三条线段首尾顺次连接所组成的封闭图形，将整个图形分成不同部分，单独一个三角形，两个图形合在一起，三个图形合在一起，多个图形合在一起，相加即可得到三角形的总个数． 【详解】解：单独一个三角形的共有3个三角形， 两个图形合在一起的共有3个三角形， 三个图形合在一起的共有1个三角形， 多个图形合在一起的共有1个三角形， 故共有个三角形， 故答案为：8． 8．（25-26八年级上·全国·课后作业）图中共有多少个三角形？把它们表示出来． 【答案】8个；见解析 【分析】本题考查了三角形的概念及计数能力，解题的关键是按照一定的顺序（如从最小的三角形开始，逐步到较大的三角形）不重复、不遗漏地列举出所有三角形． 【详解】解：图中共有8个三角形，它们分别是： 【易错必刷三 三角形的分类】 9．（25-26八年级上·全国·单元测试）已知一个等腰三角形的一边长等于，一边长等于，那么它的周长为（　　） A． B． C．或 D． 【答案】C 【分析】本题考查等腰三角形及三角形三边关系．解题的关键是分情况讨论． 分两种情况讨论，当为底边长时和当为底边长时两种情况讨论． 【详解】解：当为底边长时，腰长为， ∵， ∴满足三角形的三边关系， ∴周长为； 当为底边长，腰长为时， ∵， ∴满足三角形的三边关系， ∴周长为， 故它的周长为或． 故选：C． 10．（25-26八年级上·全国·课后作业）用A表示等边三角形，B表示等腰三角形，C表示三边都不相等的三角形．下列四个分类图中，能正确表示它们之间关系的是（   ） A．   B．   C．   D．   【答案】B 【分析】本题考查了三角形中各类三角形的概念，根据定义就能够找到它们彼此之间的包含关系. 三条边均不相等的三角形是不等边三角形；有两条边相等的三角形是等腰三角形；有三条边相等的三角形是等边三角形；根据概念就可找到它们之间的关系. 【详解】解：根据各类三角形的概念可知，B可以表示它们彼此之间的包含关系. 故选：B ． 11．（25-26八年级上·全国·课后作业）现有若干个三角形，在它们所有的内角中，有5个直角、3个钝角、28个锐角，那么在这些三角形中，共有 个锐角三角形． 【答案】4 【分析】本题考查了三角形的定义和分类，先求出三角形的个数，再根据三角形的分类，即可得出锐角三角形的个数． 【详解】解：∵每个三角形有3个内角， ∴共有个三角形， ∵三角形中最多只有一个直角或钝角， ∴12个三角形有5个直角三角形，3个钝角三角形， ∴共有个锐角三角形， 故答案为：4． 【点评】本题考查了三角形内角和，掌握三角形的分类是解题的关键． 12．（25-26八年级上·全国·课后作业）如图，在中，，垂足为D， 是钝角，E是上一点，且是锐角． (1)图中有几个三角形？用符号表示这些三角形． (2)找出图中的锐角三角形、直角三角形和钝角三角形． 【答案】(1)6个，见解析 (2)见解析 【分析】本题考查了三角形及其分类．熟练掌握三角形定义，三角形分类定义是解题的关键，由不在同一直线上的三条线段首尾顺次连接所组成的封闭图形叫作三角形；三个内角都小于 90 度的三角形是锐角三角形；有一个内角为 90 度的三角形是直角三角形；有一个内角大于 90 度的三角形是钝角三角形． （1）根据三角形的定义解答； （2）根据三角形按角分类的定义判断． 【详解】（1）解：图中有6个三角形：，，，，，． （2）解：锐角三角形：； 直角三角形：，，； 钝角三角形：，． 【易错必刷四 构成三角形的条件】 13．（24-25七年级下·广东佛山·阶段练习）小敏同学想用三根木棍做一个置物架支架，现有以下长度的木棍（单位：），她能成功拼成三角形支架的是（   ） A．2，3，6 B．6，7，13 C．2，2，3 D．1，1，3 【答案】C 【分析】本题考查了三角形的三边关系．在运用三角形三边关系判定三条线段能否构成三角形时，并不一定需要列出三个不等式，只要两条较短的线段长度之和大于第三条线段的长度即可判定这三条线段能构成一个三角形．根据三角形的三边关系进行分析判断． 【详解】解：A、，不能构成三角形支架，故本选项不符合题意； B、，不能构成三角形支架，故本选项不符合题意； C、，能构成三角形支架，故本选项符合题意； D、，不能构成三角形支架，故本选项不符合题意； 故选：C． 14．（24-25七年级下·河北保定·期末）如图，在中，点在上，点在上，观察图形发现：与的关系（   ） A． B． C． D．不能确定 【答案】A 【分析】该题考查了三角形三边关系，在和中，根据三角形三边关系即可解答． 【详解】解：在中，， 在中，， ， ， ， 故选：A． 15．（24-25八年级上·全国·期末）已知等腰三角形的一边长等于4，一边长为9，则这个三角形的底边为 ． 【答案】4 【分析】本题考查等腰三角形的定义，三角形的三边关系．考查学生分类讨论思想以及验证能力．先分类讨论，然后利用三角形的三边关系进行验证即可． 【详解】解：①当等腰三角形的腰长为4时，三角形的三边长为：， ∵， 所以不能构成三角形； ②当等腰三角形的腰长为9时，三角形的三边长为：， 此时能构成三角形 此时这个等腰三角形的底边为4， 故答案为：4． 16．（22-23八年级上·全国·课后作业）等腰三角形一腰上的中线将这个等腰三角形的周长分成和两部分．求等腰三角形的底边长． 【答案】 【分析】画出图形，分两种情况进行讨论求出底边长度，再根据三角形三边之间的关系去验证能否构成三角形即可． 【详解】解：如图：为等腰三角形，，为边上的中线， 设， ∵，为边上的中线， ∴，， ①当，时， ，解得：， ∴，解得：， 此时，． ∵， ∴能构成三角形． ②①当，时， ，解得：， ∴，解得：， 此时，． ∵， ∴不能构成三角形． 综上：等腰三角形的底边长． 【点睛】本题主要考查了等腰三角形的性质，三角形的中线以及三角形三边之间的关系，解题的关键是掌握三角形中线的定义以及三角形两边之和大于第三边，两边之差小于第三边． 【易错必刷五 重心的概念】 17．（23-24七年级下·河北邢台·期末）已知点F是的重心，连接并延长交于G点，过点F作直线分别交于D点、E点，则下列说法正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查的是重心的概念，掌握重心的定义是解题关键，根据定义直接判断即可． 【详解】解：点F是的重心， 是的中线， ， 故选：A． 18．（23-24七年级下·全国·单元测试）三角形的三条高、三条角平分线、三条中线都分别相交于一点，且交点一定在三角形内部的是（     ） A．角平分线、高 B．中线、高 C．角平分线、中线 D．以上都不对 【答案】C 【分析】根据三角形的三条高、三条角平分线、三条中线交点的位置，即可进行解答． 【详解】解：锐角三角形的三条高的交点在三角形内部，直角三角形的三条高的交点在斜边上，钝角三角形的三条高的交点在三角形外部； 三角形三条角平分线的交点在三角形内部； 三角形三条中线的交点在三角形内部； 故选：C． 【点睛】本题主要考查了三角形的三心位置，解题的关键是掌握锐角三角形的三条高的交点在三角形内部，直角三角形的三条高的交点在斜边上，钝角三角形的三条高的交点在三角形外部；三角形三条角平分线的交点在三角形内部；三角形三条中线的交点在三角形内部． 19．（23-24·重庆·模拟预测）下列命题是真命题的是（    ） A．三角形的外心到这个三角形三边的距离相等 B．三角形的重心是这个三角形的三条角平分线的交点 C．三角形的三条高线所在的直线一定相交于三角形的内部 D．三角形的任意两边之和大于第三边 【答案】D 【分析】根据三角形的外心、重心等有关性质，对选项逐个判断即可． 【详解】解：A、三角形的内心到这个三角形三边的距离相等，为假命题，不符合题意； B、三角形的重心是这个三角形的三条中线的交点，为假命题，不符合题意； C、只有锐角三角形的三条高线所在的直线相交于三角形的内部，为假命题，不符合题意； D、三角形的任意两边之和大于第三边，为真命题，符合题意； 故选：D 【点睛】此题考查了三角形的有关性质，解题的关键是熟练掌握三角形的有关性质． 20．（24-25七年级下·四川成都·期中）如图，，，分别为，，的中点，点为的重心．已知的面积为1，则的面积为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查三角形重心的定义，三角形中线的性质，熟练掌握三角形中线是解题关键．根据三角形中线的性质求解即可． 【详解】解：∵的面积为1，D，E，F分别为的中点， ∴，，， ∴， ∴， 同理 ∴的面积为， 故答案为：． 【易错必刷六 三角形角平分线的定义】 21．（24-25七年级下·宁夏银川·期末）如图，在中，是高，是中线，是角平分线，交于点，交于点，下面结论：①；②；③；④．其中结论正确的是（　　） A．①③ B．①②④ C．①②③ D．①③④ 【答案】C 【分析】本题考查了三角形的中线、高、角平分线，灵活运用三角形的中线、高、角平分线的性质是解决本题的关键．根据三角形角平分线和高的性质可确定角之间的数量关系；根据三角形的中线和面积公式可确定和的面积关系以及求出的长度． 【详解】解： 是的中线 的面积等于的面积   故正确； ，是的高 ， 是的角平分线 又 故正确；   故正确； 故错误； 故选：C 22．（23-24八年级上·浙江·周测）如图，在中，，是的角平分线，则（    ）    A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了三角形角平分线的概念，正确理解三角形角平分线的概念是解题的关键． 【详解】∵在中，，是的角平分线， ∴． 故选：B． 23．（23-24九年级上·山东济南·阶段练习）如图，已知△ABC中，CD平分∠ACB交AB于D，又DE∥BC，交AC于E，若DE＝4cm，AE＝5cm，则AC等于 ． 【答案】9cm 【分析】首先根据角平分线的性质得出∠ACD＝∠DCB，进而利用平行线的性质得出∠EDC＝∠ECD，即可得出DE＝EC进而求出即可． 【详解】解：∵CD平分∠ACB交AB于D， ∴∠ACD＝∠DCB， ∵DE∥BC， ∴∠EDC＝∠DCB， ∴∠EDC＝∠ECD， ∴DE＝EC＝4cm， ∵AE＝5cm， ∴AC＝AE＋EC＝5＋4＝9（cm）． 故填：9cm． 【点睛】本题考查了角平分线性质、平行线性质、以及等角对等边的性质等，进行线段的等量代换是正确解答本题的关键． 24．（23-24七年级下·江西赣州·期中）已知△ABC中，CD平分∠ACB，∠2=∠3，∠B=70°  求∠1的度数． 【答案】∠1=70° 【分析】根据CD平分∠ACB，∠2=∠3，可得到∠BCD=∠2，从而DE//BC，即可解答． 【详解】解：∵CD平分∠ACB ∴∠BCD=∠3 ∵∠2=∠3    ∴∠BCD=∠2 ∴DE//BC    ∴∠1=∠B 又∵∠B=70° ∴∠1=70°． 故答案为：∠1=70° 【点睛】本题主要考查了平行线的判定和性质，角平分线的定义，解题的关键是熟练掌握平行线的判定定理和性质定理． 【易错必刷七 画三角形的高】 25．（24-25八年级上·福建厦门·期末）如图，在中，点D，E是边上两点，，，则是下列哪个三角形的高（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了三角形的高，根据，则是的高，即可作答． 【详解】解：∵， ∴是的高， 故选：A 26．（24-25八年级上·安徽亳州·阶段练习）在下列各图形中，线段是的边上高的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了三角形的高，三角形的高是指从三角形的一个顶点向对边作垂线，连接顶点与垂足之间的线段．根据三角形高的画法知，过点A作，垂足为D，其中线段是的高，再结合图形进行判断． 【详解】解：根据三角形高的画法知： A、线段是的边上高，故选项A不符合题意； B、线段是的边上高，故选项B符合题意； C、线段不是的边上高，故选项C不符合题意； D、线段是的边上高，故选项D不符合题意； 故选：B． 27．（23-24七年级下·黑龙江哈尔滨·期中）已知是的高，，，分别平分和，则 ． 【答案】或 【分析】本题主要考查了角平分线的定义，三角形内角和定理， 分两种情况：当在内部时，根据角平分线的定义求出，再根据三角形内角和定理得出答案； 当在外部时，先求出，仿照上述解答即可. 【详解】解：当在内部时，如图， ∵分别平分，且， ∴， ∴； 当在外部时，如图， ∵， ∴. ∵分别平分，且， ∴， ∴. 所以或. 故答案为：或. 28．（2024八年级上·浙江·专题练习）如图，中， 画出 边上的高 【答案】图见解析 【分析】本题考查了作图——三角形的高，根据相关定义正确作图即可．根据三角形的高的定义作图即可． 【详解】解：如图，高即为所求作． 【易错必刷八 判断是否是命题】 29．（25-26八年级上·全国·单元测试）下列语句中，属于定义的是（   ） A．两个锐角的和一定大于 B．两直线平行，内错角相等 C．两点之间线段最短 D．直线外一点到直线的垂线段的长度叫做点到直线的距离 【答案】D 【分析】此题考查了命题、定理、定义，根据定义的概念对各个选项进行分析，从而得到答案． 【详解】解：A．两个锐角的和一定大于，属于命题，不合题意； B．两直线平行，内错角相等，属于定理，不合题意； C．两点之间线段最短，属于命题，不合题意； D．直线外一点到直线的垂线段的长度叫做点到直线的距离，属于定义，符合题意； 故选D． 30．（24-25八年级上·江西吉安·期末）下列语句中不是命题的是（  ） A．对顶角不相等 B．过A、B 两点作直线 C．两点之间线段最短 D．内错角相等 【答案】B 【分析】本题考查了命题与定理：判断事物的语句叫命题；正确的命题称为真命题，错误的命题称为假命题；经过推理论证的真命题称为定理．根据命题的定义分别进行判断． 【详解】解：对顶角不相等；两点之间线段最短；内错角相等，它们都是命题， 而过A、B两点作直线为描述性语言，它不是命题． 故选：B． 31．（25-26八年级上·全国·课前预习）下列语句中，属于定义的是 ，是命题的是 ．（请填写序号） ①三角形的内角和等于；②无限不循环小数称为无理数；③你的作业做完了吗？④天空真蓝啊！⑤对顶角不相等；⑥连接两点的线段的长度，叫作这两点间的距离． 【答案】 ②⑥/⑥② ①②⑤⑥ 【分析】此题考查了定义及命题，根据三角形内角和定理、无理数的定义和对顶角性质、两点间的距离进行判断即可解决． 【详解】解：①三角形的内角和等于，是命题，不是定义； ②无限不循环小数称为无理数，是定义，也是命题； ③你的作业做完了吗？既不是定义也不是命题； ④天空真蓝啊！既不是定义也不是命题； ⑤对顶角不相等；不是定义，是命题； ⑥连接两点的线段的长度，叫作这两点间的距离，是定义，也是命题； 属于定义的是②⑥；是命题的是①②⑤⑥； 故答案为：②⑥；①②⑤⑥． 32．（22-23八年级上·全国·课后作业）给下列各题中的图形命名，并给出名称的定义． (1) (2) (3) 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)见解析 【分析】结合图形对三角形，平行四边形，梯形进行定义即可． 【详解】（1）解：该图形为三角形，定义：由不在同一直线上的三条线段首尾顺次连接所组成的图形叫做三角形； （2）解：该图形为平行四边形，定义：在同一平面内有两组对边分别平行的四边形叫做平行四百年行； （3）解：该图形为梯形，定义：在同一平面内，一组对边平行，另一组对边不平行的四边形叫做梯形． 【点睛】本题主要考查了命题与定义，熟知三角形，平行四边形，梯形的定义是解题的关键． 【易错必刷九 写出命题的题设与结论】 33．（24-25七年级下·广东东莞·期末）对命题“同位角相等”的描述正确的是（  ） A．是真命题 B．题设：两个角是同位角 C．是定理 D．结论：是同位角 【答案】B 【分析】本题考查命题的结构及真假判断，解题的关键是掌握原命题“同位角相等”需明确其题设与结论，并判断其正确性． 根据命题的结构以及平行线的性质定理逐项进行判断即可． 【详解】解：选项A：同位角相等仅在两条直线平行时成立，原命题缺少条件，故为假命题，该选项错误，不符合题意； 选项B：命题“同位角相等”可改写为“如果两个角是同位角，那么它们相等”，题设是“两个角是同位角”，结论是“这两个角相等”， 该选项正确，符合题意； 选项C：定理需为真命题，但原命题未限定条件，不成立，该选项错误，不符合题意； 选项D：结论应为“两个角相等”，而非“是同位角”， 该选项错误，不符合题意； 故选：B． 34．（23-24七年级下·山东临沂·期中）命题“直角三角形的两个锐角互余”的条件是（    ） A．一个三角形是直角三角形 B．两个锐角 C．互余的两个锐角 D．两个锐角互余 【答案】A 【分析】命题由题设和结论两部分组成，题设是已知的条件，根据定义可得答案． 【详解】解：命题“直角三角形的两个锐角互余”的条件是：一个三角形是直角三角形， 故选A 【点睛】本题考查的是命题的组成，掌握“命题都是由题设和结论两部分组成，题设是已知事项，结论是由已知事项推出的事项”是解本题的关键． 35．（23-24七年级下·山东临沂·期中）把命题“两直线平行，内错角相等”改成“如果……，那么……”的形式： ． 【答案】如果两直线平行，那么内错角相等 【分析】本题考查了命题与定理的知识，将原命题写成条件与结论的形式，“如果”后面是命题的条件，“那么”后面是条件的结论，解决本题的关键是找到相应的条件和结论，比较简单． 根据命题“两直线平行，内错角相等”的题设和结论进行分析解答即可． 【详解】解：命题“两直线平行，内错角相等”改成“如果……，那么……”的形式为： 如果两直线平行，那么内错角相等． 故答案为：如果两直线平行，那么内错角相等． 36．（23-24八年级上·宁夏银川·期末）如图，现有以下三个条件：①，②，③．请你以其中两个作为题设，另一个作为结论构造命题．    (1)你构造的是哪几个命题？ (2)你构造的命题有真命题吗？若有真命题，请给予证明． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题考查的是命题与定理，掌握平行线的判定和性质是解题关键． （1）根据题意写出命题即可； （2）根据平行线的判定和性质证明． 【详解】（1）解：可构造三个命题： 命题一：如果，，那么； 命题二：如果，，那么； 命题三：如果，，那么； （2）解：①选择“如果，，那么”进行验证： ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴该命题为真命题； ②选择“如果，，那么”进行验证： ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴该命题为真命题； ③选择“如果，，那么”进行验证： ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴该命题为真命题； ∴综上所述，三个命题都是真命题． 【易错必刷十 判断命题真假】 37．（24-25七年级下·湖南株洲·期末）下列说法中，正确的是（　　） A．相等的角是对顶角 B．过一点有且只有一条直线与已知直线垂直 C．内错角相等，两直线平行 D．直线外一点到这条直线的垂线段叫做点到直线的距离 【答案】C 【分析】本题考查了命题与定理的知识，对顶角的定义、平行线的性质、点到直线的距离的定义；根据以上定义及性质逐项判断即可得解． 【详解】解：A、相等的角不一定是对顶角，故本选项不符合题意； B、平面内过直线外一点，有且只有一条直线与已知直线垂直，故本选项不符合题意； C、内错角相等，两直线平行，故本选项符合题意； D、直线外一点到这条直线的垂线段的长度，叫做点到直线的距离，故本选项不符合题意； 故选：C． 38．（24-25七年级上·全国·期末）下列判断正确的是（　　） A．平角是一条直线 B．凡是直角都相等 C．两个锐角的和一定是锐角 D．钝角与锐角的差小于直角 【答案】B 【分析】本题考查了命题、角的有关概念，解题的关键是正确理解角的概念．根据角的概念，对选项进行一一分析，排除错误答案． 【详解】解：A、角是有公共点的两条射线所组成的图形，故A选项错误，不符合题意； B、直角都是的角，所以都相等，故B选项正确，符合题意； C、两个锐角的和可以是锐角或直角或钝角，故C选项错误，不符合题意； D、例如，，钝角与锐角的差不一定小于直角，故D选项错误，不符合题意， 故选：B． 39．（24-25七年级下·江西宜春·期末）如果，则是 命题． 【答案】假 【分析】本题考查判断命题真假，通过举反例说明命题的真假即可得出结论． 【详解】解：当，时，则且， ∴如果，则是假命题． 故答案为：假． 40．（24-25七年级下·江苏泰州·期末）已知：如图，直线被直线所截，①，②，③；请从①②③中选两个作为条件，一个作为结论，使其构成一个真命题，并写出证明过程． (1)条件： ，结论： ；（填序号） (2)证明： 【答案】(1)①②，③；或①③，②；或②③，① (2)见解析 【分析】本题考查了平行线的判定与性质，命题与定理：命题的“真”“假”是就命题的内容而言．任何一个命题非真即假．要说明一个命题的正确性，一般需要推理、论证，而判断一个命题是假命题，只需举出一个反例即可． （1）根据平行线的判定与性质定理写出是真命题的条件和结论即可； （2）利用了平行线的判定与性质定理证明即可． 【详解】（1）解：条件：①②，结论：③；（或条件：②③，结论：①；或条件：①③，结论：②） （2）证明：选条件：①②，结论：③ ∵， ∴（同旁内角互补，两直线平行）， ∵， ∴（内错角相等，两直线平行）， ∴（平行于同一直线的两条直线平行）． 选条件：①③，结论：② ∵， ∴（同旁内角互补，两直线平行）， ∵， ∴（平行于同一直线的两条直线平行）， ∴（两直线平行，内错角相等）． 选条件：②③，结论：① ∵， ∴（内错角相等，两直线平行）， ∵， ∴（平行于同一直线的两条直线平行）， ∴（两直线平行，同旁内角互补）． 【易错必刷十一 举反例】 41．（2025·浙江·模拟预测）能说明“若，则”是假命题的反例是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查的是命题与定理，判断一个命题是假命题，只需举出一个反例即可 根据实数的大小比较法则、实数的立方、假命题的概念解答． 【详解】解：A．时，，，不能说明命题“若，则”是假命题，不符合题意； B．时，，不能说明命题“若，则”是假命题，不符合题意； C．，，，不能说明命题“若，则”是假命题，不符合题意； D．时，，而，说明命题“若，则”是假命题，符合题意； 故选：D 42．（24-25七年级下·甘肃平凉·期末）能说明命题“两个锐角的和一定是钝角”是假命题的反例是（   ） A．， B．， C．， D．， 【答案】D 【详解】本题考查说明一个命题是假命题．要说明命题“两个锐角的和一定是钝角”是假命题，需找到两个锐角的和不是钝角的例子．钝角需满足，若和为锐角（）或直角（），则构成反例． 【分析】解：选项A：，，和为，是钝角，支持原命题，不构成反例． 选项B：，，和为，是钝角，支持原命题，不构成反例． 选项C：，，和为，是钝角，支持原命题，不构成反例． 选项D：，，和为，是锐角，说明两个锐角的和可能不是钝角，构成反例． 故选：D． 43．（24-25七年级下·北京密云·期末）用一个的值说明命题“若，则”是假命题，这个值可以是 ． 【答案】（答案不唯一） 【分析】本题考查的是命题的证明和判断，任何一个命题非真即假．要说明一个命题的正确性，一般需要推理、论证，而判断一个命题是假命题，只需举出一个反例即可． 任意举一个负数即可． 【详解】解：当时，满足，但不满足， 故答案为：（答案不唯一）． 44．（24-25七年级下·陕西榆林·阶段练习）命题：互补的两个角一定是一个锐角，一个钝角． (1)将该命题改写成“如果……，那么……”的形式； (2)该命题是真命题还是假命题？如果是假命题，请举一个反例． 【答案】(1)如果两个角互补，那么这两个角一个是锐角，一个是钝角 (2)假命题，反例为两个直角相加也为180度 【分析】本题主要考查命题及真假命题的判断，熟练掌握各个概念是解题的关键； （1）根据题意可直接进行求解； （2）根据真假命题的判定及反例可直接进行求解． 【详解】（1）解：由题意得：如果两个角互补，那么这两个角一个是锐角，一个是钝角； （2）解：该命题是假命题，反例为两个直角相加也为180度． 【易错必刷十二 图形的全等】 45．（25-26八年级上·全国·课后作业）下列选项中，两个图案不属于全等形的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查的是全等图形的识别，掌握全等图形的概念是解决问题的关键．利用全等图形的概念（两个图形能够完全重合，就是全等图形）可得答案． 【详解】解：A、两个图形能够完全重合，是全等图形，不符合题意； B、两个图形能够完全重合，是全等图形，不符合题意； C、两个图形能够完全重合，是全等图形，不符合题意； D、两个图形形状相同，但大小不同，不能完全重合，不是全等图形，符合题意； 故选：D． 46．（24-25七年级下·重庆万州·期末）如图，四边形中，．若四边形四边形，则的长为（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】B 【分析】本题考查全等多边形的性质，由全等多边形的对应边相等，得出，即可求解． 【详解】解：四边形四边形， ， ， ， 故选：B． 47．（23-24七年级下·湖南衡阳·期末）如图所示的是两个全等的五边形，，，，，，，，点B与点H、点D与点J分别是对应顶点，则图中标的 ， °． 【答案】 11 115 【分析】此题考查了全等多边形的性质，根据全等多边形对应边相等，对应角相等求解即可． 【详解】∵五边形和五边形全等 ∴， 故答案为：11，115． 48．（22-23八年级上·全国·课后作业）如图，画在透明纸上的和是全等图形吗？你是怎么判新的？ 【答案】是全等图形，理由见解析 【分析】利用全等图形的概念可得答案． 【详解】解：是全等图形，理由如下： 把两个图形放在一起，把和，和，和重合，发现能够完全重合， 因此和是全等图形． 【点睛】此题主要考查了全等图形，关键是掌握能够完全重合的两个图形叫做全等图形． 【易错必刷十三 全等三角形的性质】 49．（25-26八年级上·全国·单元测试）如图，已知，则的度数是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】此题考查全等三角形的性质，由三角形全等得到，即可推出． 【详解】解：∵， ∴， ∴ ∴， 故选：B． 50．（25-26八年级上·全国·阶段练习）图中的两个三角形全等，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了全等三角形的性质．掌握全等三角形的对应角相等是解题的关键．根据全等三角形的性质即可解答． 【详解】解：∵图中的两个三角形全等，且是边a、b的夹角， ∴． 故选：C． 51．（24-25八年级上·湖南邵阳·期末）已知，的周长为，如果，， ． 【答案】13 【分析】本题考查了全等三角形的性质，熟练掌握全等三角形对应边相等是解题的关键．根据全等三角形对应边相等，可得，再根据三角形的周长公式即可求解． 【详解】解：∵， ∴， ∵的周长为， ∴， 又∵， ∴． 故答案为：13． 52．（24-25七年级下·陕西西安·期末）如图，，若，，求的度数． 【答案】 【分析】本题考查了全等三角形对应角相等的性质，根据，，求出的度数为，再根据全等三角形对应角相等可得． 【详解】解：，， ， ， ． 【易错必刷十四 尺规作图 —— 作三角形】 53．（23-24八年级上·江苏苏州·期中）根据下列已知条件，能画出唯一的的是（    ） A．， B．，， C．，， D．，， 【答案】D 【分析】本题考查了全等三角形的判定，三角形的三边关系，根据全等三角形的判定定理及三角形的三边关系逐项判断即可求解，掌握以上知识点是解题的关键． 【详解】解：A、已知一角和一边，不能判定三角形全等，故该选项不能画出唯一，不合题意； B、已知两边及一边的对角相等，不能判定三角形全等，故该选项不能画出唯一，不合题意； C、因为，所以三条线段不能构成三角形，故该选项不能画出唯一，不合题意； D、已知两角及夹边相等，由能判定三角形全等，故该选项能画出唯一，符合题意； 故选：D． 54．（2024广东深圳·一模）如图，在中， ，按如下步骤操作；①以点A为圆心，任意长为半径作弧，分别交、于D、E两点；②以点C为圆心，长为半径作弧，交的延长线于点F；③以点F为圆心，长为半径作弧，两弧交于点G；④作射线，若，则为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了尺规作图以及直角三角形两锐角互余的知识，由作图知是解题的关键．由作图知，再根据直角三角形两锐角互余即可求出结果． 【详解】解：由作图知：， ∵， ∴， ∵， ∴． 故选：B． 55．（24-25七年级下·上海闵行·期末）如图，给定一个，用直尺和圆规作，有人的作法是： ①作；②以点为圆心，以长为半径作弧，交于点； ③以点为圆心，以长为半径作弧，交于点；④连接． 就是求作三角形．在此作法中，判定的依据是 ．（填简记） 【答案】 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定，尺规作图—作三角形，根据作图方法可得，，，据此根据全等三角形的判定定理即可得到答案． 【详解】解：由作图方法可得，，， ∴， 故答案为：． 56．（24-25七年级下·陕西西安·阶段练习）如图，已知与线段，尺规作图（保留作图痕迹，不写作法）：作，使得，，； 【答案】见解析 【分析】本题考查了作图复杂作图．根据基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作． 【详解】解：如图所示，即为所求作． ． 【易错必刷十五 用 SSS 证明三角形全等】 57．（22-23八年级上·全国·期中）请仔细观察用直尺和圆规作一个角等于已知角的示意图，要说明，需要证明，则这两个三角形全等的依据是（　　） A．边边边 B．边角边 C．角边角 D．角角边 【答案】A 【分析】本题涉及尺规作图以及全等三角形的知识，由尺规作图得出相等的线段是关键； 由尺规作图易得，结合SSS得出；再根据全等三角形的对应角相等解答即可. 【详解】解：由作法易得， 在和中， ， ∴， ∴（全等三角形的对应角相等）． 故选：A． 58．（24-25七年级下·陕西咸阳·期末）如图，的三个顶点分别在正方形网格的3个格点上．若在网格图中的格点上有一点（不与点，，重合），使得与全等，则这样的三角形有（   ） A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 【答案】B 【分析】本题考查利用三角形全等的判定作图，熟记三角形全等的判定定理是解决问题的关键．以为公共边，结合两个三角形全等的判定定理，使所作的三角形另外两条边分别与的边相等即可得到答案． 【详解】解：如图所示： 在网格图中的格点上有一点（不与点，，重合），使得与全等，则这样的三角形有3个， 故选：B． 59．（23-24八年级上·江苏泰州·期中）三个顶点分别在小正方形的顶点（格点）上的三角形叫格点三角形．除格点外，在网格中可画出与全等的格点三角形共有 个． 【答案】3 【分析】利用判定两三角形全等，认真观察图形可得答案．本题考查作图应用与设计作图、全等三角形的判定，注意观察图形，掌握全等三角形的判定方法是解决本题的关键． 【详解】解：如图，    图中与全等的格点三角形是，共3个， 故答案为：3． 60．（25-26七年级上·全国·课后作业）如图，全等吗？为什么？ 【答案】，理由见解析 【分析】本题考查全等三角形的判定，根据证明即可． 【详解】解：，理由如下： 在和中， ∴． 【易错必刷十六 用 SAS 证明三角形全等】 61．（24-25七年级下·四川成都·期末）如图，在和中，点E、F在上，，，添加下列一个条件后能用“”判定的是（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了全等三角形的判定，熟练掌握全等三角形的判定方法是解题的关键．先利用等式的性质可得，然后添加利用证明，即可解答． 【详解】解：添加后能用“”判定， 理由：， ， ， 在和中，， ． 故选：A． 62．（23-24八年级上·江苏徐州·阶段练习）如图，将两根钢条 、的中点O连在一起，使 、可以绕着点O自由转动，就做成了一个测量工件，则的长等于内槽宽；那么判定的理由是（   ） A．边角边 B．角边角 C．边边边 D．角角边 【答案】A 【分析】此题考查了全等三角形判定方法的应用．由是、的中点， 可得：，，再由，可以根据全等三角形的判定方法，判定． 【详解】解：∵是 、的中点， ∴，， 在和中， ， ∴， 故选：A． 63．（23-24八年级上·江苏镇江·阶段练习）如图所示，，．可利用 来判定． 【答案】 【分析】本题考查了全等三角形的判定，熟练掌握全等三角形的判定是解题的关键．根据全等三角形的判定即可解答． 【详解】解：在和中 ∴． 故答案为：． 64．（24-25七年级下·北京·期末）如图，点F，C在线段上，，．与全等吗？为什么？ 【答案】全等，理由见解析 【分析】本题考查了平行线的性质、三角形全等的判定，熟练掌握三角形全等的判定方法是解题关键．先根据平行线的性质可得，再证出，然后根据定理即可得证． 【详解】解：与全等，理由如下： ∵， ∴， ∵， ∴，即， 在和中， ， ∴． 【易错必刷十七 用 ASA（AAS）证明三角形全等】 65．（2024七年级下·广东梅州·竞赛）如图，小飞在设计的“风筝”图案中，已知，，，那么与相等．小飞直接证明，他的证明依据是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了全等三角形的判定，熟练掌握全等三角形判定方法是解题的关键．根据已知，证出即可解答． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， 故选：C． 66．（24-25七年级下·辽宁丹东·期末）小明不小心把一块三角形的玻璃摔碎成如图所示的四块（即图中标有1、2、3、4的四块），为了能配一块与原来完全一样的三角形，小明应该带（    ）去玻璃商店． A．第1块 B．第2块 C．第3块 D．第4块 【答案】B 【分析】本题主要考查三角形全等的判定，看这4块玻璃中哪个包含的条件符合某个判定．解题的关键是熟练掌握判定两个三角形全等的判定定理：、、、、．本题应先假定选择哪块，再对应三角形全等判定的条件进行验证． 【详解】解：1、3、4块玻璃不同时具备包括一完整边在内的三个证明全等的要素，所以不能带它们去， 只有第2块有完整的两角及夹边，符合，满足题目要求的条件，是符合题意的． 故选：B． 67．（24-25八年级上·吉林通化·阶段练习）如图，一块三角形玻璃板，不小心摔成三块，小亮要想得到一块与原来一样的三角形玻璃板，需要带着第 块去商店． 【答案】③ 【分析】本题考查了全等三角形的应用，显然第③中有完整的三个条件，用易证需要的三角形与原三角形全等，学会把实际问题数学化为正确解答本题的关键． 【详解】解：因为第③块中有完整的两个角以及它们的夹边，利用易证三角形全等，故应带第③块． 故答案为：③． 68．（24-25八年级上·全国·期末）已知：如图，点A，B，C，D在同一直线上，，，． 求证：． 【答案】详见解析 【分析】本题考查全等三角形的判定，由平行线的性质推出，由，得到，即可证明． 【详解】证明：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 在和中， ， ∴． 【易错必刷十八 线段垂直平分线的性质】 69．（23-24八年级上·山东菏泽·期中）如图，中，边的垂直平分线分别交于点，，的周长为，则的周长为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了垂直平分线的性质，掌握其运用是解题的关键．根据垂直平分线的性质可得，则，可得的值，根据的周长的计算方法即可求解． 【详解】解：∵是线段的垂直平分线， ∴， ∴ ∵的周长为，即， ∴， ∵的周长为，且， ∴． 故选：C． 70．（25-26八年级上·全国·单元测试）如图，在中，是的垂直平分线，交于点D，交于点E，，，，则周长为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查线段垂直平分线的性质， 根据是的垂直平分线得，继而得到，可得答案． 【详解】解：∵是的垂直平分线， ∴， ∴， ∴， ∴周长为． 故选：B． 71．（22-23八年级上·全国·期中）如图所示，在中，直线是边的垂直平分线且交于D，若，，则的周长为 ． 【答案】14 【分析】本题考查的是线段的垂直平分线的性质，根据线段的垂直平分线的性质得到，根据三角形的周长公式计算即可． 【详解】解：直线是边的垂直平分线， ∴， ∴的周长， 故答案为：14 72．（24-25八年级下·宁夏银川·阶段练习）如图，在中，的垂直平分线分别交于点，的垂直平分线分别交于点，连接，，若周长为10，求线段的长． 【答案】10 【分析】本题考查线段的垂直平分线的性质．根据线段的垂直平分线的性质“线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等”得到，再根据三角形的周长公式计算，得到答案． 【详解】解：∵垂直平分垂直平分， ， ∵的周长为 10 ， ， ， ∴线段的长为 10 ． 【易错必刷十九 角平分线的性质定理】 73．（24-25八年级下·陕西榆林·阶段练习）如图，在中，，以顶点为圆心，适当长为半径画弧，分别交于点，再分别以点为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点，作射线交边于点，若，则的面积是（　　） A．24 B．28 C．32 D．36 【答案】B 【分析】本题主要考查尺规作角平分线，角平分线的性质定理的运用，理解尺规作角平分线，掌握角平分线的性质定理的运用是关键． 过点D作于点E，根据角平分线的性质得到，根据三角形的面积公式计算即可． 【详解】解：如图，过点D作于点E， 由基本尺规作图可知，是的角平分线， ∵， ∴， ∴， 故选：B． 74．（22-23八年级上·全国·期中）如图，的三边，，的长分别为20，30，40，O是三条角平分线的交点，则等于（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了角平分线的性质定理，掌握角平分线的性质是解题的关键． 过点作于，于，于，由角平分线的性质得，即可求解． 【详解】解：如图，过点作于，于，于， 点O是三条角平分线的交点， ， ∵， ， ， ． 故选：C 75．（24-25八年级下·湖南永州·阶段练习）如图，分别平分，且于点的周长为，则的面积为 ． 【答案】 【分析】本题考查了角平分线上的点到角的两边的距离相等的性质，判断出三角形的面积与周长的关系是解题的关键． 连接，作于点，作于点，根据角平分线上的点到角的两边的距离相等可得点到的距离都相等（即，从而可得到的面积等于周长的一半乘以3，代入求出即可． 【详解】解：连接，作于点，作于点， ∵分别平分和，， ∴， ∵的周长是于，且， ∴， 故答案为：． 76．（25-26八年级上·全国·单元测试）如图，中，，平分，于E，，．求的长． 【答案】 【分析】根据，即可求出的长，再根据角平分线的性质定理即可解答． 本题主要考查了角平分线的性质定理：角平分线上的点到角的两边距离相等．熟练掌握角平分线的性质定理是解题的关键． 【详解】∵，， ∴，； ∵平分，，， ∴． 【易错必刷二十 作已知线段的垂直平分线】 77．（24-25七年级下·江苏南京·期中）如图，在中，分别以点和点为圆心，大于长为半径画弧，两弧交于点，，作直线，交于点，交于点，连接，若，，．则的周长为（   ） A．14 B．15 C．17 D．23 【答案】C 【分析】本题考查作图-基本作图、线段垂直平分线的性质，熟练掌握线段垂直平分线的性质是解答本题的关键．由尺规作图可知，直线为线段的垂直平分线，则可得，进而可得的周长为，即可得出答案． 【详解】解：由尺规作图可知，直线为线段的垂直平分线， ∴， ∴的周长为， 故选：C 78．（24-25七年级下·江苏扬州·期中）如图，在中，分别以、为圆心，大于的长为半径在两侧作弧，两弧相交于点、，作直线分别交于边，于点、，连接，若的长为，则的长为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了线段垂直平分线的作法和性质，由作图可知直线是线段的垂直平分线，进而由线段垂直平分线的性质即可求解，掌握线段垂直平分线的作法是解题的关键． 【详解】解：由作图可知，直线是线段的垂直平分线， ∴， 故选：． 79．（24-25八年级上·湖北武汉·期中）如图，已知，，分别以A，B两点为圆心，大于的长为半径作弧，两弧相交于点M，N，直线与相交于点D，的周长是 ．    【答案】12 【分析】本题考查了作图-基本作图，垂直平分线的性质，掌握该性质是解题的关键．根据题意，得到是的垂直平分线，根据垂直平分线的性质得到，再利用线段的等量转换即可解答． 【详解】解：由题意得是的垂直平分线， ， ，， 的周长． 故答案为：12． 80．（24-25八年级下·陕西西安·阶段练习）已知公路l的两侧有两个村庄A，B，要在公路旁边建一个公交车上落站，使上落站到两个村庄的距离相等，请确定上落站的位置． 【答案】见解析 【分析】本题考查了线段垂直平分线的性质，熟练掌握线段垂直平分线的性质是解题的关键． 根据上落站到两个村庄的距离相等可得公交站位置为线段的垂直平分线与公路的交点，故连接，作出线段的垂直平分线与公路相交，交点即为公交站的位置． 【详解】解：如图点的位置即为公交站的位置， 【易错必刷二十一 作角平分线（尺规作图）】 81．（2025·河南开封·一模）如图，下列四个图形中，根据尺规作图的痕迹，能判断射线是的平分线的为（   ） A．①② B．①③ C．①④ D．①②③ 【答案】B 【分析】本题考查了尺规作图，解决问题的关键是理解作法、掌握角平分线的定义．利用基本作图对四个图形的作法进行判断即可． 【详解】解：①作图是尺规作图作角的平分线，故①正确； ②作图不能得到射线是的平分线，故②错误； ③作图可以得到射线是的平分线，故③正确； ④作图可以得到是的中线，故④错误； 故选：． 82．（23-24八年级·吉林长春·阶段练习）用尺规作已知角的角平分线，其根据是构造两个三角形全等，它所用到识别全等三角形的方法是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查的是全等三角形的性质和判定，根据题意作出图形，再连接，，根据证明，即可推出本题的答案． 【详解】解：连接，， ∵，， ， ∴， ∴， 故选：D． 83．（24-25八年级上·全国·期末）如图，在中，，首先以顶点B为圆心，适当长为半径作弧，在边上截取；然后分别以点D、E为圆心，大于长为半径作弧，两弧在内交于点F；作射线交于点G．若，P为边上一动点，则的最小值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了垂线段最短，角平分线的性质定理等知识，熟记垂线段最短是解题的关键．根据角平分线的性质定理以及垂线段最短解决问题即可． 【详解】解：过点G作于点， 由尺规作图步骤可得，平分， ∵，，， ∴， ∵P为边上一动点， ∴， ∴的最小值为4． 故答案为：4． 84．（25-26八年级上·浙江·阶段练习）如图，，． (1)延长到E，使，延长到F，使，连接，求证：． (2)在（1）的条件下，作的平分线（尺规作图，保留痕迹），交于点H． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题考查了全等三角形的性质与判定，尺规作角平分线，熟练掌握全等三角形的性质与判定是解题的关键． （1）根据题意画出图形，证明，得出，则，即可得证； （2）利用尺规作角平分线的方法作的平分线，交于点H，即可作答． 【详解】（1）证明：如图所示， ∵，,， ∴， ∴， ∴， 又∵， ∴； （2）解：如图，的平分线和点H即为所求： 学科网（北京）股份有限公司 $$