第一章三角形重难点检测卷-2025-2026学年浙教版八年级数学上册重难点专题提升精讲精练

第一章三角形重难点检测卷 （满分120分，考试时间120分钟，共28题） 注意事项： 1.本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上； 2.回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效； 3.回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效； 4.测试范围：三角形全章内容； 5.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 第I卷（选择题） 1、 选择题（10小题，每小题3分，共30分） 1．（2025·河北邯郸·模拟预测）已知a，b，c是的三边长，则与的大小关系是（    ） A． B． C． D．无法确定 2．（25-26七年级上·福建宁德·开学考试）把一根细木条按箭头所指的位置剪成3段（细木条中的每一份长度相等），下面的剪法中，用剪后得到的3根细木条能围成等腰三角形的是（    ）． A． B． C． D． 3．（22-23八年级上·全国·期中）已知四组线段：第①组长度分别为5，6，11；第②组长度分别为1，4，4；第③组长度分别为4，4，4； 第④组长度分别为3，4，5，其中不能成为一个三角形的三条边的是（   ） A．① B．② C．③ D．④ 4．（25-26八年级上·全国·课后作业）唐朝李白的《行路难》有句诗“长风破浪会有时，直挂云帆济沧海．”如图是小明作的一个帆船模型抽象的几何图形，已知．若，则的度数为（　　） A． B． C． D． 5．（24-25八年级上·贵州遵义·阶段练习）如图，通过在中尺规作图得到射线与射线交于点，则点到（　　） A．三个顶点的距离相等 B．三边中点的距离相等 C．三边高线的距离相等 D．三边的距离相等 6．（23-24九年级上·浙江·阶段练习）如图是由6块直角三角形拼成的矩形，其中是四个全等的三角形，则(    )    A． B． C． D． 7．（2024·河北·中考真题）下面是嘉嘉作业本上的一道习题及解答过程： 已知：如图，中，，平分的外角，点是的中点，连接并延长交于点，连接． 求证：四边形是平行四边形． 证明：∵，∴． ∵，，， ∴①______． 又∵，， ∴（②______）． ∴．∴四边形是平行四边形． 若以上解答过程正确，①，②应分别为（    ） A．， B．， C．， D．， 8．（23-24八年级上·江苏宿迁·阶段练习）如图，点B在上；点D在上，，添加的条件不能证明，，的是（   ） A． B． C． D． 9．（25-26八年级上·全国·课后作业）如图，在四边形中，对角线相交于点．若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 10．（24-25八年级下·江西景德镇·期中）如图，在中，为内一点，过点的直线分别交于点，若在的垂直平分线上，在的垂直平分线上，则的度数为（   ） A． B． C． D． 第II卷（非选择题） 二、填空题（8小题，每小题3分，共24分） 11．（24-25八年级上·江西上饶·阶段练习）如图，直线，在中，点在直线上，若，，则的度数为 ． 12．（23-24八年级上·宁夏银川·阶段练习）如图，，点B和点D，点C和点E是对应顶点，那么的对应边为 ，的对应角为 ． 13．（25-26八年级上·全国·随堂练习）如图，在中，，．将从点处沿虚线剪开，当线段的长度为 时，剪下的两个三角形全等． 14．（24-25八年级下·黑龙江哈尔滨·开学考试）如图，在中，，点在上，满足，过点作，且，连接，，过点作交的延长线于点，与交于点，若，则 ． 15．（24-25八年级上·福建莆田·期末）按照下列条件，①，，；②，，；③，，；④，，；⑤，，．能画出唯一确定的三角形的是 ．（写出所有正确结论的序号） 16．（24-25七年级上·湖北十堰·期末）“世界杯”足球赛中，甲、乙、丙、丁4支队分在同一小组．在小组赛中，这4支队中的每支队都要与另3支队比赛一场．根据规定：每场比赛获胜的队可得3分；失败的队得0分；如果双方踢平，两队各得1分．积分前两名可以晋级．已知：（1）这4支队三场比赛的总得分为4个连续奇数：（2）乙队总得分排在第一；（3）丁队恰有两场同对方踢平，其中有一场是与丙队踢平的．根据以上条件可以推断，晋级的是乙队和 队． 17．（24-25七年级下·吉林长春·期末）如图，在中，平分于点E，点F为的中点，连结．给出下面五个结论：①；②；③；④当点E是线段的中点时，；⑤当时，．上述结论中，正确结论的序号有 ． 18．（24-25七年级下·重庆·期末）如图，在中，是边上的高，在左侧作，点B为延长线上一点，连接，使得，若，则 ． 三、解答题（10小题，共66分） 19．（24-25八年级上·四川泸州·期末）如图，两条公路，途经，两个村庄，为了振兴乡村经济，有关部门规划利用内部的空地建一个养殖基地，基地需要满足到村庄，距离相等，并且到公路，距离也相等，请你用尺规作图的方法确定出养殖基地的位置（保留作图痕迹，不写作法）． 20．（24-25七年级下·山东青岛·期末）青岛是旅游热点城市，前海一线的回澜阁、小青岛更是游客网红打卡地．为吸引更多的游客参观旅游，某旅游公司重新开设两条海上旅游观光航线：邮轮码头C—回澜阁A，邮轮码头C—小青岛B，为了安全在两条航线的内部区域设置一个安全浮岛P，要求浮岛P到两条航线的距离相等，并且到回澜阁和邮轮码头的距离也相等，请你在图中作出安全浮岛P的位置． 21．（24-25七年级下·河南郑州·期末）如图，太阳光下有两根垂直于地面的等长竹竿与，且两根竹竿的影子分别为和，已知太阳光线．小明同学经过探究得结论：．请问他的结论正确吗？请给出理由． 22．（23-24八年级上·河北石家庄·阶段练习）如图，把沿直线翻折，使点B落到点D处．    (1)请将图中两个三角形的关系用数学符号表示出来． (2)若，，求的度数． 23．（2024七年级下·湖南长沙·竞赛）如图，凸五边形的对角线分别与对角线和交于点F和G，已知，，，和分别为和的面积，求的值． 24．（25-26七年级上·全国·课后作业）在等腰直角中，，点P是边上垂直平分线上的一点，连结，交于点M，N是点M关于的对称点，连结并延长交于点D，连结交于点G． (1)如图①，点P在的下方时，①求证：； ②请猜想线段，，三者之间的数量关系，并加以证明； (2) 如图②，若点P移动到的内部时，其他条件不变，线段，，三者有什么数量关系，请画出图形，直接写出结果，不必证明． 25．（24-25七年级下·上海·阶段练习）在的的延长线上任取两点D，E，连接． (1)如图1，求证：； (2)如图2，和的平分线交于点，求证，．（提示：可直接利用（1）的结论） 26．（23-24八年级上·福建福州·期中）如图，点D是等腰外一点,与相交于是线段上一点,． (1) 求证：． (2) 求证：． 27．（24-25八年级上·广东珠海·阶段练习）如图，在四边形中，E为边上的一点，垂直平分，垂直平分． (1)求的度数； (2)与交于点F，若，求证：． 28．（24-25七年级下·山东威海·期末）问题提出：已知，在四边形中，对角线平分，，求证：． (1)问题解决：小明说他可以用截长的方法解决，如图①，以点为圆心，的长为半径画弧，交于点，连接．小刚说他用补短的方法也可以证明，如图②，延长到，使，连接．请你从小明和小刚的证明思路中任选一种进行证明． (2)问题拓展：如图③，在四边形中，对角线平分，，过点作，垂足为点，探究线段之间的数量关系，并说明理由． 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第一章三角形重难点检测卷 （满分120分，考试时间120分钟，共28题） 注意事项： 1.本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上； 2.回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效； 3.回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效； 4.测试范围：三角形全章内容； 5.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 第I卷（选择题） 1、 选择题（10小题，每小题3分，共30分） 1．（2025·河北邯郸·模拟预测）已知a，b，c是的三边长，则与的大小关系是（    ） A． B． C． D．无法确定 【答案】A 【分析】本题考查三角形的三边关系，根据三角形的三边关系得到，结合，得到，进行判断即可． 【详解】解：∵a，b，c是的三边长， ∴， ∵， ∴； 故选：A． 2．（25-26七年级上·福建宁德·开学考试）把一根细木条按箭头所指的位置剪成3段（细木条中的每一份长度相等），下面的剪法中，用剪后得到的3根细木条能围成等腰三角形的是（    ）． A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了三角形的三边关系，设细木条中的每一份长度为，根据题意得到各选项中剪后得到的3根细木条的长度，分别利用三角形三边关系结合等腰三角形的定义解答即可． 【详解】解：设细木条中的每一份长度为， A、剪后得到3根细木条的长度为，则，不能构成三角形，不符合题意； B、剪后得到3根细木条的长度为，则，能构成等腰三角形，符合题意； C、剪后得到3根细木条的长度为，则，不能构成三角形，不符合题意； D、剪后得到3根细木条的长度为，则，能构成三角形，但不是等腰三角形，不符合题意； 故选：B． 3．（22-23八年级上·全国·期中）已知四组线段：第①组长度分别为5，6，11；第②组长度分别为1，4，4；第③组长度分别为4，4，4； 第④组长度分别为3，4，5，其中不能成为一个三角形的三条边的是（   ） A．① B．② C．③ D．④ 【答案】A 【分析】本题考查了三角形的三边关系，根据三角形的三边关系逐一判断即可求解，熟练掌握三角形的三边关系是解题的关键． 【详解】解：①5，6，11， ， 5，6，11不能构成三角形； ②1，4，4， ，， 1，4，4，能构成三角形； ③4，4，4， ，， 4，4，4，能构成三角形‘； ④3，4，5， ，， 3，4，5，能构成三角形‘； 则不能构成三角形的是第①组， 故选A． 4．（25-26八年级上·全国·课后作业）唐朝李白的《行路难》有句诗“长风破浪会有时，直挂云帆济沧海．”如图是小明作的一个帆船模型抽象的几何图形，已知．若，则的度数为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了平行线的性质，三角形的外角的性质，根据平行线的性质可得，进而根据三角形的外角的性质可得，即可求解． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， 故选：A． 5．（24-25八年级上·贵州遵义·阶段练习）如图，通过在中尺规作图得到射线与射线交于点，则点到（　　） A．三个顶点的距离相等 B．三边中点的距离相等 C．三边高线的距离相等 D．三边的距离相等 【答案】D 【分析】本题考查了三角形尺规作图中角平分线的性质及相关概念辨析，解题的关键是根据尺规作图的特征判断射线和的性质，进而明确点D的性质． 首先，根据三角形尺规作图的常见类型，射线和是通过尺规作图得到的角平分线（这是三角形中尺规作角平分线的典型结果）．角平分线的交点为三角形的内心，内心的性质是到三角形三边的距离相等．因此，点D到三边的距离相等． 【详解】解：本题中，射线与射线是的角平分线，其交点D为的内心．根据内心的性质，内心到三角形三边的距离相等． 故选：D． 6．（23-24九年级上·浙江·阶段练习）如图是由6块直角三角形拼成的矩形，其中是四个全等的三角形，则(    )    A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查全等三角形的性质、勾股定理等知识点，用含字母的式子表示出， 是解题的关键． 【详解】解：如图：    设， 是四个全等的三角形 ， ， 故选：C． 7．（2024·河北·中考真题）下面是嘉嘉作业本上的一道习题及解答过程： 已知：如图，中，，平分的外角，点是的中点，连接并延长交于点，连接． 求证：四边形是平行四边形． 证明：∵，∴． ∵，，， ∴①______． 又∵，， ∴（②______）． ∴．∴四边形是平行四边形． 若以上解答过程正确，①，②应分别为（    ） A．， B．， C．， D．， 【答案】D 【分析】本题考查平行四边形的判定，全等三角形的判定与性质，根据等边对等角得，根据三角形外角的性质及角平分线的定义可得，证明，得到，再结合中点的定义得出，即可得证．解题的关键是掌握：对角线互相平分的四边形是平行四边形． 【详解】证明：∵，∴． ∵，，， ∴①． 又∵，， ∴（②）． ∴．∴四边形是平行四边形． 故选：D． 8．（23-24八年级上·江苏宿迁·阶段练习）如图，点B在上；点D在上，，添加的条件不能证明，，的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了添加条件使三角形全等（全等三角形的判定综合），熟练掌握全等三角形的判定方法是解题的关键；具体选用哪一种方法，取决于题目中的已知条件．先根据题意得到， ，然后根据全等三角形的判定方法对各选项逐项分析判断即可． 【详解】解：∵， ， ∴添加，可利用证明， 添加，可利用可以证明， 添加，或，可利用证明， 故答案为C． 9．（25-26八年级上·全国·课后作业）如图，在四边形中，对角线相交于点．若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查全等三角形的判定和性质，三角形外角的性质，先证，得出 ，再根据三角形外角的性质求的度数． 【详解】解：，， ， ， ， 故选：B． 10．（24-25八年级下·江西景德镇·期中）如图，在中，为内一点，过点的直线分别交于点，若在的垂直平分线上，在的垂直平分线上，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了线段垂直平分线的性质，三角形的内角和定理，三角形的外角性质，解题的关键是掌握线段垂直平分线的性质，由，可得，根据线段垂直平分线的性质可得：，，推出，再结合三角形的外角性质可得，最后根据平角的定义即可求解． 【详解】解：由条件可知， 在的垂直平分线上，N在的垂直平分线上， ， ， ，， ， ． 故选：C． 第II卷（非选择题） 二、填空题（8小题，每小题3分，共24分） 11．（24-25八年级上·江西上饶·阶段练习）如图，直线，在中，点在直线上，若，，则的度数为 ． 【答案】 【分析】本题考查了平行线的性质，三角形外角的定义及性质，由平行线的性质可得，再根据三角形外角的定义及性质计算即可得解． 【详解】解：如图： ∵， ∴， ∵，， ∴， 故答案为：． 12．（23-24八年级上·宁夏银川·阶段练习）如图，，点B和点D，点C和点E是对应顶点，那么的对应边为 ，的对应角为 ． 【答案】 / / 【分析】本题考查了全等三角形的对应边与对应角．解题的关键是牢记“全等三角形的对应边相等，对应角相等”即可．解题时要找对对应边，对应角即可． 【详解】解：，点B和点D，点C和点E是对应顶点，那么的对应边为，的对应角为． 故答案为：，． 13．（25-26八年级上·全国·随堂练习）如图，在中，，．将从点处沿虚线剪开，当线段的长度为 时，剪下的两个三角形全等． 【答案】2 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定，当时，利用即可证明两个三角形全等． 【详解】解：如图所示，当时， 则， ∴， 故答案为：2． 14．（24-25八年级下·黑龙江哈尔滨·开学考试）如图，在中，，点在上，满足，过点作，且，连接，，过点作交的延长线于点，与交于点，若，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，设，则，，证明，得出，，再证明，得出，求出，即可得解，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． 【详解】解：设，则， ∴，， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴，， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 15．（24-25八年级上·福建莆田·期末）按照下列条件，①，，；②，，；③，，；④，，；⑤，，．能画出唯一确定的三角形的是 ．（写出所有正确结论的序号） 【答案】②④ 【分析】本题主要考查全等三角形的判定定理，掌握全等三角形的判定定理有以及直角三角形全等的判定定理还有． 根据全等三角形的判定定理逐个判断即可． 【详解】解：①根据、、，不能画出三角形，不符合题意； ②根据，，可得，符合能画出唯一三角形，符合题意； ③根据，，符合不能画出唯一三角形，不符合题意； ④根据，，符合能画出唯一三角形，符合题意； ⑤根据，，符合不能画出唯一三角形，不符合题意． 故答案为：②④． 16．（24-25七年级上·湖北十堰·期末）“世界杯”足球赛中，甲、乙、丙、丁4支队分在同一小组．在小组赛中，这4支队中的每支队都要与另3支队比赛一场．根据规定：每场比赛获胜的队可得3分；失败的队得0分；如果双方踢平，两队各得1分．积分前两名可以晋级．已知：（1）这4支队三场比赛的总得分为4个连续奇数：（2）乙队总得分排在第一；（3）丁队恰有两场同对方踢平，其中有一场是与丙队踢平的．根据以上条件可以推断，晋级的是乙队和 队． 【答案】丁 【分析】本题考查了逻辑推理问题的应用，根据比赛规则以及3个已知条件不难解答本题，4队单循环比赛，合计比赛（）场比赛，即每队比赛3场，根据积分规则，每队最多积分9分，最少积分0分。根据（1）这4支队三场比赛的总得分为4个连续奇数可知，四队积分可能为1、3、5、7或3、5、7、9，有且仅有这两种可能；而6场比赛全部分出胜负时四队合计积分为（分），即四队积分和最高18分，而，显然不可能，故四队积分只可能为1、3、5、7；根据（2）乙队总得分排在第一可知，乙队2胜1平积分7分，排名第一；根据（3）丁队恰有两场同对方踢平，平2场积分为2分，根据四队积分均为奇数分可知丁队另一场比赛胜了对方，积分3分，合计积分5分，即丁队1胜2平积分5分，排名第二，据此解答． 【详解】解：甲、乙、丙、丁4支队合计比赛场次：（场）， 因为每场比赛获胜的队可得3分：失败的队得0分；如果双方踢平，两队各得1分， 所以6场比赛如果全部分出胜负，则四队积分和：（分）， 根据（1）这4支队三场比赛的总得分为4个连续奇数， 所以四队积分可能为1、3、5、7或3、5、7、9 而， 所以四队积分只能为1、3、5、7， 因为（2）乙队总得分排在第一， 所以乙队积分7分（2胜1平）， 因为（3）丁队恰有两场同对方踢平，两场比赛积分：（分） 所以丁队另外一场比赛一定胜了对方，积分3分， 即丁队一共积分：（分） 所以丁队总得分排在第二，积分5分（1胜2平）， 因为（3）丁队有一场是与丙队踢平的，（分） 所以丙队只可能积分1分（1平2负）， 最后甲队积分3分（1胜2负）． 综上： 甲1胜2负，积分3分，即甲胜丙，负乙和丁； 乙2胜1平，积分7分，即乙胜甲和丙，平丁； 丙1平2负，积分1分，即丙平丁，负甲和乙； 丁1胜2平，积分5分，即丁胜甲，平乙和丙． 因为积分前两名可以晋级， 所以乙和丁晋级， 故答案为：丁． 17．（24-25七年级下·吉林长春·期末）如图，在中，平分于点E，点F为的中点，连结．给出下面五个结论：①；②；③；④当点E是线段的中点时，；⑤当时，．上述结论中，正确结论的序号有 ． 【答案】②③⑤ 【分析】①在中，，平分、虽然，但仅根据现有条件不能得出点D是中点，所以，结论①错误；②由三角形外角的定义和性质可判定结论②正确． 判断结论③，根据三角形中线的性质可判断结论③正确，根据角平分线的有关计算即可判定④错误，根据角的和差关系即可判定⑤正确． 【详解】解：在中，，平分、 ∴， ∵点D不是中点， ∴，故①错误，不符合题意； ∵是的一个外角， ∴； ∵于点E， ∴， ∴，即，故②正确，符合题意； ∵点F是的中点， ∴， ∴；故③正确，符合题意； ∵于点E，当点E是线段的中点时，则是的垂直平分线， ∴， ∴平分， ∴， ∵平分， ∴ ∴，故④错误，不符合题意∶ 当时， ∵， ∴， ∵平分， ∴， ∴．故⑤正确，符合题意， 故答案为∶②③⑤． 【点睛】本题主要运用角平分线的定义、三角形外角定理、中点的性质、线段垂直平分线的性质以及三角形内角和定理来判断各个结论的正确性．掌握这些性质是解题的关键． 18．（24-25七年级下·重庆·期末）如图，在中，是边上的高，在左侧作，点B为延长线上一点，连接，使得，若，则 ． 【答案】 【分析】本题考查的是全等三角形的判定与性质，三角形的内角和定理的应用，角平分线的性质，作出合适的辅助线是解本题的关键.如图，过作于，记的交点为，可得，，证明，，可得，再进一步求解即可. 【详解】解：如图，过作于，记的交点为， ∵是边上的高，在左侧作， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴； 故答案为： 三、解答题（10小题，共66分） 19．（24-25八年级上·四川泸州·期末）如图，两条公路，途经，两个村庄，为了振兴乡村经济，有关部门规划利用内部的空地建一个养殖基地，基地需要满足到村庄，距离相等，并且到公路，距离也相等，请你用尺规作图的方法确定出养殖基地的位置（保留作图痕迹，不写作法）． 【答案】见解析． 【分析】本题考查作图应用与设计作图，角平分线的性质，线段垂直平分线的性质，解题的关键是理解题意，正确作出图形．作平分，作线段的垂直平分线，交于点，点即为所求． 【详解】解：如图，点即为所求． 20．（24-25七年级下·山东青岛·期末）青岛是旅游热点城市，前海一线的回澜阁、小青岛更是游客网红打卡地．为吸引更多的游客参观旅游，某旅游公司重新开设两条海上旅游观光航线：邮轮码头C—回澜阁A，邮轮码头C—小青岛B，为了安全在两条航线的内部区域设置一个安全浮岛P，要求浮岛P到两条航线的距离相等，并且到回澜阁和邮轮码头的距离也相等，请你在图中作出安全浮岛P的位置． 【答案】见解析 【分析】本题考查作图应用与设计作图，角平分线的性质，线段的垂直平分线的性质，解题的关键是掌握相关知识解决问题．作平分，作线段的垂直平分线交与点P，点P即为所求． 【详解】解：如下图，安全浮岛P即为所求作： 21．（24-25七年级下·河南郑州·期末）如图，太阳光下有两根垂直于地面的等长竹竿与，且两根竹竿的影子分别为和，已知太阳光线．小明同学经过探究得结论：．请问他的结论正确吗？请给出理由． 【答案】小明的结论正确，理由见解析 【分析】本题考查全等三角形的判定及性质，证明即可解答． 【详解】解：小明的结论正确， 理由如下：由题意得， ． ， ． 在与中， ， ， ，即， 小明的结论正确． 22．（23-24八年级上·河北石家庄·阶段练习）如图，把沿直线翻折，使点B落到点D处．    (1)请将图中两个三角形的关系用数学符号表示出来． (2)若，，求的度数． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据折叠后两个三角形全等解答即可； （2）先求出的度数，再根据三角形内角和定理求出的度数，进而可求出的度数． 【详解】（1）由折叠的性质可知，； （2）∵， ∴，． ∵， ∴． ∵， ∴， ∴． 【点睛】本题考查了折叠的性质，全等三角形的性质，三角形内角和定理，熟练掌握折叠的性质是解答本题的关键． 23．（2024七年级下·湖南长沙·竞赛）如图，凸五边形的对角线分别与对角线和交于点F和G，已知，，，和分别为和的面积，求的值． 【答案】 【分析】本题主要考查了三角形的面积，根据等高三角形的面积和底边的关系来求面积是本题解题的关键． 如图：连接，设的面积为4，根据等高三角形可得，同理可得，则，又易得，再求得，最后代入计算即可。 【详解】解：如图：连接，设的面积为4， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 24．（25-26七年级上·全国·课后作业）在等腰直角中，，点P是边上垂直平分线上的一点，连结，交于点M，N是点M关于的对称点，连结并延长交于点D，连结交于点G． (1)如图①，点P在的下方时，①求证：； ②请猜想线段，，三者之间的数量关系，并加以证明； (2)如图②，若点P移动到的内部时，其他条件不变，线段，，三者有什么数量关系，请画出图形，直接写出结果，不必证明． 【答案】(1)①证明见解析②证明见解析 (2)，画图见解析 【分析】本题考查了垂直平分线、角平分线、三角形全等等知识，解题的关键是对垂直平分线、三角形全等的运用． （1）①作的平分线交于点Q， 点P是边上垂直平分线上的一点， N是点M关于的对称点，易得，，结合对顶角的知识解答即可；通过证明、，进而解答即可；②由①可得，，运用等量代换，进而解答即可； （2）通过证明、，得到，，运用等量代换，进而解答即可． 【详解】（1）证明：①如图．作的平分线交于点Q， 于点H． ，， ． 点P是边上垂直平分线上的一点， N是点M关于的对称点， ，，． ． ，， ． ，， 在与中 ． 在与中 ． ． ， ． ． ． ②，， ，． ， ． （2）证明∶如图．作的平分线交于点K．， 于点H． ，， ． 点P是边上垂直平分线上的一点， N是点M关于的对称点， ，，． ． ，即． 在和中 ． ，． 在和中 ． ． ， ． 25．（24-25七年级下·上海·阶段练习）在的的延长线上任取两点D，E，连接． (1)如图1，求证：； (2)如图2，和的平分线交于点，求证，．（提示：可直接利用（1）的结论） 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】题目主要考查了三角形内角和定理及对顶角相等，理解题意是解题关键． （1）根据对顶角相等及三角形内角和定理即可证明； （2）根据角平分线得出，再由题意结合图形确定，，求解即可． 【详解】（1）证明：根据题意得， ∵， ∴； （2）∵和的平分线交于点， ∴， ∴①， 由（1）得， 即②， 得：， ∴． 26．（23-24八年级上·福建福州·期中）如图，点D是等腰外一点,与相交于是线段上一点,． (1)求证：． (2)求证：． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题考查了三角形内角和定理、全等三角形的判定（、）、角平分线的性质及等腰三角形的性质，解题的关键是通过构造辅助线（延长线段、作垂线）创造全等三角形的条件，利用角度关系推导垂直和线段相等． （1）通过延长与交于点，利用已知和，根据三角形外角性质（或内角和定理）计算出，从而证明； （2）先作于，结合已知角度和对顶角相等推出，再利用和直角条件证明（）得；接着根据角平分线性质和角度计算得出，再推导，最后用证明，从而得出． 【详解】（1）证明：延长相交于H． ∵， ∴． ∴． （2）过A作于G． ∵， ∴即， ∵， ∴， ∴． ∵， ∴平分， ， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． ∵， ∴，而， ∴， ∴． 27．（24-25八年级上·广东珠海·阶段练习）如图，在四边形中，E为边上的一点，垂直平分，垂直平分． (1)求的度数； (2)与交于点F，若，求证：． 【答案】(1)； (2)见解析． 【分析】本题考查全等三角形的判定与性质，线段垂直平分线的性质．掌握全等三角形的判定与性质是解题的关键． （1）证明，得出．再证明，得到．然后根据根据平角的定义，可得答案； （2）证明， 得到，再根据，则可由，得出结论． 【详解】（1）解∶∵垂直平分， ∴，． ∵， ∴， ∴． ∵垂直平分， ∴，． ∵， ∴， ∴． ∵ ， ∴； （2）证明：∵， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴，即 ． 28．（24-25七年级下·山东威海·期末）问题提出：已知，在四边形中，对角线平分，，求证：． (1)问题解决：小明说他可以用截长的方法解决，如图①，以点为圆心，的长为半径画弧，交于点，连接．小刚说他用补短的方法也可以证明，如图②，延长到，使，连接．请你从小明和小刚的证明思路中任选一种进行证明． (2)问题拓展：如图③，在四边形中，对角线平分，，过点作，垂足为点，探究线段之间的数量关系，并说明理由． 【答案】(1)见解析 (2)，见解析 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质、角平分线的性质定理；熟练掌握角平分线性质定理，证明三角形全等是解决问题的关键． （1）小明的证明方法：证出，由证明，即可得出结论；小刚的证明方法：证出，得出，，再证明，即可得出结论； （2）作于M，先根据角平分线的性质得出，证明，得出，证明，得出，再根据线段的和差即可得出答案． 【详解】（1）解：小明的证明方法： ∵， ∴， ∵，， ∴， ∵平分， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴； 小刚的证明方法： ∵平分， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴； （2），理由如下： 证明：作于M，如图所示： ∴， ∵，， ∴， ∵平分， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴，即． 学科网（北京）股份有限公司 $$