专题06讲三角形50道计算题专项训练（5大题型）-2025-2026学年浙教版八年级数学上册重难点专题提升精讲精练

第06讲三角形50道计算题专项训练（5大题型） 题型一 三角形外角综合计算 题型二 全等三角形性质综合计算 题型三 全等的性质和ASA、SAS、AAS综合计算 题型四 角平分线性质与三角形相关知识综合计算 题型五 线段垂直平分线性质综合计算题型 【经典计算题一 三角形外角综合计算】 1．（25-26八年级上·全国·课后作业）如图，在中，，平分，，，求的度数． 2．（23-24八年级上·江苏无锡·期中）如图，在中，的延长线于E，的延长线于F，M为BC的中点，分别连接、、． (1)若，，求的周长； (2)若，，求的度数． 3．（24-25七年级下·山东菏泽·阶段练习）（1）计算：图中和的度数； （2）已知，，求代数式的值． 4．（24-25八年级上·福建莆田·阶段练习）如图，在中，于D平分与交于点F，求． 5．（24-25七年级下·江苏南京·阶段练习）综合与探究小明在学习中遇到这样一个问题：如图，，点，分别在，上运动不与点重合探究与发现：若是的平分线，的反向延长线与的平分线交于点． (1)①若，则______； 猜想：的度数是否随，的运动而发生变化？并说明理由； (2) 拓展延伸：如图，若，，求的度数． 6．（24-25八年级上·四川泸州·期中）如图，在中，，． (1)求的度数； (2)若，交于点E，判断的形状，并说明理由． 7．（22-23八年级上·山东滨州·期末）（1）计算： （2）如图，在中，，外角的平分线、相交于点D，求的度数． 8．（23-24九年级上·湖南永州·期末）为缅怀北宋著名哲学家、宋明理学的开山鼻祖周敦颐（1017-1073），弘扬道州优秀的传统文化，道州人民在敦颐广场塑了一座周敦颐铜像。小聪为了测量铜像的高度，如图，先在敦颐广场的地面处用高为1．51米的测角仪，测得塔顶的仰角为，再向塔身前进10米到达处，又测得塔顶的仰角为，请你计算出铜像的高度．（，结果精确到） 9．（23-24七年级下·四川眉山·期末）如图1，在ABC中，AE平分∠BAC（∠C＞∠B），F为AE上一点，且FD⊥BC于点D． （1）当∠B＝35°，∠C＝75°时，求∠EFD的度数； （2）若∠B＝α，∠C＝β，请结合（1）的计算猜想∠EFD、∠B、∠C之间的数量关系，直接写出答案，不用说明理由；（用含有α、β的式子表示∠EFD） （3）如图2，当点F在AE的延长线上时，其余条件不变，则（2）中的结论还成立吗？若成立，请说明为什么；若不成立，请写出成立的结论，并说明为什么． 10．（23-24七年级下·上海闵行·期中）已知直线，点、在直线上，点、在直线上，连接、，平分，平分，且、所在直线交于点． (1)如图1： ①如果，，那么的度数为______； ②如果设，，那么的度数为______． （用含有、的式子表示） (2)如图2： ①试说明； ②设线段与线段的交点为点，线段与线段的交点为点，如果，那么的度数为______． 【经典计算题二 全等三角形性质综合计算】 11．（22-23八年级·全国·课堂例题）如图所示，已知，和是对应角，，，求线段的长度．    12．（23-24八年级上·山东聊城·阶段练习）如图，已知，点E是的中点，，，求的长． 13．（23-24八年级上·江苏扬州·期中）勾股定理神奇而美妙，它的证法多种多样，在学习了教材中介绍的拼图证法以后，小华突发灵感，给出了如图拼图：两个全等的直角三角板和直角三角板，顶点F在边上，顶点C、D重合，连接、．设、交于点G．，，，．请你回答以下问题： (1)填空： °． (2)请用两种方法计算四边形ACBE的面积，并以此为基础证明勾股定理． 14．（23-24八年级上·江西上饶·阶段练习）（1）如图，在四边形中，请根据相关数据计算的值．    （2）如图，已知，求证：．    15．（22-23七年级下·四川成都·期末）【操作发现】（1）如图1是一个长为、宽为的长方形，沿图1中虚线用剪刀平均分成四块小长方形，然后用四块小长方形拼成的一个“回形”正方形（如图2）．那么图2中的阴影部分的面积为：_______（用a，b的代数式表示）；观察图2，请你写出，，之间的等量失系是________； 【灵活应用】（2）运用所得到的公式计算：若x，y为实数，且，，求的值； 【拓展迁移】（3）将两块全等的特制直角三角板，按如图3所示的方式放置，A，O，D在同一直线上，连接AC，BD．若，，求阴影部分的面积．    16．23-24七年级下·江苏苏州·期末）【知识生成】我们已经知道，通过计算几何图形的面积可以表示一些代数恒等式．例如图1可以得到，基于此，请解答下列问题； (1)【直接应用】若，，求xy的值； (2)【类比应用】填空：①若，则______； ②若，则______； (3)【知识迁移】两块全等的特制直角三角板（）如图2所示放置，其中A，O，D在一直线上，连接AC，BD．若，，求一块直角三角板的面积． 17．（23-24·河南郑州·三模）在△ABC中，AB=AC≠BC，点D和点A在直线BC的同侧，BD=BC，∠BAC=α，∠DBC=β，且α+β=120°，连接AD，求∠ADB的度数．（不必解答） （1）小聪先从特殊问题开始研究，当α=90°，β=30°时，利用轴对称知识，以AB为对称轴构造△ABD的轴对称图形△ABD′，连接CD′（如图2），然后利用α=90°，β=30°以及等边三角形等相关知识便可解决这个问题． 请结合小聪研究问题的过程和思路，在这种特殊情况下填空：△D′BC的形状是　 　三角形；∠ADB的度数为　 　． （2）在原问题中，当∠DBC＜∠ABC（如图1）时，请计算∠ADB的度数； （3）在原问题中，过点A作直线AE⊥BD，交直线BD于E，其他条件不变若BC=7，AD=2．请直接写出线段BE的长为　 　． 18．（23-24八年级上·江苏连云港·期中）如图①，在中，，，，，现有一动点P从点A出发，沿着三角形的边运动，回到点A停止，速度为，设运动时间为． (1)如图①，当时，________cm； (2)如图①，当________时，的面积等于面积的一半； (3)如图②，在中，，，，．在的边上，若另外有一个动点Q，与点P同时从点A出发，沿着边运动，回到点A停止．在两点运动过程中的某一时刻，恰好，求点Q的运动速度． 19．（22-23八年级下·河南郑州·期末）小慧同学在参加学校剪纸社团的时候，剩下了一些四边形的纸片，爱思考的她想计算一下这张纸片的面积，通过测量她发现，，，，，．她发现如果将纸片沿着裁剪，拼到的左侧正好可以拼成一个等腰直角三角形（），通过证明和计算，她得到了这张纸片的面积．    同桌小智经过思考，过点A作的垂线，然后沿着裁剪，将拼接到的左侧，这样就拼出了两个等腰直角三角形（和），通过证明和计算，他也得到了这张纸片的面积．    你知道他们都是如何解决这个问题的吗？请你从两名同学的作法中任选一个，给出证明，并求出四边形的面积． 20．（23-24九年级上·天津·期末）在平面直角坐标系中，为等腰三角形，，点，点，．点为轴正半轴上任意一点（与点不重合），点，连接，将线段绕点逆时针旋转得到线段，连接并延长交轴于点． (1)如图1，当，时，则点的坐标为______________，点的坐标为______________； (2)当时． ①如图2，请判断和的位置关系，并说明理由； ②过点作轴，垂足为，请直接写出的长（用含有的式子表示）． 【经典计算题三 全等的性质和ASA、SAS、AAS综合计算】 21．（24-25八年级上·河北沧州·期末）如图1、图2、图3中，点、分别是正、正四边形、正五边形中以点为顶点的一边延长线和另一边反向延长线上的点，且与能互相重合，延长线交于点． (1)求图1中的度数； (2)图2中的度数为_______，图3中的度数为_______． 22．（23-24八年级上·河南新乡·期末）如图，是等腰直角三角形，直角顶点B在x轴上，一锐角顶点C在y轴上． (1)如图1，若点B的坐标是，点A的坐标是，则点C的坐标为 ； (2)如图2，若y轴恰好平分，与y轴交于点D，过点A作轴于点E，问与有怎样的数量关系？并说明理由． (3)如图3，直角边的两个端点在两坐标轴上滑动，使点A在第二象限内，过点A作轴于点F，在滑动的过程中，为定值，求出这个定值． 23．（23-24八年级上·吉林四平·期末）如图，是等边三角形，．动点从点出发，以速度沿射线运动．连接，以为边向其右侧作等边三角形，连接．设点的运动时间为（）． (1)当点在边上时，求的长；（用含的式子表示） (2)用含的式子表示的长； (3)当以点为顶点的四边形是轴对称图形时，直接写出的值． 24．（23-24八年级上·河北沧州·阶段练习）如图1，在等边三角形中，，点分别在边上，且，动点从点出发沿射线运动，以为边向右侧作等边三角形，连接． (1)求证：是等边三角形； (2)当点P在线段上运动时，求与之间的数量关系； (3)如图2，当点在线段的延长线上运动时． ①__________度； ②当时，求的长； (4)连接，直接写出的最小值． 25．（23-24九年级上·山东烟台·期中）如图，在四边形中，，，E为边上的点，为等边三角形，，，求的正切值． 26．（23-24八年级上·山东临沂·期中）如图，平分，的延长线交于点E，若，求的度数． 27．（23-24八年级上·河北邢台·期中）如图，在河岸两侧的，两点处分别有一个电线塔，嘉淇想要测量这两个电线塔之间的距离，于是他在点所在河岸一侧的平地上取一点，使点，，在一条直线上，另取点，使得，然后测得，，在的延长线上取一点，使得，量得．    (1)求的度数 (2)请帮嘉淇计算这两个电线塔之间的距离是多少米？ 28．（23-24九年级上·广东茂名·期中） 小亮舅舅有块菱形菜地，已知．小亮舅舅想在，边上分别找一点E、F（不与端点重合），连接、，将菱形菜地分成三个区域，其中和区域种植黄瓜，剩余区域种植韭菜，小亮对此产生了浓厚的兴趣，主动帮助舅舅测量找点． (1)当时，可以求得 ° ； (2)保持的度数与第（1）问中的相等，改变点E、F的位置，使得无论点E位于何处，与的和都为10 m． ①请你帮助小亮计算菱形菜地的面积； ②舅舅告诉小亮，他想要种植韭菜区域的面积是黄瓜区域面积的3倍，请你帮助小亮求的长． 29．（24-25八年级上·福建莆田·阶段练习）如图所示,，B、D、E在同一直线上,，求的度数大小． 30．（24-25七年级下·重庆·期中）如图，已知和，，，，与交于点，点在上． (1)试说明； (2)若，，求的度数． 【经典计算题四 角平分线性质与三角形相关知识综合计算】 31．（23-24八年级上·全国·课堂例题）如图所示，已知在中，平分，于点E，，交于点F，若，求的长． 32．（23-24八年级上·吉林·期末）如图，在中，，平分，，，求． 33．（23-24八年级上·甘肃定西·期末）已知：在中，，平分， 垂直平分．    (1)求的度数； (2)若，求的长． 34．（22-23七年级上·山东东营·期末）如图，在中，，，平分交于点，，垂足为点，若，求的长．    35．（2023八年级下·全国·专题练习）如图所示，已知的周长是，、分别平分和，于，且，求的面积？    36．（24-25八年级上·吉林·期末） [感知]如图①，是的平分线，点P是上任一点，作，，垂足分别为D和E．易知(不需要证明)； [探究]如图②，在中，是它的角平分线．若．求与的面积比； [应用]如图③．的周长是8．、分别平分和．于点D．若，则的面积为______． 37．（24-25八年级上·河北保定·期中）如图1，图2，在中，，D为的平分线上一点． (1)如图1，当点D在线段上时，平分，分别交，于点E，F，求的度数； (2)如图2，当点D在的外部时，过点D作，交于点M，，交的延长线于点N，且． ①连接，．求证：点D在的垂直平分线上； ②若，，则______． 38．（23-24七年级下·黑龙江哈尔滨·期末）如图，已知在中，，，平分，平分． (1)如图1，求的度数； (2)如图2，连接，作，，，求的面积． 39．（23-24八年级上·江西九江·阶段练习）如图，在中，，，，平分，交于点，求线段的长． 40．（23-24八年级上·浙江杭州·期中）如图，在中，，是的角平分线． (1)若，，求的长； (2)若，，求的长． 【经典计算题五 线段垂直平分线性质综合计算题型】 41．（23-24八年级上·福建厦门·阶段练习）如图，是的垂直平分线，，的周长为16，求的周长． 42．（23-24八年级下·广东深圳·阶段练习）如图， 中，，，是腰的垂直平分线，求的度数． 43．（23-24八年级上·江苏苏州·阶段练习）如图，在中，是的垂直平分线，若，，求的周长？ 44．（22-23八年级下·广东揭阳·阶段练习）如图，在中，，，的垂直平分线交于点，垂足为点，连接，求的周长． 45．（23-24八年级上·江苏苏州·阶段练习）如图，在中，，，，的垂直平分线分别交，于点，．求的长．    46．（24-25八年级下·贵州贵阳·阶段练习）如图，在中，，，线段的垂直平分线交于点D，交于点E，连接，求的度数． 47．（24-25七年级下·全国·单元测试）如图，在中，，，边的垂直平分线，交于点，交于点，边的垂直平分线交于点，交于点，连接，． (1)求的度数； (2)求的周长． 48．（24-25八年级下·全国·期末）如图，在中，，边的垂直平分线交和于点D，E，并且平分． (1)求的度数； (2)若，求的长． 49．（2024八年级下·全国·专题练习）如图，已知在中，，点在外，且点在的垂直平分线上，连接，与相交于点，若，，求的度数． 50．（23-24八年级上·湖北武汉·期中）如图，在中，，垂直平分，交于点，交于点，且，，求的度数． 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第06讲三角形50道计算题专项训练（5大题型） 题型一 三角形外角综合计算 题型二 全等三角形性质综合计算 题型三 全等的性质和ASA、SAS、AAS综合计算 题型四 角平分线性质与三角形相关知识综合计算 题型五 线段垂直平分线性质综合计算题型 【经典计算题一 三角形外角综合计算】 1．（25-26八年级上·全国·课后作业）如图，在中，，平分，，，求的度数． 【答案】 【分析】本题考查三角形的外角，根据三角形的外角求出，角平分线，求出的度数，再根据三角形的外角求出的度数即可． 【详解】解：∵是的一个外角， ∴， ∴， ∵平分， ∴， ∴． 2．（23-24八年级上·江苏无锡·期中）如图，在中，的延长线于E，的延长线于F，M为BC的中点，分别连接、、． (1)若，，求的周长； (2)若，，求的度数． 【答案】(1)11 (2) 【分析】本题考查了三角形外角的性质，直角三角形斜边上的中线，根据直角三角形斜边上的中线性质解题即可． （1）根据垂直定义可得，然后利用直角三角形斜边上的中线性质可得，，从而进行计算即可解答； （2）先利用直角三角形斜边上的中线性质得出，．从而利用等腰三角形的性质可得，，然后利用三角形外角的性质求出和的度数，从而利用平角定义进行计算即可解答． 【详解】（1）解：∵ ∴， ∵M为的中点，， ∴，， ∵， ∴的周长， ∴的周长为11； （2）∵， ∴， ∴， ∴， ∵，M为BC的中点， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴的度数为． 3．（24-25七年级下·山东菏泽·阶段练习）（1）计算：图中和的度数； （2）已知，，求代数式的值． 【答案】（1）的度数是，的度数是； （2）代数式的值为． 【分析】本题考查三角形的内角和定理，三角形外角的性质，角平分线，因式分解，解题的关键是熟练掌握三角形的内角和定理，会分解因式． （1）根据三角形的内角和定理，计算可得的度数，由三角形外角的性质结合角平分线的定义，计算可得的度数； （2）用提公因式法对代数式进行因式分解，整体代入，计算即可． 【详解】（1）解：∵，， ∴，， ∵平分， ∴， 答：的度数是，的度数是． （2）解：∵，， ∴， 答：代数式的值为． 4．（24-25八年级上·福建莆田·阶段练习）如图，在中，于D平分与交于点F，求． 【答案】 【分析】本题考查了三角形内角和定理、角平分线的定义以及三角形外角的性质，解题的关键是先根据三角形内角和求出角的度数，再利用角平分线得到平分角的度数，结合高线的垂直关系，通过三角形外角性质求出目标角度． 根据三角形内角和定理求出的度数；由角平分线的性质得到的度数；结合得出的度数；再利用三角形外角等于不相邻两个内角之和，求出的度数． 【详解】解：∵， 而， ∴， ∵平分， ∴， ∵于D， ∴， ∴． 故答案为：． 5．（24-25七年级下·江苏南京·阶段练习）综合与探究小明在学习中遇到这样一个问题：如图，，点，分别在，上运动不与点重合探究与发现：若是的平分线，的反向延长线与的平分线交于点． (1)①若，则______； 猜想：的度数是否随，的运动而发生变化？并说明理由； (2)拓展延伸：如图，若，，求的度数． 【答案】(1)①；②的度数不会随，的运动而发生变化，理由见解析 (2) 【分析】本题考查了三角形内角和定理，熟练掌握三角形外角的性质是解题的关键． （1）根据三角形的外角可得，再利用角平分线的定义可得，，然后再利用三角形的外角可得，进行计算即可解答； 利用的解题思路，进行计算即可解答； （2）利用的解题思路，进行计算即可解答． 【详解】（1）是的一个外角， ， 平分，平分， ，， 是的一个外角， ， 故答案为：； 的度数不会随A，的运动而发生变化， 理由：是的一个外角， ， 平分，平分， ，， 是的一个外角， ， 的度数不会随A，的运动而发生变化； （2）是的一个外角， ， 是的一个外角， ， ，， ， 的度数为． 6．（24-25八年级上·四川泸州·期中）如图，在中，，． (1)求的度数； (2)若，交于点E，判断的形状，并说明理由． 【答案】(1) (2)为等腰三角形，理由见解析 【分析】本题考查了三角形的相关知识．熟练掌握三角形内角和定理，三角形外角性质，平行线的性质，等腰三角形的判定，是解题的关键． （1）在中，根据三角形三个内角的和是即可求出的度数； （2）先求出，结合（1）中的结论即可求出，根据平行线性质 ，得，得，从而判断出的形状． 【详解】（1）解：，， ∴； （2）解：为等腰三角形，理由如下： ， ， ， ， ， ， ， ． 故为等腰三角形． 7．（22-23八年级上·山东滨州·期末）（1）计算： （2）如图，在中，，外角的平分线、相交于点D，求的度数． 【答案】（1）；（2）． 【分析】（1）利用分式的乘除法则进行计算即可； （2）根据三角形的外角的性质，角平分线的定义得到，根据三角形的内角和为，得到，，进而求出，再利用三角形的内角和定理，即可得解． 【详解】（1）解：原式 ； （2）解：根据三角形的外角性质，， ∵、分别是的平分线， ∴， ∵， ∴， ∴， 在中，． 【点睛】本题考查分式的乘除混合运算，三角形的内角和定理以及三角形的外角的性质．熟练掌握分式乘除的运算法则，以及三角形的外角等于与它不相邻的两个内角和，是解题的关键． 8．（23-24九年级上·湖南永州·期末）为缅怀北宋著名哲学家、宋明理学的开山鼻祖周敦颐（1017-1073），弘扬道州优秀的传统文化，道州人民在敦颐广场塑了一座周敦颐铜像。小聪为了测量铜像的高度，如图，先在敦颐广场的地面处用高为1．51米的测角仪，测得塔顶的仰角为，再向塔身前进10米到达处，又测得塔顶的仰角为，请你计算出铜像的高度．（，结果精确到） 【答案】 【分析】由题意知，，三角形外角的定义与性质可知，由等角对等边可得，在中，，可求的长，根据，计算求解并按要求进行近似即可． 【详解】解：由题意得：，，，． ∵， ∴， ∴， ∵在中，， ∴， ∴． 【点睛】本题考查了解直角三角形的应用，等腰三角形的判定与性质，三角形外角的性质，含30°的直角三角形．解题的关键在于找出线段的数量关系． 9．（23-24七年级下·四川眉山·期末）如图1，在ABC中，AE平分∠BAC（∠C＞∠B），F为AE上一点，且FD⊥BC于点D． （1）当∠B＝35°，∠C＝75°时，求∠EFD的度数； （2）若∠B＝α，∠C＝β，请结合（1）的计算猜想∠EFD、∠B、∠C之间的数量关系，直接写出答案，不用说明理由；（用含有α、β的式子表示∠EFD） （3）如图2，当点F在AE的延长线上时，其余条件不变，则（2）中的结论还成立吗？若成立，请说明为什么；若不成立，请写出成立的结论，并说明为什么． 【答案】（1）20°；（2）∠EFD＝（a−β）；（3）（2）中结论成立，见解析； 【分析】（1）根据三角形内角和求出∠BAC，再根据角平分线的定义求出∠BAE，然后根据三角形的外角等于两不相邻的内角之和即可求出∠EFD； （2）根据三角形内角和求出∠BAC，再根据角平分线的定义求出∠BAE，然后根据三角形的外角等于两不相邻的内角之和即可求出∠AEC，最后根据直角三角形两锐角互余列式即可； （3）结论仍然成立，由（2）得∠AEC=90°+（∠C-∠B），根据对顶角相等即可求得∠DEF，然后利用直角三角形两个锐角互余即可求解． 【详解】（1）解：∵∠B＝35°，∠C＝75°， ∵∠B＋∠C＋∠BAC＝180°， ∴∠BAC＝70°， ∵AE平分∠BAC， ∴∠BAE＝35° ∴∠FED＝∠B＋∠BAE＝35°＋35°＝70° ∵FD⊥BC， ∴∠EFD＋∠FED＝90°， ∴∠EFD＝90°－70°＝20°； （2）解：∠EFD＝，理由如下： 由三角形的内角和定理得，∠BAC＝180°−∠C−∠B， ∵AE平分∠BAC， ∴∠BAE＝∠BAC＝（180°−∠C−∠B）， 由三角形的外角性质得，∠AEC＝∠B＋∠BAE ＝∠B＋（180°−∠C−∠B）＝90°＋（∠B−∠C）， ∵FD⊥BC， ∴∠EFD＝90°−∠AEC＝90°−90°−（∠B−∠C） ＝（∠C−∠B）， 即∠EFD＝（∠C−∠B） ∵∠B＝α，∠C＝β， ∴∠EFD＝（β−α）； （3）解：（2）中结论成立 ∵∠BAC＋∠B＋∠C＝180°， ∴∠BAC＝180°－∠B－∠C， ∵AE平分∠BAC ∴∠CAE＝∠BAC＝90°－∠B－∠C ∵∠CAE＋∠C＋∠AEC＝180°， ∴∠CEA＝180°－90°＋∠B+∠C－∠C=90°＋∠B－∠C， ∵FD⊥BC， ∴∠EFD+∠FED=90°， ∵∠FED＝∠CEA=90°＋∠B－∠C， ∴∠EFD=90°-(90°＋∠B－∠C)＝∠C－∠B=． 【点睛】本题考查了三角形的内角和定理，三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和的性质，角平分线的定义，要注意整体思想的利用． 10．（23-24七年级下·上海闵行·期中）已知直线，点、在直线上，点、在直线上，连接、，平分，平分，且、所在直线交于点． (1)如图1： ①如果，，那么的度数为______； ②如果设，，那么的度数为______． （用含有、的式子表示） (2)如图2： ①试说明； ②设线段与线段的交点为点，线段与线段的交点为点，如果，那么的度数为______． 【答案】(1)①；② (2)①见详解；② 【分析】（1）①过点作，根据角平分线的定义和平行线的性质可得，再证明，，进而可得，然后由求解即可；②过点作，根据角平分线的定义和平行线的性质可得，再证明，，然后由即可获得答案； （2）①过点作，根据角平分线的定义和平行线的性质可得，再证明，，进而证明结论；②利用平行线的性质、角平分线的定义以及三角形外角的定义和性质证明， ，然后由求解即可． 【详解】（1）解：①如下图，过点作， ∵，平分， ∴， ∵， ∴， ∵，平分， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴； ②如下图，过点作， ∵，平分， ∴， ∵， ∴， ∵，平分， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴． 故答案为：①；②； （2）①证明：如下图，过点作， ∵平分， ∴， ∵， ∴， ∵平分， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴； ②如下图， ∵， ∴，， ∵平分， ∴， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∵， ∴． 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了平行的判定与性质、角平分线、三角形外角的定义和性质等知识，熟练掌握相关知识，正确作出辅助线是解题关键． 【经典计算题二 全等三角形性质综合计算】 11．（22-23八年级·全国·课堂例题）如图所示，已知，和是对应角，，，求线段的长度．    【答案】 【分析】本题主要考查了全等三角形的性质，理解全等三角形对应边相等是解题关键．根据全等三角形的性质可得，进而求得的值，然后由求解即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴，即， ∴． 12．（23-24八年级上·山东聊城·阶段练习）如图，已知，点E是的中点，，，求的长． 【答案】 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，利用先证明，得，再根据，求得是关键． 【详解】解：∵， ∴，， 又∵点E是的中点， ∴， ∴， ∴， ∴． 13．（23-24八年级上·江苏扬州·期中）勾股定理神奇而美妙，它的证法多种多样，在学习了教材中介绍的拼图证法以后，小华突发灵感，给出了如图拼图：两个全等的直角三角板和直角三角板，顶点F在边上，顶点C、D重合，连接、．设、交于点G．，，，．请你回答以下问题： (1)填空： °． (2)请用两种方法计算四边形ACBE的面积，并以此为基础证明勾股定理． 【答案】(1)90 (2)四边形的面积，见解析 【分析】本题主要考查了勾股定理的证明，三角形的面积的计算，全等三角形的性质，熟练掌握勾股定理的证明是解题的关键． （1）根据三角形全等的性质得到，得到即可证明． （2）根据三角形的面积和梯形的面积公式两种方式求出面积得出结论． 【详解】（1）解：； 证明：， ， ， ， ， ； ； （2）解：方法一：证明：四边形的面积 ， 四边形ACBE的面积 ， ， 即. 方法二： ， ， ， 即． 14．（23-24八年级上·江西上饶·阶段练习）（1）如图，在四边形中，请根据相关数据计算的值．    （2）如图，已知，求证：．    【答案】（）；（）见解析． 【分析】（）根据四边形内角和为，列出方程即可求解； （）由，可得：，再通过角度和差即可求解． 【详解】（）∵四边形的内角和为， ∴，即， 解得：； （）∵， ∴， ∴， ∴． 【点睛】此题考查了多边形的内角和与全等三角形的性质，解题的关键是熟练掌握内角和定理与全等三角形的性质及其应用． 15．（22-23七年级下·四川成都·期末）【操作发现】（1）如图1是一个长为、宽为的长方形，沿图1中虚线用剪刀平均分成四块小长方形，然后用四块小长方形拼成的一个“回形”正方形（如图2）．那么图2中的阴影部分的面积为：_______（用a，b的代数式表示）；观察图2，请你写出，，之间的等量失系是________； 【灵活应用】（2）运用所得到的公式计算：若x，y为实数，且，，求的值； 【拓展迁移】（3）将两块全等的特制直角三角板，按如图3所示的方式放置，A，O，D在同一直线上，连接AC，BD．若，，求阴影部分的面积．    【答案】（1），；（2）；（3）48 【分析】（1）图2中阴影部分的面积可以用两种方法得到，先表示阴影部分的边长，再表示面积，二是图2大正方形面积减去图1的面积，然后再化简即可得出三个代数式之间的关系； （2）利用（1）中关系，整体代入求值即可； （3）根据两块全等的特制直角三角板可得，进而得到，设，根据已知条件、列方程求得y，进而求得影音部分的面积即可． 【详解】解：（1）图2中，阴影部分的边长为的正方形，因此面积为， 也可以从边长为的正方形面积减去图1的面积，即,则 故答案为：，； （2）由（1）可得 ∴， ∴，解得：； （3）∵两块直角三角板全等， ∴， ∵点A，O、D在同一直线上，点B，O，C也在同一直线上， ∴， 设， ∴， ∵，即 ∴ ∵， ∴，解得：， ∴, ∴阴影部分的面积为． 【点睛】本题主要考查的是完全平方公式及其变形的应用、全等三角形的性质等知识点，熟练地运用完全平方公式的几何变形是解答本题的关键． 16．23-24七年级下·江苏苏州·期末）【知识生成】我们已经知道，通过计算几何图形的面积可以表示一些代数恒等式．例如图1可以得到，基于此，请解答下列问题； (1)【直接应用】若，，求xy的值； (2)【类比应用】填空：①若，则______； ②若，则______； (3)【知识迁移】两块全等的特制直角三角板（）如图2所示放置，其中A，O，D在一直线上，连接AC，BD．若，，求一块直角三角板的面积． 【答案】(1)7 (2)①7；② (3)30 【分析】（1）把，代入 从而可得答案； （2）①由完全平方公式的变形可得，再代入求值即可；②利用完全平方公式变形可得，再求值即可； （3）先证明 三点共线， 可得 结合已知条件可得 再利用 ，求解2ab，从而可得答案． 【详解】（1）解： ，，而 解得： （2）① ， ② ， （3）三点共线，且 三点共线， ，， 【点睛】本题考查的是完全平方公式及其变形的应用，全等三角形的性质，熟练的运用完全平方公式的几个变形是解本题的关键． 17．（23-24·河南郑州·三模）在△ABC中，AB=AC≠BC，点D和点A在直线BC的同侧，BD=BC，∠BAC=α，∠DBC=β，且α+β=120°，连接AD，求∠ADB的度数．（不必解答） （1）小聪先从特殊问题开始研究，当α=90°，β=30°时，利用轴对称知识，以AB为对称轴构造△ABD的轴对称图形△ABD′，连接CD′（如图2），然后利用α=90°，β=30°以及等边三角形等相关知识便可解决这个问题． 请结合小聪研究问题的过程和思路，在这种特殊情况下填空：△D′BC的形状是　 　三角形；∠ADB的度数为　 　． （2）在原问题中，当∠DBC＜∠ABC（如图1）时，请计算∠ADB的度数； （3）在原问题中，过点A作直线AE⊥BD，交直线BD于E，其他条件不变若BC=7，AD=2．请直接写出线段BE的长为　 　． 【答案】（1）①△D′BC是等边三角形，②∠ADB=30°（2）∠ADB=30°；（3）7+或7﹣ 【分析】（1）①如图2中，作∠ABD′＝∠ABD，BD′＝BD，连接CD′，AD′，由△ABD≌△ABD′，推出△D′BC是等边三角形； ②借助①的结论，再判断出△AD′B≌△AD′C，得∠AD′B＝∠AD′C，由此即可解决问题． （2）当60°＜α≤120°时，如图3中，作∠AB D′＝∠ABD，B D′＝BD，连接CD′，AD′，证明方法类似（1）． （3）第①种情况：当60°＜α≤120°时，如图3中，作∠AB D′＝∠ABD，B D′＝BD，连接CD′，AD′，证明方法类似（1），最后利用含30度角的直角三角形求出DE，即可得出结论；第②种情况：当0°＜α＜60°时，如图4中，作∠ABD′＝∠ABD，BD′＝BD，连接CD′，AD′．证明方法类似（1），最后利用含30度角的直角三角形的性质即可得出结论． 【详解】（1）①如图2中，作∠ABD′=∠ABD，BD′=BD，连接CD′，AD′， ∵AB=AC，∠BAC=90°， ∴∠ABC=45°， ∵∠DBC=30°， ∴∠ABD=∠ABC﹣∠DBC=15°， 在△ABD和△ABD′中， ∴△ABD≌△ABD′， ∴∠ABD=∠ABD′=15°，∠ADB=∠AD′B， ∴∠D′BC=∠ABD′+∠ABC=60°， ∵BD=BD′，BD=BC， ∴BD′=BC， ∴△D′BC是等边三角形， ②∵△D′BC是等边三角形， ∴D′B=D′C，∠BD′C=60°， 在△AD′B和△AD′C中， ∴△AD′B≌△AD′C， ∴∠AD′B=∠AD′C， ∴∠AD′B=∠BD′C=30°， ∴∠ADB=30°． （2）∵∠DBC＜∠ABC， ∴60°＜α≤120°， 如图3中，作∠ABD′=∠ABD，BD′=BD，连接CD′，AD′， ∵AB=AC， ∴∠ABC=∠ACB， ∵∠BAC=α， ∴∠ABC=（180°﹣α）=90°﹣α， ∴∠ABD=∠ABC﹣∠DBC=90°﹣α﹣β， 同（1）①可证△ABD≌△ABD′， ∴∠ABD=∠ABD′=90°﹣α﹣β，BD=BD′，∠ADB=∠AD′B ∴∠D′BC=∠ABD′+∠ABC=90°﹣α﹣β+90°﹣α=180°﹣（α+β）， ∵α+β=120°， ∴∠D′BC=60°， 由（1）②可知，△AD′B≌△AD′C， ∴∠AD′B=∠AD′C， ∴∠AD′B=∠BD′C=30°， ∴∠ADB=30°． （3）第①情况：当60°＜α＜120°时，如图3﹣1， 由（2）知，∠ADB=30°， 作AE⊥BD， 在Rt△ADE中，∠ADB=30°，AD=2， ∴DE=， ∵△BCD'是等边三角形， ∴BD'=BC=7， ∴BD=BD'=7， ∴BE=BD﹣DE=7﹣； 第②情况：当0°＜α＜60°时， 如图4中，作∠ABD′=∠ABD，BD′=BD，连接CD′，AD′． 同理可得：∠ABC=（180°﹣α）=90°﹣α， ∴∠ABD=∠DBC﹣∠ABC=β﹣（90°﹣α）， 同（1）①可证△ABD≌△ABD′， ∴∠ABD=∠ABD′=β﹣（90°﹣α），BD=BD′，∠ADB=∠AD′B， ∴∠D′BC=∠ABC﹣∠ABD′=90°﹣α﹣[β﹣（90°﹣α）]=180°﹣（α+β）， ∴D′B=D′C，∠BD′C=60°． 同（1）②可证△AD′B≌△AD′C， ∴∠AD′B=∠AD′C， ∵∠AD′B+∠AD′C+∠BD′C=360°， ∴∠ADB=∠AD′B=150°， 在Rt△ADE中，∠ADE=30°，AD=2， ∴DE=， ∴BE=BD+DE=7+， 故答案为7+或7﹣． 【点睛】此题是三角形综合题，主要考查全等三角形的判定和性质．等边三角形的性质、等腰三角形的性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，属于中考常考题型． 18．（23-24八年级上·江苏连云港·期中）如图①，在中，，，，，现有一动点P从点A出发，沿着三角形的边运动，回到点A停止，速度为，设运动时间为． (1)如图①，当时，________cm； (2)如图①，当________时，的面积等于面积的一半； (3)如图②，在中，，，，．在的边上，若另外有一个动点Q，与点P同时从点A出发，沿着边运动，回到点A停止．在两点运动过程中的某一时刻，恰好，求点Q的运动速度． 【答案】(1)6 (2)或 (3)Q运动的速度为或． 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定与性质、三角形的中线的性质，一元一次方程的应用等知识点，清晰的分类讨论思想是解答本题的关键． （1）利用速度乘时间即可求解； （2）根据三角形中线的性质分两种情况讨论即可解答； （3）设点Q的运动速度为，然后分点P在上，点Q在上；点P在上，点Q在上两种情况，分别根据全等三角形的性质列方程解答即可． 【详解】（1）解：当时，， 故答案为：6； （2）解：如图，当P在上，的面积等于面积的一半， ∴， ∴， 当在上时，如图，的面积等于面积的一半， ∴， ∴， 综上：当为或时，的面积等于面积的一半； 故答案为：或； （3）解：设点Q的运动速度为， ①当点P在上，点Q在上，时，， ∴，解得； ②当点P在上，点Q在上，时，，    ∴点P的路程为，点Q的路程为， ∴，解得； ∴Q运动的速度为或． 19．（22-23八年级下·河南郑州·期末）小慧同学在参加学校剪纸社团的时候，剩下了一些四边形的纸片，爱思考的她想计算一下这张纸片的面积，通过测量她发现，，，，，．她发现如果将纸片沿着裁剪，拼到的左侧正好可以拼成一个等腰直角三角形（），通过证明和计算，她得到了这张纸片的面积．    同桌小智经过思考，过点A作的垂线，然后沿着裁剪，将拼接到的左侧，这样就拼出了两个等腰直角三角形（和），通过证明和计算，他也得到了这张纸片的面积．    你知道他们都是如何解决这个问题的吗？请你从两名同学的作法中任选一个，给出证明，并求出四边形的面积． 【答案】，见解析 【分析】小慧的作法：通过裁剪，拼接，得到，进而得到，进而得到为等腰直角三角形，得到四边形的面积等于的面积，进行求解即可；小智的作法：通过裁剪，拼接，得到，推出四边形为正方形，四边形的面积等于四边形的面积，进行求解即可． 【详解】解：四边形的面积为；理由如下： 小慧的作法：由题意，得：， ∴，， ∴， ∵，，， ∴， ∴， ∴三点共线， ∴为等腰直角三角形， ∴四边形的面积； 小智的作法：由题意，得：，， ∴， 同上法可得：，， ∴，三点共线， ∵， ∴四边形为正方形， ∵， ∴， ∴四边形的面积等于四边形的面积． 【点睛】本题考查割补法求面积，重点考查两了全等三角形的性质，等腰三角形的判定和性质，正方形的判定和性质，熟练掌握全等三角形的性质，是解题的关键． 20．（23-24九年级上·天津·期末）在平面直角坐标系中，为等腰三角形，，点，点，．点为轴正半轴上任意一点（与点不重合），点，连接，将线段绕点逆时针旋转得到线段，连接并延长交轴于点． (1)如图1，当，时，则点的坐标为______________，点的坐标为______________； (2)当时． ①如图2，请判断和的位置关系，并说明理由； ②过点作轴，垂足为，请直接写出的长（用含有的式子表示）． 【答案】(1)； (2)①垂直，理由见解析；②或或 【分析】（1）由题意，当，时，由等腰三角形性质、旋转性质即可得到点和点的坐标； （2）①由旋转的性质，结合三角形全等的判定与性质即可得到；②由等边三角形性质、含的直角三角形性质及旋转性质，分三种情况：当时；当时；当时讨论求解即可得到答案． 【详解】（1）解：如图所示： 为等腰三角形，，，， ， ； 点，将线段绕点逆时针旋转得到线段，连接并延长交轴于点， 由旋转性质得到， ； 故答案为：；； （2）解：①垂直， 理由如下： 根据旋转可知，，， ∵， ∴，，即， ∵， ∴， ∴， ∴，和的位置关系是垂直； ②或或， ∵，， ∴为等边三角形， ∴，， 当时，连接，如图所示： 根据①可知，， ∴， 在与中， ， ∴， ∴， ∴， ∵， ，即， 根据解析②可知，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴； 当时，与重合，如图所示： ∵，， ∴为等边三角形， ∴， ∵， ∴， ∴此时点与点重合，； 当时，连接，如图所示： ∵， ∴； 综上分析可知，或或． 【点睛】本题考查图形与坐标，涉及等边三角形性质、旋转性质、三角形全等判定与性质和含的直角三角形性质等知识，熟练运用旋转性质求点的坐标是解决问题的关键． 【经典计算题三 全等的性质和ASA、SAS、AAS综合计算】 21．（24-25八年级上·河北沧州·期末）如图1、图2、图3中，点、分别是正、正四边形、正五边形中以点为顶点的一边延长线和另一边反向延长线上的点，且与能互相重合，延长线交于点． (1)求图1中的度数； (2)图2中的度数为_______，图3中的度数为_______． 【答案】(1) (2)， 【分析】本题主要考查了正多边形的内角，全等三角形，三角形的外角定理等知识点，解题的关键是掌握正多边形内角度数以及外角定理． （1）根据三角形全等找出对应角相等，结合对顶角相等和三角形外角定理，可表示出等于多变形的内角，可求出度数； （2）利用（1）的方法可求出本题的结果． 【详解】（1）解：是正三角形， , ∵与能互相重合， ， ， 又， ， ， ∴的度数为． （2）解： ∵四边形为正四边形， ∴, 同（1）可得，, ∴的度数为; ∵五边形为正五边形， ∴， 同（1）可得，, ∴的度数为． 故答案为：， 22．（23-24八年级上·河南新乡·期末）如图，是等腰直角三角形，直角顶点B在x轴上，一锐角顶点C在y轴上． (1)如图1，若点B的坐标是，点A的坐标是，则点C的坐标为 ； (2)如图2，若y轴恰好平分，与y轴交于点D，过点A作轴于点E，问与有怎样的数量关系？并说明理由． (3)如图3，直角边的两个端点在两坐标轴上滑动，使点A在第二象限内，过点A作轴于点F，在滑动的过程中，为定值，求出这个定值． 【答案】(1) (2)；理由见解析 (3)为定值，定值为1． 【分析】（1）过点A作，利用勾股定理从而求出的长，根据，由勾股定理可以求得，即可求解； （2）先说出与有怎样的数量关系，然后针对得到的数量关系，作出合适的辅助线，画出相应的图形，根据等腰三角形底边上的高、底边上的中线、顶角的平分线三线合一，可以最终证得所要说明的数量关系； （3）先猜想之间的关系，然后根据猜想作出合适的辅助线，画出相应的图形，然后证明所要证明的结论即可． 【详解】（1）解：过点A作，如图，    ∵是等腰直角三角形，点B的坐标是，点A的坐标是，，， ∴， ∴， ∴， ∵，即， ∴， 即点C的坐标为； 故答案为：； （2）解：； 作的延长线交的延长线于点F， 如图，    ∵是等腰直角三角形，，直角顶点B在x轴上，轴， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∵y轴恰好平分，， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴； （3）证明：作，如图， ∵，轴， ∴四边形是矩形，， ∴， ∵是等腰直角三角形，，直角顶点B在x轴上，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴为定值； 【点睛】本题考查全等三角形的判定与性质、坐标与图形的性质、等腰直角三角形的判定和性质、勾股定理，解题的关键是明确题意，作出合适的辅助线，找出所求问题需要的条件，利用数形结合的思想解答问题． 23．（23-24八年级上·吉林四平·期末）如图，是等边三角形，．动点从点出发，以速度沿射线运动．连接，以为边向其右侧作等边三角形，连接．设点的运动时间为（）． (1)当点在边上时，求的长；（用含的式子表示） (2)用含的式子表示的长； (3)当以点为顶点的四边形是轴对称图形时，直接写出的值． 【答案】(1) (2)当时，，当时， (3)或 【分析】本题主要考查动点问题下的等边三角形的性质、轴对称性、全等三角形的判定和性质， (1)根据等边三角形的性质得出，可证得，有，根据点P速度和时间即可求得； (2)分点P在线段和的延长线上两种情况讨论计算：①当点P在线段上时， ，，此时；②当点P在的延长线上时，也有，得，此时，则； (3)分点P在线段和的延长线上两种情况讨论计算：①当点P在线段上时，有，满足题意只要，结合(2)得即可；②当点P在线段上时，，满足题意只要即可． 【详解】（1）解：∵和都是等边三角形， ∴，， ∴， 在和中 ∴ ∴， ∵点的运动时间为，速度为， ∴， ∴； （2）①当点P在线段上时，即∶，由（1）得，则； ②当点P在的延长线上时，同理可得，得，即∶，则； （3）①当点P在线段上时，有，要使以点为顶点的四边形是轴对称图形，只要，由(2)知，，则，那么，解得，； ②当点P在线段上时，，要使以点为顶点的四边形是轴对称图形，只要，则，解得； 故点为顶点的四边形是轴对称图形，或． 24．（23-24八年级上·河北沧州·阶段练习）如图1，在等边三角形中，，点分别在边上，且，动点从点出发沿射线运动，以为边向右侧作等边三角形，连接． (1)求证：是等边三角形； (2)当点P在线段上运动时，求与之间的数量关系； (3)如图2，当点在线段的延长线上运动时． ①__________度； ②当时，求的长； (4)连接，直接写出的最小值． 【答案】(1)见解析 (2) (3)①；②16 (4)20 【分析】（1）根据题意得和即可证得结论； （2）利用等边三角形的性质得到，证明，有即可求得线段之间的关系； （3）①利用等边三角形的性质得到，证明，有即可求得答案； ②由，结合题意可得，利用含角的直角三角形性质即可求得答案； （4）作点关于的对称点，连接，有，由（2）和（3）得到点从点沿射线运动过程中，点在外角的角平分线上运动，将最小转化为最小，当点与点重合时，最小即可． 【详解】（1）证明：是等边三角形， ，， ， ， 即， 是等边三角形； （2）是等边三角形， ，， 是等边三角形， ，， ， 即， 在与中， ， ∴， ∵， ∴， （3）①和是等边三角形， ∴，， ∴， 则， ∴， 即； ②由①可得． 是等边三角形， ∴，， ． ， ， ， ； （4）作点关于的对称点，连接，如图， 则， 由（2）和（3）可知动点从点沿射线运动过程中，，， 即点在外角的角平分线上运动， 若最小，即最小． 当点与点重合时，最小， 此时最小值为， 则最小值为20． 【点睛】本题主要考查等边三角形的判定和性质、全等三角形的判定和性质、含角的直角三角形性质和求解点的运动轨迹，解题的关键是熟练掌握等边三角形的性质和找到点的运动轨迹． 25．（23-24九年级上·山东烟台·期中）如图，在四边形中，，，E为边上的点，为等边三角形，，，求的正切值． 【答案】 【分析】过点A作交于点H，过点E作交于点F，根据题意求得，再根据题意得，进一步证得，得到，求得、和，则可求得答案． 【详解】解：过点A作交于点H，过点E作交于点F，如图， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵为等边三角形， ∴，， ∵，， ∴， 在和中 ∴， ∴， 则， ∵， ∴， ∴，， 则， 即， 【点睛】本题考查了解直角三角形、全等三角形的判定与性质、等边三角形的性质和含角的直角三角形的性质，准确理解锐角三角函数的定义和作辅助线是解题的关键． 26．（23-24八年级上·山东临沂·期中）如图，平分，的延长线交于点E，若，求的度数． 【答案】 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定和性质，三角形外角的性质，三角形的内角和定理，根据已知易证，解题即可． 【详解】解：∵平分， ． 在和中， ∴． ∴． ∴． ∵， ∴． ∵， ∴． 即． ∵， ∴． 27．（23-24八年级上·河北邢台·期中）如图，在河岸两侧的，两点处分别有一个电线塔，嘉淇想要测量这两个电线塔之间的距离，于是他在点所在河岸一侧的平地上取一点，使点，，在一条直线上，另取点，使得，然后测得，，在的延长线上取一点，使得，量得．    (1)求的度数 (2)请帮嘉淇计算这两个电线塔之间的距离是多少米？ 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查三角形内角和定理，全等三角形的判定和性质，熟练掌握三角形内角和定理和全等三角形的判定与性质是解此题的关键． （1）根据三角形内角和定理即可求得答案． （2）证得即可求得答案． 【详解】（1）∵，， ∴． （2）∵， ∴． 在和中 ∴． ∴． ∴． ∴这两个电线塔之间的距离是． 28．（23-24九年级上·广东茂名·期中） 小亮舅舅有块菱形菜地，已知．小亮舅舅想在，边上分别找一点E、F（不与端点重合），连接、，将菱形菜地分成三个区域，其中和区域种植黄瓜，剩余区域种植韭菜，小亮对此产生了浓厚的兴趣，主动帮助舅舅测量找点． (1)当时，可以求得 ° ； (2)保持的度数与第（1）问中的相等，改变点E、F的位置，使得无论点E位于何处，与的和都为10 m． ①请你帮助小亮计算菱形菜地的面积； ②舅舅告诉小亮，他想要种植韭菜区域的面积是黄瓜区域面积的3倍，请你帮助小亮求的长． 【答案】(1) (2)①；② 【分析】（1）连接，，由菱形的性质和得是等边三角形，进一步得到，，有，得到，，，则有是等边三角形可求得答案． （2）①连接，过点E作交于点G，由菱形的性质得，，有，，则有和是等边三角形，得到，进一步有，，则和，证得，利用边相等求得菱形边长，过点A作于点H，解直角三角形求得的面积即可求得菱形面积； ②过点A作于点H，过点F作交的延长线于点M．结合①知，，，设求得、、、和及面积，根据题意列出即可求得答案． 【详解】（1）解：连接，，如图①，    ∵四边形是菱形， ∴，， ∵， ∴， ∴是等边三角形， ∴，， ∵， ∴， ∴，， ∴， ∴是等边三角形， ∴， （2）①连接，过点E作交于点G，如图②，    ∵四边形是菱形， ∴，， ∵， ∴，， ∴是等边三角形， ∵， ∴， ∴是等边三角形 ∴， ∴，， 则， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴菱形的边长为10 m， 即， 过点A作于点H，则， ∴， ∴， ∴； ②过点A作于点H，过点F作交的延长线于点M．如图③， 由（2）①知，，，设则，    ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，， ∴， ∵种植韭菜区域的面积是黄瓜区域面积的3倍， ∴， ∴， 解得（舍去），， ∴的长是m． 【点睛】本题主要考查菱形的性质、全等三角形的判定和性质、等边三角形的判定和性质和解直角三角形，通过做辅助线证明三角形全等是解题的关键． 29．（24-25八年级上·福建莆田·阶段练习）如图所示,，B、D、E在同一直线上,，求的度数大小． 【答案】 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质以及三角形外角的性质，解题的关键是通过角的等量关系推导出对应角相等，进而证明三角形全等，再利用全等三角形的对应角相等和三角形外角等于不相邻两个内角之和求出角度． 由“”可证，可得，由三角形外角性质可求解． 【详解】解：∵，即， ∴，且， ∴ ∴， ∴， 30．（24-25七年级下·重庆·期中）如图，已知和，，，，与交于点，点在上． (1)试说明； (2)若，，求的度数． 【答案】(1)证明见解析； (2)． 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，三角形外角的性质，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解答本题的关键． （1）根据证明即可； （2）先根据全等三角形的性质得到，再利用外角的性质即可求解． 【详解】（1）证明：∵， ∴， ∴， 在和， ， ∴； （2）解：∵，， ∴， ∵， ∴． 【经典计算题四 角平分线性质与三角形相关知识综合计算】 31．（23-24八年级上·全国·课堂例题）如图所示，已知在中，平分，于点E，，交于点F，若，求的长． 【答案】 【分析】本题主要考查了平行线的性质，角平分线的性质，等角对等边的性质，首先由角平分线的性质得出，再由平行线的性质得出，再由已知条件得出，再由等角对等边得出，进而求出的长． 【详解】解：∵平分， ∴． ∵， ∴． ∴， ∴． ∵， ∴，， ∴， ∴． ∵， ∴． 32．（23-24八年级上·吉林·期末）如图，在中，，平分，，，求． 【答案】 【分析】本题考查了角平分线的性质，作，根据角平分线的性质和三角形面积公式即可求解．解题的关键是理解角平分线上的点到两条边的垂线段相等． 【详解】解：作于点E，如图， ∵，平分，， ∴， ∴． 33．（23-24八年级上·甘肃定西·期末）已知：在中，，平分， 垂直平分．    (1)求的度数； (2)若，求的长． 【答案】(1)； (2)． 【分析】本题考查含度角的直角三角形性质，角平分线的性质，线段垂直平分线的性质． （1）由为中垂线，可知，是角平分线，可得，由此知三角相等，三角之和为，可求； （2）根据角平分线性质求出的长和的度数，根据含度角的直角三角形性质求出，据此求解即可． 【详解】（1）解：∵平分， ∴， ∵垂直平分， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴； （2）解：∵平分，，， ∴， ∵， ∴， ∴． 34．（22-23七年级上·山东东营·期末）如图，在中，，，平分交于点，，垂足为点，若，求的长．    【答案】 【分析】如图．过点作于首先证明，解直角三角形分别求出，即可解决问题．本题考查角平分线的性质定理，解直角三角形等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型． 【详解】解：如图．过点作于．   平分，，， ， 在中， ，， ， 在中， ，， ， ． 35．（2023八年级下·全国·专题练习）如图所示，已知的周长是，、分别平分和，于，且，求的面积？    【答案】的面积为． 【分析】本题考查角平分线的性质：角平分线上的点到角两边的距离相等．连接，过作于，于，根据角平分线上的点到角的两边的距离相等可得点到、、的距离都相等（即），从而可得到的面积等于周长的一半乘以，代入计算即可． 【详解】解：如图，连接，过作于，于， ∵、分别平分和，， ∴，， ∴， ∵的周长是，， ∴， ∴ ， ∴的面积为． 36．（24-25八年级上·吉林·期末） [感知]如图①，是的平分线，点P是上任一点，作，，垂足分别为D和E．易知(不需要证明)； [探究]如图②，在中，是它的角平分线．若．求与的面积比； [应用]如图③．的周长是8．、分别平分和．于点D．若，则的面积为______． 【答案】[探究] ；[应用]8 【分析】本题考查了角平分线的性质、三角形面积的计算以及角平分线交点（内心）的性质，解题的关键是灵活运用角平分线上的点到角两边距离相等的性质，将三角形面积进行分割求解．各小问主要关键步骤： [探究]根据角平分线性质，角平分线上的点到两边距离相等，可知与的高相等，面积比等于底边长的比； [应用]确定O为的内心，内心到三边距离相等，将面积分割为三个小三角形面积之和，利用周长和距离计算总面积． 【详解】[探究] 解：∵是的角平分线， ∴点D到和的距离相等（角平分线性质）． 设点D到、的距离为h， 则， ∴． ∵， ∴与的面积比为． 答：与的面积比为； [应用] 解：∵、分别平分和， ∴点O是的内心，内心到三边的距离相等． ∵，， ∴点O到、的距离也为2． 的面积可分割为、、 的面积之和（如图）， 即 ． ∵的周长是8，即， ∴． 故答案为：8． 37．（24-25八年级上·河北保定·期中）如图1，图2，在中，，D为的平分线上一点． (1)如图1，当点D在线段上时，平分，分别交，于点E，F，求的度数； (2)如图2，当点D在的外部时，过点D作，交于点M，，交的延长线于点N，且． ①连接，．求证：点D在的垂直平分线上； ②若，，则______． 【答案】(1) (2)①见解析；②2 【分析】（1）根据直角三角形性质得，根据角平分线定义得，根据三角形外角性质得； （2）①连接，根据角平分线性质得，结合，，得，得，即得点D在线段的垂直平分线上；②求出，根据，得，得， 得，得，即得． 【详解】（1）解：∵在中，， ∴， ∵平分，平分， ∴， ∴； （2）①证明：连接， ∵平分，于M，于N， ∴， 又， ∴， ∴， ∴点D在线段的垂直平分线上； ②∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 故答案为：2． 【点睛】本题主要考查了三角形角平分线．添加辅助线，熟练掌握直角三角形的性质，三角形外角性质，角平分线定义和性质，全等三角形的判定和性质，线段垂直平分线判定，是解题的关键． 38．（23-24七年级下·黑龙江哈尔滨·期末）如图，已知在中，，，平分，平分． (1)如图1，求的度数； (2)如图2，连接，作，，，求的面积． 【答案】(1)的度数为 (2)的面积为4 【分析】本题主要考查了角平分线．熟练掌握角平分线的定义，角平分线的性质：角的平分线上的点到角的两边的距离相等，是解题的关键． （1）根据角平分定义得到，，根据三角形内角和即得； （2）过点作，，垂足为分别为F,，根据角平分线性质得到， ，，即得的面积． 【详解】（1）平分， ， 平分， ， ， 的度数为； （2）过点作，垂足为，过点作，垂足为， 平分，，， ， 平分，，， ， 的面积 ， 故的面积为4． 39．（23-24八年级上·江西九江·阶段练习）如图，在中，，，，平分，交于点，求线段的长． 【答案】 【分析】本题考查了角平分线的性质定理，全等三角形的判定及性质，勾股定理；，过作于，可证，从而可得，设，则，，由勾股定理可得，即可求解；掌握性质，能把已知条件转化到中用勾股定理求解是解题的关键． 【详解】解：如图，过作于， ， 平分，， ，， ， 在和中 ， （）， ， ， 设，则， ， 在中： ， 即：， 解得：， ， 故线段的长为． 40．（23-24八年级上·浙江杭州·期中）如图，在中，，是的角平分线． (1)若，，求的长； (2)若，，求的长． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）先根据三角形的内角和定理和角平分线的性质得到，然后根据角所对的直角边等于斜边的一半得到，然后根据等腰三角形的等角对等边得到长即可； （2）先根据勾股定理求出长，然后过点D作于点E，根据角平分线的性质得到，然后根据解题即可． 【详解】（1）解：∵，， ∴， 又∵是的角平分线． ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴； （2）解：在中，， ∴， 过点D作于点E， 又∵，是的角平分线， ∴， 又∵， ∴． 【点睛】本题考查角的直角三角形的特征，勾股定理，角平分线的性质，角平分线的定义，掌握勾股定理和角平分线的性质是解题的关键． 【经典计算题五 线段垂直平分线性质综合计算题型】 41．（23-24八年级上·福建厦门·阶段练习）如图，是的垂直平分线，，的周长为16，求的周长． 【答案】的周长是26 【分析】本题考查了垂直平分线的知识，熟练掌握垂直平分线的性质是解题的关键；根据线段的垂直平分线的性质得到，，结合的周长，从而得到的周长． 【详解】∵是的垂直平分线， ∴，， ∵的周长为16， ∴， ∴，即的周长是26． 42．（23-24八年级下·广东深圳·阶段练习）如图， 中，，，是腰的垂直平分线，求的度数． 【答案】 【分析】本题考查了等腰三角形的性质及垂直平分线的性质，熟练掌握其性质是解题的关键．利用等边对角及三角形内角和可得，再利用垂直平分线的性质即可求解． 【详解】解：， ， 又 ， ， 是腰的垂直平分线， ， ， ． 43．（23-24八年级上·江苏苏州·阶段练习）如图，在中，是的垂直平分线，若，，求的周长？ 【答案】的周长是13 【分析】 本题考查了线段垂直平分线的性质，熟知线段垂直平分线上的任意一点到线段两端点的距离相等是解题的关键．根据线段垂直平分线的性质，并结合三角形周长的定义即可求解． 【详解】解：是的垂直平分线． ， ， 的周长， 答：的周长是13． 44．（22-23八年级下·广东揭阳·阶段练习）如图，在中，，，的垂直平分线交于点，垂足为点，连接，求的周长． 【答案】的周长为14． 【分析】本题考查了线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等的性质．根据线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等可得，然后求出周长，再代入数据计算即可得解． 【详解】解：是的垂直平分线， ， 周长， ，， 周长． 45．（23-24八年级上·江苏苏州·阶段练习）如图，在中，，，，的垂直平分线分别交，于点，．求的长．    【答案】 【分析】本题主要考查直角三角形的勾股定理，垂直平分线的性质；根据是的垂直平分线，设，则，在中，根据勾股定理即可求解． 【详解】解：∵垂直平分 ， ∴， 设 ，则， 在中， ∵， ∴， 解得． ∴． 46．（24-25八年级下·贵州贵阳·阶段练习）如图，在中，，，线段的垂直平分线交于点D，交于点E，连接，求的度数． 【答案】 【分析】本题考查了等腰三角形的性质（等边对等角）和线段垂直平分线的性质（垂直平分线上的点到线段两端距离相等），还涉及到三角形内角和定理等知识点，解题的关键是利用垂直平分线的性质得到，再结合等腰三角形底角的计算求出角度． 利用等腰的性质求的度数；由垂直平分线性质得，进而得；通过与 的差计算． 【详解】解：∵在中，，， ∴． ∵垂直平分线段， ∴． ∴． ∴． 47．（24-25七年级下·全国·单元测试）如图，在中，，，边的垂直平分线，交于点，交于点，边的垂直平分线交于点，交于点，连接，． (1)求的度数； (2)求的周长． 【答案】(1) (2)10 【分析】本题考查了线段的垂直平分线．熟练掌握线段垂直平分线性质，等腰三角形性质，三角形内角和定理，是解题的关键． （1）根据线段垂直平分线性质得，得．同理．根据，得，即得； （2）根据即得． 【详解】（1）如图．∵是的垂直平分线， ∴， ∴． 同理可得． ∵，， ∴， ∴， ∴． （2）由（1）可知， ∴的周长． 48．（24-25八年级下·全国·期末）如图，在中，，边的垂直平分线交和于点D，E，并且平分． (1)求的度数； (2)若，求的长． 【答案】(1)； (2)． 【分析】此题考查了含30度角直角三角形．熟练掌握线段垂直平分线的性质，角平分线性质，勾股定理，含30度角直角三角形的性质，是解题的关键． （1）根据垂直平分线的性质得到，进而得到．由角平分线的概念得到，进而利用直角三角形性质求解即可； （2）根据含30度角直角三角形的性质得到，然后利用勾股定理得到，进而求解即可． 【详解】（1）解：∵的垂直平分线交和于点D，E， ∴， ∴． ∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴． （2）解：∵，，， ∴， ∴， ∴． 49．（2024八年级下·全国·专题练习）如图，已知在中，，点在外，且点在的垂直平分线上，连接，与相交于点，若，，求的度数． 【答案】 【分析】作辅助线，构建全等三角形和垂直平分线，证明和（HL），得，求出的度数，所以，再根据等腰三角形可求出的度数． 【详解】解：如图，过点作交的延长线于点，于点，连接． ， ． ， ， ∵点在的垂直平分线上， ， ， (HL)， ， ， ． 故的度数为． 50．（23-24八年级上·湖北武汉·期中）如图，在中，，垂直平分，交于点，交于点，且，，求的度数． 【答案】． 【分析】本题考查了等腰三角形的性质，线段垂直平分线性质，三角形外角性质的应用，根据线段垂直平分线和等腰三角形性质得出，求出，根据三角形外角性质得出，再根据等腰三角形的性质即可求解，熟练掌握以上知识点的应用是解题的关键． 【详解】∵垂直平分， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴, ∴． 学科网（北京）股份有限公司 $$